Đs9 cđ1 rút gọn biểu thức và câu hỏi phụ 22

B RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DẠNG 1: RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIẾN Cách giải: Cần lưu ý số kiến thức sau - Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa (nếu tốn chưa cho) trước rút gọn - Kiểm tra xem giá trị biến có phù hợp với ĐKXĐ hay khơng trước thay giá trị biến vào biểu thức thu gọn - Đơi tính x x trước thay vào biểu thức rút gọn - Kết cuối biểu thức rút gọn phải có mẫu dương khử mẫu trục thức mẫu Bài 1:  a   a A     :    a 1   a 1 a a  a  a 1  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A a 2021  2020 Lời giải a) Ta có  a   a 1  a a a 1  a A    :  :    a 1 a   a  1  a 1   a 1 a a  a  a 1   Điều kiện xác định:  a 0    a  a  0   a 0   a 1  A  a 1 b) Lại có  a 2021  2020    2020   A   2020    2020    2020 Vậy A  2020 a 2021  2020 Bài 2: M a  a  2a     3b  3b a  3b  2a a  3ab Cho biểu thức a) Tìm điều kiện a, b để M xác định rút gọn M b) Tính giá trị M a 1  b 10  11 Lời giải   a 0 b 0   a  3ab 0  a) Điều kiện xác định  a    3b 0 a   b 0 M a  a  2a  a   3b  2a  a  3ab b) Ta có   3b  3b a    3ab a   a a  3ab 3ab   2 2a  3b 2a  3ab  a  3ab a a  3ab  3b a     30  22  3b 30  11 30  22    4    a 1 1 1 3   c) Ta có  2 2  M  2      Vậy M  a 1  b 10  11 Bài 3: Chuyên Quảng Ninh, năm 2017   x 3  A     1   x x  x  x  27    Cho biểu thức a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x   5 3 29  12 Lời giải  x 0  x a) Điều kiện     x  3   x 3  x2  3x  A     1     3x x x  x  3x   x  3x  x  27   x   Ta có b) Ta có  29  12  a  b    5  x      a  ; b   29  12     2 5  3   6  1  x    A 1 Vậy A 1 x    3 29  12 Bài 4: Chuyên Thừa Thiên Huế, năm 2017 Cho biểu thức A x  21x  55 x  32 x  4012 x  10 x  20 Tính giá trị A x 5  Lời giải Cách 1: Chia tử cho mẫu Cách 2: Ta có x 5   x    x  10 x  22 0 TS 2 x  21x3  55 x  32 x  4012 2 x  x  10 x  22   x  x  10 x  22    x  10 x  22   4034  4034 MS  x  10 x  20  TS  A 2017 MS Bài 5: Học sinh giỏi huyện Hằng Hóa, năm 2019 - 2020 P Cho biểu thức a) Rút gọn P 3x  x   x x  x 1  x 2 x x1 3 b) Tính giá trị biểu thức P x  20  14  20  14 Lời giải a) Điều kiện x 0; x 1 P  3x  x   Ta có  P    x  1  x 1  x  2 x 2     x  1  x  2 x 1 x1  x 2  x   3x  x   x   x   x  1  x   x 1 x1 b) Ta có   x  20  14  20  14  x 40  3 20  14 20  14  20  14  20  14  x 40  x  x  x  40 0   x    x  x 10  0  x 4 x  x  10  x     (vì Thay x 4 vào biểu thức thu gọn ta P 3 Bài 6: Học sinh giỏi huyện Quan Sơn Thanh Xuân, năm 2019 - 2020  x x 2 9 x   x  9 A     : 1  x    x  x x  x     Cho biểu thức a) Rút gọn A x 10    31 62  b) Tính giá trị biểu thức A Lời giải a) Ta có  x x 2 9 x A     2 x 3 x x  x  x b) Ta có 10     31 62    x  9 x x 2   :     x  6  x x x     1   1  1  1   2 31 1   A Vậy 2  1 Bài 7: Học sinh giỏi Ba Đình, năm 2019 - 2020  x x  x x 1 A    x  x   Cho biểu thức   : 2 x  x  a) Rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức A  x  2  2   3  3 Lời giải a) Điều kiện x  0; x 1  x x  x x 1 A    x  x   Ta có  2x  x   x1  x  2 2  b)  1       :   x  x 1  x  x  x    x 1 x    2 x x 2  42 3          4  62      