Chuyên đề HÌNH BÌNH HÀNH A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song (h.4.1) Hình 4.1 Hình 4.2 Tính chất Trong hình bình hành (h.4.2): Các cạnh đối nhau; Các góc đối nhau; Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành; Tứ giác có cạnh đối hình bình hành; Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành; Tứ giác có góc đối hình bình hành; Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hình bình hành ACBD Trên tia đối tia AD lấy điểm M, tia đối tia CB lấy điểm N cho AM CN Chứng minh ba đường thẳng MN, AC, BD gặp điểm Giải (h.4.3) * Tìm cách giải AC BD hai đường chéo hình bình hành ABCD nên chúng cắt trung điểm O AC Ta phải chứng minh MN qua O Muốn cần chứng minh AMCN hình bình hành để suy đường chéo MN qua trung điểm O AC * Trình bày lời giải Trang Tứ giác: AMCN có AM CN AM CN nên hình bình hành Suy hai đường chéo MN AC cắt trung điểm O AC Mặt khác, ABCD hình bình hành nên hai đường chéo BD AC cắt trung điểm O AC Vậy đường thẳng MN, BD AC qua trung điểm O AC Nhận xét: Hai hình bình hành AMCD ABCD có chung đường chéo AC đường chéo chúng đồng quy trung điểm đường chéo chung Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành tam giác ABM AND Chứng minh tam giác CMN tam giác Giải (h4.4) * Tìm cách giải Đề cho hình bình hành tam giác nên có nhiều đoạn thẳng nhau, nhiều góc Do nghĩ đến việc chứng minh tam giác * Trình bày lời giải Ta đặt: ABC ADC ; BAD 180 ; MAN 360 60 60 180 60 MAN CDN có: AM DC AB ; MAN CDN 60 ; AN DN Do đó: MAN CDN c.g c MN CN 1 Chứng minh tương tự, ta được: MAN MBC c.g c MN MC Từ 1 suy ra: MN CN MC Vậy CMN Nhận xét: Việc đặt ABC kỹ thuật giúp ta tính tốn so sánh góc nhanh chóng, tiện lợi Ví dụ 3: Chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến vng góc với tổng bình phương hai đường trung tuyến bình phương đường trung tuyến thứ ba Giải (h4.5) * Tìm cách giải Kết luận tốn gợi ý cho ta vận dụng định lý Py-ta-go Muốn phải vẽ đường phụ tạo tam giác vng có ba cạnh ba đường trung tuyến * Trình bày lời giải Giả sử tam giác ABC tam giác có đường trung tuyến BD CE vng góc với Ta phải chứng minh BD CE AF (AF đường trung tuyến thứ ba) Trang Trên tia ED lấy điểm K cho D trung điểm EK Tứ giác AKCE có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành AK CE AK CE Ta có: DE BC DE BC DK BF DK BF Vậy tứ giác DKFB hình bình hành KF BD KF BD Mặt khác, BD CE nên AK KF Do KAF vng A AK KF AF CE BD AF C Bài tập vận dụng Tính chất hình bình hành 4.1 Cho tam giác nhọn ABC Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD tam giác ACE vuông cân A Gọi M trung điểm DE Chứng minh hai đường thẳng MA BC vng góc với 4.2 Cho hình bình hành ABCD Vẽ ngồi hình bình hành tam giác ABM vng cân A, tam giác BCN vuông cân C Chứng minh tam giác DMN vuông cân 4.3 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Chứng minh chu vi tam giác ABC lớn HA HB HC 4.4 Cho hình thang cân ABCD AB CD điểm O hình Chứng minh có tứ giác mà bốn cạnh OA, OB, OC, OD bốn đỉnh nằm bốn cạnh hình thang cân 4.5 Cho hình bình hành ABCD đường thẳng xy khơng cắt cạnh hình bình hành Qua đỉnh A, B, C, D vẽ đường thẳng vng góc với xy, cắt xy A, B, C , D Chứng minh AA CC BB DD 4.6 Cho hình bình hành ABCD AD AB Vẽ ngồi hình bình hành tam giác ABM cân B tam giác ADN cân D cho ABM ADN a) Chứng minh CM CN ; b) Trên AC lấy điểm O Hãy so sánh OM với ON 4.7 Cho tam giác ABC cân A, AB BC Trên tia AB có điểm D, tia CA có điểm E cho AD