Đs9 cđ1 rút gọn biểu thức và câu hỏi phụ 44

DẠNG 5: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN A Kiến thức cần nhớ P  x Xét toán: Cho biểu thức P x a) Rút gọn   b) Tìm GTNN, GTLN P biểu thức có liên quan đến P Ví dụ: Tìm Min (max) Giải tốn - Tìm Tập xác định - Rút gọn P  x  1 P  x  P x m P x m - Chỉ số m cho   (hoặc   ) P x m Chi x0 cho   Chú ý: Với số thực A, B 0 - A 0 - A  B 2 AB (bất đẳng thức AM  GM ) Dấu “=” xảy A B - A2  B  C  D   A  B  AC  B C 2  A2  B  ,  A  B  4  A3  B  B Bài tập , với số thực A, B, C , D 0 , với A, B 0 Bài 1: Chuyên Lê Hồng Phong, năm 2018   x  1 x   P  x     : x   x x  x   Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị x để biểu thức P có nghĩa Chứng minh P  Lời giải a) Điều kiện: x  0; x 1 Ta có   x  1 x  x   P  x   :   : x   x x  x  x    P  x 1   x x b) Với x  0; x 1 Ta có  P  x 1 x Dấu “=” xảy    x1 x 4 x x 1  x 1 x 1 1    x 1 x  x x x : x x x 1   Do x 1 nên P  (đpcm) Bài 2: Chuyên Hưng Yên, năm 2017 P x  x 1   x 0; x 1 x1 x 1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P  A b) Tìm GTNN biểu thức  x   x  1 P Lời giải a) b) x  x 1 x    x 0; x 1 x1 x 1 x  P  A  x   x  1 x 2 x x  x  0  Dấu “=” xảy       x  2 x  x 2 x    x 2  x 4 (thỏa mãn) Bài 3: Học sinh giỏi huyện Cầu Giấy, năm học 2019 - 2020  2x x  x  x x  x  x x P     x   2x  x  x  x x1  Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa rút gọn P b) Tìm GTNN biểu thức P Lời giải    x 0  x 0    x x 1  x x  0     x 1  x  0    x  x  0   x   2  x  0      x  a) Điều kiện Ta có  P     P    2x x  x      x  x  x 1 2x x  x     x  x  x  x 1          x 0   x 1  x    x 1  x 1 x1 x   x    x   x 1 x     2    x x  x 0  x 1    x 1   x 1 x  0  x 1      x1 x  x      x1 x x1      2    x  x   x  x  x 1  x  x   x x x          x  x x x1 x x x x x x x      x  x  x  x  x  x  x  x  x 1 x  x   P b) Ta có     x x x  x 1 1  1  x  x 1 x  x 1 x  x 1 P đạt GTNN x  x  đạt GTLN  x  x  đạt GTNN x 0; x 1; x   x  x  1 Lại có  Giá trị nhỏ x  x  1  x 0  Giá trị nhỏ P 0  x 0 Vậy với x 0 P có giá trị nhỏ Bài 4: Học sinh giỏi huyện Quan Sơn, năm học 2019 - 2020 P x x  2x  x  x x  2x  x   x x x x x  x 2 Cho biểu thức a) Rút gọn P Với giá trị x P  b) Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn Lời giải P a) Ta có  x     x x  x  x  x x  2x  x    x x x x x  x 2 x   x 1  x1   x 1  x  1  x 1 x1  b) Ta có P    x1    x 1  x 1    x  2   x1   x 1  x1  x  1  x  2  x   x  1   x   x  1  x1 x1 x 1  x 1 x1  2x  x x   x  2  4  2  x x x P có giá trị lớn 2 x  có giá trị lớn  x  số nguyên dương nhỏ  x  1  x 2 Bài 5: Học sinh giỏi huyện Cẩm Thủy Thanh Hóa Vịng 2, năm học 2019 - 2020  x x  2 2 x  P    :     x  x  1  x x x  x  Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P Lời giải a) Điều kiện x  0; x 1  Ta có:   x2 x     x x 1  x x 1   x  x x  2 2 x  P    :  :    x1 x 1 x x 1  x  x  1  x x x  x    x1 x 1 x   x 1 x2 x  P      x x1 x x  1 1   x 1  x  1  2 x1 x1 x1 x1 P b) Có  x1 x  1 Dấu “=” xảy   x  1 x  1     x    x  1  4 x1  x 4  tm    x 0  loai  Vậy Pmin 4  x 4 Bài 6: Học sinh giỏi huyện Đan Phượng, năm học 2018 - 2019 P x x  26 x  19 x x   x2 x  x1 x 3 Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P Lời giải a) Điều kiện x 0; x 1 P Ta có  x x  26 x  19   x1 x 3     x x  26 x  19  