1 2 2   2 Thay x 2 vào biểu thức A ta A  Bài 8: Học sinh giỏi Bắc Từ Liêm, năm 2017 - 2018 1 1 A       x y  x  y  xy Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A  1  x y    :  x y   xy xy  x y  b) Tính giá trị biểu thức A x 3  5; y 3  Lời giải a) Điều kiện x  0; y  0; x  y Ta có   x y x  y  xy xy  xy xy x y     xy xy x 2 x 1    1     A  x1 y   x y x y   x y  xy xy x y xy xy xy  xy x  y x y b) Với x 3  5; y 3  ta có x  y A xy 0 x y 6     A2   xy   x  y  xy    3 3      3 5 3 5  mà 32   5  42 8  2.2 Vậy A  2 Bài 9: Chuyên Bắc Ninh, năm học 2017 – 2018 (Học sinh chuyên Toán – Tin) P x3  x  x  2x  x  Q x 2 x với x 0; x 4 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P Q b) Tính tất giá trị x để P Q Lời giải a) Với x 0; x 4 ta P 2 x  Q  x  b) Khi P Q  x  x   x  x  0    x  3  x  1  x    x 4  Kết hợp với điều kiện xác định ta x 4  thỏa mãn điều kiện Bài 10: Chuyên Bắc Ninh, năm học 2014 – 2015 (Học sinh chuyên Toán – Tin)  P  1 x x   1 x  x    x     1 x    x  với x 0; x 1  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính số phương x cho P số nguyên Lời giải a) Ta có  P    1 x x   1 x  x    x      1 x   1 x      x  1 x  x  x Z  b) Ta có P  x   0; 4;9 x1  1 x      1 x1      x x 1  x x  1 x  x 1  1 x    1 x    x   1 x 1 x       x1 ước gồm 1; 2 Bài 11: Học sinh giỏi Tỉnh Bình Phước, năm học 2018 - 2019  x P    3 x  3  Cho biểu thức     :  x  1  x   x    x   x   x 8     x    a) Rút gọn biểu thức P x  32  b) Tính giá trị P   1  2  1 Lời giải a) Điều kiện xác định:  x 10 Đặt a  x  1;0  a 3  a   3a  1   a   a   a    3a  1  a2  P         :  :  a   a    a    a  3a a     a    a    a  a   a   Khi  a  3  a  3 a  a  3 3a  3a   a  2a   :  :    a    a  a  a  3   a    a  a  a     a    a  2a    3a  x  2a  x   b) Ta có  1  Vậy P x  32    1    1  2  1  1  1         1   1 1  1  2   1  1     2  2 1  2 14 Bài 12: Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình, năm học 2018 - 2019  x 1 xy  x   P    1 :    xy  1  xy      Cho biểu thức xy  x xy  x 1   xy   , với x 0; y 0; xy 1 xy  x   a) Rút gọn biểu thức P 3 b) Tính giá trị P x     y x  Lời giải a) Ta có P   x 1    xy  xy  x  xy    xy xy   :  xy       x  1  xy  xy  x   xy  xy  x xy    Với x 0; y 0; xy 1 b) Ta có   x3    P xy    xy  x 1  xy      xy    x 1 xy   x 1 xy  x y   8   x  x 8  x  x   8  xy 8 P  4  42  xy    8 x  (thỏa mãn điều kiện) 2 P   xy  1 xy 4  42 Thay xy 8 vào P ta   Bài 13: Chuyên Ninh Bình, năm học 2017 P a a 1 a     a 0; a 4  4 a a 2 a , với x 0; y 0; xy 1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P 84  1 a 3 1 84 Lời giải P a) Ta có a a 1 a  a    4 a a 2 a     a  a1   a 2  a 2  a 3a  a  a  a   a  4a  a a   a a a 2 a 1 tm   P  b) Tính P Bài 14: Chuyên Trà Vinh, năm học 2018 - 2019   x x y : Q  1 2 2 x  y  x  y  x  x  y Cho biểu thức với x  y  a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị Q x 3 y Lời giải   x : Q  1 x  y  x  y  x  a) Ta có x  x x2  y2 Q  x x  y y x2  y2  x  x2  y2 x  x2  y x    x2  y2 x2  y2 x2  y y x2  y2 y  x  x y  x  y x  y  x y xy x y x  y với x  y  b) Thay x 3 y (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức Q ta được: Vậy Q 3y  y 3y  y  2y 4y  2 Bài 15: Chuyên Toán Bến Tre, năm học 2018 - 2019 a b a b a b  ab Cho biểu thức với a, b hai số thực dương P: a  b  a  b a) Rút gọn biểu thức P   b) Xác định giá trị biểu thức P a 2019  2018 b 2020  2019 x2  y y Lời giải P a) Ta có P: b) ab a b a b a b   ab   a  b  a  b   a b      a b  a b  ab    a  b  ab   ab    a  b  a  b   a  b   a  b  a  b    a 2019  2018  2018  ; b  2019   P  2018   2019   2018  Bài 16: Học sinh giỏi cấp Tỉnh Lạng Sơn, năm học 2020 - 2021  x y x  y   x  y  xy  P    :      xy  xy   xy    Cho biểu thức với x 0; y 0; xy 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P với y 9  Lời giải a) Điều kiện x 0; y 0; xy 1  x y x  y   x  y  xy  P    :      xy  xy   xy     x x y P    yy x 1  y  y x    xy  x  y  xy  :     xy   x x y  xy  xy    2x y  y       y  x  1    xy  xy P             x  y  xy    xy  xy        x    y   P 2 y 1 y 2 y  y với x 0; y 0; xy 1 Vậy b) Với x 0; y 0; xy 1 P  y 9    52  y  P Thay vào biểu thức P ta Vậy P a b 2 2    2 2    2 1  5 (thỏa mãn) 2   2   1   5  5 y 9  Bài 17: Học sinh giỏi cấp Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu, năm học 2020 - 2021  x x  x  1  x  x  P     :    x  x  x   x  x  x   với x 0, x 4 1) Rút gọn biểu thức 2019 3 2) Tính giá trị biểu thức M x  x  2021 với x  12  13  12  13 Lời giải 1) Với x  0, x 4  x x  x  1  x  x  P     :    x  x  x   x 1 x  x    x  x  x 1  x x x 1  x  x  :    x   x 5  x 1  x 1 x x   x  x a  b  a  b3  3ab  a  b  2) Áp dụng công thức:   M x  x  2021  12  13  12  13 12  13  12  13  3 144  117 9   3   9  12  13  12  13  2021 12  13  12  13   12  13  12  13  2021 24  3.3    12  13  12  13   12  13  12  13  2021 2045 Bài 18: HSG Huyện Gia Lâm vòng 1, năm học 2020 - 2021 A x x  x x 4 x x  x x   2 x x x 23 x  x x Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x   3 7 3 Lời giải a) A Đặt x x  x x 4 x x  x x   2 x  x x 23 x  x x t  x  t 0   x t A Như  t  t  4t  t  t  4t   t    t    t  1  t    t    t  1    2 t  3t   t  3t   t  1  t    t  1   t  t  t  2t  x     t  t 1 t  x b) Ta có A x (2  3)  3   3   3    3   3    3 3 1 1  3     3    3 3 Vậy b) Ta có bđt phụ sau (rất quen thuộc nên ta không chứng minh lại) Với ba số thực dương x; y; z xy  yz  xz   x  y  z (dấu x  y z ) 1    Và x y z x  y  z (dấu x  y z ) Áp dụng ta có   2020 1 2018      2 2 x y z xy  yz  zx  x  y  z xy  yz  xz xy  yz  xz  xy  yz  xz 2018 6063 6063     6063 2 2 x  y  z   xy  yz  xz   x  y  z  x  y  z Pmin 6063  x  y  z  Vậy P Bài 19: HSG Hà Đông, năm học 2018 - 2019 P (a  1) (a  2)  (a  1) (a  2)(a  2) 2 a2 a (a  1) (a  2)  (a  1) (a  2)(a  2) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh biểu thức sau rút gọn P số nguyên tố a số nguyên a số nguyên tố a 2( 2   2) 1 b) Tính giá trị biểu thức P biết 5 Lời giải 1) ĐKXĐ: a  a   P (a  1) ( a  2)  ( a  1) (a  2)( a  2) 2 (a  1) ( a  2)  ( a  1) (a  2)( a  2) a2 a Nếu a  (a  1) a   (a  1) a   (a  1) a   a  a   (a  1) a   (a  1) a   (a  1) a   a  a  Nếu a   P  (a  1)  a  (a  1)  a  (a  1)  a   a a 1 P  2 a a  (a  1)  a   (a  1)  a   (a  1)  a  10 a 1 0 a P không số nguyên