BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— ĐỖ LÂN DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ HỆ VI PHÂN ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội 2016 Tai Lie[.]
Tai Lieu Chat Luong BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— ĐỖ LÂN DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ HỆ VI PHÂN ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— ĐỖ LÂN DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ HỆ VI PHÂN ĐA TRỊ TRONG KHƠNG GIAN VƠ HẠN CHIỀU Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Trần Đình Kế Hà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn PGS TS Trần Đình Kế Các kết phát biểu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Nghiên cứu sinh Đỗ Lân LỜI CẢM ƠN Luận án thực Bộ môn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo PGS TS Trần Đình Kế Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu khó khăn, vất vả thực thú vị có ý nghĩa Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phịng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn- Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt thầy giáo, cô giáo Bộ môn Giải tích ln giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Thủy Lợi, đồng nghiệp Bộ mơn Tốn học, Khoa Công nghệ thông tin, Trường Đại học Thủy lợi giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM 15 1.2 LÍ THUYẾT NỬA NHĨM 16 1.2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trường hợp đặc biệt 16 1.2.2 Nửa nhóm tích phân 19 1.3 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG ĐỘ ĐO 23 1.4 ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ ĐA TRỊ 28 1.5 TẬP HÚT TOÀN CỤC CHO NỬA DÒNG ĐA TRỊ 30 1.6 GIẢI TÍCH BẬC PHÂN SỐ 31 1.6.1 Đạo hàm tích phân bậc phân số 31 1.6.2 Cơng thức nghiệm cho tốn với phương trình vi phân bậc phân số 32 Chương DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BAO HÀM THỨC VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH 35 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 35 2.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN 36 2.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC 44 2.4 ÁP DỤNG 50 2.4.1 Bao hàm thức miền bị chặn 50 2.4.2 Bao hàm thức miền không bị chặn 52 Chương NGHIỆM ĐỐI TUẦN HOÀN CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH 56 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 56 3.2 SỰ TỒN TẠI CỦA LỚP NGHIỆM ĐỐI TUẦN HOÀN 56 3.3 ÁP DỤNG 68 3.3.1 Ví dụ 68 3.3.2 Ví dụ 70 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU CỦA HỆ VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ NỬA TUYẾN TÍNH 73 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 73 4.2 KHÔNG GIAN HÀM VÀ ĐỘ ĐO 74 4.3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TRÊN NỬA TRỤC 78 4.4 TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU 90 4.5 ÁP DỤNG 93 4.6 TRƯỜNG HỢP BÀI TOÁN ĐƠN TRỊ 100 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 108 TÀI LIỆU THAM KHẢO 109 MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Thuật ngữ hệ vi phân đa trị dùng để toán với bao hàm thức vi phân phương trình vi phân (đạo hàm riêng) mà tính nghiệm bị phá vỡ Các hệ vi phân đa trị khơng mơ hình tổng