Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ HỒNG LINH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN ĐƠN TRỊ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phƣơng Quỳnh THÁI NGUYÊN - 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Mục lục Danh mục ký hiệu viết tắt ii Lời mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kết không gian xác suất 1.1.1 Không gian xác suất 1.1.2 Biến ngẫu nhiên 1.1.3 Một số dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 11 1.2 Một số kết ánh xạ đa trị toán tử ngẫu nhiên 13 1.3 Một số kết điểm bất động cho toán tử tất định 17 Chương Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị 21 2.1 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên 21 2.2 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị 34 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 i Danh mục ký hiệu viết tắt N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực R+ Tập hợp số thực dương C[a, b] Không gian hàm số liên tục [a, b] L(X) Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X L0X (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên X-giá trị A, F σ-đại số B(X) σ-đại số Borel X A⊗F σ-đại số tích σ-đại số A F 2X Họ tập hợp khác rỗng X C(X) Họ tập hợp đóng khác rỗng X CB(X) Họ tập hợp đóng khác rỗng bị chặn X d(a, B) Khoảng cách từ điểm a đến tập hợp B d(A, B) Khoảng cách hai tập hợp khác rỗng A, B H(A, B) Khoảng cách Hausdorff hai tập hợp đóng A, B Gr(F) Đồ thị ánh xạ F µ Độ đo Lebesgue P Độ đo xác suất p-lim Giới hạn hội tụ theo xác suất h.c.c Hầu chắn ii Lời mở đầu Các nghiên cứu định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên khởi đầu O Hans A Spacek năm 1950 (xem [8]) Họ chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, phiên ngẫu nhiên nguyên lý ánh xạ co Banach Sau cơng trình Spacek Hans, phiên ngẫu nhiên định lý điểm bất động tiếng khác chứng minh Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên điểm bất động ngẫu nhiên thực tiếp thêm sức mạnh sau đời sách Random integral equations (1972) báo tổng kết Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) A T Bharucha-Reid (xem [6]) Nhiều tác giả thành công việc mở rộng kết điểm bất động ngẫu nhiên có chứng minh phiên ngẫu nhiên định lý điểm bất động cho toán tử tất định (chẳng hạn, xem [9, 13]) Vào năm 1990, số tác giả như: H K Xu, K K Tan, X Z Yuan chứng minh định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, tác giả với số điều kiện đó, quỹ đạo tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên (chẳng hạn, xem [10, 13]) Gần đây, số tác N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal đưa số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng kết tác giả trước sở phiên ngẫu nhiên nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định chứng minh Nếu lớp toán tử ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát rộng rãi việc ngẫu nhiên hóa định lý điểm bất động cho tốn tử tất định khơng cịn nhiều thú vị, việc chứng minh tồn điểm bất động toán tử ngẫu nhiên thực trở thành việc chứng minh tồn điểm bất động toán tử tất định Tốn tử ngẫu nhiên xem ánh xạ biến phần tử không gian metric thành biến ngẫu nhiên Mỗi phần tử khơng gian metric xem biến ngẫu nhiên suy biến nhận giá trị phần tử với xác suất Từ cách quan niệm ta coi không gian metric X tập (gồm biến ngẫu nhiên suy biến) không gian biến ngẫu nhiên X-giá trị L0X (Ω) Với f toán tử ngẫu nhiên liên tục từ X vào X xây dựng ánh xạ Φ từ L0X (Ω) vào L0X (Ω) mà hạn chế Φ X trùng với f f có điểm bất động ngẫu nhiên Φ có điểm bất