tố  P  2) Nếu a   a 1 a  nguyên tố P số nguyên Nếu a  Vì a  Z nên P nguyên a  thuộc ước Mà a  nên a    a  2  a 3  P Với a 3 P 2 số nguyên tố Vậy P số nguyên tố a 3 số nguyên tố 2( t 2   2) 1 3) Đặt  t 4  t 2 (do t  ) P  a 2  7 Thay a 7 vào 1  7 Bài 20: HSG Huyện Nga Sơn, năm học 2020 - 2021    a a A    :    a   a  a a  a  a     Cho biểu thức với a 1 a) Rút gọn biểu thức A a 2  6 b) Tính giá trị A , biết  Lời giải a) Với a 0, a 1 ta có:    a a A    :    a  a a  a  a     a 1   a A    a   a  1 a     a 1  a A    a  1 a    A A   a1  a  1    a1 a 1   a1 a 1  a1 a1 A Vậy   :        :  a 1  a     a    a  với a 0, a 1 a 2  6 b) Ta có:  11   a 1  a  1    a  1   a    Thay 4   1  A Vậy  3 3 3   31 3 a  1 A   ( thỏa mãn a 0, a 1 ) vào biểu thức A a  ta được: 1    3  1  a 2 3  6  Bài 21: HSG Yên Định, năm học 2020 - 2021  x   x 2 x 3 x 2 A      :   x 1   x  x  x   x   Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A 1 x 3 1 1 b) Tính giá trị A , biết 1  1 1 Lời giải a) Với x 0 , x 4 , x 9 ta có:  A    x   x 2 x 3 x 2    :   x 1   x  x  x   x   x 1  x   :  x 1  x 2  x  x 3   x x    x 2 : x 1  x 2 x 9 x 4 : x 1 x x  x 3      x 2 x  x  x   x 2  x  3   x  12   : x 1 x  1 : x 1 x   x x 1  x x 1  x  x  x x  x 0 , x 4 , x 9 A Vậy b) Khi 1 x 1 2 2  2    2 3 42 4 1 1 1 1 1 1 2 4  2 2  3 3    3  3 3   3   3   3   3   3  36 2  3  1 9 (thỏa mãn ĐKXĐ) Ta có Vậy A A x 1    x 1 1 1 13 2  2  1 2  2   3 2 DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức cần nhớ P x Xét toán:   P x a) Rút gọn   P x m P x Q  x  b) Tìm x để   (m số)   Giải toán a) Rút gọn P x - Đặt điều kiện để   có nghĩa P x - Thực rút gọn   b) Tìm x : Giải phương trình B Bài tập Bài 1: Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định, năm 2015   x  x 1 x   Q      x  x    x  x  x   Cho biểu thức 14 a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm giá trị x để Q  Lời giải a) Điều kiện Q  Ta có b)  x 0   x  0    x  0  x  x 0  x    x 1  x 1    x  x x  x x  x      x x x x x x  x1   x Q   x   x  1 x   x (thỏa mãn điều kiện) x Vậy Bài 2: Chuyên Lào Cai, năm 2017  x x    P  x      x   x  1  x  x 1 Cho biểu thức P x a) Rút gọn biểu thức   P x x  b) Tìm x để   Lời giải a) Điều kiện x  x 1 x 1 x  x  x  P  x   x   x x   x  x  0   Ta có b) P  x  x   x1  x  x Vậy khơng có giá trị để  P  x  x   2 x   x 1 x  x  0  x x  0  x 1 (loại) Bài 3: P 3x  x   x x  x 1 x   x 0; x 1 x  1 x Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x nguyên dương để p nhận giá trị nguyên Lời giải P a) Ta có 3x  x   x x     x 1 x 3x  x     x  1 x x 2 x1   15  x  2  x 1  x  1  x1  x  2  x  x  1 x 2  3x  x    x  1   x      x1 x 3 x 2  x 2   x1 x 1 x1  x 1 1  x1 x1 P b) x 2  PZ  Z x1   Vì x  Z ; x 1  x  Z x 2 Để  x  Z  x  1 Z     x1  x  2  x  U   Vậy x   4;9  x 4  x 9  (thỏa mãn) Bài 4: Chuyên Sư Phạm Hà Nội, năm 2017 P 2x  x  x  x x    x  1  x  1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P x  x 1 x 1 Lời giải P a) Ta có     x 1  x   x 1  x  x  b) Ta có P x   x  x  x  x  x   2x    2x   x  x  x 1  x x  x  x 1  x   x 1  x 1  x 1 x    x  1 x   x  (điều kiện x  )  x 0  loai   x   x  1    x 3  