Duong thang va mat phang trong khong gian quan he song song toan 11 gdpt 2018

502 Biết làm, làm đúng, làm nhanh Chûúng ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.QUAN SONGTRONG SONG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶTHỆ PHẲNG KHÔNG GIAN.QUAN HỆ SONG SONG 502/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 503 Chương Đường thẳng mặt phẳng không gian.Quan hệ song song Bâi sưë Biết làm, làm đúng, làm nhanh ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A – KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Mặt phẳng Người ta thường biểu diễn mặt phẳng hình bình hành dùng chữ đặt dấu ngoặc đơn () để đặt cho tên mặt phẳng Ví dụ: mặt phẳng (P ) (hình bên), mặt phẳng (Q), mặt phẳng (α), mặt phẳng (β), A D P B C Điểm thuộc mặt phẳng Nhận xét Với điểm A mặt phẳng (P ), xảy hai khả sau: A ○ Điểm A thuộc mặt phẳng (P ), ta kí hiệu A ∈ (P ) ○ Điểm A không thuộc mặt phẳng (P ) hay A nằm ngồi (P ), ta kí hiệu A ∈ / (P ) A P P Hình biểu diễn hình khơng gian a) Hình vẽ mặt phẳng để giúp ta hình dung hình khơng gian gọi hình biểu diễn hình khơng gian b) Quy tắc vẽ hình biểu diễn hình khơng gian Để việc vẽ hình biểu diễn hình không gian thuận lợi thống nhất, ta quy ước sau: ○ ○ ○ ○ Đường thẳng biểu diễn đường thẳng Đoạn thẳng biểu diễn đoạn thẳng; Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) biểu diễn đường thẳng song song (hoặc cắt nhau); Hình biểu diễn giữ ngun tính liên thuộc điểm với đường thẳng với đoạn thẳng; Những đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường khơng nhìn thấy vẽ nét đứt Các quy tắc khác đề cập sau Ví dụ Dựa hình bên, vẽ hình biểu diễn hộp phấn Lời giải Hình biểu diễn hộp phấn vẽ hình bên □ 503/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 504 Đường thẳng mặt phẳng không gian Biết làm, làm đúng, làm nhanh B – CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Do thực tiễn, kinh nghiệm quan sát, người ta thừa nhận số tính chất hình học khơng gian Tính chât 1.1 Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Tính chât 1.2 Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước B A C P Tính chât 1.3 Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng A B d P Ví dụ Hình bên minh họa người thợ kiểm tra độ phẳng mặt sàn nhà Hãy cho biết người thợ kiểm tra độ phẳng mặt sàn nhà cách nào? Lời giải Người thợ đặt thước dẹt dài lên mặt sàn nhà vị trí khác Nếu thước ln áp sát mặt sàn (khơng bị cập kênh) mặt sàn phẳng □ Tính chât 1.4 Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng Ví dụ Giải thích sao: a) Chân máy ảnh đặt hầu hết loại địa hình mà đứng vững b) Bàn, ghế bốn chân thường hay bị cập kênh Lời giải a) Giá đỡ ba chân máy ảnh đặt mặt đất khơng bị cập kênh theo tính chất “Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước” b) Bàn, ghế bốn chân thường hay bị cập kênh theo tính chất “Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng” □ Tính chât 1.5 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng P Nhận xét a) Có thể xác định giao tuyến hai mặt phẳng cách tìm hai điểm chung chúng Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến cần tìm b) Để tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P ) (với giả thiết a cắt (P )), ta làm sau: Chọn đường thẳng b thích hợp mặt phẳng (P ) tìm giao điểm M hai đường thẳng a b Khi M giao điểm cần tìm Tính chât 1.6 Trên mặt phẳng không gian, kết biết hình học phẳng 504/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 505 Chương Đường thẳng mặt phẳng không gian.Quan hệ song song Biết làm, làm đúng, làm nhanh C – MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG c Định lí 1.1 Cho điểm A khơng thuộc đường thẳng d Khi đó, qua điểm A đường thẳng d có mặt phẳng, kí hiệu mp(A, d) (A, d) c Định lí 1.2 Cho hai đường thẳng a b cắt Khi đó, qua a b có mặt phẳng, kí hiệu mp(a, b) Nhận xét Mặt phẳng hoàn toàn xác định theo ba cách sau: ○ Đi qua ba điểm không thẳng hàng ○ Đi qua đường thẳng điểm nằm ngồi đường thẳng ○ Đi qua hai đường thẳng cắt D – HÌNH CHĨP VÀ HÌNH TỨ DIỆN Hình chóp Trong mặt phẳng (P ), cho đa giác A1 A2 