qt phương trình vi phân mà cịn xuất phát từ nhiều tốn quan trọng, kể đến toán điều khiển phản hồi đa trị, tốn quy hóa phương trình vi phân với phần phi tuyến không liên tục, bất đẳng thức vi biến phân Nghiên cứu dáng điệu nghiệm bao hàm thức tiến hóa phạm vi luận án bao gồm câu hỏi tính ổn định (hoặc ổn định yếu) nghiệm, tồn tập hút hệ động lực sinh tập nghiệm lớp nghiệm đặc biệt (nghiệm đối tuần hoàn, nghiệm phân rã) Các bao hàm thức tiến hóa khơng gian hữu hạn chiều nghiên cứu từ sớm Các kết tính giải cấu trúc tập nghiệm trình bày cách hệ thống sách chuyên khảo [9, 32] Tiếp theo đó, bao hàm thức tiến hóa khơng gian Banach tổng quát ứng dụng trở thành chủ đề nghiên cứu có tính thời thập kỷ qua Các sách chuyên khảo theo hướng kể đến [42, 72] Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm vấn đề trung tâm lí thuyết định tính phương trình vi tích phân Cơng cụ để nghiên cứu dáng điệu nghiệm hệ vi phân (đạo hàm riêng) đa dạng tùy theo đặc trưng hệ Đối với phương trình vi phân thường, lí thuyết ổn định Lyapunov công cụ hữu hiệu để giải vấn đề Ngoài ra, số phương pháp khác phương pháp so sánh (xem [58]), phương pháp điểm bất động (xem [19]) sử dụng Trong đó, để nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình đạo hàm riêng, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút toàn cục (xem [27]) Các kết với lược đồ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ vi phân thường phương trình đạo hàm riêng phát triển cho bao hàm thức vi phân Do tính chất khơng nghiệm toán Cauchy ứng với bao hàm thức tiến hóa, lí thuyết ổn định Lyapunov khơng khả dụng việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm dừng Đối với bao hàm thức tiến hóa không gian hữu hạn chiều, khái niệm ổn định yếu đề xuất Filippov năm 1988 (xem [36]) phương pháp hàm Lyapunov cải tiến để chứng minh tính ổn định yếu cho bao hàm thức tiến hóa trình bày [2] Đối với bao hàm thức tiến hóa khơng gian vơ hạn chiều, cách tiếp cận thường sử dụng lí thuyết tập hút Trong vài thập kỷ trở lại đây, lí thuyết tập hút tồn cục phát triển mạnh mẽ thu nhiều kết có tính hệ thống (xem tài liệu chuyên khảo [65]) Đối với hệ vi phân đa trị, lí thuyết tập hút tương đối hoàn thiện với nhiều lược đồ nghiên cứu Trong đáng ý lí thuyết tập hút tồn cục cho nửa dịng đa trị giới thiệu Melnik Valero năm 1998 (xem [52]) với lí thuyết nửa dịng suy rộng Ball [11, 12] Những đánh giá, so sánh hai phương pháp Caraballo phân tích [22] Ngồi cịn có lí thuyết hút quỹ đạo phát triển Chepyzov Vishik năm 1997 (xem [28]), công cụ hữu hiệu để nghiên cứu dáng điệu nghiệm hệ đạo hàm riêng mà tính nghiệm khơng bảo đảm Tiếp sau lí thuyết tập hút lùi, tập hút cho hệ động lực đa trị xây dựng để làm việc với hệ vi phân không ô-tô-nôm (xem [23, 24, 53]) Đặc biệt, năm 2014-2015, cải tiến đáng kể cho lí thuyết tập hút cơng bố cơng trình [30, 41] Những kết tập trung vào việc giảm nhẹ điều kiện tính liên tục đưa tiêu chuẩn compact tiệm cận cho nửa nhóm/nửa trình dựa độ đo khơng compact Tuy nhiên tiêu chuẩn áp dụng cho hệ vi phân hàm cịn gặp phải nhiều khó khăn mặt kỹ thuật khơng gian pha tương ứng có cấu trúc phức tạp Trong luận án này, sử dụng lược đồ Melnik Valero, nghiên