Một số mối liên hệ giữa iđêan đơn thức và đồ thị

Tai Lieu Chat Luong VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC ĐỖ TRỌNG HỒNG MỘT SỐ MỐI LIÊN HỆ GIỮA IĐÊAN ĐƠN THỨC VÀ ĐỒ THỊ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC ĐỖ TRỌNG HỒNG MỘT SỐ MỐI LIÊN HỆ GIỮA IĐÊAN ĐƠN THỨC VÀ ĐỒ THỊ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: GS.TSKH Lê Tuấn Hoa Hà Nội - 2015 Tóm tắt Cho S = k[x1 , , xn ] vành đa thức n biến trường k Cho G đồ thị đơn tập đỉnh {x1 , , xn } tập cạnh E(G) Iđêan sinh đơn thức bậc hai khơng chứa bình phương liên kết với đồ thị G sau: I(G) = (xi xj |xi xj ∈ E(G)) ⊆ S gọi iđêan cạnh G Đồ thị G gọi Cohen-Macaulay (tương ứng Gorenstein) S/I(G) Cohen-Macaulay (tương ứng Gorenstein) Luận án nghiên cứu tính Cohen-Macaulay Gorenstein iđêan cạnh lũy thừa Đầu tiên, luận án đưa số kết cấu trúc số lớp đồ thị Tiếp theo, luận án đưa đặc trưng cho tính Cohen-Macaulay iđêan cạnh đồ thị có độ vịng lớn 5, tính Gorenstein iđêan cạnh đồ thị không chứa tam giác Dựa vào đặc trưng này, luận án đưa đặc trưng cho tính Cohen-Macaulay lũy thừa thứ hai bão hòa lũy thừa thứ hai iđêan cạnh Luận án chia thành bốn chương Trong Chương 1, giới thiệu mối quan hệ iđêan đơn thức phức đơn hình; nghiên cứu tính chất phức đơn hình Gorenstein để sử dụng cho chương sau; trình bày cơng thức Takayama cơng cụ chương sau Trong Chương 2, chúng tơi nghiên cứu cấu trúc số lớp đồ thị: Đồ thị phủ tốt, lớp đồ thị W2 , đồ thị có phân tích đỉnh, lớp PC , lớp SQC Trong Chương 3, đặc trưng đồ thị Cohen-Macaulay với độ vòng lớn đồ thị Gorenstein không chứa tam giác Trong Chương 4, chúng tơi đưa đặc trưng cho tính CohenMacaulay lũy thừa tượng trưng thứ hai iđêan cạnh từ thiết lập đặc trưng túy tổ hợp cho lũy thừa thứ hai bão hòa chúng Abstract Let S = k[x1 , , xn ] be a polynomial ring in n variables over field k Let G be a simple graph with vertex set {x1 , , xn } and edge set E(G) The squarefree monomial ideal I(G) = (xi xj |xi xj ∈ E(G)) ⊆ S is called the edge ideal of G We say that G is Cohen-Macaulay (resp Gorenstein) if S/I(G) is Cohen-Macaulay (resp Gorenstein) The aim of this thesis is to study the Cohen-Macaulay and Gorenstein properties of edge ideals and their powers To this, I first provide some results on the structure of some graph classes Next, I classify all Cohen-Macaulay graphs of girth at least and all triangle-free Gorenstein graphs Using this classification, I give a characterization for Cohen-Macaulay property of the second power of edge ideals and their saturations Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Đỗ Trọng Hoàng Lời cám ơn Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy tơi, GS TSKH Lê Tuấn Hoa Thầy dạy cho kiến thức, kinh nghiệm nghiên cứu quan tâm giúp đỡ mặt Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng sâu sắc đến Thầy Lê Tuấn Hoa Tác giả xin chân thành cám ơn TS Trần Nam Trung, vừa đồng tác giả nhiều báo vừa người Thầy hướng dẫn thứ hai tác giả Tác giả xin chân thành cám ơn TS Nguyễn Công Minh, đồng tác giả khác, người giúp đỡ cho tác giả nhiều thời gian đầu làm nghiên cứu sinh Tác giả trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Trung tâm đào tạo sau đại học phòng chức tạo điều kiện tốt giúp tác giả học tập nghiên cứu Viện Toán học Đặc biệt