An (n ≥ 3) Lấy điểm S nằm (P ) Nối S với đỉnh A1 , A2 , , An ta n tam giác: SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 Hình gồm đa giác A1 A2 An n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi hình chóp, kí hiệu S.A1 A2 An S A5 A1 A4 A2 A3 ○ Trong hình chóp S.A1 A2 An — Điểm S gọi đỉnh; — Đa giác A1 A2 An gọi mặt đáy; — Các cạnh mặt đáy gọi cạnh đáy, đoạn thẳng SA1 , SA2 , , SAn gọi cạnh bên; — Các tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi mặt bên ○ Nếu đáy hình chóp tam giác, tứ giác, ngũ giác, hình chóp tương ứng gọi hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, Hình tứ diện Cho bốn điểm A, B, C, D không nằm mặt phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD BCD gọi hình tứ diện (hay ngắn gọn tứ diện), kí hiệu ABCD A B D C 505/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 506 Đường thẳng mặt phẳng không gian Biết làm, làm đúng, làm nhanh ○ Trong hình tứ diện ABCD — Các điểm A, B, C, D gọi đỉnh — Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi cạnh Hai cạnh khơng có điểm chung gọi hai cạnh đối diện — Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi mặt — Đỉnh không nằm mặt gọi đỉnh đối diện với mặt ○ Hình tứ diện có mặt tam giác hình tứ diện ○ Mỗi hình chóp tam giác hình tứ diện Ngược lại, ta quy định rõ đỉnh mặt đáy hình tứ diện hình tứ diện trở thành hình chóp tam giác Nhận xét Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta ba điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt E – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Câu hỏi lý thuyết Ví dụ mẫu Ví dụ (Cánh diều) Hình bên minh họa người thợ kiểm tra độ phẳng mặt sàn nhà Hãy cho biết người thợ kiểm tra độ phẳng mặt sàn nhà cách nào? Lời giải Người thợ đặt thước dẹt dài lên mặt sàn nhà vị trí khác Nếu thước ln áp sát mặt sàn (khơng bị cập kênh) mặt sàn phẳng □ Ví dụ (Cánh diều) Giải thích sao: a) Chân máy ảnh đặt hầu hết loại địa hình mà đứng vững b) Bàn, ghế bốn chân thường hay bị cập kênh Lời giải a) Giá đỡ ba chân máy ảnh đặt mặt đất không bị cập kênh theo tính chất “Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước” b) Bàn, ghế bốn chân thường hay bị cập kênh theo tính chất “Tồn bốn điểm khơng nằm mặt phẳng” □ Ví dụ (Cánh diều) a) Cho điểm A không thuộc đường thẳng d Trên d lấy ba điểm B, C, D đôi khác Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc mặt phẳng b) Cho hai đường thẳng a, b cắt O Đường thẳng c không qua O cắt đường thẳng a, b Chứng minh ba đường thẳng a, b, c thuộc mặt phẳng Lời giải 506/764 Toán 11 theo chương trình GDPT2018 507 Chương Đường thẳng mặt phẳng không gian.Quan hệ song song Biết làm, làm đúng, làm nhanh a) Theo Định lí 1, qua điểm A đường thẳng d có mặt phẳng (α) Do B, C, D ∈ d nên B, C, D ∈ (α) Vậy bốn điểm A, B, C, D thuộc mặt phẳng A d B C D b) Theo Định lí 2, qua hai đường thẳng a, b có mặt phẳng (β) Giả sử đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b điểm A B Do c không qua O nên A khác B Ta có A ∈ a, B ∈ b nên A, B ∈ (β) Suy c nằm mặt phẳng (β) Vậy ba đường thẳng a, b, c thuộc mặt phẳng ca A O b B □ Ví dụ (Chân trời) Với đường thẳng d hai điểm M, N phân biệt không thuộc d, ta xác định mặt phẳng? Lời giải Với đường thẳng d điểm M không thuộc d, ta xác định mặt phẳng thứ (M, d) Nếu điểm N thuộc (M, d) ta xác định mặt phẳng Nếu điểm N khơng thuộc (M, d) ta xác định mặt phẳng thứ hai (N, d) □ d N M ○ Một mặt phẳng xác định biết chứa hai đường thẳng cắt a Mặt phẳng xác định điểm hai đường thẳng a, b cắt kí hiệu mp(a, b) b Ví dụ (Chân trời) Với ba đường thẳng a, b, c không nằm mặt phẳng qua điểm O, ta xác định mặt phẳng? Lời giải Từ ba cặp đường thẳng cắt a b, b c, c a, ta xác định ba mặt phẳng mp(a, b), mp(b, c), mp(c, a) □ O c a b Bài tập rèn luyện Bài Trong không gian, cho hai đường thẳng a, b mặt phẳng (P ) Những mệnh đề sau đúng? a) Nếu a chứa điểm nằm (P ) a nằm (P ) b) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (P ) a nằm (P ) c) Nếu a b nằm (P ) giao điểm (nếu có) a b nằm (P ) d) Nếu a nằm (P ) a cắt b b nằm (P ) Lời giải a) Khẳng định : “Nếu a chứa điểm