động Dựa thực tiễn với kết điểm bất động ánh xạ không gian metric xác suất, O Hadzic E Pap có liên hệ ứng dụng sang lý thuyết điểm bất động toán tử ngẫu nhiên (xem [7]) Trong phạm vi luận văn thạc sĩ Tốn học, tác giả tập trung trình bày lại kết nghiên cứu điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị Nội dung luận văn bao gồm phương trình tốn tử ngẫu nhiên điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Cấu trúc luận văn gồm chương Chương Tác giả trình bày số khái niệm không gian xác suất: biến ngẫu nhiên hội tụ dãy biến ngẫu nhiên; toán tử ngẫu nhiên điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Những kết trích dẫn khơng có chứng minh chi tiết Chương Tác giả trình bày kết nghiên cứu tác giả phương trình tốn tử ngẫu nhiên Nội dung chương định lý tồn nghiệm ngẫu nhiên phương trình tốn tử ngẫu nhiên Một số kết liên quan đến toán điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Áp dụng kết phương trình tốn tử ngẫu nhiên cho tốn điểm bất động ngẫu nhiên mở rộng số định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên Phiên ngẫu nhiên số định lý điểm bất động cho tốn tử tất định trình bày Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nỗ lực học hỏi thân, em nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân em điều thầy dành cho em Em xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học Tốn K13 (2019 - 2021) Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho em hồn thành khóa học Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường THPT Trần Hưng Đạo, Quế Võ, Bắc Ninh tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, ngày 21 tháng 05 năm 2021 Học viên Lê Hồng Linh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm kết liên quan tới phần luận văn Bao gồm, khơng gian xác suất, ánh xạ đa trị, toán tử ngẫu nhiên số kết điểm bất động toán tử tất định Hầu hết khẳng định chương đưa mà khơng trình bày chứng minh chi tiết, kết trích dẫn rõ nguồn tài liệu 1.1 Một số khái niệm kết không gian xác suất Trong chương nhắc lại vài định nghĩa lý thuyết xác suất: biến ngẫu nhiên, số dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian xác suất Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω tập khác rỗng Một σ− đại số F Ω họ tập hợp Ω thỏa mãn (i) Tập ∅ ∈ F ; (ii) Nếu A ∈ F phần bù A ∈ F ; (iii) Nếu A1 , A2 , dãy đếm tập hợp F hợp chúng A1 ∪ A2 ∪ · · · thuộc F Ví dụ 1.1.2 R định nghĩa tập hợp số thực Họ tập Borel F = B(R) σ− đại số R B(R) σ− đại số chứa tất đoạn R Định nghĩa 1.1.3 Cho F σ− đại số Ω Độ đo xác suất P ánh xạ P : F −→ [0, 1] thỏa mãn (i) P(Ω) = 1; (ii) Nếu A1 , A2 , tập rời đôi (nghĩa Ai ∩ A j = ∅ với i , j) ⊂ F P(A1 ∪ A2 ∪ ) = P(A1 ) + P(A2 ) + · · · (Ω, F , P) gọi không gian xác suất Tập hợp thuộc F gọi biến cố Biến cố A xảy hầu chắn P(A) = Ví dụ 1.1.4 Chúng ta đưa khoảng cách có độ dài đơn vị Ω = [0, 1] với σ− đại số F = B([0, 1]) tập hợp tập Borel B ⊂ [0, 1] độ đo Lebesgue P = Leb [0, 1] Khi (Ω, F , P) không gian xác suất Nhắc lại Leb độ đo định nghĩa tập Borel cho với [a, b] Leb[a, b] = b − a Định lý 1.1.5 Nếu A1 , A2 , dãy tăng biến cố, nghĩa A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = lim P(An ) n→∞ Tương tự, A1 , A2 , dãy giảm biến cố, nghĩa A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , P(A1 ∩ A2 ∩ ) = lim P(An ) n→∞ Chứng minh Nếu A1 ⊂ A2 ⊂ A1 ∪ A2 ∪ = A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ (A3 \ A2 ) ∪ Trong đó, tập A1 , A2 \ A1 , A3 \ A2 , rời đôi Do đó, theo định nghĩa độ đo xác suất