tm  Vậy x 3 giá trị cần tìm Bài 5: Học sinh giỏi huyện Chương Mỹ vòng 2, năm học 2020 x y xy H   x  y  xy  y x  xy  x  y x   xy  y Cho Tìm x, y nguyên để H 20 Lời giải Điều kiện x, y 1; x, y  Ta có x y  xy  y   x y  y    x y  16  x  y 1 y   x  y  xy  x  H x y  ; x 1 x 1  x x  x  y  y y  xy x  xy y H H   y  x 1   x  y  x  y  x  x  y 1 y y  xy  y  xy  x 1   x 1     x  y  x  xy  y  xy  x  x    y  xy   y   x    x     y   x 1   y   x 1 x  y  y 1 x  x y y y x   x   y   y  x  xy  xy 1 y 1 y Khi    xy  x  y 1 y Ta có : H 20  x  xy  y 20  x    y 1   y  19    y 1 19 19.1 1.19   1   19    19    1  y  1  x 400    y 0 TH1:  x  19   y  19   x     TH2:  x 4   y 324  y     x   19 TH1:  loại  y   19   x    TH1:  loại Vậy với x 400; y 0 x 4; y 324 H 20 Bài 6: Học sinh giỏi huyện Đức Cơ, năm học 2019 A Cho 2x  x  x3  x  x  ;B  x x 2 Tìm x cho A B Lời giải A Ta có A 2x  x  x xác định x 0; x 4 2x  x   x B Lại có B    2 x  2 x 1 x x 1 x3  x  x  x 2 xác định x 0 x3  x  x   x 2   x   x  1 x 2 x  17  x  19 19.1 1.19 A B  x   x   x  x 0  x Ta có Kết hợp với điều kiện ta x 0 Vậy x 0 A B  x 0  x 0 x  0    x   x 4    Bài 7: Học sinh giỏi huyện Như Thanh, năm học 2019  x2 x  x1 A    : x x  x  x  1  x   Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa rút gọn A b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị c) Tính giá trị biểu thức A x 3    1 21 Lời giải a) Điều kiện x 0; x 1  Ta có   x2x      :   x2 x  x   x   x x   x  x 1 A      :  x  x  x 1  x x  x  x 1  x   x  x x1   x  x  x 1  x1    2 2  x x1    x  1   x  1  x  1  x  x  1 x  x  x  x 1   x1 2 x  x  với x 0; x 1 Vậy A 2  2  x  x  1  x  x  b) Ta có A (vì x   x  0  x 0  x 0 (thỏa mãn) x   với x) c) Ta có x 3     x     3  3  1    x  3      1    3 21  x   1 3  21   x  3    21   x    1   2 3  Thay x 4 vào A ta được: 21  21 2    x   1  x  1  x 4 A  1  (thỏa mãn) 2   1 Bài 8: Học sinh giỏi huyện Mỹ Đức Tỉnh Lai Châu (2018-2019), năm học 2019 - 2020  x2 x  x1 P     : x x  x  x  1  x   Cho với x 0; x 1 a) Rút gọn P 18 P b) Tìm giá trị x để c) So sánh 2P P Lời giải   x2 x  x   x2 x P        :  x  x 1  x x  x  x 1  x  x   a) Ta có   x  1    x2 x      : x   x  x 1   x  x  x 1 x1  x  x 1    x  x  x 1 2  x  x  x 1 b) Với x 0; x 1 2 P    x  x  7  x  x  0  x  x 1 Ta có x 3   Vì Vậy P  x   x  0 x  0  x 4 (thỏa mãn) x 4 x 0  x  x  1   c) Vì Dấu “=” xả P 2  x 0 2   P 2  P  P   0  P  P 0  P 2 P x  x 1 Vậy P 2 P Bài 9: HSG Tỉnh Sóc Trăng, năm học 2020 - 2021 x x  2021 x 1    P  x        x  2021   x  2022 x  2021 x1 2021  x   Cho a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P 2024 Lời giải a) Điều kiện xác định: x 0; x 1; x 2021 x x  2021 x 1    P  x        x  2021   x  2022 x  2021 x1 2021  x      x1   x  1   x  2021  x  2021     x  1  x  2021 x  2021   x  2021   x  2020 x  2020  x  1  x  2021   x  1   x  2021 x1 x  2021     x  2020 x  2020  x  2021    x  2021  x  1  x  2021 19  x1  x 1  x  2020 x  2020 x1 b) Ta có: P 2024  x  2020 x  2020 2024 x1  x  2020 x  2020  2024 x  2024 0 x1  x x 4 0 x1  x  x  0    x  0 x  0  x 2  x 4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy với x 4 P 2024 20