nằm (P ) a nằm (P )” khẳng định sai b) Khẳng định : “Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (P ) a nằm (P )” khẳng định c) Khẳng định : “Nếu a b nằm (P ) giao điểm (nếu có) a b nằm (P )” khẳng định d) Khẳng định : “Nếu a nằm (P ) a cắt b ” b nằm (P ) khẳng định sai 507/764 Toán 11 theo chương trình GDPT2018 508 Đường thẳng mặt phẳng không gian Biết làm, làm đúng, làm nhanh □ Bài Khi trát tường, dụng cụ thiếu người thợ thước dẹt dài (hình bên) Cơng dụng thước dẹt gì? Giải thích Lời giải Công dụng thước dẹt cán phẳng vữa bề mặt tường Khi trát tường, người thợ dùng thước dẹt dài di chuyển (cán) bề mặt tường làm cho mặt tường phẳng (trùng với mặt phẳng thước) □ Bài Cho tam giác ABC điểm M thuộc đường thẳng BC A a) Điểm M có thuộc mặt phẳng (ABC) hay khơng? b) Đường thẳng AM có nằm mặt phẳng (ABC) hay không? B C M C M Lời giải A a) Đường thẳng BC có hai điểm phân biệt B, C thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng BC nằm mặt phẳng (ABC) Vì M thuộc đường thẳng BC nên M thuộc mặt phẳng (ABC) b) Đường thẳng AM có hai điểm phân biệt A, M thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng AM nằm mặt phẳng (ABC) B □ Bài Cho ba điểm phân biệt M, N, P không thẳng hàng Có đường thẳng qua hai ba điểm cho? Lời giải Do qua hai điểm phân biệt có đường thẳng nên qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng M, N, P , ta xác định ba đường thẳng M N, N P P M □ Bài Cho đường thẳng a qua hai điểm phân biệt M, N điểm O khơng thuộc a Có mặt phẳng qua ba điểm M, N, O? O N a M Lời giải Do O không thuộc a nên ba điểm M, N, O khơng thẳng hàng Do có mặt phẳng qua ba điểm M, N, O □ Bài Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng điểm M nằm đường thẳng BC Gọi (P ) mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Chứng tỏ M ∈ (P ) Lời giải Áp dụng tính chất 2, ta có (P ) mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Áp dụng tính chất 3, ta có điểm đường thẳng BC thuộc mặt phằng (P ) Ta lại có M ∈ BC (giả thiết) Suy M ∈ (P ) C M P B A □ Bài Cho bốn điểm A, B, C, D không nằm mặt phẳng Có mặt phẳng qua ba bốn điểm cho? 508/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 509 Chương Đường thẳng mặt phẳng không gian.Quan hệ song song Biết làm, làm đúng, làm nhanh Lời giải Gọi A, B, C, D bốn điểm không nằm mặt phẳng không gian (tồn theo tính chất 4) Ta xác định bốn mặt phẳng phân biệt là: (ABC), (ABD), (ACD), (BCD) □ Dạng Hình biểu diễn hình không gian ○ Đường thẳng biểu diễn đường thẳng Đoạn thẳng biểu diễn đoạn thẳng; ○ Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) biểu diễn đường thẳng song song (hoặc cắt nhau); ○ Hình biểu diễn giữ ngun tính liên thuộc điểm với đường thẳng với đoạn thẳng; ○ Những đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường khơng nhìn thấy vẽ nét đứt Ví dụ mẫu Ví dụ (Cánh diều) Dựa hình bên, vẽ hình biểu diễn hộp phấn Lời giải Hình biểu diễn hộp phấn vẽ hình bên □ S Ví dụ 10 (Chân trời) Cho hình chóp S.ABCD (Hình vẽ bên) Gọi tên mặt bên, mặt đáy, cạnh bên, cạnh đáy hình chóp S.ABCD Lời giải Hình chóp S.ABCD có: D ○ Các mặt bên: SAB, SBC, SCD, SDA; ○ Mặt đáy ABCD; A C ○ Các cạnh bên: SA, SB, SC, SD; B ○ Các cạnh đáy: AB, BC, CD, DA □ 509/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 510 Đường thẳng mặt phẳng không gian Biết làm, làm đúng, làm nhanh M Ví dụ 11 (Chân trời) Gọi tên mặt, cặp cạnh đối diện tứ diện M N P Q Lời giải Tứ diện M N P Q có: ○ Các mặt: M N P, M P Q, M QN, N P Q Q N ○ Các cặp cạnh đối diện: M N P Q, M P N Q, M Q N P P □ Bài tập rèn luyện Bài Hình bên hình ảnh chặn giấy gỗ có bốn mặt phân biệt tam giác Vẽ hình biểu diễn chặn giấy gỗ Lời giải Hình biểu diễn chặn giấy gỗ hình bên A B D C □ Bài tập trắc nghiệm Câu Trong không gian, qua ba điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng? A B C D Lời giải Qua điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng Chọn đáp án A Câu Cho điểm A, B, C, D không đồng phẳng (tham khảo hình vẽ bên) Có thể xác định mặt phẳng phân biệt từ điểm cho? A B C D □ A C D B Lời giải Dựa vào hình vẽ ta có mặt phẳng (ABC), (ABD), (ADC) (BCD) Chọn đáp án B □ Câu Trong không gian cho bốn điểm khơng đồng phẳng, xác định nhiều mặt phẳng phân biệt từ điểm đó? A B C D Lời giải 510/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 511 Chương Đường thẳng mặt phẳng không gian.Quan hệ song song Biết làm, làm đúng, làm nhanh Cách 1: Vì điểm cho khơng đồng phẳng nên tạo thành tứ diện Mà tứ diện có mặt phẳng Cách 2: Vì điểm cho khơng đồng phẳng nên chọn điểm cho ta mặt phẳng Do số mặt phẳng xác định từ điểm cho C34 = Chọn đáp án A Câu Một hình chóp có đáy ngũ giác có số mặt số cạnh A mặt, cạnh B mặt, 10 cạnh C mặt, 10 cạnh Lời giải □ D mặt, cạnh S B C A D E Hình chóp ngũ giác có mặt bên mặt đáy, cạnh bên cạnh đáy Chọn đáp án B □ Câu Cho bốn điểm A, B, C, D không nằm mặt phẳng Trên AB, AD lấy điểm M N cho M N cắt BD I Điểm I không thuộc mặt phẳng sau đây? A (CM N ) B (BCD) C (ABD) D (ACD) Lời giải Do D ∈ (ACD) nên I ∈ (ACD) đường thẳng ID thuộc mặt A phẳng (ACD) suy B ∈ (ACD) hay A, B, C, D đồng phẳng (trái với giả thiết) M N Vậy I ̸∈ (ACD) I B D C Chọn đáp án D □ Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có O = AC ∩ BD M trung điểm SD Khi SO cắt đường thẳng sau đây? A BM B AD C AB D BC S M A B O D Lời giải Vì SO BM hai đường trung tuyến tam giác SBD nên SO cắt BM SO vào AB chéo nhau; SO vào AD chéo nhau; SO vào BC chéo Chọn đáp án A C □ Câu Cho mặt phẳng (P ) ba điểm A, B, C phân biệt không thẳng hàng không thuộc mặt phẳng (P ) Gọi M , N , P giao điểm AB, BC, CA với (P ) Tìm khẳng định khẳng định sau A ∆M N P = ∆ABC B M , N , P thẳng hàng C điểm M , N , P , C không đồng phẳng D điểm A, B, C, M khơng đồng phẳng 511/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 750 Bài tập cuối chương IV Biết làm, làm đúng, làm nhanh ® (α) ∥ AB Ta có ⇒ (α) ∩ (ABC) = M N ∥ AB với N ∈ AC M ∈ (α) ∩ (ABC) ® (α) ∥ CD ⇒ (α) ∩ (DBC) = M P ∥ CD với P ∈ AC M ∈ (α) ∩ (DBC) ® (α) ∥ AB ⇒ (α) ∩ (ABD) = P Q ∥ AB với ∈ AC P ∈ (α) ∩ (ABD) Khi (α) ∩ (ACD) = QN Mà (α) ∥ CD nên QN ∥ CD Do M N ∥ P Q, QN ∥ M P hay M N P Q l hỡnh bỡnh hnh Ô Ta có (AB, CD) = (M N, M P ) nên M N P Q khơng thể hình chữ nhật D Q P N A C M Vì M BC nên M N ̸= M P hay M N QP khơng hình thoi Vậy M N ∥ P Q, QN ∥ M P hay M N P Q hình bình hành Chọn đáp án C B □ Câu 46 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Tồn đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng B Hai đường thẳng song song đồng phẳng C Tồn nhât đường thẳng qua điểm vng góc với mặt phẳng D Hai đường thẳng khơng đồng phẳng khơng có điểm chung Lời giải Mệnh đề "Tồn đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng" sai điểm thuộc đường thẳng cho khơng tồn đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước □ Chọn đáp án A Câu 47 Cho hình hộp ABCD.A′ B ′ C ′ D′ Trên cạnh AA′ , BB ′ , CC ′ lấy ba điểm M , N , P cho ′ B′N C ′P A′ M ′ Q Tính tỉ số D Q = ; = ; = Biết mặt phẳng (M N P ) cắt DD AA′ BB ′ CC ′ DD′ 1 A B C D 6 Lời giải B A Gọi O, O′ tâm hình bình hành ABCD A′ B ′ C ′ D′ , I = OO′ ∩ O M P cạnh bên AA′ = BB ′ = CC ′ = DD′ = a Ta có D C M C ′ P + A′ M = B ′ N + D′ Q = 2O′ I Q C ′P A′ M B′N D′ Q ⇔ + = + N CC ′ AA′ BB ′ DD′ P D′ Q 1 = + − = A DD′ 3 B ′ ′ ′ ′ ′ O D Chọn đáp án B C □ Câu 48 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) Khẳng định sau đúng? A d qua S song song với DC B d qua S song song với BC C d qua S song song với BD D d qua S song song với AB Lời giải 750/764 Toán 11 theo chương trình GDPT2018 751 Chương Đường thẳng mặt phẳng không gian.Quan hệ song song Biết làm, làm đúng, làm nhanh Xét hai mặt phẳng (SAD) (SBC) có: d S ○ S điểm chung ○ AD ∥ BC (ABCD hình bình hành) Vậy (SAD) ∩ (SBC) = d d qua S song song với BC A B D C Chọn đáp án B □ Câu 49 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm SA, SD AB Khẳng định sau đúng? A (M ON ) ∥ (SBC) B (N M P ) ∥ (SBD) C (N OM ) cắt (OP M ) D (P ON ) ∩ (M N P ) = N P Lời giải S ® ○ ○ M N ∥ AD (đường trung bình △SAD) OP ∥ AD (đường trung bình △BAD) O, N, M, P nằm mặt phẳng ® M N ∥ AD ∥ BC ⊂ (SBC) ⇒ MN ∥ OP ⇒ N M OM ∥ SC ⊂ (SBC) ⇒ (OM N ) ∥ (SBC) A D P O B Chọn đáp án A C □ Câu 50 Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết điều sau đây? A Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng B Một điểm đường thẳng thuộc C Ba điểm khơng thẳng hàng D Ba điểm mà qua Lời giải Có ba cách xác định mặt phẳng ○ Mặt phẳng hồn tồn xác định biết qua ba điểm khơng thẳng hàng ○ Mặt phẳng hồn tồn xác định biết qua điểm chứa đường thẳng khơng qua điểm ○ Mặt phẳng hồn tồn xác định biết chứa hai đường thẳng cắt Chọn đáp án C □ Câu 51 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AD BC; G trọng tâm tam giác BCD Giao điểm đường thẳng M G mặt phẳng (ABC) A Giao điểm M G AN B Giao điểm M G BD C Điểm N D Giao điểm M G BC Lời giải 751/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 752 Bài tập cuối chương IV Biết làm, làm đúng, làm nhanh Ta có M G ⊂ (ADN ) (ADN ) ∩ (ABC) = AN Do đó, giao điểm đường thẳng M G mặt phẳng (ABC) giao điểm M G AN A M N B C G D E Chọn đáp án A □ Câu 52 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AB ∥ CD) Gọi I, J trung điểm cạnh AD, BC G trọng tâm △SAB Biết thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (IJG) hình bình hành Khẳng định sau đúng? A AB = CD B AB = CD C AB = 3CD D AB = CD 3 Lời giải Qua G kẻ đường thẳng song song với AB cắt SA, SB H K S Thiết diện tạo (IJG) với hình chóp hình thang IJKH Để IJKH hình bình hành IJ = HK Mà G trọng tâm △SAB nên IJ = AB IJ đường trung bình G K H ABCD nên IJ = (AB + CD) Do 2 AB = (AB + CD) ⇔ AB = 3CD B A I J D C Chọn đáp án C □ Câu 53 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi E, F trung điểm AD BC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SEF ) (SAC) A (SEF ) ∩ (SAC) = SI với I trung điểm AB B (SEF ) ∩ (SAC) = SK với K trung điểm CD C (SEF ) ∩ (SAC) = SG với G tâm hình bình hành ABCD D (SEF ) ∩ (SAC) = SH với H giao điểm AC BE Lời giải Ta có S điểm chung thứ Gọi G giao điểm EF AC, suy G tâm hình bình hành ABCD Vậy (SEF ) ∩ (SAC) = SG với G tâm hình bình hành ABCD S A B G F E D Chọn đáp án C C □ Câu 54 Ba điểm phân biệt thuộc hai mặt phẳng phân biệt 752/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 753 Chương Đường thẳng mặt phẳng không gian.Quan hệ song song Biết làm, làm đúng, làm nhanh A thuộc đường Elip B thuộc đường thẳng C thuộc nửa đường tròn D thuộc đường tròn Lời giải Ba điểm phân biệt thuộc hai mặt phẳng phân biệt thuộc giao tuyến hai mặt phẳng Chọn đáp án B □ C – ĐỀ ÔN TẬP Phần Trắc nghiệm (7 điểm) Câu Cho điểm A nằm đường thẳng ∆ Qua A vẽ đường thẳng song song với đường thẳng ∆? A Vô số B C D Lời giải Qua điểm A nằm đường thẳng ∆ vẽ đường thẳng song song với đường thẳng ∆ Chọn đáp án D □ Câu Cho tam giác ABC Số mặt phẳng chứa tất đỉnh tam giác ABC? A B C D Lời giải Ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên có mặt phẳng qua chúng Chọn đáp án A □ Câu Cho hai đường thẳng phân biệt a b không gian Có vị trí tương đối a b? A B C D Lời giải Hai đường thẳng phân biệt a b khơng gian có vị trí tương đối: Cắt nhau, chéo song song với Chọn đáp án D □ Câu Trong không gian, hai đường thẳng song song với A Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba B Hai đường thẳng khơng có điểm chung C Hai đường thẳng nằm mặt phẳng khơng có điểm chung D Hai đường thẳng nằm mặt phẳng Lời giải Trong không gian, hai đường thẳng song song với hai đường thẳng nằm mặt phẳng khơng có điểm chung Chọn đáp án C □ Câu Cho tứ diện ABCD với I J trung điểm cạnh AB CD Mệnh đề sau đúng? A Bốn điểm I, J, B, C đồng phẳng B Bốn điểm I, J, C, D đồng phẳng C Bốn điểm I, J, B, D đồng phẳng D Bốn điểm I, J, A, C đồng phẳng Lời giải Ta có J ∈ CD ⊂ (CID) ⇒ J ∈ (CID) A Vậy bốn điểm I, J, C, D đồng phẳng I B D J C Chọn đáp án B 753/764 □ Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 754 Bài tập cuối chương IV Biết làm, làm đúng, làm nhanh Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M , N , P trung điểm SA, SC, AD Khẳng định sau đúng? A M N ∥ (ABCD) B M N ⊂ (SCP ) C M N ∥ (SBD) D BP ∥ SD Lời giải Vì M , N trung điểm SA, SC nên M N ∥ AC S Mặt khác M N ̸⊂ (ABCD) nên suy M N ∥ (ABCD) M N D A P B C Chọn đáp án A □ Câu Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A