P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = P(A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ (A3 \ A2 ) ∪ · · · ) = P(A1 ) + P(A2 \ A1 ) + P(A3 \ A2 ) + · · · = lim P(An ) n→∞ Ta có P(A1 ∪ A2 ∪ · · · + An ) = P(A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ (A3 \ A2 ) ∪ · · · + P(An \ An−1 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ) + · · · + P(An ) − P(An−1 ) = P(An ) Nếu A1 ⊃ A2 ⊃ · · · P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ) = lim P(An ) n→∞ Áp dụng luật De Morgan ta có Ω \ (A1 ∩ A2 ∩ · · · ) = (Ω \ A1 ) ∪ (Ω \ A2 ) ∪ · · ·  Bổ đề 1.1.6 (Borel- Cantelli) Cho A1 , A2 , dãy biến cố cho P(A1 ) + P(A2 ) + · · · < ∞ đặt Bn = An ∪ An+1 ∪ · · · P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = Chứng minh Vì Bn dãy giảm biến cố, theo kết Định lý 1.1.5 suy P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = lim P(Bn ) = lim P(An ∪ An+1 ∪ · · · ) n→∞ n→∞  lim P(An ) + P(An+1 ) + · · · =  n→∞ Đẳng thức cuối chuỗi ∞ P P(An ) hội tụ Bất đẳng thức n=1 tính chất cộng tính P(An ∪ An+1 ∪ ) P(An ) + P(An+1 ) + · · · Suy P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) =  1.1.2 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.7 Nếu F σ− đại số Ω hàm ξ : Ω −→ R gọi F − đo {ξ ∈ B} ∈ F với tập Borel B ∈ B(R) Nếu (Ω, F , P) không gian xác suất hàm ξ gọi biến ngẫu nhiên Chú ý 1.1.8 Để cho ngắn gọn, ta ký hiệu {ξ ∈ B} thay viết {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} Định nghĩa 1.1.9 σ− đại số σ(ξ) sinh biến ngẫu nhiên ξ : Ω −→ R định nghĩa lớp tất tập có dạng {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B}, B tập Borel R Định nghĩa 1.1.10 σ− đại số σ({ξi : i ∈ I}) sinh họ biến ngẫu nhiên {ξi : i ∈ I} định nghĩa σ− đại số nhỏ chứa tất biến cố có dạng {ω ∈ Ω : ξi (ω) ∈ B} B tập Borel R i ∈ I Nhận xét 1.1.11 Ta gọi f : R −→ R hàm Borel nghịch ảnh f −1 (B) với tập Borel B R tập Borel Nếu f hàm Borel ξ biến ngẫu nhiên f (ξ) σ(ξ)− đo Thật vậy, B tập Borel R f : R −→ R hàm Borel f −1 (B) tập Borel Do { f (ξ) ∈ B} = {ξ ∈ f −1 (B)} thuộc σ− đại số σ(ξ) sinh ξ Vậy f (ξ) σ(ξ)− đo Bổ đề 1.1.12 (Doob - Dynkin) Cho ξ biến ngẫu nhiên Khi biến ngẫu nhiên σ(ξ)− đo η viết η = f (ξ) với f : R −→ R hàm Borel Định nghĩa 1.1.13 Giả sử ξ : Ω −→ R biến ngẫu nhiên, xác định độ đo xác suất sau Pξ (B) = P{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} bảo phương trình ngẫu nhiên có nghiệm tất định phương trình có nghiệm ngẫu nhiên khơng đảm bảo tương đương phương trình ngẫu nhiên thay toán tử ngẫu nhiên toán tử Một câu hỏi đặt “Khi thay tốn tử ngẫu nhiên phương trình mà khơng làm thay đổi tập nghiệm phương trình ?” Định lý trả lời phần câu hỏi Định lý 2.1.11 Cho X không gian metric khả ly, Y khơng gian metric, f1 , f2 tốn tử ngẫu nhiên liên tục từ X vào Y chúng Khi đó, hai phương trình ngẫu nhiên f1 (ω, x) = η(ω) f2 (ω, x) = η(ω) tương đương Chứng minh Ta cần ξ nghiệm phương trình f1 (ω, x) = η(ω) nghiệm phương trình f2 (ω, x) = η(ω) Do tính khả ly X, tồn dãy (xn ) trù mật X Với xn , tồn tập Ωn có xác suất cho f1 (ω, xn ) = f2 (ω, xn ) ∀ω ∈ Ωn Đặt Ω01 = ∩∞ n=1 Ωn Rõ ràng, Ω01 có xác suất ta có f1 (ω, xn ) = f2 (ω, xn ) ∀ω ∈ Ω01 ∀n (2.8) Gọi Ω02 tập ω thỏa mãn f1 (ω, ξ(ω)) = η(ω) Khi đó, tập Ω0 = Ω01 ∩ Ω02 có xác suất Với ω cố định thuộc Ω0 , ta có f1 (ω, ξ(ω)) = η(ω) Do tính trù mật (xn ) X, nên tồn dãy (xnk ) hội tụ ξ(ω) Theo tính liên tục f1 f2 , nên lim fi (ω, xnk ) = fi (ω, ξ(ω)) (i = 1, 2) k→∞ (2.9) Từ (2.8) (2.9) ta suy f1 (ω, ξ(ω)) = f2 (ω, ξ(ω)) ∀ω ∈ Ω0 Do đó, f2 (ω, ξ(ω)) = η(ω) ∀ω ∈ Ω0 hay ξ nghiệm phương trình f2 (ω, x) = η(ω)  