BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ NGỌC QUỲNH MỐI LIÊN HỆ ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC Chuyên ngành Hình học và Tôpô Mã số 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN S[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ NGỌC QUỲNH MỐI LIÊN HỆ ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHƠNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC Tai Lieu Chat Luong Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 62.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH SĨ ĐỨC QUANG HÀ NỘI, 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Lê Ngọc Quỳnh ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS TSKH Sĩ Đức Quang Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ tri ân lòng biết ơn sâu sắc đến người Thầy hết lòng dạy dỗ, giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến GS TSKH Đỗ Đức Thái giúp đỡ lời khuyên quý báu Giáo sư trình hồn thành luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thành viên seminar hình học phức Bộ mơn Hình học, Khoa Toán - Tin, đặc biệt TS Hà Hương Giang quan tâm giúp đỡ tận tình suốt thời gian tác giả học tập nghiên cứu Hà Nội Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, phòng Sau đại học phòng ban chức trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ mà tác giả nhận suốt trình học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ủy ban nhân dân tỉnh An Giang, Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, Ban chủ nhiệm mơn Tốn phịng ban chức trường Đại học An Giang anh chị, bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ Nghiên cứu sinh Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô phản biện dành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu cho luận án Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, người thân tin tưởng, thương yêu, động viên giúp đỡ tác giả vượt qua khó khăn suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU v MỞ ĐẦU 1 TỔNG QUAN 1.1 Sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính hai hàm phân hình có chung ảnh ngược cặp hàm nhỏ 1.2 Sự phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình trùng ảnh ngược họ siêu phẳng cố định với bội bị ngắt 1.3 Tính suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt 1.4 11 Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình trùng ảnh ngược họ siêu phẳng di động khơng tính bội 12 SỰ PHỤ THUỘC TỰA PHÂN TUYẾN TÍNH CỦA HAI HÀM PHÂN HÌNH CĨ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI CÁC CẶP HÀM NHỎ 16 2.1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình mặt phẳng phức 17 2.2 Hai hàm phân hình có chung ảnh ngược cặp hàm nhỏ 19 iv SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA BA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÙNG NHAU TRÊN ẢNH NGƯỢC CỦA HỌ SIÊU PHẲNG CỐ ĐỊNH VỚI BỘI BỊ NGẮT 35 3.1 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức 36 3.2 Sự phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình 42 TÍNH SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CẶP ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VỚI BỘI BỊ NGẮT 55 4.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 56 4.2 Tính suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình 60 SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÙNG NHAU TRÊN ẢNH NGƯỢC CỦA HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG KHƠNG TÍNH BỘI 71 5.