Qua ba điểm phân biệt có mặt phẳng B Qua bốn điểm phân biệt có mặt phẳng C Qua hai điểm phân biệt có mặt phẳng D Qua ba điểm phân biệt khơng thẳng hàng có mặt phẳng Lời giải Khẳng định “Qua ba điểm phân biệt khơng thẳng hàng có mặt phẳng” Chọn đáp án D □ Câu Trong không gian, đường thẳng song song với mặt phẳng A Đường thẳng khơng có điểm chung với hai đường thẳng thuộc mặt phẳng B Đường thẳng khơng có điểm chung với đường thẳng thuộc mặt phẳng C Đường thẳng mặt phẳng khơng có điểm chung D Đường thẳng song song với đường thẳng thuộc mặt phẳng Lời giải Trong không gian, đường thẳng song song với mặt phẳng đường thẳng mặt phẳng điểm chung Chọn đáp án C □ Câu Trong không gian cho bốn điểm phân biệt không đồng phẳng Có thể xác định nhiều mặt phẳng phân biệt từ điểm cho? A B C D Lời giải Với bốn điểm phân biệt khơng đồng phẳng, xác định nhiều mặt phẳng A phân biệt từ điểm cho B C D Chọn đáp án C 754/764 □ Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 755 Chương Đường thẳng mặt phẳng không gian.Quan hệ song song Biết làm, làm đúng, làm nhanh Câu 10 Trong không gian, hai mặt phẳng song song với A Hai mặt phẳng song song với đường thẳng B Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba C Có mặt phẳng chứa hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng lại D Hai mặt phẳng khơng có điểm chung Lời giải Trong khơng gian, hai mặt phẳng song song với hai mặt phẳng khơng có điểm chung Chọn đáp án D □ Câu 11 Trong không gian cho tứ diện ABCD Cặp đường thẳng sau chéo nhau? A AB BD B AD BC C AD CD D AB BC Lời giải Dễ thấy AB ∩ BC = B nên AB BC hai đường thẳng cắt D Tương tự: AD ∩ AD = D, AB ∩ BD = B nên cặp đường thẳng cắt A B C Chọn đáp án B □ Câu 12 Cho hai đường thẳng phân biệt a b không gian Có vị trí tương đối a b? A B C D Lời giải Hai đường thẳng phân biệt a b khơng gian có vị trí tương đối sau ○ a b cắt ○ a b song song ○ a b chéo Chọn đáp án C □ Câu 13 Cho tam giác ABC Lấy điểm M cạnh AC kéo dài (Hình bên) Mệnh đề sau mệnh đề sai? A C ∈ (ABM ) B A ∈ (M BC) C B ∈ (ACM ) D M ∈ (ABC) A C M B Lời giải Vì ACM thẳng hàng nên B ∈ (ACM ) mệnh đề sai Chọn đáp án C □ Câu 14 Quan hệ song song không gian có tính chất tính chất sau? A Nếu hai mặt phẳng (P ) (Q) song song với đường thẳng nằm (P ) song song với đường thằng nằm (Q) B Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước ta vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước C Nếu hai mặt phẳng (P ) (Q) song song với đường thẳng nằm (P ) song song với (Q) D Nếu hai đường thẳng song song với nằm hai mặt phẳng phân biệt (P ) (Q) (P ) (Q) song song với 755/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 756 Bài tập cuối chương IV Biết làm, làm đúng, làm nhanh Lời giải Nếu hai mặt phẳng (P ) (Q) song song với đường thẳng nằm (P ) song song với (Q) □ Chọn đáp án C Câu 15 Chọn khẳng định sai khẳng định sau A Nếu ba điểm phân biệt M, N, P thuộc hai mặt phẳng phân biệt chúng thẳng hàng B Hai mặt phẳng có điểm chung chúng có đường thẳng chung C Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung D Hai mặt phằng có điểm chung chúng cịn có vơ số điểm chung khác Lời giải Đáp án "Hai mặt phẳng có điểm chung chúng có đường thẳng chung nhất" sai hai mặt phẳng trùng có vơ số điểm chung, không thiết phải đường thẳng chung Chọn đáp án B □ Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang có đáy lớn AB Gọi M trung điểm SC Giao điểm BC với mặt phẳng (ADM ) A giao điểm BC AD B giao điểm BC SD C giao điểm BC AM D giao điểm BC DM Câu 17 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′ B ′ C ′ có cạnh bên AA′ , BB ′ , CC ′ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (AB ′ C) (BA′ C) A (AB ′ C) ∩ (BA′ C) = OC với O = CB ′ ∩ BC ′ B (AB ′ C) ∩ (BA′ C) = OC với O = AB ′ ∩ A′ B C (AB ′ C) ∩ (BA′ C) = M N với M trung điểm BC ′ N trung điểm AC ′ D (AB ′ C) ∩ (BA′ C) = OC với O = AC ′ ∩ A′ C Lời giải Chọn đáp án B □ Câu 18 Cho hình bình hành ABCD điểm S không nằm mặt phẳng (ABCD) Giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD) đường thẳng song song với đường thẳng sau đây? A AB