x  x  x  x   P b) Ta có Vậy  x1  x x  x x  26 x  19  x  x    x1 x 3 x1 x 3 x 3    x x  x  16 x  16   x1 x 3 x  16 25 25  x  3  x 3  2 x 3 x 3 x 3 Pmin 4  x 4    x      x  1  x   x  16   x 3 x 3   x  16 x 3 25  10  4 x 3 Bài 7: Học sinh giỏi Tỉnh Lạng Sơn, 23/03/2019 A x x   x 1 x    x x 1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x 3 x , với x 0; x 9 Lời giải A a) Ta có  x x   x 1 x x  x  x  24   x 1 b) Ta có x A  x      x x 1   x 1  x   x  8 x    x 3  x x x  3     x  3  x  1  x   x   x 1 x 8 x 1 x 8  x 1 2 x 1 x 1 x   0, x 0; x 9 nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có Vì A  x 1   2 x 1 Đẳng thức xảy    4 x 1  x 1 x 1   x 4 x 1 (thỏa mãn) Vậy Amin 4 x 4 Bài 8: Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình, 23/03/2019 A  x 1   x 1 x  Cho biểu thức Rút gọn tìm giá trị lớn A  x 1  x  x 1 , với x 0 Lời giải  x 1 A Ta có Ta có Và    x 1 x   x 1  x  x  x 1   x x 1 x 1   x    x x 1 x x 1 x x x 1  1   x  x   x     0, x 0 2     x 0, x 0  x  0, x 0  x  x  0, x 0  x  x   x , x 0  x 1, x 0 x  x 1  A 1, x 0 A 1  x 1 Vậy giá trị lớn A x 1 Bài 9: Đại học Ngoaị Ngữ hà nội, năm học 2010 Cho biểu thức a) Rút gọn P P x 1 : x x  x  x x  x Q x  x  15 b) Với giá trị x  Q  P  đạt GTNN Lời giải a) Điều kiện x  0; x 1 P  Ta có b) Q     x  x  x  1 x 1 x x x   x 1   x  x  x  x 1 x  x 1 P   x  x  15   x  1  x  x  x  19  x  x  16    x  x    2  x     x    0     1   x  0   x 2 x    Dấu “=” xảy Vậy x 2 Bài 10: Chuyên Hưng Yên, năm học 2018-2019 A x 1 1 : x x  x  x  x  x B  x  x  x  2025 với x  0; x 1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để biểu thức T B  A đạt giá trị nhỏ Lời giải A a) Ta có  x 1 x 1 1 x 1 :  x x x x  x  x x x  x 1   x x 1 2 b) T B  A  x  5x  8x  2025  x  x  x  x  x  2023 2  x  x  16    x  x    2003  x     x    2003 2003, x Vậy Tmin 2003  x 2 Bài 11: Chuyên Thái Bình, năm học 2018-2019  x  x 1 x   P   1 :  x 0; x 1; x 4  x  x  2 x  x    Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x cho P 2019 c) Với x 5, tìm GTNN T P  10 x Lời giải  P    a) Ta có    x  1   1  x  2   x x 2   x1 x1  x 1 x1 x1    x  4 x  b) P 2019  x  2019  x 505 (thỏa mãn) c) T P  10 10 10 x 18  10 x  18 x 4 x        2   21 x x x 5  x  (do x 5, áp dụng Côsi) Vậy T có giá trị nhỏ 21 x 5 Bài 12: Chuyên Toán Hà Nam, năm học 2019-2020 x  24  x  x 2 x 2  :    x  x   x  3 x x  x 6 Cho biểu thức , với x 0; x 4; x 9 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ A Lời giải  x  24  A : x x    a) Ta có A A b)  x 3    x 2 x  x     x   x  2   x 3    x   x   x  2      :   x x x   x  24   x 1   : x   x  24   x 1 A         x  24 x 1 x   x x   x  24 x   25 25 25   x  1  x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số ta có  Do A 8 , đẳng thức xảy  x 1  x  25  25 10 x 1 x  5  x 16 Vậy giá trị nhỏ A 8, đạt x 16 Bài 13: Chuyên Phú Yên, năm học 2019-2020  x 3 x 2 x 2   x  A     1  :   x  3 x x x 6   x  x   Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A x đạt giá trị lớn P 2 A  b) Tìm x để Lời giải a) Điều kiện x  0; x 4; x 9 x 3 x 2 x 2 x 3 x 2      x  3 x x  x 6 x  3 x Ta có  x 3    x   x 2  x    x  x3  x 2   x 2 x x  x  1  x x  x x  x A Do : x x   x 1 x  x  x    x    x  4   x  2   x    x  3 x  x x x   x 1 x  x 1 x   x 2 2 x 2   P  2      1  3 1  