Trong phần tìm cách mở rộng phương trình (2.1) cho trường hợp tốn tử ngẫu nhiên đa trị Cho (Ω, A, P) không gian xác suất X, Y 30 không gian metric Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đơn trị f (ω, x) = g(ω, x) viết lại dạng tập hợp { f (ω, x)} ∩ {g(ω, x)} , ∅ Từ đó, ta dẫn đến định nghĩa sau: Định nghĩa 2.1.12 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị phương trình có dạng S (ω, x) ∩ T (ω, x) , ∅ (2.10) S , T : Ω × X → 2Y toán tử ngẫu nhiên đa trị (đã biết) từ X vào Y Với dãy toán tử ngẫu nhiên đa trị T n : Ω × X → 2Y , phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị phương trình có dạng ∩∞ n=1 T n (ω, x) , ∅ (2.11) Để đơn giản, ta gọi phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị phương trình ngẫu nhiên Định nghĩa 2.1.13 (a) Ta nói phương trình ngẫu nhiên (2.10) có nghiệm tất định với hầu hết ω tồn tập D có xác suất cho với ω ∈ D tồn phần tử u(ω) ∈ X cho S (ω, u(ω)) ∩ T (ω, u(ω)) , ∅ Khi đó, ta gọi u(ω) nghiệm tất định phương trình (2.10) (b) Ta nói phương trình ngẫu nhiên (2.10) có nghiệm ngẫu nhiên tồn biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X cho S (ω, ξ(ω)) ∩ T (ω, ξ(ω)) , ∅ h.c.c Khi đó, ta gọi ξ nghiệm ngẫu nhiên phương trình (2.10) Một cách tương tự, ta định nghĩa nghiệm ngẫu nhiên nghiệm tất định với hầu hết ω cho phương trình ngẫu nhiên (2.11) Như biết, Định lý 2.1.4, điều kiện đo toán tử ngẫu nhiên đảm bảo cho tương đương tồn nghiệm ngẫu nhiên với 31 tồn nghiệm tất định với hầu hết ω Trong trường hợp phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị, Định lý 2.1.14 sau điều kiện đo tốn tử ngẫu nhiên cịn ngun ý nghĩa Định lý 2.1.14 Cho X, Y không gian Polish S , T : Ω × X → C(Y) toán tử ngẫu nhiên đa trị đo Khi đó, phương trình ngẫu nhiên S (ω, x) ∩ T (ω, x) , ∅ có nghiệm ngẫu nhiên có nghiệm tất định với hầu hết ω Hơn nữa, cho T n : Ω × X → C(Y) toán tử ngẫu nhiên đa trị đo (n = 1, 2, ) Khi đó, phương trình ngẫu nhiên ∩∞ n=1 T n (ω, x) , ∅ có nghiệm ngẫu nhiên có nghiệm tất định với hầu hết ω Chứng minh Nếu phương trình (2.10) có nghiệm ngẫu nhiên ξ ξ(ω) nghiệm tất định (2.10) với hầu hết ω Ngược lại, giả sử (2.10) có nghiệm tất định với hầu hết ω Không giảm tổng qt ta coi phương trình (2.10) có nghiệm u(ω) với ω Xét ánh xạ F : Ω → 2X×Y xác định F(ω) = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ S (ω, x) ∩ T (ω, x)} Do phương trình (2.10) có nghiệm u(ω) với ω nên F(ω) khác rỗng với ω Ta F có đồ thị đo Gr(S ) = {(ω, x, y)| ω ∈ Ω, x ∈ X, y ∈ S (ω, x)} Gr(T ) = {(ω, x, y)| ω ∈ Ω, x ∈ X, y ∈ T (ω, x)} Gr(F) = {(ω, x, y)| ω ∈ Ω, x ∈ X, y ∈ S (ω, x) ∩ T (ω, x)} Do đó, Gr(F) = Gr(S ) ∩ Gr(T ) Từ Định lý 1.2.1 suy S T có đồ thị đo được, tức Gr(S ), Gr(T ) ∈ (A ⊗ B(X)) ⊗ B(Y) Do đó, Gr(F) ∈ (A ⊗ B(X)) ⊗ B(Y) = A ⊗ B(X × Y) 32 Theo Định lý 1.2.2, tồn hàm đo ξ : Ω → X ×Y cho ξ(ω) ∈ F(ω) h.c.c Đặt ξ(ω) = (ξ1 (ω), ξ2 (ω)) Ta có ξ2 (ω) ∈ S (ω, ξ1 (ω)) ∩ T (ω, ξ1 (ω)) h.c.c Do ξ đo nên ξ1 : Ω → X đo Từ suy ξ1 nghiệm ngẫu nhiên phương trình S (ω, x) ∩ T (ω, x) , ∅ Sử dụng lập luận tương tự nhận kết với T phương trình ∞  n=1 T n (ω, x) , ∅ Định lý 2.1.14 tính đo toán tử ngẫu nhiên S , T với tồn nghiệm tất định với hầu hết ω kéo theo tồn nghiệm ngẫu nhiên phương trình (2.10) Tuy nhiên, ví dụ 2.1.15 sau điều ngược lại không đúng, nghĩa điều kiện đo S T điều kiện đủ cho tồn nghiệm ngẫu nhiên phương trình (2.10) Ví dụ 2.1.15 Cho Ω = {0, 1}, A = {∅, Ω}, X = [0; 1], Y = [2; 3] T : Ω×X → C(Y) ánh xạ xác định T (0, x) = T (1, x) = Y với x ∈ X Lấy D tập X không tập Borel Ta xác định