B SA C AC D BC Lời giải Ta thấy S điểm chung thứ S Hai mặt phẳng (SAB) (SCD) có AB ∥ CD Vậy giao tuyến đường thẳng qua S song song AB D A B Chọn đáp án A C □ Câu 19 Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P ) Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a cắt mặt phẳng (P ) theo giao tuyến đường thẳng b Vị trí tương đối hai đường thẳng a b A chéo B trùng C cắt D song song Lời giải 756/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 757 Chương Đường thẳng mặt phẳng không gian.Quan hệ song song Biết làm, làm đúng, làm nhanh   a ∥ (P ) Vì a ⊂ (Q) nên a ∥ b   (P ) ∩ (Q) = b Q a b P Chọn đáp án D □ Câu 20 Cho tứ diện ABCD, M , N điểm nằm tam giác ABD, ACD, thiết diện hình tứ diện với mặt phẳng (DM N ) hình gì? A Tam giác B Tứ giác C Đáp án khác D Ngũ giác Lời giải Gọi E = DM ∩ AB, F = DN ∩ AC, thiết diện hình tứ diện ABCD với D mặt phẳng (DM N ) tam giác DEF M N A F C E B Chọn đáp án A □ Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M , N trung điểm AD BC Giao tuyến hai mặt phẳng (SM N ) (SAC) A SG với G trung điểm AB B SO với O tâm hình bình hành ABCD C SF với F trung điểm CD D SD Lời giải Ta có S ∈ (SM N ) ∩ (SAC) S Gọi tâm hình bình hành O, ta có O = AC ∩ M N nên O ∈ (SM N ) ∩ (SAC) Vậy (SM N ) ∩ (SAC) = SO A M D O B Chọn đáp án B N C □ Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có AC cắt BD M , AB cắt CD N Trong đường thẳng sau đây, đường giao tuyến (SAC) (SBD)? A SB B SM C SC D SN Lời giải 757/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 758 Bài tập cuối chương IV Biết làm, làm đúng, làm nhanh Ta có S ∈ (SAC) ∩ (SBD)  M = AC ∩ BD   Mặt khác, AC ⊂ (SAC) ⇒ M ∈ (SAC) ∩ (SBD)   BD ⊂ (SBD) Suy (SAC) ∩ (SBD) = SM S N A B D M C Chọn đáp án B □ Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I, J, E, F trung điểm SA, SB, SC, SD Trong đường thẳng sau, đường không song song với IJ? A AD B AB C EF D CD Lời giải S ○ Ta có, IJ đường trung bình tam giác SAB nên IJ ∥ AB ○ ABCD hình bình hành nên AB ∥ CD Mà IJ ∥ AB Suy ra, IJ ∥ CD I F E J ○ EF đường trung bình tam giác SCD nên EF ∥ CD Suy IJ ∥ EF A D B C Chọn đáp án A □ Câu 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành có tâm O Gọi I, J trung điểm SA, SB, M giao điểm IC JD Khẳng định sau sai? A IJ = AB B ID ∥ JC C (SAC) ∩ (SBD) = M O D IJ ∥ CD Lời giải Vì I, J trung điểm SA, SB nên IJ ∥ AB IJ = AB Do S IJ ∥ CD IJ = AB, nên ID JC cắt Ta có M O điểm chung hai mặt phẳng (SAC) (SBD) nên (SAC) ∩ (SBD) = M O I J M A D O B Chọn đáp án B C □ Câu 25 Trong không gian cho hai đường thẳng phân biệt a, b hai mặt phẳng phân biệt (α) , (β) Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu a ∥ b, b ⊂ (α) a ∥ (α) B Nếu a ∥ (α), a ⊂ (β) , (α) ∩ (β) = b a ∥ b C Nếu a ∥ (α) , b ⊂ (α) a ∥ b D Nếu a ∥ b, b ∥ (α) a ∥ (α) Lời giải 758/764 Toán 11 theo chương trình GDPT2018 759 Chương Đường thẳng mặt phẳng không gian.Quan hệ song song Biết làm, làm đúng, làm nhanh Mệnh đề “Nếu a ∥ (α), a ⊂ (β) , (α) ∩ (β) = b a ∥ b ” Chọn đáp án B □ Câu 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm SK cạnh SB, SD, K giao điểm mặt phẳng (AM N ) đường thẳng SC Tỉ só SC 1 A B C D 3 Lời giải Gọi O tâm hình bình hành ABCD Gọi H = M N ∩SO, K = SC ∩AH S SH SM Xét △ABD có M N đường trung bình nên = = Suy H SO SB K trung điểm SO N Gọi E trung điểm CK, xét tam giác AKC có OE đường trung bình E H nên OE ∥ HK M Xét △SOE có H trung điểm SO HK ∥ OE nên HK đường trung D C bình, suy K trung điểm SE SK Vậy tỉ số = SC O A B Chọn đáp án D □ Câu 27 Cho ba mặt phẳng (P ), (Q), (R) đôi song song với Đường thẳng a cắt mặt phẳng (P ), AB (Q), (R) A, B, C cho = đường thẳng b cắt mặt phẳng (P ), (Q), (R) A′ , BC A′ B ′ ′ ′ B ,C Tỉ số ′ ′ BC 2 A B C D 2 Lời giải Kẻ đường thẳng c qua A song song với b Gọi B”, C” giao điểm P A′ c với (Q) (R) A AB” AB Xét △SACC” có BB” ∥ CC” suy = = (1) B”C” BC Lại có AA′′ B ′ B” B”B ′ C ′ C” hình bình hành nên AB” = A′ B ′ Q B”C” = B ′ C ′ (2) B′ A′ B ′ AB B Từ (1) (2) suy ′ ′ = = B” BC BC R C′ C Chọn đáp án C C” □ Câu 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SD Đường thẳng SB song song