tác giả chân thành cám ơn GS TSKH Ngô Việt Trung GS TSKH Nguyễn Tự Cường tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tham gia sinh hoạt khoa học phòng Đại số Viện Toán học Một phần Luận án hình thành thời gian ba tháng tác giả làm việc Viện Nghiên cứu cao cấp Tốn theo chương trình Đại số giao hốn năm học 2012 - 2013 Trong trình học tập xa nhà, tác giả nhận giúp đỡ động viên nghiên cứu sinh Hồng Ngọc Bình, Nguyễn Đại Dương, Hà Thị Thu Hiền, Đỗ Việt Hùng, Phạm Duy Khánh, TS Lê Xuân Dũng, TS Trần Giang Nam Tác giả xin chân thành cám ơn Cuối tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến Bố, Mẹ, hai Em gái Vợ tác giả, người yêu thương mong mỏi tác giả ngày tiến Tác giả Đỗ Trọng Hoàng Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành Cohen-Macaulay vành Gorenstein 1.2 Iđêan đơn thức khơng chứa bình phương 1.3 Công thức Takayama 15 Cấu trúc số lớp đồ thị 19 2.1 Đồ thị phủ tốt 19 2.2 Lớp đồ thị W2 23 2.3 Đồ thị có phân tích đỉnh 35 Đồ thị Cohen-Macaulay Gorenstein 43 3.1 Tổng quan đồ thị Cohen-Macaulay Gorenstein 43 3.2 Đồ thị Cohen-Macaulay 46 3.3 Đồ thị Gorenstein không chứa tam giác 49 Tính Cohen-Macaulay lũy thừa iđêan cạnh 58 4.1 Lũy thừa tượng trưng thứ hai 58 4.2 Lũy thừa thứ hai bão hịa 63 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 74 Bảng thuật ngữ 79 Bảng kí hiệu 80 Mở đầu Mối quan hệ hai chuyên ngành Đại số giao hoán Lý thuyết tổ hợp biết từ lâu Năm 1975, Stanley vận dụng kết Đại số giao hoán để giải giả thuyết chặn cho mặt cầu tồn 10 năm Chứng minh ông dựa vào đặc trưng Reisner tính Cohen-Macaulay iđêan sinh đơn thức khơng chứa bình phương thơng qua tính triệt tiêu nhóm đồng điều đơn hình rút gọn Cho G đồ thị đơn tập đỉnh {x1 , , xn } tập cạnh E(G) Một iđêan liên kết với đồ thị G sau: I(G) = (xi xj |xi xj ∈ E(G)) ⊆ S := k[x1 , , xn ] gọi iđêan cạnh đồ thị G Mỗi iđêan tương ứng một-một với iđêan sinh đơn thức bậc hai không chứa bình phương Đồ thị G gọi Cohen-Macaulay (tương ứng, Gorenstein) (trên k ) I(G) iđêan Cohen-Macaulay (tương ứng, Gorenstein) k Để nghiên cứu tính Cohen-Macaulay Gorenstein I(G), áp dụng tiêu chuẩn Reisner (Bổ đề 1.2.3) Stanley (Bổ đề 1.2.6) Tuy nhiên, trường hợp phức đơn hình liên kết với I(G) phức tạp, nhiều trường hợp khơng thể đọc tính chất I(G) từ đồ thị G Do đó, mục đích luận án nghiên cứu toán sau: Bài toán 1: Tìm đặc trưng cho tính Cohen-Macaulay Gorenstein I(G) dựa vào cấu trúc G ? Năm 1990, Villarreal [53] giải tốn cho tính CohenMacaulay đồ thị Vào năm 2005, Herzog Hibi [18] giải tốn cho tính Cohen-Macaulay Gorenstein đồ thị hai phần Trường hợp đồ thị dây cung giải Herzog, Hibi Zheng [19] vào năm 2006 Gần đây, Vander Meulen, Van Tuyl Watt [51] xét toán cho đồ thị gọi vòng tròn Nhìn chung, tính Cohen-Macaulay đồ thị khơng phụ thuộc vào cấu trúc đồ thị mà phụ thuộc vào đặc số trường sở [54, Exercise 5.3.31] Điều có nghĩa giải toán cho số lớp đồ thị Trong luận án này, chúng tơi tìm lớp đồ thị mà tốn có lời giải Độ vịng G , kí hiệu girth(G), độ dài chu trình nhỏ G Nếu G khơng chứa chu trình, ta quy ước girth(G) vô Kết luận án đặc trưng hồn tồn tính Cohen-Macaulay cho đồ thị có độ vịng lớn (Định lý 3.2.4) Kết liên quan đến lớp đồ thị quen biết lý thuyết tổ hợp như: đồ thị phủ tốt, đồ thị có phân tích đỉnh, lớp PC lớp SQC Đối với tính