toán tử S : Ω × X → C(Y)      Y S (0, x) = S (1, x) =     {2} x ∈ D x ∈ X \ D Dễ dàng kiểm tra với x ∈ X cố định, ánh xạ đa trị ω 7→ S (ω, x) ω 7→ T (ω, x) A-đo Do đó, S T toán tử ngẫu nhiên đa trị Lấy tập mở B = (2; 3) Do S −1 (B) = {(ω, x)|S (ω, x) ∩ B , ∅} = Ω × D < A ⊗ B(X) nên S tốn tử ngẫu nhiên khơng đo Tuy nhiên, biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ xác định ξ(ω) = c với ω, c phần tử X, nghiệm ngẫu nhiên phương trình S (ω, x) ∩ T (ω, x) , ∅ Hệ 2.1.16 Cho X Y khơng gian Polish, T n : Ω × X → C(Y) toán tử ngẫu nhiên đa trị liên tục (n = 1, 2, ) Khi đó, phương trình ngẫu 33 nhiên T∞ n=1 T n (ω, x) , ∅ có nghiệm ngẫu nhiên có nghiệm tất định với hầu hết ω Chứng minh Theo Định lý 2.1.14, ta cần T : Ω× X → C(Y) tốn tử ngẫu nhiên đa trị liên tục T toán tử ngẫu nhiên đa trị đo Theo Định lý 1.2.1, để chứng minh tính đo T , ta chứng minh tính đo ánh xạ (ω, x) 7→ d(y, T (ω, x)) với y ∈ Y Xét ϕy : Ω × X → R ánh xạ xác định ϕy (ω, x) = d(y, T (ω, x)) Từ tính liên tục ánh xạ x 7→ T (ω, x) suy ánh xạ ϕy (ω, x) liên tục theo biến x Ta chứng minh tính đo ϕy (ω, x) theo ω Thật vậy, với x cố định, ω 7→ T (ω, x) ánh xạ đo nên theo Định lý 1.2.1 ánh xạ ω 7→ d(y, T (ω, x)) đo Do đó, ϕy ánh xạ liên tục theo biến x, đo theo biến ω hay nói cách khác ϕy tốn tử ngẫu nhiên liên tục Từ Định lý 1.2.13 suy ϕy tốn tử ngẫu nhiên đo Từ suy ánh xạ (ω, x) 7→ d(y, T (ω, x)) đo với y ∈ Y 2.2  Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị Khái niệm điểm bất động ngẫu nhiên mở rộng, ngẫu nhiên hóa khái niệm điểm bất động tốn tử tất định cho toán tử ngẫu nhiên Trong năm gần đây, toán điểm bất động ngẫu nhiên nhận quan tâm nhiều tác giả Phiên ngẫu nhiên nhiều định lý điểm bất động tiếng cho toán tử tất định chứng minh Một số tác H K Xu, K K Tan, X Z Yuan, N Shahzad đưa định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, khẳng định với số điều kiện hầu hết quỹ đạo toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên (chẳng hạn, xem [13]) Theo đó, với số số giả thiết, ngẫu nhiên hóa định lý điểm bất động cho ánh xạ tất định Tuy nhiên, điều kiện để ngẫu nhiên hóa định lý điểm bất động ánh xạ tất định mà tác giả trước đưa thường phức tạp, nhiều khó ví dụ toán tử ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện 34 Trong mục tiếp theo, chúng tơi trình bày kết toán điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Các kết toán điểm bất động toán tử ngẫu nhiên trường hợp đặc biệt phương trình tốn tử ngẫu nhiên mà trình bày mục Với điều kiện toán tử ngẫu nhiên đo xác định không gian Polish, quỹ đạo tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên Từ đó, nhận kết tác giả trước trường hợp đặc biệt Ngoài ra, khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên trình bày Với khái niệm đó, chúng tơi trình bày tốn tử ngẫu nhiên cách tồn cục (khơng theo quỹ đạo) Trong phần này, trình bày định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát cho toán tử ngẫu nhiên đơn trị Như minh họa cho định lý đó, phiên ngẫu nhiên số định lý điểm bất động cho toán tử tất định đưa Trong năm gần đây, toán điểm xấp xỉ tốt ánh xạ tất định hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều tác giả, nhiều kết tồn thuật tốn tìm điểm xấp xỉ tốt đưa Trong phần này, đưa khái niệm điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất, phiên ngẫu nhiên khái niệm điểm xấp xỉ tốt Dựa vào kết phương trình tốn tử ngẫu nhiên, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ để tốn tử ngẫu nhiên có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt Định nghĩa 2.2.1 Cho X khơng gian metric, C tập đóng X f : Ω × C → X tốn tử ngẫu nhiên (a) Ta nói với hầu hết ω, f (ω, ) có điểm bất động tồn tập D có xác suất cho với ω ∈ D ánh xạ tất định x 7→ f (ω, x) có điểm bất động (b) Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C gọi điểm bất động ngẫu nhiên f f (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) h.c.c Nếu tốn tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên ξ với hầu hết ω, 35 ξ(ω) điểm bất động toán tử tất định x 7→ f (ω, x) Do đó, tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên với hầu hết ω, quỹ đạo x 7→ f (ω, x) có điểm bất động tất định Tuy nhiên, ngược lại chưa Chẳng hạn, với f định nghĩa Ví dụ 2.1.3, với ω, u(ω) = ω điểm bất động tất định quỹ đạo x 7→ f (ω, x) Tuy nhiên tốn tử ngẫu nhiên f khơng có điểm bất động ngẫu nhiên, u(ω) = ω không ánh xạ đo với σ-đại số ví dụ Định nghĩa 2.2.2 Cho X khơng gian metric, C tập đóng X f, h : Ω × C → X tốn tử ngẫu nhiên (a) Ta nói với hầu hết ω, f (ω, ) h(ω, ) có điểm bất động chung tồn tập D có xác suất cho với ω ∈ D ánh xạ tất định x 7→ f (ω, x) x 7→ h(ω, x) có điểm bất động chung (b) Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C gọi điểm bất động ngẫu nhiên chung f h f (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) = h(ω, ξ(ω)) h.c.c Định lý sau cho điều kiện đủ để đảm bảo quỹ đạo toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tốn tử có điểm bất động ngẫu nhiên Định lý 2.2.3 Cho X không gian Polish, C tập đóng X f, h : Ω × C → X toán tử ngẫu nhiên đo Khi đó: (1) Tốn tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên với hầu hết ω, tốn tử tất định f (ω, ) có điểm bất động (2) Hai toán tử ngẫu nhiên f h có điểm bất động ngẫu nhiên chung với hầu hết ω, toán tử tất định f (ω, ) h(ω, ) có điểm bất động chung Chứng minh (1) Áp dụng Định lý 2.1.4 cho phương trình ngẫu nhiên f (ω, x) = g(ω, x), với g : Ω × C → X toán tử ngẫu nhiên xác định g(ω, x) = x với ω ∈ Ω, x ∈ C 36 (2) Áp dụng Định lý 2.1.14 cho phương trình ngẫu nhiên R(ω, x) ∩ S (ω, x) ∩ T (ω, x) , ∅, với R, S , T : Ω × C → C(X) tốn tử ngẫu nhiên đa trị xác định R(ω, x) = { f (ω, x)}, S (ω, x) = {x} T (ω, x) = {h(ω, x)} với ω ∈ Ω, x ∈ C  Đặc biệt, với toán tử ngẫu nhiên liên tục ta có: Hệ 2.2.4 Cho X khơng gian Polish, C tập đóng X f, h : Ω × C → X toán tử ngẫu nhiên liên tục Khi đó: (1) Tốn tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên với hầu hết ω, tốn tử tất định f (ω, ) có điểm bất động (2 ) Hai toán tử ngẫu nhiên f h có điểm bất động ngẫu nhiên chung với hầu hết ω, toán tử tất định f (ω, ) h(ω, ) có điểm bất động chung Chứng minh Vì f, h toán tử ngẫu nhiên liên tục nên từ Định lý 1.2.13 suy f, h toán tử ngẫu nhiên đo Theo Định lý 2.2.3 ta có điều phải chứng minh  Nhận xét 2.2.5 Khẳng định Định lý 2.2.3 mở rộng [13, Định lý 1], theo hướng loại bỏ bớt điều kiện không gian toán tử ngẫu nhiên f Theo Định lý 2.2.3, định lý điểm bất động cho toán tử tất định đơn trị sinh định lý điểm bất động ngẫu nhiên cho toán tử ngẫu nhiên đơn trị Các định lý điểm bất động ngẫu nhiên sau minh họa cho Định lý 2.2.3, chúng phiên ngẫu nhiên định lý điểm bất động cho toán tử tất định tương ứng Định lý 2.2.6 Cho X không gian Polish f : Ω × X → X tốn tử ngẫu nhiên đo thỏa mãn điều kiện co sau: Với ω ∈ Ω d( f (ω, x), f (ω, y)) ≤ α(ω) max{d(x, f (ω, x)), d(y, f (ω, y)} 37  +β(ω) max d(x, y), d(x, f (ω, x)), d(y, f (ω, y)), [d(x, f (ω, y)) + d(y, f (ω, x))] +γ(ω)[d(x, f (ω, y)) + d(y, f (ω, x)] với x, y ∈ X α, β, γ : Ω → (0; 1) ánh xạ thỏa mãn