DE EC CB Tính góc tam giác ABC Nhận biết hình bình hành 4.8 Chứng minh tứ giác, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo đoạn thẳng nối trung điểm hai cặp cạnh đối diện gặp điểm (định lí Giéc-Gơn, nhà Tốn học Pháp) 4.9 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD Gọi E, F, G, H trung điểm NA, NB, MC, MD Chứng minh ba đường thẳng MN, EF, GH đồng quy Trang 4.10 Cho đoạn thẳng PQ điểm A đường thẳng PQ Vẽ hình hình hành ABCD có đường chéo BD PQ BD PQ Chứng minh đường thẳng BC CD qua điểm cố định 4.11 Trong tất tứ giác với hai đường chéo có độ dài m n cho trước góc xen hai đường chéo có độ lớn cho trước xác định tứ giác có chu vi nhỏ Dựng hình bình hành 4.12 Cho tam giác ABC Dựng điểm M AB , điểm N AC cho MN BC BM AN 4.13 Dựng hình bình hành ABCD biết vị trí điểm A vị trí trung điểm M, N BC CD 4.14 Cho trước hai điểm A B thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ đường thẳng d Một đoạn thẳng CD có dộ dài a cho trước nằm đường thẳng d Hãy xác định vị trí điểm C D để tổng AC CD DB nhỏ 4.15 Hai điểm dân cư A B hai bên sơng có hai bờ d d Chiều rộng sơng a Hãy tìm địa điểm bắc cầu cho quãng đường từ A sang B ngắn (cầu vng góc với bờ sơng) Hướng dẫn giải 4.1 (h.4.6) Vẽ hình bình hành DAEF Khi AF qua M Gọi H giao điểm MA với BC Ta có: EF AD AB AEF DAE 180 mà BAC DAE 180 nên AEF BAC C AEF CAB g c.g A 1 A 90 H 90 Ta có: A1 A2 90 C Do đó: MA BC 4.2 (h.4.7) Ta đặt ADC DAM 90 ; NCD 90 DAM NCD có: AM CD AB ; DAM NCD 90 ; AD CN BC Do DAM NCD c.g c DM DN (1) DMA NDC Kéo dài MA cắt CD H Ta có: Trang MA AB MH CD Xét MDH có DMA ADM 90 NDC ADM 90 Hay MDN 90 (2) Từ (1) (2) suy DMN vuông cân D 4.3 (H.4.8) Vẽ HM AC M AB , HN AB N AC Vì CH AB nên CH HN Vì BH AC nên BH HM Xét HBM vng H có BM HB (1) Xét HCN vng H có CN HC (2) Xét hình bình hành ANHM có AM AN AM MH HA (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: BM CN AM AN HB HC HA MB AM CN AN HA HB HC hay AB AC HA HB HC Chứng minh tương tự, ta được: BC BA HA HB HC CA CB HA HB HC Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: AB BC CA HA HB HC Do AB BC CA HA HB HC 4.4 (h.4.9) Qua O dựng đường thẳng song song với BC cắt AB CD E G Qua O dựng đường thẳng song song với CD cắt AD H Qua E dựng đường thẳng song song với OC cắt BC F Khi tứ giác EFGH thỏa mãn đề Thật vậy, tứ giác AEOH, HOGD hình thang cân OA EH ; OD HG (1) Tứ giác EFCO hình bình hành OC EF (2) OE CF Suy OG BF Vậy tứ giác OBFG hình bình hành OB GF (3) Từ (1), (2), (3) suy tứ giác EFGH thỏa mãn đề 4.5 (h.4.10) Trang Gọi O giao điểm AC BD Vẽ OO xy Ta có: AA BB CC DD OO Xét hình thang AAC C có OA OC OO AA nên OA OC Do OO đường trung bình hình thang AAC C OO AA CC hay AA CC 2OO Xét hình thang DDBB , chứng minh tương tự, ta có: BB DD 2OO Từ suy ra: AA CC BB DD 4.6 (h.4.11) a) Vì ABCD hình bình hành nên ABC ADC Ta đặt ABC m , ABM n , MBC CDN m n MBC CDN có: MB CD AB ; MBC CDN (chứng minh trên); BC DN AD Vậy MBC CDN c.g c CM CN b) Các ABM AND tam giác cân có góc đỉnh mà AB AD nên AM AN (bạn đọc tự chứng minh) Xét ACM CAN có CM CN ; CA chung AM AN nên ACM ACN Xét OCM OCN có CM CN ; CO chung ACM ACN nên OM ON 4.7 (h.4.12) Vẽ hình bình hành BDEF EF BD 1 ; ED FB Ta có: AD CE; AB AC BD EA Từ (1) (2) suy EF EA Ta có: CEF (so le trong); DAE (hai góc đáy tam giác cân) DEA DAE Suy CEF DEA CEF DEA c.g c CF AD Từ suy ra: BF CF BC FBC Ta đặt BAC m , ADE n Vẽ tia Fx tia đối tia FC Vì CFE nên EFx DAE BAC m Trang Ta