Gorenstein, đưa đặc trưng cho lớp đồ thị không chứa tam giác (Định lý 3.3.8) Đặc trưng túy tổ hợp Để giải thích chúng tơi tập trung đến lớp đồ thị này, xây dựng đồ thị có 182 đỉnh mà tính Gorenstein khơng phụ thuộc vào G mà cịn phụ thuộc vào trường sở (Mệnh đề 3.3.2) Mục đích luận án giải toán sau: Bài tốn 2: Tìm đặc trưng cho tính Cohen-Macaulay I(G)2 dựa vào cấu trúc G Thực ra, toán đặt cách tổng quát cho lũy thừa thứ m iđêan sinh đơn thức khơng chứa bình phương Có nhiều nhà toán học quan tâm đến vấn đề như: Cowsik Nori [3]; Rinaldo, Terai Yoshida [39, 40]; N.C.Minh N.V.Trung [30, 31]; N.Terai N.V.Trung [48]; Cuối cùng, [48], N.Terai N.V.Trung giải hoàn tồn vấn đề với m ≥ Vấn đề lại trường hợp m = Kết hợp kết N.C.Minh N.V.Trung [31] Rinaldo, Terai Yoshida [39], có tiêu chuẩn để kiểm tra tính Cohen-Macaulay lũy thừa thứ hai iđêan đơn thức khơng chứa bình phương Tuy nhiên, tiêu chuẩn phức tạp chưa túy tổ hợp Do đó, người ta muốn có tiêu chuẩn dể kiểm tra Chúng bắt đầu với trường hợp iđêan sinh đơn thức bậc hai khơng chứa bình phương Mỗi iđêan tương ứng với đồ thị đơn Đó lý mà chúng tơi muốn tập trung giải tốn Việc nghiên cứu tính Cohen-Macaulay lũy thừa thứ hai iđêan đơn thức khơng chứa bình phương cịn liên quan đến tính Gorenstein iđêan Vấn đề liên quan đến giả thuyết Vasconcelos [52, Conjecture (B)] Năm 2011, Rinaldo, Terai Yoshida [39, Lemma 2.3] đưa kết luận trường hợp iđêan cạnh I(G)2 Cohen-Macaulay với trường k G đồ thị Gorenstein Một câu hỏi tự nhiên họ đưa [39, Question 2.8] cố định trường k từ điều kiện I(G)2 Cohen-Macaulay có suy G Gorenstein hay khơng? Đây lí chúng tơi cho việc nghiên cứu tính Gorenstein I(G) tốn Chúng tơi tính Cohen-Macaulay I(G)2 tương đương với đồ thị G Gorenstein không chứa tam giác (Định lý 4.2.9) Hơn nữa, dựa vào kết phân loại đồ thị Gorenstein tốn 1, chúng tơi kết luận tính Cohen-Macaulay I(G)2 đặc trưng túy tổ hợp Chúng xét tốn tương tự với bão hịa lũy thừa thứ m iđêan đơn thức khơng chứa bình phương Với m ≥ 3, tính CohenMacaulay tương đương với tính Cohen-Macaulay lũy thừa thứ hai (Mệnh đề 4.2.2) Tuy nhiên, điều khơng cịn m = Cũng trường hợp lũy thừa thơng thường thứ hai, tốn sau xuất cách tự nhiên: ^2 Bài tốn 3: Tìm đặc trưng tổ hợp cho tính Cohen-Macaulay I(G) dựa vào G Với tốn này, chúng tơi đưa đặc trưng túy tổ hợp ^2 (Định lý 4.2.13) Đặc trưng nói cho tính Cohen-Macaulay I(G) ^2 Cohen-Macaulay G không chứa tam giác I(G) địa phương, α-tới hạn thuộc lớp đồ thị W2 Cùng với đặc trưng tính Cohen-Macaulay I(G)2 Định lý 4.2.9 chúng tơi xây ^2 Cohen-Macaulay, I(G)2 khơng dựng ví dụ cho I(G) Trong mục này, đưa điều kiện cần đủ hoàn toàn ^2 dựa cấu trúc G cho tính Cohen-Macaulay I(G)2 I(G) Trên sở giải câu hỏi nêu cho trường hợp iđêan cạnh Trước hết, từ Định lý 4.2.4 ta có kết sau: Hệ 4.2.7 (hoặc xem [41, Lemma 5.8, Theorem 5.9] [40, Lemma 3.10]) Cho G đồ thị Khi đó, I(G)2 = I(G)(2) G không chứa tam giác Hệ 4.2.8 Cho G đồ thị Khi đó, I(G)2 Cohen-Macaulay G không chứa tam giác, Cohen-Macaulay Gab Cohen-Macaulay với α(Gab ) = α(G) − với ab ∈ E(G) Chứng minh Theo Chú ý 4.2.3(1), I(G)2 Cohen-Macaulay I(G)(2) Cohen-Macaulay I(G)2 = I(G)(2) Theo Định lý 4.1.5 Bổ đề 4.2.7, hệ chứng minh Bây chứng minh định lý mục Định lý 4.2.9 Giả sử G đồ thị không chứa đỉnh cô lập với |V | ≥ Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) I(G)2 Cohen-Macaulay; (2) G đồ thị Gorenstein không chứa tam giác; (3) G đồ thị thuộc lớp W2 không chứa tam giác Chứng minh (2) ⇐⇒ (3): theo Định lý 3.3.8 (1) =⇒ (2): Nếu I(G)2 Cohen-Macaulay, theo Hệ 4.2.8, G Cohen-Macaulay, không chứa tam giác Gab Cohen-Macaulay với α(Gab ) = α(G) − Theo Bổ đề 3.1.1, đồ thị Cohen-Macaulay phủ tốt Do đó, theo Định lý 2.2.8, G ∈ W2 Theo Định lý 3.3.8, G Gorenstein (2) =⇒ (1): Vì G Gorenstein, nên theo Hệ 4.2.8 ta cần chứng minh Gab Cohen-Macaulay α(Gab ) = α(G)−1 với ab ∈ E(G) 66 Theo Bổ đề 3.3.5, G ∈ W2 Với ab ∈ E(G), theo Bổ đề 2.2.8 ta có Gab phủ tốt α(Gab ) = α(G) − Đặt A := NG (a)\{b} Vì G khơng chứa tam giác, nên A tập độc lập Gb Chú ý Gab = Gb \A, ∆(Gab ) = ∆(Gb \A) = ∆(Gb )\A Theo Chú ý 3.3.3, Gb Gorenstein Theo Hệ 1.2.10, ∆(Gb )\A Cohen-Macaulay Vì Gab CohenMacaulay Áp dụng định lý trên, chúng tơi phân loại tính Cohen-Macaulay lũy thừa thứ hai iđêan liên kết với đồ thị phẳng trình bày cuối Chương Hệ 4.2.10 Cho G đồ thị phẳng, liên thông Khi đó, khẳng định sau tương đương: (1) I(G)2 Cohen-Macaulay; (2) G đồ thị Gorenstein không chứa tam giác; (3) G ∈ {K1 } ∪ {Gn |n ≥ 1}, Gn cho Hình 3.4 Chứng minh (1) ⇐⇒ (2): theo Định lý 4.2.9(1)⇔(2) (2) ⇐⇒ (3): theo Hệ 3.3.10 Chú ý rằng, Rinaldo, Terai Yoshida [39, Conjecture 5.7] đưa giả thuyết I(Gn )2 Cohen-Macaulay với số nguyên n ≥ Hệ câu trả lời cho giả thuyết ^2 Ta Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu tính Cohen-Macaulay I(G) có ý sau: Chú ý 4.2.11 (1) Trong trường hợp I∆ = I(G), điều kiện (2) Mệnh đề 4.2.5 tương đương với G đồ thị không chứa tam giác địa phương ^2 Cohen-Macaulay G đồ thị Cohen(2) Iđêan I(G) Macaulay, không chứa tam giác địa phương, Gab Cohen-Macaulay với α(Gab ) = α(G) − với ab ∈ E(G) 67 ^2 Cohen-Macaulay Chứng minh Theo Chú ý 4.2.3(2), I(G) ^2 = I(G)(2) I(G)(2) Cohen-Macaulay Hơn nữa, theo (1) I(G) Định lý 4.1.5, ta có khẳng định (2) Bổ đề 4.2.12 Giả sử G đồ thị không chứa tam giác địa phương, α-tới hạn, thuộc W2 α(G) > Khi đó, G Gorenstein Chứng minh Nếu G khơng liên thơng, tính chất khơng chứa tam giác địa phương suy G đồ thị không chứa tam giác Theo Định lý 3.3.8, G Gorenstein Bây giả sử G liên thông Lấy v ∈ V Theo giả thiết Bổ đề 2.2.5, Gv không chứa tam giác thuộc W2 Theo Định lý 3.3.8, Gv Gorenstein Nói cách khác, G Gorenstein địa phương Vì G ∈ W2 , theo Chú ý 2.2.4(2), Gv không chứa đỉnh cô lập Theo Chú ý 2.1.4(2) (3), ∆(Gv ) = core ∆(Gv ) lk∆(G) (v) = ∆(Gv ) Theo Bổ đề 1.2.6, lk∆(G) (v) phức Euler Vì G phủ tốt, nên theo Chú ý 2.1.4(5), ∆ := ∆(G) Vì vậy, ∆ phức nửa-Euler Theo [50, Lemma 2.5], ta có e(∆) = (−1)dim ∆ (1 + χ e(∆(G|NG (x) )), với x ∈ V χ (4.1) Theo Định lý 2.2.11, Gab phủ tốt α(Gab ) = α(G)−1 với ab ∈ E(G) Theo Mệnh đề 2.2.14, tồn a ∈ V cho G|NG (a) hoàn toàn rời rạc e(∆(G|NG (a) )) = Do đó, ∆(G|NG (a) ) đơn hình Điều dẫn đến χ e(∆) = (−1)dim ∆ Kết hợp Thay x = a vào phương trình (4.1), ta χ với kết luận ∆ phức nửa-Euler, ta suy ∆ phức Euler Theo Chú ý 2.2.4(2) Chú ý 2.1.4(2), core ∆ = ∆ Để hoàn tất chứng minh bổ đề, theo Bổ đề 1.2.6, ta cần chứng minh G đồ thị Cohen-Macaulay Theo việc chọn đỉnh trên, ta có NG (a) tập độc lập e i (∆; k) = với i < dim(∆) Do đó, theo G Theo Bổ đề 3.3.7, H Chú ý 3.2.1, ∆ Cohen-Macaulay