cứu tồn tập hút tồn cục cho nửa dịng đa trị sinh lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính u′ (t) ∈ Au(t) + F (u(t), ut ), u(s) = φ(s), t ≥ 0, s ∈ [−h, 0], (1) (2) u hàm nhận giá trị không gian Banach X, ut hàm trễ, tức ut (s) = u(t + s) với s ∈ [−h, 0], F hàm đa trị xác định tập X × C([−h, 0]; X) A : D(A) ⊂ X → X tốn tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida xác định không trù mật, tức D(A) ̸= X Như đề cập [71], nhiều tốn nửa tuyến tính, thành phần phi tuyến nhận giá trị nằm ngồi D(A) Khi ta cần phải nghiên cứu trường hợp mà tốn tử A khơng xác định trù mật Ta tìm thấy [31] mơ hình cụ thể với tốn tử A xác định khơng trù mật Với giả thiết tốn tử A xác định không trù mật thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida, có số nghiên cứu tính giải tính ổn định nghiệm tốn dạng (1)-(2) Cụ thể, kết cho trường hợp F hàm đơn trị có [1, 4, 35, 71] Trong trường hợp bao hàm thức, kể đến kết [26, 59] Các kết tồn tập hút toàn cục cho lớp toán (1)-(2) chưa biết đến nhiều Trong trường hợp F hàm đơn trị, điều kiện tồn tập hút toàn cục nghiên cứu [76] (với trễ hữu hạn) [18] (với trễ vô hạn) Trong nghiên cứu này, tác giả đặt hai điều kiện sau • nửa nhóm sinh phần tuyến tính D(A) compact; • hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz Khi nghiên cứu lớp tốn này, chúng tơi cố gắng giảm nhẹ hai điều kiện kể trường hợp trễ hữu hạn Cụ thể, S ′ (·) không compact, giả thiết F thỏa mãn điều kiện quy biểu diễn độ đo khơng compact, điều kiện thỏa mãn F = F1 + F2 với F1 hàm đơn trị có tính chất Lipschitz F2 đa trị compact Trong vài thập kỷ trở lại đây, phương trình/bao hàm thức tiến hóa bậc phân số thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu ứng dụng chúng việc mô tả tượng khoa học, kỹ thuật Các phương trình vi phân bậc phân số dùng để mơ tả tốn nhiều lĩnh vực, ví dụ tốn lưu biến học, mạng điện, điện hóa học Chi tiết hơn, ta xem tài liệu chuyên khảo Miller Ross [54], Podlubny [64], Kilbas cộng [44] Gần đây, tính ứng dụng đạo hàm bậc phân số mơ hình hóa đồng thời với phát triển giải tích bậc phân số, nhiều hệ vi phân bậc nguyên mở rộng thành mơ hình bậc phân số Theo hướng phát triển này, ta kể tới kết tiêu biểu [57, 83, 84] Trong luận án, bên cạnh lớp bao hàm thức tiến hóa bậc nhất, nghiên cứu lớp bao hàm thức tiến hóa bậc phân số α ∈ (0, 1) với mục tiêu tìm điều kiện chấp nhận cho tính ổn định nghiệm dừng Tuy nhiên với phương trình/bao hàm thức tiến hóa bậc phân số, cách tiếp cận lí thuyết tập hút lại khơng khả dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm tốn tử nghiệm khơng có tính chất kiểu nửa nhóm Hơn nữa, với bao hàm thức tiến hóa bậc phân số, khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov khơng thể áp dụng Do đó, chúng tơi đưa khái niệm Ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường nghiên cứu dáng điệu tiệm cận lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số có xung, với điều kiện khơng 97 Bây giờ, ta đánh giá χ(F (t, V, W )) với V ⊂ ℓ2 , W ⊂ C([−h, 0]; ℓ2 ) tập bị chặn Ta có sup (v,w)∈V ×V ∥Rn [f1 (t, v, w)]∥ = sup (v,w)∈V ×V 21 ∑[ ] |vi |2 + |wi (−ρ(0))|2 |i|>n [ ≤ m(t) sup (v,w)∈V ×V [ ≤ m(t) sup v∈V [ |f1i (t, vi , wi (−ρ(0)))|2 |i|>n ≤ m(t) ∑ 21 ∑ 21 |vi |2 + |i|>n ∑ ∑ 21 |vi |2 + sup w∈W |i|>n 21 |wi (−ρ(0))|2 |i|>n ∑ 21 |wi (−ρ(0))|2 |i|>n ] = m(t) sup ∥Rn (v)∥ + sup ∥Rn (w(−ρ(0)))∥ v∈V w∈W Qua giới hạn bất đẳng thức cuối cùng, ta [ ] χ(f1 (t, V, W )) ≤ m(t) χ(V ) + χ(W (−ρ(0))) [ ] ≤ m(t) χ(V ) + sup χ(W (s)) s∈[−h,0] lí luận tương tự cho f2 , ta có [ χ(f2 (t, V, W )) ≤ m(t) χ(V ) + ] sup χ(W (s)) s∈[−h,0] Ta có F (t, V, W ) ⊂ co{f1 (t, V, W ) ∪ f2 (t, V, W )}, nên χ(F (t, V, W )) ≤ χ (f1 (t, V, W ) ∪ f2 (t, V, W )) ≤ max{χ (f1 (t, V, W )) , χ (f2 (t, V, W ))} [ ] ≤ m(t) χ(V ) + sup χ(W (s)) s∈[−h,0] ] ] 98 Như (F)(4) thỏa mãn (F*) thỏa mãn với k = m Ta xét Ik : ℓ2 → ℓ2 , k ∈ N, xác định Ik (v) = (Iik (vi ))i∈Z Từ tính liên tục Iik suy tính liên tục Ik Hơn nữa, từ (N2) ta có ( ) 12 ( ) 12 ∑ ∑ ∥Ik (v)∥ = |Iik (vi )|2 ≤ lk |vi |2 i∈Z i∈Z = lk ∥v∥ Do (I)(1) thỏa mãn Với V ⊂ ℓ2 tập bị chặn Ta có 21 ∑ sup ∥Rn (Ik (v))∥ = sup |Iik (vi )|2 v∈V v∈V |i|>n ≤ lk sup v∈V ∑ 21 |vi |2 = lk sup ∥Rn (v)∥ v∈V |i|>n Qua giới hạn bất đẳng thức cuối n → +∞, ta thu χ(Ik (V )) ≤ lk χ(V ) Như vậy, giả thiết (I) thỏa mãn với µk = lk , k ∈ N, với điều kiện inf{tk+1 − tk : k ∈ N} > Đối với điều kiện không cục bộ, xét hàm g : P C0 → C([−h, 0]; ℓ2 ) xác định (g(u)(s))i = N ∑ cj ui (τj + s) j=1 Từ ta có, với u, v ∈ P C0 , ∥g(u)(s) − g(v)(s)∥ ≤ N ∑ |cj |∥u(τj + s) − v(τj + s)∥ j=1 ≤ N ∑ j=1 |cj | sup t∈[−h,τN ] ∥u(t) − v(t)∥ 99 Điều kéo theo N ∑ ∥g(u) − g(v)∥h ≤ |cj | ∥u − v∥P C([−h,τN ];ℓ2 ) j=1 Bất đẳng thức cuối cho ta N ∑ ∥g(u)∥h ≤ |cj | ∥u∥∞ , j=1 N ∑ χh (g(D)) ≤ |cj | χP C (πT (D)), T = τN , j=1 N ∑ ≤ |cj | χ∞ (D) j=1 Do (G*) thỏa mãn với η = ν = ∑N j=1 |cj | Cuối cùng, ta đưa ước lượng cho tích phân ∫ t I(t) = (t − s)α−1 ∥Pα (t − s)∥m(s)ds Chú ý trường hợp ∥etA ∥ ≤ 1, ∥Pα (t)∥ ≤ Γ(α) , ∀t ≥ Vậy (∫ t ∫ ) (t − s) (t − s) ds + ds α+1 α+1 t 1+s + s (( ) ) ∫ t α−1 ∫ 2t Cm t ds ≤ + (t − s)α−1 ds ( t )α+1 α+1 t Γ(α) + s 1+ 2 ( ) Cm ≤ J(t) + , Γ(α) α I(t) ≤ Cm Γ(α) α−1 t α−1 ( )α−1 ∫ t t ds J(t) = α+1 1+s Do lim J(t) = lim J(t) = 0, t→0 t→+∞ 100 ta có supt>0 J(t) < ∞, supt>0 I(t) < ∞ Từ điều kiện (4.30)-(4.31) thỏa mãn với hệ số Cm , lk , cj nhỏ, ta thu tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm không hệ (4.32)-(4.35) 4.6 TRƯỜNG HỢP BÀI TOÁN ĐƠN TRỊ Trong mục này, ta xét trường hợp đặc biệt tốn (4.1)-(4.3), hàm F hàm đơn trị, ký hiệu f Khi đó, tốn trở thành C D0α u(t) = Au(t) + f (t, u(t), ut ), t ̸= tk , tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ, (4.36) ∆u(tk ) = Ik (u(tk )), (4.37) u(s) + g(u)(s) = φ(s), s ∈ [−h, 0] (4.38) Đối với toán đơn trị này, ta chứng minh tồn nghiệm phân rã u ∈ PC với điều kiện: (Aa) Nửa nhóm W (·) sinh A liên tục theo chuẩn ổn định mũ, tức tồn β > cho ∥W (t)x∥ ≤ MA e−βt ∥x∥, ∀t ≥ 0, x ∈ X (Fa) f (·, v, w) đo với v ∈ X, f (t, ·, ·) liên tục hầu khắp t ∈ R+ , f (t, 0, 0) = 0, tồn k ∈ Lp (R+ ), p > α thỏa mãn ||f (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 )|| ≤ k(t)(||v1 − v2 || + ||w1 − w2 ||h ), t ∈ R+ , với v1 , v2 ∈ X, w1 , w2 ∈ C([−h, 0]; X) (Ga) g hàm liên tục thỏa mãn g(0) = tồn số không âm η để ||g(w1 ) − g(w2 )||h ≤ η||w1 − w2 ||∞ , với w1 , w2 ∈ PC 101 ( Ia ) Ik , k ∈ Λ, liên tục, Ik (0) = tồn dãy {µk }, k ∈ Λ thỏa mãn ||Ik (x) − Ik (y)|| ≤ µk ||x − y||, với x, y ∈ X Xét tốn tử nghiệm F khơng gian PC , áp dụng nguyên lí ánh xạ co Banach, ta có định lí sau tồn nghiệm phân rã toán (4.36)-(4.38) Định lí 4.4 Giả sử (A), (Fa), (Ga), (Ia) (R) thỏa mãn Khi đó, tốn (4.36)-(4.38) có nghiệm u ∈ PC , với điều kiện ∫ t ( ∑ ) (t − s)α−1 ∥Pα (t − s)∥k(s)ds < η+ µk MA + sup t≥0 k∈Λ (4.39) Chứng minh Để chứng minh định lí này, sử dụng nguyên lí ánh xạ co Banach Đầu tiên, ta chứng minh F giữ bất động PC Ở đây, ta gọi F(u)(t) = Sα (t)[φ(0) − g(u)(0)] + ∑ Sα (t − tk )Ik (u(tk )) 0 Ta chứng minh F(u) ∈ PC , tức là, F(u)(t) → 0, t → +∞ Với ϵ > cho trước, tồn T1 > mà ||u(t)|| ≤ ϵ, ∀t > T1 , (4.40) ||ut ||h = (4.41) Mặt khác, từ giả thiết sup ||u(t + τ )|| ≤ ϵ, ∀t > T1 + h τ ∈[−h,0] ∑ µk < +∞, tồn N0 ∈ N thỏa mãn k∈Λ ∑ k>N0 µk ≤ ϵ 102 Do đó, với t > 0, ||F(u)(t)|| ≤ ||Sα (t)||(||φ||h + ||g(u)||h ) ∑ + ||Sα (t − tk )|| ||Ik (u(tk ))|| k≤N0 + ∑ ||Sα (t − tk )|| ||Ik (u(tk ))|| k>N0 ∫ t (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| ||f (s, u(s))||ds + ≤ ||Sα (t)||(||φ||h + ηR) ∑ ∑ +R ||Sα (t − tk )|| µk + RMA µk ∫ k≤N0 k>N0 t (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s) (||u(s)|| + ||us ||h )ds + = E1 (t) + E2 (t) + E3 (t) E1 (t) = ||Sα (t)||(||φ||h + ηR), ∑ ∑ E2 (t) = R ||Sα (t − tk )|| µk + RMA µk , ∫ k≤N0 k>N0 t (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s) (||u(s)|| + ||us ||h )ds E3 (t) = Từ giả thiết (Aa), tồn T2 > thỏa mãn ||Sα (t)|| ≤ ϵ, ||Pα (t)|| ≤ ϵ, ∀t > T2 , E1 (t) ≤ (1 + η)Rϵ, ∀t > T2 (4.42) Ngồi ra, ta có E2 (t) ≤ ( ∑ k≤N0 ) µk + MA Rϵ, ∀t > T2 + tN0 (4.43) 103 Bây giờ, ta xét E3 (t), với t > T1 + h ta có ( ∫ T1 +h ∫ t ) E3 (t) = + (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s) (||u(s)|| + ||us ||h )ds T1 +h ∫ T1 +h ≤ 2R ∫ (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds t (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds + 2ϵ T1 +h Vì vậy, ∫ T1 +h E3 (t) ≤ 2Rϵ ∫ (t − s)α−1 k(s)ds t (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds + 2ϵ T1 +h với t > T2 + T1 + h Khi ú, ỏp dng bt ng thc Hăolder, ta cú ( ∫ T1 +h )1/p′ ( ∫ T1 +h )1/p (α−1)p′ p E3 (t) ≤ 2Rϵ (t − s) (k(s)) ds ds 0 ∫ t + 2ϵ (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds ( T1 +h ) ≤ 2RCα (t) ||k||Lp (R+ ) + ϵ với t > T2 + T1 + h, p′ = { Cα (t) = (4.44) p , p−1 [ ]}1/p (α−1)p′ +1 (α−1)p′ +1 t − (t − T1 − h) , (α − 1)p′ + ′ đến đây, ta sử dụng tính chất ∫ t (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds < T1 +h từ (4.39) Kết hợp (4.42), (4.43) (4.44) cho ta ||F(u)(t)|| ≤ Cϵ với t > max{T2 + T1 + h, T2 + tN0 }, ) ( ∑ µk + MA R + 2RCα (t) ||k||Lp (R+ ) + C = (1 + η)R + k≤N0 ≤ (1 + η)R + (∑ k∈Λ ) µk + MA R + 2RCα (t) ||k||Lp (R+ ) + 104 ′ ,p < , ta thấy < (α − 1)p′ + < Từ α 1−α ′ [ ( ′ ′ ′ T1 + h )(α−1)p +1 ] t(α−1)p +1 − (t − T1 − h)(α−1)p +1 = t(α−1)p +1 − − t Với Cα (t), từ p > ′ ∼ [(α − 1)p′ + 1](T1 + h)t(α−1)p t → ∞ Do Cα (t) bị chặn, C bị chặn Từ suy F(PC ) ⊂ PC Nhiệm vụ lại chứng minh F ánh xạ co Thật vậy, với u, v ∈ PC , ta có ||F(u)(t) − F (v)(t)|| ≤ ||Sα (t)|| ||g(u) − g(v)||h ∑ + ||Sα (t − tk )|| ||Ik (u(tk )) − Ik (v(tk ))|| 0