có: BFx 120 hay m n 120 (*) n ; CFE Trong CEF ta có ECF D CEF 60 n Do đó: n 60 n 60 n 180 3n 60 n 20 Từ * m 100 Suy ABC ACB 40 4.8 (h.4.13) Gọi M, N, P, Q, E F trung điểm AB, BC, CD, DA, AC BD Ta phải chứng minh MP, NQ EF qua điểm Xét ABC có MN đường trung bình MN AC MN AC Chứng minh tương tự, ta có: PQ AC PQ AC Suy MN PQ MN PQ Do tứ giác MNPQ hình bình hành Chứng minh tương tự, ta tứ giác MEPF hình bình hành Hai hình bình hành MNPQ MEPF có chung đường chéo MP nên đường chéo MP, NQ EF đồng quy trung điểm đường 4.9 (h.4.14) Bạn chứng minh tứ giác MGNH MFNE hình bình hành.Hai hình bình hành có chung đường chéo MN nên đường chéo MN, EF GH đồng quy 4.10 (h.4.15) Qua A vẽ đường thẳng xy PQ Trên tia Ax lấy điểm M, tia Ay lấy điểm N cho AM AN PQ Như điểm M N cố định Trang Tứ giác AMBD có hai cạnh đối diện song song nên hình bình hành BM AD Mặt khác, BC AD nên ba điểm B, M, C thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit) Do đường thẳng BC qua điểm cố định M Chứng minh tương tự, ta đường thẳng CD qua điểm cố định N 4.11 (h.4.16) Xét tứ giác ABCD có AC m, BD n BOC Vẽ hình bình hành ADBE vẽ hình bình hành CAEF Khi đó: EF AC m; CF AE BD n; EAC BOC Như hình bình hành CAEF hồn tồn xác định, hai đường chéo AF CE khơng đổi Dễ thấy tứ giác BFCD hình bình hành BF CD Chu vi tứ giác ABCD là: AB CD BC AD AB BF BC BE AF CE A, B, F Dấu " " xảy C , B, E thẳng hàng thẳng hàng AB CD AD BC ABCD hình bình hành Vậy chu vi tứ giác ABCD nhỏ ABCD hình bình hành 4.12 (h.4.17) a) Phân tích Giả sử dựng MN BC cho BM AN Vẽ ND AB D BC Tứ giác MNDB hình bình hành DN BM mà BM AN nên DN AN NAD cân A2 D (so le trong) nên A A Mặt khác, A1 D 1 Do AD đường phân giác góc A Điểm D dựng suy điểm N M dựng b) Cách dựng - Dựng đường phân giác AD tam giác ABC - Dựng DN AB N AC - Dựng NM BC M AB Các bước lại, bạn đọc tự giải Trang 4.13 (h.4.18) a) Phân tích Giả sử dựng hình bình hành thỏa mãn đề Gọi O giao điểm hai đường chéo K giao điểm MN AC Xét CBD có MN đường trung bình, MN BD Xét COB có MB MC MK OB nên CK KO Vậy MK đường trung bình nên MK OB Chứng minh tương tự, ta KN OD Mặt khác, OB OD nên KM KN Vậy điểm K trung điểm MN xác định 1 1 Dễ thấy OK KC OC OA KC AC suy KC KA 2 Điểm C nằm tia đối tia KA cách K khoảng AK Điểm C xác định điểm B D xác định b) Cách dựng - Dựng đoạn thẳng MN - Dựng trung điểm K MN - Dựng tia AK - Trên tia đối tia KA dựng điểm C cho KC KA - Dựng điểm B cho M trung điểm CB - Dựng điểm D cho N trung điểm CD - Dựng đoạn thẳng AB, AD ta hình bình hành phải dựng Bạn đọc giải tiếp bước lại 4.14 (h.4.19) Giả sử xác định vị trí C D d để tổng AC CD DB nhỏ Vẽ hình bình hành CDBB (chú ý CD BB ngược chiều nhau) Khi BB CD a (khơng đổi); DB CB Điểm B cố định Ta có tổng AC CD DB nhỏ AC DB nhỏ (vì CD a khơng đổi) Trang AC CB nhỏ A, C , B thẳng hàng Từ ta xác định điểm C d sau: - Qua B vẽ đường thẳng song song với d, lấy B cho BB a ( BB ngược chiều với CD) - Lấy giao điểm C BA d - Lấy D d cho CD a (CD BB ngược chiều) Khi tổng AC CD DB nhỏ Phần chứng minh dành cho bạn đọc 4.15 (h.4.20) Giả sử xác định vị trí CD cầu C d ; D d cho tổng AC CD DB nhỏ Vẽ hình bình hành ACDA Ta có: AC AD, AA CD a AA d Khi A điểm cố định Ta có tổng AC CD DB nhỏ AC DB nhỏ (vì CD a khơng đổi) AD DB nhỏ A, D, B thẳng hàng Từ ta xác định vị trí CD cầu sau: - Vẽ AH d - Trên tia AH lấy A cho AA a - Lấy giao điểm D AB d - Vẽ DC d C d Khi AC CD DB nhỏ Phần chứng minh dành cho bạn đọc Trang 10