Bây chứng minh kết thứ hai mục 68 Định lý 4.2.13 Cho G đồ thị không chứa đỉnh lập cho α(G) > Khi đó, điều kiện sau tương đương: ^2 Cohen-Macaulay; (1) I(G) (2) G đồ thị không chứa tam giác địa phương, α-tới hạn Gorenstein; (3) G đồ thị không chứa tam giác địa phương, α-tới hạn thuộc W2 ; (4) G đồ thị không chứa tam giác địa phương, Gab phủ tốt với α(Gab ) = α(G) − với ab ∈ E(G) Chứng minh (3) ⇐⇒ (4): theo Định lý 2.2.11 (3) =⇒ (2): theo Bổ đề 4.2.12 (2) =⇒ (3): theo Bổ đề 3.3.5 (1) =⇒ (4): Theo Chú ý 4.2.11(2) Bổ đề 3.1.1, ta hoàn thành chứng minh (3) =⇒ (1): Lấy ab ∈ E(G) Theo Định lý 2.2.11, Gab phủ tốt α(Gab ) = α(G) − ≥ Áp dụng (3)⇒(2), G Cohen-Macaulay Do đó, theo Chú ý 4.2.11(2), ta cần phải chứng minh Gab Cohen-Macaulay Chú ý Gab 6= ∅ Lấy x ∈ V (Gab ) Theo giả thiết Bổ đề 2.2.5, Gx không chứa tam giác thuộc W2 Theo Định lý 4.2.9(3)⇒(1), I(Gx )2 Cohen-Macaulay Vì x ∈ V (Gab ), nên ab ∈ E(Gx ) (Gab )x = (Gx )ab Theo Hệ 4.2.8, (Gab )x Cohen-Macaulay Vì x chọn tùy ý, nên Gab đồ thị Cohen-Macaulay địa phương Lấy A := NG (a)\NG [b] Khi đó, V (Gb ) = A ∪ V (Gab ) Do đó, ∆(Gab ) = ∆(Gb )\A ∆(Gb )|A = ∆(G|A ) Theo Bổ đề 2.2.12(1), G|A có đỉnh lập Vì vậy, theo Chú ý 2.1.4(1), ∆(Gb )|A nón Nhắc lại, Gb khơng chứa tam giác thuộc lớp W2 , nên theo Định lý 4.2.9(3)⇒(2), Gb Gorenstein Theo Chú ý 2.2.4(2), Gb không chứa đỉnh lập Do đó, theo fi (∆(Gab ); k) = Chú ý 2.1.4(2), ∆(Gb ) = core ∆(Gb ) Theo Bổ đề 1.2.9, H với i < dim ∆(Gab ) Do đó, theo Chú ý 3.2.1, Gab Cohen-Macaulay 69 Chú ý 4.2.14 Điều kiện α(G) ≥ định lý cần thiết Thật vậy, α(G) = G = Kn đồ thị đầy đủ với n ≥ Do đó, G Cohen-Macaulay Hơn nữa, G Gorenstein n = Ta kiểm tra G thỏa mãn điều kiện (3) Định lý 4.2.13 Với ab ∈ E(G), Gab = ∅ α(Gab ) = Theo Định lý 4.1.5, I(G)(2) ^2 không trộn lẫn, nên I(G) ^2 = I(G)(2) Vì vậy, Cohen-Macaulay Vì I(G) ^2 Cohen-Macaulay Do đó, điều kiện (1), (3) (4) Định I(G) lý 4.2.13 tương đương, không suy (2) ^2 Cohen-Macaulay Ta biết rằng, I(G)2 Cohen-Macaulay, I(G) Cùng với đặc trưng tính Cohen-Macaulay I(G)2 Định lý 4.2.9, ^2 Cohen-Macaulay, chúng tơi xây dựng ví dụ cho I(G) I(G)2 khơng Cohen-Macaulay (xem Ví dụ 4.2.15(1)) Ví dụ 4.2.15 (1) Cho G đồ thị gồm đỉnh Hình 4.2 Vì G chứa tam giác, nên theo Hệ 4.2.8, I(G)2 không Cohen-Macaulay Mặt khác, với v ∈ V , Gv ngũ giác hợp rời hai cạnh Do đó, G khơng chứa tam giác địa phương Hơn nữa, ta kiểm tra ^2 G α-tới hạn thuộc lớp W2 Vì vậy, theo Định lý 4.2.13, I(G) Cohen-Macaulay Hình 4.2 (2) Chúng ta khơng thể bỏ điều kiện α-tới hạn điều kiện (2) (3) Định lý 4.2.13 Thật vậy, cho khối hai mươi mặt P với tập đỉnh V = {x1 , , x12 } Hình 4.3 Gọi ∆ phức đơn hình với mặt cực đại tam giác P Ta có ∆ tam giác phân mặt cầu hai chiều S2 Theo [42, Corollary 5.2], I∆ Gorenstein Gọi G đồ thị với tập 70 đỉnh V xi xj ∈ E(G) xi xj không nằm mặt P Khi đó, I∆ = I(G) G đồ thị Gorenstein khơng chứa đỉnh cô lập Hơn nữa, với v ∈ V , Gv ngũ giác Điều có nghĩa G đồ thị không chứa tam giác địa phương Ta kiểm tra x1 x7 ∈ E(G) ^2 không α-tới hạn α(Gx x ) = < = α(G) Theo Định lý 4.2.13, I(G) khơng Cohen-Macaulay x1 x1 x7 x7 Phức đơn hình ∆ Đồ thị G nhận cách lấy đỉnh ∆ nối với tất đỉnh không kề với Hình 4.3 71 Kết luận Trong luận án thu kết sau đây: (1) Đưa số kết cấu trúc số lớp đồ thị: đồ thị phủ tốt, lớp đồ thị W2 , đồ thị có phân tích đỉnh (2) Đặc trưng đồ thị Cohen-Macaulay với độ vòng lớn (3) Đặc trưng đồ thị Gorenstein không chứa tam giác (4) Đưa đặc trưng cho tính Cohen-Macaulay lũy thừa tượng trưng thứ hai iđêan cạnh Từ kết đó, thiết lập đặc trưng túy tổ hợp cho tính Cohen-Macaulay lũy thừa thứ hai bão hòa chúng 72 Các cơng trình liên quan đến luận án D T Hoang, N C Minh and T N Trung, Combinatorial characterzations of the Cohen-Macaulayness of the second power of edge ideals, Journal of Combinatorial Theory, Series A , 120 (2013), no 5, 1073-1086 D T Hoang, N C Minh and T N Trung, Cohen-Macaulay graphs with large girth, Journal of Algebra and Its Applications, 14 (2015), no 7, 16 pages D T Hoang and T N Trung, A characterization of triangle-free Gorenstein graphs and Cohen-Macaulayness of second powers of edge ideals, Journal of Algebraic Combinatorics (to appear) DOI: 10.1007/ s10801-015-0631-0 D T Hoang, Cohen-Macaulayness of saturation of the second powers of edge ideals, Vietnam Journal of Mathematics (to appear) Các kết luận án tác giả báo cáo Xêmina phòng Đại số - Viện Toán học Hà Nội Hội nghị Nghiên cứu sinh Viện Toán học, 10/2012; 10/2013; 10/2014 Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Thái Nguyên 11/2011; Tuần Châu 12/2014 Hội thảo liên kết Nhật Bản - Việt Nam Đại số giao hoán lần thứ 7, Quy Nhơn 12/2011 Đại hội Tốn học tồn quốc, Nha Trang 8/2013 73 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] L T Hoa, Chỉ số quy Castelnouvo-Mumford ứng dụng, Luận án Tiến sĩ Khoa học, Trung tâm KHTN Công Nghệ Quốc gia, 1995 [2] N D Tân, Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB ĐHQG Hà Nội, 2003 Tiếng Anh [3] R C Cowsik and M V Nori, Fibers of blowing up, J Indian Math Soc 40 (1976), 217-222 [4] M Crupi, G Rinaldo, and N Terai, Cohen-Macaulay edge ideal whose height is half of the number of vertices, Nagoya Math J 201 (2011), 117-131 [5] K Baclawski, Cohen-Macaulay connectivity and geometric lattices, European J Combinatorics (1982), 293-305 [6] J.-C Bermond, F Comellas, and D F Hsu, Distributed loop computer networks: A survey, J Parallel Distrib Comput 24 (1995), no 1, 2-10 [7] A Bjăorner, Topological Methods, Handbook of Combinatorics , R Graham, M Grăotschel and L Lovỏsz, (Eds), North-Holland, Amsterdam, 1995, 1819-1872 [8] J Browder, Face numbers of certain Cohen-Macaulay flag complexes, SIAM J Discrete Math Vol 25 (2011), No 4, 1768-1777 [9] J Browder, and R Hoshino, Independence polynomials of circulants with an application to music, Discrete Math 309 (2009), 2292-2304 [10] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 39, Cambridge University Press, Cambridge, 1993 74 [11] R Diestel, Graph theory, 2nd Edition, Springer: Berlin/Heidelberg/New York/Tokyo, 2000 [12] M Estrada and R H Villarreal, Cohen-Macaulay bipartite graphs, Arch Math 68 (1997), no 2, 124-128 [13] A Finbow, B Hartnell and R J Nowakowski, A characterization of well covered graphs of girth or greater, J Combin Theory Ser B, 57 (1993), 44-68 [14] A Finbow, B Hartnell and R J Nowakowski, A characterization of well covered graphs that contain neither 4- nor 5-cycles, J Graph Theory, 18 (1994), no 7, 713-721 [15] C A Francisco and A Van Tuyl, Sequentially Cohen-Macaulay edge ideals, Proc