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 72 5.2 Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình 74 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 85 NHỮNG CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 v MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong tồn luận án, ta thống số kí hiệu sau • PN (C): khơng gian xạ ảnh phức N − chiều • kzk = |z1 |2 + · · · + |zn |2 1/2 với z = (z1 , , zn ) ∈ Cn • B(r) := {z ∈ Cn : kzk < r} hình cầu mở bán kính r Cn • S(r) := {z ∈ Cn : kzk = r} mặt cầu bán kính r Cn √ −1 c • d = ∂ + ∂, d := (∂ − ∂): toán tử vi phân 4π • vn−1 := (ddc kzk2 )n−1 , σn := dc logkzk2 ∧ (ddc logkzk2 )n−1 : dạng vi phân • O(1): đại lượng bị chặn • O(r): đại lượng vô bé bậc với r r → +∞ • o(r): vơ bé bậc cao r r → +∞ • log+ r = max{log r, 0}, r > • “|| P ”: có nghĩa mệnh đề P với r ∈ [0, +∞) nằm tập R Borel E [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞ • ] S: lực lượng tập hợp S • Rf : Trường tất hàm phân hình nhỏ (tương ứng với hàm phân hình f ) C • R{ai }qi=1 : Trường nhỏ M (trường tất hàm phân hình Cn ) chứa C tất aik /ail với ail 6= = (ai0 : · · · : aiN ) (1 ≤ i ≤ q) ∗ ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) vi MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết Nevanlinna, hay thường gọi Lý thuyết phân bố giá trị, xây dựng R Nevanlinna [19] vào năm 1926 cho trường hợp hàm phân hình biến phức Sau báo ơng công bố, lý thuyết mở rộng nghiên cứu sâu sắc cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức nhiều nhà tốn học A Bloch, H Cartan, H J Weyles, L Ahlfors, W Stoll, J Noguchi số tác giả khác Cho đến nay, lý thuyết Nevanlinna trở thành lý thuyết quan trọng toán học thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới với nhiều kết đẹp đẽ sâu sắc công bố Những kết lý thuyết Nevanlinna ứng dụng việc nghiên cứu nhiều vấn đề hình học phức giúp cho việc hình thành lên nhiều hướng nghiên cứu nghiên cứu tính nhất, tính hữu hạn, phụ thuộc đại số tính suy biến đại số ánh xạ phân hình Đặc biệt, năm gần đây, H Fujimoto ([10], [11]), G Dethloff, Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang ([6], [7], [15], [23], [24], [36], [37], [40]), Z Chen Q Yan [3] nhiều tác giả khác thu kết quan trọng tính nhất, hữu hạn suy biến ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) với điều kiện ảnh ngược họ siêu phẳng Tuy nhiên, kết hầu hết liên quan đến tính hay hữu hạn ánh xạ phân hình cần điều kiện 2N + siêu phẳng Việc nghiên cứu mối liên hệ ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược siêu phẳng trường hợp số siêu phẳng (cố định di động) vấn đề cịn mẻ, có kết cơng bố Vì lí trên, lựa chọn đề tài “Mối liên hệ đại số ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức” Cụ thể, tập trung nghiên cứu mối quan hệ đại số ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C), đồng thời đưa kết suy biến đại số ánh xạ tích hai ánh xạ phân hình vào PN (C) Mục đích đối tượng nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu hàm phân hình mặt phẳng phức C đưa định lý phụ thuc ta phõn tuyn tớnh (ta Măobius) ca hai hm phân hình có chung ảnh ngược cặp hàm nhỏ Tiếp theo áp dụng lý thuyết Nevanlinna để nghiên cứu toán phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình nhiều biến vào không gian xạ ảnh phức dựa điều kiện đặt ảnh ngược họ siêu phẳng cố định di động cho trước Đối tượng nghiên cứu chúng tơi hàm phân hình C ánh xạ phân hình nhiều biến từ Cn vào không gian xạ ảnh PN (C) Phương pháp nghiên cứu Dựa sở phương pháp nghiên cứu kĩ thuật truyền thống hình học phức lý thuyết phân bố giá trị, cố gắng đề xuất kĩ thuật nhằm giải vấn đề đặt luận án Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm kết hiểu biết mối liên hệ đại số ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh phức Đồng thời, luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, phần kết luận kiến nghị, danh mục cơng trình khoa học nghiên cứu sinh liên quan đến luận án tài liệu tham khảo, luận án bao gồm năm chương: Chương I Tổng quan Chương II Sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính hai hàm phân hình có chung ảnh ngược cặp hàm nhỏ Chương III Sự phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình trùng ảnh ngược họ siêu phẳng cố định với bội bị ngắt Chương IV Tính suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt Chương V Sự phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình trùng ảnh ngược họ siêu phẳng di động khơng tính bội Luận án viết dựa báo, có cơng bố tạp chí International Journal of Mathematics, Kodai Mathematical Journal, Complex Variable and Elliptic Equation lại gửi đăng Chương TỔNG QUAN Năm 1926, R Nevanlinna hai hàm phân hình phân biệt khác f g mặt phẳng phức C khơng thể có ảnh ngược năm giá trị phân biệt Ngoài ra, hàm g biến đổi phân tuyến tính (tc l bin i Măobius) ca f nu chỳng cú ảnh ngược tính bội bốn giá trị phân biệt Hai kết gọi định lý năm điểm bốn điểm Nevanlinna Từ đó, việc tổng quát mở rộng kết nói cho trường hợp hàm phân hình C ánh xạ phân hình nhiều biến từ Cn vào PN (C) thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới với nhiều kết đẹp đẽ sâu sắc công bố 1.1 Sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính hai hàm phân hình có chung ảnh ngược cặp hàm nhỏ Mục đích luận án nghiên cứu hàm phân hình mặt phẳng phức C Từ việc nghiên cứu hai hàm phân hình có chung ảnh ngược “các giá trị hay cặp giá trị”, tác giả mở rộng thành hai hàm phân hình có chung ảnh ngược “các hàm nhỏ hay cặp hàm nhỏ” Trong chương này, quan tâm nghiên cứu trường hợp hai hàm phân hình có chung ảnh ngược cặp hàm phân hình nhỏ α m r, D (f ) = O(log+ T (r, f )) (α ∈ Zn+ ) f Định lý 4.1.3 (xem [38]) Cho f : Cn → PN (C) ánh xạ phân hình a1 , · · · , aq ∗ (q ≥ n + 2) q siêu phẳng di động "chậm" (so với f ) từ Cn vào PN (C) vị trí tổng 56 quát Giả sử f khơng suy biến tuyến tính R{ai }qi=1 Khi q X [N ] q N(fi ,ai ) (r) + o(T (r, f )) T (r, f ) ≤ || N +2 i=1 Ở đây, ánh xạ phân hình f = (f0 : · · · : fN ) gọi khơng suy biến tuyến tính R{ai }qi=1 hàm f0 , · · · , fN độc lập tuyến tính R{ai }qi=1 Cho V đa tạp xạ ảnh PN (C) Lấy hệ tọa độ (ω0 : · · · : ωN ) PN (C) Cho F ánh xạ phân hình từ Cn vào V với biểu diễn rút gọn F = (F0 : · · · : FN ) Kí hiệu M trường tất hàm phân hình Cn Định nghĩa 4.1.4 Ánh xạ phân hình F gọi suy biến đại số trường Q M tồn đa thức Q ∈ Q[ω0 , , ωN ] với biểu diễn X Q(z)(ω0 , , ωN ) = aI (z)ω I , I∈Id d số nguyên dương, Id = {(i0 , , iN ) ; ≤ ij ≤ d, PN j=0 ij = d}, aI ∈ Q iN với I = (i0 , , iN ), cho ω I = ω0i0 · · · ωN (i) Q(z)(F0 (z), , FN (z)) ≡ Cn , (ii) Tồn z0 ∈ Cn với Q(z0 )(ω0 , , ωN ) 6≡ V Cho f g hai ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) với biểu diễn f = (f0 : · · · : fN ) g = (g0 : · · · : gN ) −1 Ta xét PN (C) × PN (C) đa tạp xạ ảnh P(N +1) (C) phép nhúng Segre Khi ánh xạ f × g vào PN (C) × PN (C) suy biến đại số trường Q M tồn đa thức không tầm thường X Q(z)(ω0 , , ωN , ω00 , , ωN )= X aIJ (z)ω I ω 0J , +1 +1 I=(i0 , ,iN )∈ZN J=(j0 , ,jN )∈ZN + + i0 +···+iN =d j0 +···+jN =d0 d, d0 số nguyên dương, aIJ ∈ Q, cho Q(z)(f0 (z), , fN (z), g0 (z), , gN (z)) ≡ Tiếp theo, ta nhắc lại khái niệm hàm hữu tỉ với trọng ≤ d có biến đạo hàm logarit hàm đưa H Fujimoto [11] sau 57 Định nghĩa 4.1.5 Một đa thức Q( , Xjα , ) biến , Xjα , , j = 1, 2, α = (α1 , , αn ) với số nguyên khơng âm αl , có trọng d ˜ , t2 , ) := Q( , t|α| , ) Q(t j có bậc d theo biến t1 , t2 , Cho h1 , h2 , , hp hàm phân hình hữu hạn khác không Cn Theo định nghĩa hàm hữu tỉ có trọng ≤ d theo biến đạo hàm logarit hàm hj , có hàm phân hình khác khơng ϕ Cn có biểu diễn ϕ= P (· · · , Dα hj /hj , · · · ) Q(· · · , Dα hj /hj , · · · ) với đa thức P (· · · , X α , · · · ) Q(· · · , X α , · · · ) theo biến , Xjα , có trọng ≤ d Mệnh đề 4.1.6 (xem [11]) Giả sử h1 , h2 , , hp (p ≥ 2) hàm phân hình khác khơng Cn với h1 + h2 + · · · + hp = Khi đó, tập hợp {1, , p} có phân hoạch {1, , p} = J1 ∪ J2 ∪ · · · ∪ Jk , ]Jα ≥ với α, Jα ∩ Jβ = ∅ với α 6= β cho với α, P (i) i∈Jα hi = 0, (ii) hi0 /hi (i, i0 ∈ Jα ) hàm hữu tỉ theo biến đạo hàm logarit hàm hj với trọng ≤ D(p), D(p) số phụ thuộc vào p Cho I = {1, , q} Với ≤ s ≤ q, ta đặt Iq,s := {(i1 , , is ); ≤ i1 < i2 < · · · < is ≤ q} R Định nghĩa 4.1.7 Một quan hệ ∼ Iq,s gọi quan hệ tiền tương đương thỏa mãn; R (i) I ∼ I với I ∈ Iq,s , R R (ii) I ∼ J, J ∼ I 58 R Ta xét quan hệ tiền tương đương ∼ Iq,s Với I = (i1 , , is ) J = (j1 , , js ) thuộc Iq,s , ta đặt RI,J = δi1 + · · · + δis − δj1 − · · · − δjs ∈ Zq , i−th δi := (0, , 0, , , 0) ∈ Zq (1 ≤ i ≤ q) Ta kí hiệu R module R Zq sinh tất phần tử RI,J với I ∼ J Định nghĩa 4.1.8 (xem [11]) Với hai phần tử I J Iq,s , ta kí hiệu I ∼ J tồn số nguyên dương m cho mRI,J ∈ R Mệnh đề 4.1.9 (xem [11]) Có q số thực p1 , p2 , , pq thỏa điều kiện sau: (i) Với i = (i1 , , is ), J = (j1 , , js ) ∈ Iq,s , pi1 + · · · + pis = pj1 + · · · + pjs I ∼ J, (ii) Với ≤ i < j ≤ q, pi = pj có số ngun khác khơng m0 cho j−th i−th (0, , 0, m0 , 0, , 0, −m0 , 0, , 0) ∈ R Mệnh đề đại số sau cho H Fujimoto [11] Mệnh đề 4.1.10 (xem [11]) Cho G nhóm Abel không xoắn Cho số thực p1 , p2 , , pq thỏa điều kiện Mệnh đề 4.1.8 q phần tử g1 , , gq G Khi đó, pi = pj với i, j đó, ≤ i < j ≤ q, có số ngun dương m0 R I1 , J1 , , Ik0 , Jk0 ∈ Iq,s với Il ∼ Jl (1 ≤ l ≤ k0 ) cho (gi /gj ) m0 = k0 Y GIl /GJl , l=1 GI := gi1 · · · gis với I = (i1 , , is ) ∈ Iq,s , số k0 bị chặn số k(q) phụ thuộc vào q Ở đây, ta nhắc lại rằng, với (G, ) nhóm abel G gọi khơng xoắn phần tử đơn vị phần tử G có cấp hữu hạn 59 4.2 Tính suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình Từ kết H.Fujimoto [11], tổng quát mở rộng trường hợp siêu phẳng di động sau: Định lý 4.2.1 Giả sử f g hai ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) a1 , , a2N +2 siêu phẳng di động chậm (tương ứng với f ) PN (C) vị trí tổng qt Khi tồn số nguyên dương l0 (chỉ phụ thuộc vào N ) cho 0 , l0 ) (1 ≤ i ≤ 2N + 2) , l0 ) = min(ν(g,a min(ν(f,a i) i) +2 ánh xạ f × g vào PN (C) × PN (C) suy biến đại số R{ai }2N i=1 Để chứng minh Định lý 4.2.1, trước hết cần mệnh đề đại số sau Cho H1 , , H2N +1 (2N + 1) siêu phẳng PN (C) vị trí tổng quát cho Hi : xi0 ω0 + xi1 ω1 + · · · + xiN ωN = (1 ≤ i ≤ 2N + 1) Ta xét ánh xạ hữu tỉ Φ : PN (C) × PN (C) → P2N (C) sau: Với v = (v0 : v1 · · · : vN ), w = (w0 : w1 : · · · : wN ) ∈ PN (C), ta định nghĩa Φ(v, w) = (u1 : · · · : u2N +1 ) ∈ P2N (C) ui = xi0 v0 + xi1 v1 + · · · + xiN vN xi0 w0 + xi1 w1 + · · · + xiN wN Mệnh đề 4.2.2 (xem [11]) Ánh xạ Φ ánh xạ song hữu tỉ từ PN (C) × PN (C) vào P2N (C) Cho b1 , , b2N +1 (2N + 1) siêu phẳng di động PN (C) vị trí tổng quát với biểu diễn rút gọn bi = (bi0 : bi1 : · · · : biN ) (1 ≤ i ≤ 2N + 1) Cho f g hai ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fN ) g = (g0 : · · · : gN ) Ta định nghĩa hi = (f, bi )/(g, bi ) (1 ≤ i ≤ 2N + 1) hI = Q i∈I hi với tập I {1, , 2N + 1} Đặt I = {I = (i1 , , iN ) ; ≤ i1 < · · · < iN ≤ 2N + 1} 60 +1 Cho R{bi }2N trường nhỏ M chứa C {bil /bis ; bis 6≡ 0, ≤ i ≤ i=1 2N + 1, ≤ l, s ≤ N } +1 Mệnh đề 4.2.3 Nếu tồn hàm AI ∈ R{bi }2N (I ∈ I), không đồng thời i=1 không, cho X AI hI ≡ 0, I∈I +1 ánh xạ f × g vào PN (C) × PN (C) suy biến đại số R{bi }2N i=1 Chứng minh Bằng cách đổi hệ tọa độ PN (C), ta giả sử bi0 6≡ (1 ≤ i ≤ 2N + 1) Vì b1 , , b2N +1 vị trí tổng qt, ta có det(bij k )0≤j,k≤N 6≡ với ≤ i0 < · · · iN ≤ 2N + Do đó, ta đặt S= \ {z ∈ Cn ; AI (z) = 0} ∪ I∈I [ {z ∈ Cn ; det(bij k (z))0≤j,k≤N = 0} 1≤i0