x 1 x x x x  x  b) Ta có , dấu “=” xảy x Vậy Pmax 3  x 1 Bài 14: Chuyên Quảng Ngãi, năm học 2019-2020 x  x x  x2  x P   x x  x x x  x , với x  0; x 1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị lớn A Lời giải P a) Ta có 2x   x   x  x  x  x 1  x1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có  x  2x  x x x 1 x  x 1 x 3 x 2  P 2  x 2 x  2 x Dấu “=” xảy x (thỏa mãn điều kiện) Bài 15: Chuyên Quảng Ninh, năm học 2019-2020 A  4x  x  x1 x1   x 3 x 2 x 1 x  , với x 0 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị lớn A Lời giải A a) Ta có  4x  x   x 3 x 2    x  1  x1    x  1  x    x  1  x 2 1 x A   x  x  b) Với x 0 ta có Do A      x   x  2  x 1   1  x x 1 x  2 x 1 x 2 6 x 1 x  1 nên 1  Amax 1  x 0 x 1 Bài 16: Chuyên Thái Bình vịng 1, năm học 2019-2020  1  xy  x  y   xy P      xy x y  x x  y y   Cho biểu thức , với x  0; y  a) Rút gọn biểu thức P b) Biết xy 16 Tìm giá trị nhỏ P Lời giải a) Ta có    1  xy  x  y   xy xy  x  y P       xy x y  x x  y y xy   x y xy   xy x  y   x y xy x y  xy  x y xy  x y xy , với x  0; y  b) Áp dụng bất đẳng thức Cachy, ta có: x  y 2 xy 2 16 4  P  1 16 Dấu “=” xảy  x  y 4 Vậy Pmin 1 x  y 4 Bài 17: Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2013 - 2014  x 1 xy  x   A    1 :    xy  1  xy      Cho biểu thức xy  x xy   x 1   xy   , với x  0; y  a) Rút gọn biểu thức A 1  6 x y b) Cho Tìm giá trị lớn A Lời giải A     x 1    xy 1    xy 1   xy  xy  xy  x a) Ta có :    xy  1    xy  xy  x      xy  1  xy  x 1    xy    xy  x   xy 1   xy 1   xy  1   xy    xy  x   xy  1   x  1   Theo bất đẳng thức Cơsi ta có  Dấu “=” xảy xy xy  1  2 x y   1 x  xy  x y  xy xy  xy 9 xy 1   x y  x y Amax 9  x  y  Bài 18: SPHN, năm 2015  a b  1   b  a  1  a  b    P  2 a b a b    b a  b a  , với a  0,b  0;a 0 Cho P ab a) Chứng minh b) Giả sử a, b thay đổi thỏa mãn 4a  b  ab 1 Tìm GTNN P Lời giải a  b  ab a  b  2ab  a b  1  TS    1     b a a b a b a 2b     a) Ta có  a  2a 2b  b  ab a  b  2a 2b MS   3 ab    x 1  6 Vậy   xy    xy  1   a  b  ab a  b  3 ab a b  a b  a  b  a 3b  b a      b2 a  b a  a 2b 10  xy Vậy P ab b) Ta có: 4a  b 2 4ab  AM  GM   4a  b  ab 5 ab  5 ab  25 ab Vậy P 25   a  4a  b  ab 1  10    4a b b   Dấu ‘=” xảy Bài 19: HSG Tỉnh Hà Nam, năm 2020 - 2021  x x x x x  x 1  x  39 Q     x  x   x  x  x  10  x Cho , với x 0; x 1; x 4) a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Với x 0; x 1; x 4 ta có:  x x x x x  x 1  x  39 Q     x  x   x  x  x  10  x            x   x  x x    x 2    x 2 x x x  x 2  x1   x  1 x  1   x  1 x  1   x  x  x x 6 x  x     x 2 x x  x x 4 x1   x  1   x    x  1   x  2  x  1   x x x  x  39   x x 5 x  39   x  2  x  1  x  2  x  5 x  x  1  x  x x    x  1  x   x  39  x    x  1  x  2  x  5 x   x 2 x  39   x x 5 x  39  x x 5  x  39  x x 5  x  39 x 5 11   1 ab   ab 25 Vậy với x 0; x 1; x 4 Q x  39 x 5 x  39 64 64  x  5  x 5  10 2 x  x  x  b) Ta có   x 5 64  10 6 x 5 64  x    x 5    x 0  x 9  x 1   x 4 "  " Dấu xảy Vậy MinQ 6  x 9 Bài 20: HSG Quận Nam Từ Liêm, năm 2020 - 2021  x3  y x  x y  y  1 A       :    x y  x  y x y  xy  x y    Cho , với x  0, y  a) Rút gọn biểu thức A b) Cho x  y 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Lời giải a) Rút gọn biểu thức A  x3  y x  x y  y  1 A       :  y  x  y x y  