Amer Math Soc 135 (2007), no 8, 2327-2337 [16] D H Giang and L T Hoa, On local cohomology of a tetrahedral curve, Acta Math Vietnam., 35 (2010), 229-241 [17] J Herzog and T Hibi, Monmial ideals, Graduate Texts in Mathematics 260, Springer-Verlag, 2011 [18] J Herzog and T Hibi, Distributive lattices, bipartite graphs and Alexander duality, J Algebraic Combin 22 (2005), no 3, 289-302 [19] J Herzog, T Hibi and X Zheng, Cohen-Macaulay chordal graphs, J Combin Theory Ser A, 113 (2006), no 5, 911-916 [20] J Herzog, Y Takayama and N Terai, On the radical of a monomial ideal, Arch Math 85 (2005), 397-408 [21] T Hibi, Buchsbaum complexes with linear resolutions, J Algebra 179 (1996), 127-136 [22] T Hibi, Union and glueing of a family of Cohen–Macaulay partially ordered sets, Nagoya Math J 107 (1987), 91-119 75 [23] D T Hoang, N C Minh and T N Trung, Combinatorial characterzations of the Cohen-Macaulayness of the second power of edge ideals, J Combin Theory Ser A, 120 (2013), no.5, 1073-1086 [24] D T Hoang, N C Minh and T N Trung, Cohen-Macaulay graphs with large girth, J Algebra and its Applications, 14 (2015), no 7, 16 pages [25] D T Hoang and T N Trung, A characterization of triangle-free Gorenstein graphs and Cohen-Macaulayness of second powers of edge ideals, Journal of Algebraic Combinatorics (to appear) DOI: 10.1007/s10801015-0631-0 [26] D T Hoang, Cohen-Macaulayness of saturation of the second powers of edge ideals, Vietnam Journal of Mathematics (to appear) [27] F Lutz, Triangulated manifolds with few vertices: Combinatorial manifolds, arXive:math/0506372, 2008 [28] http://mathoverflow.net/questions/180666/flag-complexes-that-areshellable-but-not-vertex-decomposable [29] E Miller and B Sturmfels, Combinatorial commutative algebra, Springer, 2005 [30] N C Minh and N V Trung, Cohen-Macaulayness of powers of twodimensional squarefree monomial ideals, J Algebra 322 (2009), 42194227 [31] N C Minh and N V Trung, Cohen-Macaulayness of monomial ideals and symbolic powers of Stanley-Reisner ideals, Adv Mathematics 226 (2011), 1285-306 [32] S Morey and R Villarreal, Edge ideals: algebraic and combinatorial properties, Progress in commutative algebra 1, de Gruyter, Berlin (2012), 85–126 76 [33] J R Munkres, Elements of algebraic topology, Addison-Wesley, 1984 [34] M R Pinter, A class of planar well-covered graphs with girth four, J Graph Theory, 19 (1995), no 1, 69-81 [35] M R Pinter, A class of well-covered graphs with girth four, Ars Combin 45 (1997), 241-255 [36] M D Plummer, Well-covered graphs: a survey, Quaestiones Math 16 (1993), no 3, 253-287 [37] B Randerath and L Volkmann, A characterization of well covered block-cactus graphs, Australas J Combin (1994), 307-314 [38] G Reisner, Cohen-Macaulay quotients of polynomial rings, Adv Mathematics 21 (1976), 30-49 [39] G Rinaldo, N Terai and K Yoshida, On the second powers of StanleyReisner ideals, J Commut Algebra (2011), no 3, 405-430 [40] G Rinaldo, N Terai and K Yoshida, Cohen-Macaulayness for symbolic power ideals of edge ideals, J Algebra 347 (2011), 1-22 [41] A Simis, W Vasconcelos and R H Villarreal, On the ideal theory of graphs, J Algebra, 167 (1994), 389-416 [42] R Stanley, Combinatorics and commutative algebra, Edition, Birkhăauser, 1996 [43] R