Đs9 cđ1 rút gọn biểu thức và câu hỏi phụ 33

DẠNG 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức cần nhớ P x Xét toán: Cho biểu thức   P x a) Rút gọn   P x m P x  Q  x b) Tìm giá trị x cho   (m số)   Giải toán a) Rút gọn P x - Đặt điều kiện để   có nghĩa P x - Thực rút gọn   b) Tìm x : Giải bất phương phương trình - Kiểm tra điều kiện kết luận B Bài tập Bài 1:  x x x  10  x 7 A     :  x  x 2 x 4 x x   x 2 x 4 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x cho A  Lời giải a) Điều kiện x 0 x 4 Đặt A B : C    x  2  x  x  4  x  2 x  16 B   x  2  x  x  4 x  x  4  x  2  A B : C  B   x x  x    x  3  x   x  10  x x  x  x  x x  x  x   x  10   x  x2 x 4 x 7 b) A2  x 2 x 7  2    x 2   x 7   0  x     x  Vậy  x 4 Bài 2:   x   x 2  P  :   x x x    x   Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P    x 2  x 7  x   x   x 3     x P  x  m b) Tìm m để có x thỏa mãn Lời giải    x   x 2 P   :   x x x    x   a) Ta có x   Điều kiện:  x 4  P b)  x 1  x1  x    x   x  4 : 1   x1  x  : 4 x  x  x  x  x  2 x  P   x    x  1  x x Theo đầu  x  x  m  x  x   m Nhận thấy x   x  x    m   m  1  x  x  1 m   x     m  2  Ngược lại với m  x  m x  1   x    m   2  Vậy m  giá trị cần tìm Bài 3: Học sinh giỏi huyện Triệu Phong, năm học 2019 - 2020  B x y   x y x x y y    x y x x  y y  x  y  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức B b) So sánh B B Lời giải a) Điều kiện x, y  0; x  y B Ta có     x y x y  x    xy  y     x y  x x y y   x  x y   x  xy  y   y x  y   x y x  x  xy  y  x  y x  xy  y  x   x  y     xy  y  x  y  x  xy  y x y x y x xy  y xy x y  xy x xy  y x  y  3y xy  y  x   0, x, y       b) Vì x, y   xy  nên B  với x, y thỏa mãn điều kiện cho xy  y  m  x y  0  x  y  x y xy  xy  Lại có: Dấu “=” khơng xảy x  y Vậy  B    xy xy xy   1 xy x  y  xy xy B B Bài 4: Học sinh giỏi huyện Thường Tín, năm học 2019 - 2020   2x  x  2x x  x  x   P      : 1 x x    x 1 x x   Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P  Lời giải a) Điều kiện P có nghĩa x  0; x 1        x2  : x  1       x x1 x    x 1 x  P  :   1 x x   1 x 1 x 1 x 1    Ta có   x1 P   1 x x   1     1 P b)  x 1 xx   x  2 x x  Vì đẳng thức xảy Vậy P       x1   x1 : x  x  1 x x 1     x 1   xx    x1  x 1 x x  1  x  1 x (bất đẳng thức Côsi)  x  x 1 x (không thỏa mãn điều kiện) Bài 5: Học sinh giỏi huyện Ba Vì, năm học 2019 - 2020  8x x 3 3x  P 1  :    x  x   x  x x  12 x   Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P 0; P 1 c) Tìm giá trị x để P  Lời giải a) Điều kiện: x  2; x  3; x 0; x 2 P x4 Rút gọn b) P 0  x  (thỏa mãn) P 1  x 2 (không thỏa mãn điều kiện) c) P   x    x   x  2; x  3; x 0; x 2 Bài 6: Học sinh giỏi huyện Ba Thước, năm học 2019 - 2020 