xy  x y   x với x  0, y  x y     x y  : xy  x y xy  x y x    :  xy xy    xy  x  y : xy    x y xy       x3  x y  y x  y   x y y xy  y  x  x y  xy  x  y  x y   x  y xy  x  y  xy  x  y   x y   x  y x y xy A Vậy x y xy với x  0, y  b) Cho x  y 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 12  Với x  0, y  ta có: A x y xy  Áp dụng bất đẳng thức Cơ- Si ta có: xy  Mặt khác: Hay x y  2  2 1  2 x y 1 2 x y 1  x y 1  2 x y 1   xy 1 2 x y xy 1 2  2 xy  xy x y   x  y 2 x  y  A   “  ” Do đó: Dấu xảy Vậy MinA  x  y 2 Bài 21: HSG Huyện Chương Mỹ, năm 2020 - 2021 x1 x  7 x  x    x  x x  x  , với x 0; x 4 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P P b) Tính giá trị biểu thức P x  21  48  21  48 c) Tìm tất giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm giá trị nhỏ Q P x x  12 x Lời giải 1) Rút gọn biểu thức P P x1 x  7 x  x   3 x 2 x x  x   ( x  1)( x  2)  ( x  3)( x  3)  (7  x  x) ( x  2)( x  3)  x  x 2  x 9   x  x ( x  2)( x  3)  x x 4 ( x  2) x   ( x  2)( x  3) ( x  2)( x  3) x 3 Vậy với x 0 v x 4 t hì P x x 3 2) Tính giá trị biểu thức P x  21  48  21  48 Ta có: x  21  3.4  21  3.4  (2  3)  (2  3) 13     6 (tmđk x 0 x 4 ) Thay x 6 v biểu thức P, ta có: Vậy x  21  48    12   3 P 21  48 P  12  3) Tìm tất giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên x 3 x  5   1  x x x Ta có: P  x  nguyên  5 x   P nguyên   x   Ư (5)  1; 5 Bảng tìm x -1 1 Tmđk x x x Nhận định Với x   1;9; 49 Ta có: Q -5 -3  49 Tmđk P có giá trị ngun 4) Tìm giá trị nhỏ Q Tmđk x x 3  Q P  x x x 3 x x  12 x    x x  x x  x 8    x  6  x   x x  x Q 2 x  4  x Dấu “=” xảy x 8 (tmđk) Vậy GTNN của: Q 4  x 8 Bài 22: HSG Huyện Ứng Hòa, năm 2020 - 2021 P x 1 x2 x 1   x  x x  x  x 1  x  0, x 1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị lớn biểu thức Q  x P 3 c) Tính giá trị P cho x   50   50 Lời giải 14 1) Rút gọn P x 1 x2 x 1   x  x x  x  x 1 P  x1 P P P x x2     x  x  x 1  x 1   x      x 1 x  x 1  x1   x 1  x  x  x 1  x  1 x  1  x  1  x  x  1  x  x x   x  0, x 1   x  x  x x  x 1 2x  x  x x2 x 2 Q  x   P  x  x  x 2)   Q   x   2 x   x Theo BĐT Cauchy ta có Nên Suy x 2 x  2  x  max Q  2  x  dấu "=" xảy  x 2 x 3 3) Từ x   50   50 3 Ta có x 7  50   50  3x  50  x  3x  14 0   x    x  x   0  x 2 ( Do x  x   ) Thay x 2 ( Thỏa ĐKXĐ ), ta tính P  3 Bài 23: HSG Huyện Vĩnh Lộc, năm 2019 - 2020 A x 1 x 3 10  x   x  2 x x  x 6 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x cho A  B c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B biết Lời giải 15 x  x  20 A  x  a) Điều kiện xác định: x 0; x 4; x 9 Khi đó: A  x 1 x 3 10  x x 1     x  2 x x x 6 x 2  x 1   x 3 x  x   b) Để  x x 1   2 x A2  x 3  x x   10  x  x 1 0 x  10   x  x x    x  3  x    x x    x  3  x 1  x  2 x x 1 x x 0 x  x     x    TH1: Khi   x     x   x  25  x  25  x   x     x    TH2: Khi   x     x  0 x  25  x   0  x  Đối chiếu với điều kiện xác định ban đầu ta giá trị cần tìm x là: x  x  25 c) Ta có: B xác định x 0; x 4; x 9 B x  x  20 A  x  x  5   x  x  x  20 x  x  20  x 1 x x 1 25 25  x 1  6 x 1 x 1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số x 1  25 2.5  x 1 Dấu “=” xảy khi: x  25 x  , ta 25 25 10  x    4  B 4 x 1 x 1 25 x 1   x  5  x 4  x 16 x 1 (t/m) x 1  Vậy giá trị nhỏ biểu thức B là: MinB 4 x 16 16