Stanley, Enumerative combinatorics, Volume 1, Cambridge University Press 1997 [44] J W Staples, On some subclasses of well-covered graphs, Vanderbilt Univ Dept of Math Ph.D thesis, August, 1975 [45] J W Staples, On some subclasses of well-covered graphs, J Graph Theory (1979), 197-204 77 [46] S Sullivant, Combinatorial symbolic powers, J Algebra 319 (2008) , 115-142 [47] Y Takayama, Combinatorial characterizations of generalized CohenMacaulay monomial ideals, Bull Math Soc Sci Math Roumanie (N.S.) 48 (2005), 327-344 [48] N Terai and N V Trung, Cohen-Macaulayness of large powers of Stanley-Reisner ideals, Adv Mathematics 229 (2012), 711-730 [49] N Terai and K Yoshida, Locally complete intersection Stanley-Reisner ideals, Illinois J Math 53 (2009), 413-429 [50] T N Trung, A characterization of planar Gorenstein graph, submitted [51] K N Vander Meulen, A Van Tuyl, and C Watt, Cohen-Macaulay circulant graphs, Comm Algebra 42 (2014), no 5, 1896-1910 [52] W V Vasconcelos, Koszul homology and the structure of low codimension Cohen-Macaulay ideals, Trans Amer Math Soc 301 (1987), 591-613 [53] R Villarreal, Cohen-Macaulay graphs, Manuscripta Math 66 (1990), no 3, 277-293 [54] R Villarreal, Monomial Algebras, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics Vol 238, Marcel Dekker, New York, 2001 [55] D W Walkup, The lower bound conjecture for 3- and 4-manifolds, Acta Math 125 (1970), 75-107 [56] R Woodroofe, Vertex decomposable graphs and obstructions to shellability, Proc Amer Math Soc 137 (2009), no 10, 3235-3246 [57] R Woodroofe, Chordal and sequentially Cohen-Macaulay clutters, Electron J Combin 18 (2011), no 1, paper 208, 20 pp 78 Bảng thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh cạnh treo chia nhỏ trọng tâm chu trình Cohen-Macaulay địa phương dây cung đồ thị có phân tích đỉnh đồ thị dây cung đồ thị đơn hình đồ thị phẳng đồ thị vịng tròn độ vòng đường giao đầy đủ địa phương Gorenstein địa phương hoàn toàn rời rạc iđêan đơn thức khơng chứa bình phương khơng chứa tam giác khơng chứa tam giác địa phương phủ tốt phức độc lập phức tam giác phân thực hình học pendant edge tree barycentric subdivision cycle locally Cohen-Macaulay chord vertex-decomposable graph chordal graph simplicial graph planar graph circulant graph girth path locally complete intersection locally Gorenstein totally disconnected 36 44 50 20 46 45 35 45 37 56 46 43 20 63 51 32 squarefree ideal triangle-free locally triangle-free well-covered independence complex pure complex triangulation geometric realization 20 27 20 19 10 50 50 79 Trang Bảng kí hiệu Kí hiệu Tên gọi Trang lk∆ (F ) st∆ (F ) ei I(G) I∆ e(∆) χ e i (∆; k) H Hmi (M ) α(G) NG (S) NG [S] G(I) G|S GS degG (x) |∆| sd(∆) ∆(G) ∆a core V core ∆ phức nối (link) F ∆ phức (star) F ∆ vectơ đơn vị thứ i iđêan cạnh liên kết với đồ thị G iđêan Stanley-Reisner liên kết với phức đơn hình ∆ đặc trưng Euler rút gọn ∆ đồng điều đơn hình rút gọn thứ i ∆ đối đồng điều địa phương thứ i M với giá m số độc lập G lân cận tập đỉnh S G lân cận đóng tập đỉnh S G tập sinh tối tiểu iđêan I đồ thị cảm sinh G S địa phương hóa G S bậc đỉnh x G thực hình học ∆ chia nhỏ trọng tâm ∆ phức độc lập G phức bậc cốt tập đỉnh V cốt phức đơn hình ∆ 80 11 11 18 10 12 11 19 20 20 19 20 20 50 50 19 16 13 13