x x x  x 1  x x  P     x    x  4; x 0  x x 1 x  x 1   x  2  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P x   Lời giải a) Ta có   x 1  x x   P   x      x  2   x x 1 x  x 1     x 1   x  x  x 1  x x    x  P   x  x  x 1        x    x  4    x   P    x  x 1     x    x  4    x   P  x  x 1  x 1   x  x x x P x 10  x   x   x x  2x  x    x    x      x  x  x 1   x  x  x    x  x 10   x   x 1  b) Ta có Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn tốn Bài 7: Chuyên Cao Bằng vòng 2, năm học 2019 - 2020    x x p    :    x   x  x x  x  x     Cho biểu thức , với x 0; x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x để P 1 Lời giải x    x  x x  x  x x1 a) Ta có -  x1 Vậy x  P P 1  b) - TH1:  x1    x 1 x 1  x  x1  x 1 x   x1 ;1  x x 1  x  x 1 x 1 x1 2 x 1  0 x1 x1   x 0    x  0  x 2    x   x 1  x 4   x 4  x 1  x 4 2  x 0  x 2     x  (vô lý)  x  - TH2:  x   Vậy giá trị x cần tìm  x 4 Bài 8: Chuyên Tốn Ninh Bình, năm học 2019 - 2020 Với x  0, xét hai biểu thức A 2 x x  x 9 B  x x x  x Tìm tất giá trị x để A  B Lời giải B Ta có x  x 9 x  2 x 9 x2 x x 2     x x 3 x x 3 x x 3 x x x 3    A 2 x 2 x   :   x x 3 Với x  , ta có B 81  x 9  0 x   x 3   x 9  x x (vì x  0, x  ) Bài 9: HSG Tỉnh Yên Bái, năm học 2020 - 2021    x3 x   x     x3 B :   x      1 x 1 x    x   Cho biểu thức  x     Với x 0; x 1 Chứng minh 1  M x  B   0 2  Lời giải 2) Với x 0; x 1 , ta có:   x   x     B :  1 x   x 1 x  x 1 x    x 1 x  B : 1 x  x  x 1  1 x  B x 1 x  :  1 x 1   1 x      1 x 1 x  x x      1 x   x x  x   x    x 1 x B : 1 x 1 x  x    x B 1 x 1  M x  B   0 2  * Chứng minh (Với x 0; x 1 )     M  x  x    M  x x   x  M   x x     M x  B    x  21 x 1  x    Ta có:   x 0  x x1  x  0 1 x   x  1  Với x 0, x 1 ta có:  Vậy: Với x 0, x 1 M 0    0  M 0 Bài 10: HSG Huyện Hoài Đức, năm học 2019 - 2020  x 3 x 2 x x  1   :   x    x 1 x  1 x 2 x1  , với x  0; x 1  P    Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P     x 2 b) Tính giá trị P với 32 3 2  24 3 2 32  c) Với giá trị x P x 1 1 Lời giải a) Với x  0; x 1 ta có   x 3 x  x x  1   P  :    x 2 x    x 1 x  1 x1    x 2 x 1 x x 1   x1   :     x 2 x1 x 1 x    x  x      x 1 x  x    : x  1 x  x 1  x1                         x  x 1  x1 x x 1 x Vậy với x  0; x 1 b) Ta có P x 1 x     x 1   x 1  x1  32 3 2 x 2  24  x 2 3 2 32  x 2   1  2 2  21     1 1  24     1 21 2 1 2 21  x 2 21 1  x 2 2   2 1    21  x 2    1   x 2   2   x 4 Thay x 4 (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức P ta x 2 Vậy với c) Ta có  P   x 1 x x 1 x 1   x 1 16 x  x  x   x     x  3   x  1 Với mà   0  x  0, x 1   x   0  x 1 1 1   2 4 32 3 2  24 P 3 2  2 x 1 1  8 P x    x 1 0   x 1 x 0 x 1  0  x 6 x  0   x 1    x  0   