α(ω) + β(ω) + 2γ(ω) = với ω ∈ Ω Khi f có điểm bất động ngẫu nhiên Chứng minh Với ω, theo Định lý 1.3.2, f (ω, ) có điểm bất động Theo Định lý 2.2.3, f có điểm bất động ngẫu nhiên  Định lý 2.2.7 Cho K tập khác rỗng, compact lồi không gian Banach khả ly X; f, g : Ω × K → K toán tử ngẫu nhiên từ K vào K, f tốn tử liên tục, g tốn tử khơng giãn theo nghĩa: Với ω ta có kg(ω, x) − g(ω, y)k ≤ kx − yk với x, y ∈ K Nếu với ω ánh xạ f (ω, ) g(ω, ) giao hốn tốn tử ngẫu nhiên f g có điểm bất động ngẫu nhiên chung Chứng minh Với ω, theo Định lý 1.3.4, f (ω, ) g(ω, ) có điểm bất động chung z(ω) ∈ K Theo Định lý 2.2.3, toán tử ngẫu nhiên f g có điểm bất động ngẫu nhiên chung ξ = ξ(ω)  Trong phần lại mục này, trình bày khái niệm điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất, mở rộng khái niệm điểm bất động ngẫu nhiên phiên ngẫu nhiên khái niệm điểm xấp xỉ tốt giải tích tất định Các kết điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt tác giả công bố báo [4] Cho A, B hai tập đóng khác rỗng khơng gian metric (X, d) Với ánh xạ f : A → B nhìn chung ta có inf d(x, f (x)) ≥ d(A, B) x∈A Giả sử tồn x0 ∈ A cho d(x0 , f (x0 )) = d(A, B) Khi đó, x0 điểm xấp xỉ tốt ánh xạ f Nếu A ∩ B , ∅ d(A, B) = nên điểm xấp xỉ 38 tốt x0 trở thành điểm bất động f Như vậy, khái niệm điểm xấp xỉ tốt mở rộng khái niệm điểm bất động Bây đưa khái niệm điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt cho trường hợp toán tử ngẫu nhiên Định nghĩa 2.2.8 Cho A, B hai tập đóng khác rỗng khơng gian metric (X, d) f : Ω × A → B toán tử ngẫu nhiên từ A vào B Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → A gọi điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt toán tử f d(ξ(ω), f (ω, ξ(ω))) = d(A, B) h.c.c Tương tự trường hợp tất định, điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt toán tử ngẫu nhiên f trở thành điểm bất động ngẫu nhiên f A ∩ B , ∅ Nhìn chung, quỹ đạo tốn tử ngẫu nhiên f có điểm xấp xỉ tốt khơng kéo theo tốn tử ngẫu nhiên f có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt Định lý 2.2.9 sau cho điều kiện đủ để đảm bảo tồn điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt quỹ đạo tốn tử ngẫu nhiên có điểm xấp xỉ tốt Định lý 2.2.9 Cho A, B hai tập đóng khác rỗng khơng gian Polish X f : Ω × A → B tốn tử ngẫu nhiên đo Nếu tồn tập D có xác suất cho với ω ∈ D ánh xạ f (ω, ) : A → B có điểm xấp xỉ tốt tốn tử ngẫu nhiên f có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt Chứng minh Ta xác định ánh xạ ϕ : Ω × A → R theo công thức ϕ(ω, x) = d(x, f (ω, x)) với x ∈ A, ω ∈ Ω Do f toán tử ngẫu nhiên đo nên theo Bổ đề 1.2.3 ϕ toán tử ngẫu nhiên đo Do với ω ∈ D ánh xạ f (ω, ) : A → B có điểm xấp xỉ tốt nên phương trình ngẫu nhiên f (ω, x) = d(A, B) có nghiệm tất định với hầu hết ω Theo Định lý 2.1.4, tồn biến ngẫu nhiên ξ : Ω → A nghiệm ngẫu nhiên phương trình f (ω, x) = d(A, B); nghĩa d(ξ(ω), f (ω, ξ(ω))) = d(A, B) h.c.c Do vậy, ξ điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt toán tử ngẫu nhiên f  39 Hệ 2.2.10 Cho A, B hai tập đóng khác rỗng khơng gian Polish X f : Ω × A → B tốn tử ngẫu nhiên liên tục Nếu tồn tập D có xác suất cho với ω ∈ D ánh xạ f (ω, ) : A → B có điểm xấp xỉ tốt tốn tử ngẫu nhiên f có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt Chứng minh Vì f tốn tử ngẫu nhiên liên tục nên theo Định lý 1.2.13 f toán tử ngẫu nhiên đo Từ Định lý 2.2.9 ta có điều phải chứng minh  Sau đây, minh họa cho Định lý 2.2.9, ta đưa phiên ngẫu nhiên Định lý 1.3.11 Định lý 2.2.11 Cho A, B hai tập compact khác rỗng không gian