x    x 1 0  x 1 0 Dấu “=” xảy  x  0   x 3  x 9 (tmđk) Vậy để P x 1 1 x 9 Bài 11: HSG Tân Kỳ, năm học 2018 - 2019  x  16 x  A    x 2 x   Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định A x 1 x 3  x 7   : 2 x    x 27   10  A b) Tính giá trị P c) Cho x2 x 2 A Tìm x để P  Lời giải a) ĐKXĐ x 0 ; x 1 ; x 4 x   x    21  x  16 x  A    x 2 x    A    A x 1 x 3    x  1 x  3  x 7    : 2 x      x  1 x 1 3x  x   x  3  x1 x   x    x  1 x 7   x 3    x 3     2 x1 :   x1   x  x   x   x  10 x  21 x   x : x1 x1 x 3 A   A    x  x  27  x   x  3 x1 :  x  9 x  1 x 3  x2 x1 x1 x2 x9  x2 b) Ta thấy x 27  54  14 49  2.7      10  7 5     7 5 7 1  x 9 (Thỏa mãn ĐKXĐ) Thay x 9 vào biểu thức A , ta tính c) ĐKXĐ x 0 ; x 1 ; x 4 P Ta có: x2 x 2 P0 A  x9 x x 2 0 x9 x  A 9 9  3  3 x9 x 2 x  90 Khi đó, ( x   )  x  81 Kết hợp với ĐKXĐ ta x  81 ; x 1 ; x 4 P  x 2  x  x    BÀI 4: RÚT GỌN VÀ TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIỂU THỨC Phương pháp: B C với A, B số nguyên, C nhận giá trị nguyên vơ tỷ P + Đối với biểu thức nhận giá trị nguyên C số nguyên C ước số B P A  B C với A, B số hữu tỷ, C nhận giá trị thực Ta thường tìm cách + Đối với biểu thức đanh giá P , tức chặn P theo kiểu M P  N từ suy giá trị P Hoặc tìm điều kiện P để tồn biến x, y, thỏa mãn yêu cầu tốn từ suy giá trị nguyên P A  P - Đối với toán tổng hợp học sinh cần ý điều kiện ban đầu để loại giá trị không thỏa mãn Bài 1: Học sinh giỏi huyện Đan Phượng, năm học 2019 - 2020 x x x 9 x B  x  với x  0; x 4; x 9 x  x Cho biểu thức a) Tính giá trị biểu thức A x 100 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M  A : B có giá trị nguyên A Lời giải a) Điều kiện x  0; x 4; x 9 10 10 A   10  Khi x 100 (thỏa mãn điều kiện) b) B x x 9 x x   x x M A : B  c) Ta có Để M ngun   x 3  x  x x  x x x  x x 3 x x 3 x 3 x  25   1  x x x x x x  U  5 x  22 x     1;1;5   x   1;3;7  x   1;9; 49 Bài 2: Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2017 - 2018 x x x 1 1 2x  x   , x x  x x x x x2  x Cho biểu thức với x  0; x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên P Lời giải P    x a) Ta có     x  1  2x  x  1 x  x  1 x x x  x 1  x 1 x x x 2  x      x  2  x   x  1 x  x 1 x  x 1 x1 x  0; x 1  x  x   x     P  Ta có điều kiện x 2 x 2  1  2 x  x 1 x 1 x 1 x 2 1  x 1 x  x  P Do ngun nên (loại) Vậy khơng có giá trị x để P nguyên  P 1  Bài 3: Học sinh giỏi Tỉnh Điện Biên, năm học 2018 - 2019  x    P     :    x 1   x  x x  x  x   Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để Q  x  P nhận giá trị nguyên Lời giải  x 1  x   x 0; x 1  P    :   x    x   x  1 x  a) Điều kiện   x 1  x   x   :   x     x  1 x     x  x  x 1         x 1  x    x 1         x  1    x 1       