Polish (X, d); f : Ω × A → B g : Ω × B → A toán tử ngẫu nhiên cho: Với ω ∈ Ω (1) ánh xạ tất định x 7→ f (ω, x) y 7→ g(ω, y) có tính co (2) với x ∈ A y ∈ B, d(x, y) > d(A, B) d( f (ω, x), g(ω, y)) < d(x, y) Khi đó, tốn tử ngẫu nhiên f g có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt Hơn nữa, với x0 cố định thuộc L0A (Ω), đặt x2n+1 = f (ω, x2n ), x2n = g(ω, x2n−1 ) (n ≥ 0) Khi đó, dãy biến ngẫu nhiên (x2n ) hội tụ h.c.c điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt f dãy biến ngẫu nhiên (x2n+1 ) hội tụ h.c.c điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt g Chứng minh Từ giả thiết suy f g toán tử ngẫu nhiên liên tục Với ω ∈ Ω, theo Định lý 1.3.11, ánh xạ x 7→ f (ω, x) y 7→ g(ω, y) có điểm xấp xỉ tốt Do đó, theo Hệ 2.2.10, tốn tử ngẫu nhiên f g có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt Theo Định lý 1.2.13, x2n x2n+1 biến ngẫu nhiên Với ω ∈ Ω, theo Định lý 1.3.11, dãy (x2n (ω)) hội tụ điểm xấp xỉ tốt f (ω, ), dãy 40 (x2n+1 (ω)) hội tụ điểm xấp xỉ tốt g(ω, ) Do đó, dãy biến ngẫu nhiên (x2n ) hội tụ h.c.c điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt f dãy biến ngẫu nhiên (x2n+1 ) hội tụ h.c.c điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt  g 41 Kết luận Luận văn “Một số kết điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị” tập trung vào việc trình bày nội dung sau: • Một số kết không gian xác suất: biến ngẫu nhiên, số dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Một số kết ánh xạ đa trị, toán tử ngẫu nhiên Một số kết điểm bất động tốn tử tất định • Đưa điều kiện đảm bảo phương trình ngẫu nhiên có nghiệm tất định với hầu hết ω có nghiệm ngẫu nhiên Trình bày số điều kiện đủ để phương trình ngẫu nhiên có nghiệm ngẫu nhiên • Định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng nhiều định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát tác giả trước Trình bày phiên ngẫu nhiên số định lý điểm bất động cho toán tử tất định 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, NXB ĐH Quốc gia HN Tiếng Anh [3] Anh T N (2010), "Random fixed points of probabilistic contractions and applications to random equations", Vietnam J Math 38 (2), pp 227–235 [4] Anh T N (2011), "Common random fixed points of random operators", submitted [5] Anh T N (2011), "Random equations and applications to general random fixed point theorems", New Zealand J Math 41, 17–24 [6] Bharucha Reid A T (1972), Random integral equations, Academic Press, New York and London [7] Hadzic O., Pap E (2001), Fixed point theory in probabilistic metric spaces, Kluwer Academic Publishers [8] Hans O (1957), "Random fixed point theorems", Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Function, and Random process (Liblice, 1956), Czechoslovak Acad Sci., Prague, pp 105–125 [9] Sehgal V M., Waters C (1984), "Some random fixed point theorems for condensing operators", Proc Amer Math Soc 90 (3), pp 425–429 43 [10] Tan K K., Yuan X Z (1993), "On deterministic and random fixed points", Proc Amer Math Soc 119 (3), pp 849–856 [11] Thang D H., Anh T N (2010), "On random equations and applications to random fixed point theorems," Random Oper Stoch Equ 18, pp 199– 212 [12] Thang D H., Anh T N (2010), "Some results on random equations", Vietnam J Math 38 (1), pp 35–44 [13] Xu H K (1990), "Some random fixed point theorems for condensing and nonexpansive operators", Proc Amer Math Soc 110 (2), pp 395–400 [14] Yuan X Z., Lou X., Li G (1996), "Random approximations and fixed point theorems", J Approx Theory, 84, pp 172–187 44