x1   x1    x  x 1 x  1 x 1 x 1 Q x P x x x x 1    x 1 x 1 x 1 x 1  x  1   x    Q  Z  b) Để x  ước Vậy x 0 Q  Z 10  x 0  tm    x   loai  Bài 4: Chuyên Điện Biên, năm học 2018 - 2019 x 2 x  3x  x    ,  x 0; x 25  x 1  x x  x  P Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P Tìm số thực x để P   b) Tìm số tự nhiên x số phương cho P số nguyên Lời giải x 2 x  3x  x     x 1  x x  x  P a) Ta có P 2   x 5 x 2 0  x  x  12 x 2   2 x - Với x    x  25 - Với x  12  x  144 b) Ta có x số phương nên x 2   x P  Khi x 2 x x  N Z  x x   x     1;1;7  x   16;36;144 Bài 5: Chuyên Bắc Giang, năm học 2018 - 2019  x4 x 4 x x   1  A     :    x  0; x 1  x x  x  x  1  x     Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A  2018 A 2018 b) Có giá trị nguyên x để Lời giải a) Ta có  +) x4 x 4 x x   1 x x x  x 2  x1   x 2  x1  x x 2      x 1  x1  x 1 x  x1 x1 1   x 1  x  A  :   x1 x   x 1  x1 x  x1    x 1  x1   x1 x  2018 1 1 A  1 1     2018 x 2018 x 2018 b) x   2;3;4 ; 2018 Vì x  0; x 1 x nguyên nên Vậy có 2017 giá trị ngyên x thỏa mãn toán 11  x 1 x 1  x  0; x 1 x x  2018   x 2018 Bài 6: Chuyên Toán Cần Thơ, năm học 2018 - 2019 x A  x  1  x   x  1       x  1 x   x  1 Cho biểu thức , x  1; x 2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức A số nguyên Lời giải A a) Ta có x   1  x   x   x x  x2 x  x 2      x  x 1  x 1 x2  x  1 x   A  1 x - Nếu x 2 A x - Nếu b) - Nếu  x  khơng có giá trị nguyên - Nếu x  x A + x  1  x 2 (loại) + x  2  x 5 (thỏa mãn) Bài 7: Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2016 - 2017 x y xy P   x  y 1 y x y x 1 x 1  y Cho biểu thức với x  0; x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x, y nguyên thỏa mãn P 2          Lời giải P  x  y  x  x  y y  xy  x y  x  y    x   y  x  x  1  y  x  1  y   x    x   1 x  1 y  x 1  y  1  y   y 1  y   x  xy    x y  a) Ta có   b) 1 P 2   Ta có  y 1      y y  x  1 x  1   x 4  x 0;1; 2;3; 12 y x  xy  y  xy x  y 1 x 1 y 2 , với x 0; y 0; y 1; x  y 0  x  y   y 1   y x y y y x 1 y x  xy    x  y   4; ; 2; Thay vào P ta có cặp giá trị     thỏa mãn Bài 8: Học sinh giỏi huyện Chương Mỹ, năm học 2019 - 2020 1 x A   x x 2 4 x Cho biểu thức a) Tìm x để A  1 A b) Biết   19   19   1, tính giá trị c) Tìm giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên, A d) Tìm x để  B P A : x 3 :  A 2 x x 2 x  x   x  x   x  16   x Lời giải a) Điều kiện x 0; x 4 A x A 1 x  , Rút gọn Kết hợp với điều kiện ta được:  x  x 1  x 2 0 x x 20 x4 x 3  x 9 x  b) Tính (thỏa mãn điều kiện) 6 1 B  :6  7 Thay vào biểu thức A 3  c) Ta có P A : x x    2 x 3 x 3 x Để P nhận giá trị nguyên  x  Z  x   0; 4;16;36 , kết hợp với điều kiện ta x   0;16;36 d) A   x   x x   x  16   x     x   x 16   x Ta có VT 5;VP 5 với x thuộc điều kiện xác định  dấu “=” xảy  x 9 Bài 9: HSG Tỉnh Lào Cai, năm học 2020 - 2021  x x x  x   x 1 P     : x  x  x x  x    x  x ( x  0; x 1 ) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x cho P nhận giá trị số nguyên Lời giải  x x x  x 1  x 1 P    : x  x  x x  x   x  x  a) Ta có 13  x (3 x  2)  2( x  1)  x  ( x  1)(3 x  2)  x 1 x x  x 1  x x 2 b) x  0, x 1  x 0 P  x  x ( x  1) x 1 x 0 x 2 x 14 7      P  , x  0, x 1 3 x  3(3 x  2) P nhận giá trị số nguyên  P  {1; 2} P P 1  1 x  x (tmđk) P 2  x 4  x 16 (tmđk) 1  x   ;16    P nhận giá trị số nguyên Vậy Bài 10: HSG Tỉnh Bắc Giang, năm học 2020 - 2021 A 3x  x   x x  x 1 x 2  x   x ( x 0; x 1 ) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Lời giải a) Với x 0, x 1 , ta có: 3x  x  A  x x   A x  x 2 x 1 x 2  A   x  1 x x   x1  A Vậy với x 0, x 1 b) Ta có A x 1  x1 A    x  2  x 2  x 1     x  2  x  1 A x x1 3x  x    x  1 x x x1 x  14 x1  x 2   Với x  , để A  x  1  2; 1 Suy Lập bảng  ước x1 x1 x x 2 1 (loại) 1 x   0; 4;9 Kết hợp với điều kiện x 0, x 1 thỏa mãn yêu cầu toán Bài 11: HSG Tỉnh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021 x  x  x 1   x 2 x  x  x  ( x 0; x 1 ) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A A A b) Tìm giá trị x để nhận giá trị nguyên Lời giải a) Ta có: A   5 x  x  x 1   x 2 x  x  x  với x 0 x 1  x1     x  2    x  2  x  1 x1  x1 5x  x 1  2x  x   x     x  1  x  1  x  2 x    x  2  x  1  x  A x 2   x 1 7x  x   x 2   x1 x 2 x 2 Vậy b) Với x 0 x 1 A x 2  0 Ta có 2 x  A Để nhận giá trị nguyên  A 2 A  Ta có A x 2  x 2   x   12 x 2 7  12 7 x 2 Mà  A  , A2, A   A   2; 4;6 15 Với A 2 Với A 4 Với A 6  x 2 2  x  2 x   x 2  x  x 2 25 (thỏa mãn)  x 2 4  x  4 x   x 6  x 2  x 2 6  x  6 x  12  x 2 x 2  x 4 (thỏa mãn) x 10  x 100 (thỏa mãn) 4  A x   ;4; 100  25   nhận giá trị nguyên Vậy Bài 12: HSG Tỉnh Đồng Tháp, năm học 2020 - 2021 x4 x  x x  16 1  x x Cho biểu thức (  x 8 ) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A có giá trị nguyên A Lời giải a) Với  x 8 ta có A x 44 x 4  x 4 x 4   4 1   x   x 2     4 1   x | x 2| | x  2|  x 22 x   x 1 x x b) Với  x 8 ta có x   2  A x   0 2x 2  x x A nguyên x  ước  x  1  x  2   x  4  Suy ra:  x  8  x 5  x 6   x 8 Kết hợp với điều kiện ta có:  Bài 13: HSG Tỉnh Sơn La, năm học 2020 - 2021 Cho hai biểu thức A x x   11 x x   B  x x 3 x x  với x 0; x 9 16 1 2x 0  x x x  45  2021    45  2021  a) Tính giá trị A b) Rút gọn A c) TÌm tất số nguyên x để P  A.B nhận giá trị nguyên Lời giải a) Ta có: x 5(45  2021)  5(45  2021)  2(45  2021)  2(45  2021) 90  2021  90  2021  5(45  2021)(45  2021) 5(2025  2021) 180  20 9 Thay x 9 vào biểu thức B ta được: B x  3   0 x 1 1 1 A b) x x   11 x x ( x  3)  ( x  1)( x  3)  11 x     9 x ( x  3)( x  3) x 3 x  x  x  x  x  x   11 x  3x  x  ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3)  x ( x  3) x  ( x  3)( x  3) x  với x 0, x 9 c) Ta có: P  A B   P số nguyên x x3 x 3( x  1)  3     x  x 1 x 1 x 1  x 1 x  số nguyên  : ( x  1)  ( x  1)  Ö (3) {1; 3} mà  x  1 với x 0 x    1; 3  x  {0; 4} Bài 14: HSG Quận Tây Hồ, năm học 2020 - 2021  x x    x  1  P     :    x  11  x   x  x   x    Cho hai biểu thức với x 2; x 11 a) Rút gọn biểu thức P c) Tìm tất số thực x để biểu thức P đạt giá trị nguyên Lời giải 1) Rút gọn biểu thức P Điều kiện xác định: x 2; x 11 Đặt x  a , a  0; a 3 17  a   a  a  3  a    3a   a a    3a  1  P   :  P   :     2       a  a   a  3a a     a    a   a   a  a  3 a  a  3   P  a  3   a   a :  a  2 a  a  3  P  3a  a  2 P  x  a vào P ta được: Thay x 2  x 2  b) Tìm số thực x để biểu thức P đạt giá trị nguyên P 3 x 2  x 2   x   P  3  P P nguyên nên P  0 Từ Do x   4P 2P   4P 3 0  P 0 x  0 nên P  Suy P    1; 0 Do P nguyên nên Với P  Với P 0 x  4  x 18 x  0  x 2 Bài 15: HSG Huyện Ba Vì, năm học 2020 - 2021 P x 1 x x  x  x x  x     x x x x x x Cho hai biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P  c) Với giá trị x biểu thức P nhận giá trị nguyên Lời giải a) Rút gọn biểu thức P Điều kiện x  ; x 1 x x  ( x  1)( x  x  1) x  x    x ( x  1) x Ta có x  x x  x x  x  ( x  1)( x  x  1)  x  x     x x x x (1  x) x Thay vào P ta được: P x 1 x  x 1  x  x  x 1    2 x x x x 18 b) Chứng minh P  Ta có với x  0; x 1   x  0 Suy x   x x 1 x 2  2 x x Do đó, Suy P  P c) Với giá trị x biểu thức P nhận giá trị nguyên? P 4 0  P Ta có Do P nhận giá trị nguyên Khi P 6  x 1 x  x 1  6  0 x x  x 2   ( x  2) 3    x 2   x 7   x    Vậy với  P nhận giá trị nguyên Bài 16: HSG Huyện Mỹ Đức, năm học 2020 - 2021  x   x 3 P    : x  2 x  x  x   10 x  x  Cho hai biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x  13  12  28  16  c) Cho biểu thức B x x  x Tìm x để M P.B có giá trị nguyên Lời giải  x   x 3 P    : x  2 x  x  x   10 x  x  a) Ta có 19 Với x  0, x 4  x 23 x  x    x  2 x 1 x  2 x 1    x 3   : x 3   x  2 x 1  x x 1            x 3    x  2 x 1      : x 3  x x 1       x x 1 x 3 x x b) Ta có: x  13     3 6  x  13       9 (TM)  P 15 9 M P.B  c) x x  x  x x 2 x 2  x 2  2 Với x  0, x 4 ta có  M + Với + Với 1  x 2 5  x 2 Mà dễ thấy Nên với  M 0 0M  M    M   1; 2 M 1  1  x 2 M 2  2  x 2 x  5  x 9 (TM) x    x  (TM) 1  x   ;9 4  Vậy Bài 17: HSG Huyện Hưng Hà, năm học 2019 - 2020 x 1 x x  x2  x x  x    x x  x x x x Cho hai biểu thức (với  x 1 ) a) Rút gọn biểu thức P chứng minh P  Q P nhận giá trị nguyên b) Với giá trị x biểu thức P Lời giải a) Với  x 1 ta có: 20