với mặt phẳng A (ADM ) B (ACM ) C (ACD) D (CDM ) Lời giải 759/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 760 Bài tập cuối chương IV Biết làm, làm đúng, làm nhanh Gọi O tâm hình bình hành ABCD Xét △SBD có M O đường trung bình nên SB ∥ M O ® SB ∥ M O Ta có ⇒ SB ∥ (ACM ) M O ⊂ (ACM ) S M A D O B C Chọn đáp án B □ Câu 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD Biết AD = 2BC Gọi M trung điểm SD N giao điểm SC với mặt SN phẳng (ABM ) Hãy tính tỉ số SC SN SN SN SN = = = = A B C D SC SC SC SC S | M | A D B Lời giải Trong (ABCD), gọi O giao điểm AB CD Trong (SDO), gọi N giao điểm SC OM Ta có OM ⊂ (ABM ) nên N giao điểm SC (ABM ) Xét △OAD, có BC ∥ AD BC = AD Suy BC đường trung bình △OAD Khi C trung điểm OD Xét SOD, có C S | M | N A ○ SC đường trung tuyến thứ B D C ○ OM đường trung tuyến thứ hai O ○ SC cắt OM N Suy N trọng tâm △SOD hay SN = SC Chọn đáp án D □ Câu 30 Cho hình hộp ABCD.A′ B ′ C ′ D′ Mặt phẳng (AB ′ D′ ) song song với mặt phẳng A (ABCD) B (BCC ′ B ′ ) C (BDC ′ ) D (BDA′ ) Lời giải Do ABC ′ D′ hình bình hành nên AB ∥ C ′ D′ D′ Do ADC ′ B ′ hình bình hành nên AB ′ ∥ DC ′ Xét hai mặt phẳng (AB ′ D′ ) (C ′ BD) có ® AB ′ ∥ DC ′ nên (AB ′ D′ ) ∥ (C ′ BD) A′ AB ∥ C ′ D′ C′ B′ C D A Chọn đáp án C 760/764 B □ Toán 11 theo chương trình GDPT2018 761 Chương Đường thẳng mặt phẳng không gian.Quan hệ song song Biết làm, làm đúng, làm nhanh SM = Một SA mặt phẳng (α) qua M song song với AB CD, cắt hình chóp theo tứ giác có diện tích 200 400 200 40 A B C D 9 Lời giải Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt SB N S Qua M dựng đường thẳng song song với AD cắt SD Q Qua N dựng đường thẳng song song với BC cắt SC P Ta có ® M Q M N ∥ AB ⇒ M N ∥ (ABCD) ⇒ (M N P Q) ∥ (ABCD) P N N P ∥ BC ⇒ N P ∥ (ABCD) Å ã ã Å A D SM N P Q MN SM = Ta có tỉ lệ diện tích = = SABCD AB SA 400 Lại có SABCD = 10 · 10 = 100 ⇔ SM N P Q = 100 · = B C 9 Chọn đáp án B □ Câu 31 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 10 M điểm SA cho Câu 32 Cho hình hộp ABCD.A′ B ′ C ′ D′ Gọi M , M ′ trung điểm cạnh BC, B ′ C ′ Hình chiếu △B ′ DM qua phép chiếu song song (A′ B ′ C ′ D′ ) theo phương AA′ A △B ′ D′ M ′ B △C ′ D′ M ′ C △DM M ′ D △B ′ A′ M ′ Lời giải Phép chiếu song song theo phương AA′ biến B ′ thành nó, biến D thành D′ C′ D′ , biến M thành M ′ biến △B ′ DM thành △B ′ D′ M ′ ′ M A′ B′ C D M A B Chọn đáp án A □ Câu 33 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trọng tâm tam giác ABC ABD Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A IJ ∥ (AEF ) với E, F trung điểm BC BD B IJ ∥ (ACD) C IJ ∥ (ABD) D IJ ∥ (ABC) Lời giải Theo đề E, F trung điểm BC BD AI AJ Ta có = = AF AE suy IJ ∥ EF hay IJ ∥ (AEF ) A I B J C E F D Chọn đáp án B □ Câu 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi I, J trung điểm cạnh AD BC G trọng tâm tam giác SAB Biết cạnh CD = cm, tính độ dài 761/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 762 Bài tập cuối chương IV Biết làm, làm đúng, làm nhanh cạnh AB để thiết diện mặt phẳng (IJG) hình chóp S.ABCD hình bình hành? A AB = B AB = 10 C AB = 12 D AB = 16 Lời giải Do IJ đường trung bình hình thang nên IJ ∥ AB S Khi (IJG) ∩ (SAB) = d với d qua G song song với AB Gọi M , N giao điểm d với SB, SA Ta thấy IJM N hình thang với AB + CD IJ = M N = AB G M N IJM N hình bình hành AB + CD A M N = IJ ⇔ = AB I Thay CD = ta có AB = 12 B J D C Chọn đáp án C □ Câu 35 Cho hình chóp S.ABC Gọi M , N trung điểm SA, BC P điểm nằm cạnh AB SQ cho AP = AB Gọi Q giao điểm SC (M N P ) Tính tỉ số SC SQ SQ SQ SQ 2 A B C D = = = = SC SC SC SC Lời giải Trong mặt phẳng (ABC) gọi D giao điểm P N AC S Trong ® mặt phẳng (SAC) gọi Q giao điểm DM SC Q ∈ DM ⊂ (M N P ) Ta có ⇒ Q = SC ∩ (M N P ) Q M Q ∈ SC Gọi I trung điểm đoạn thẳng AC · AB AP DA = = = Xét tam giác DIN với AP ∥ IN ta có: D C DI IN A I · AB N P B MI DI Xét tam giác DQC với M I ∥ QC ta có: = = QC DC QC SQ ⇒ M I = · QC ⇔ · SC = · QC ⇔ = ⇔ = 4 SC SC Chọn đáp án A □ Phần Tự luận (3 điểm) Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BD Điểm P thuộc cạnh AC cho P A = 2P C a) Xác định giao điểm E đường thẳng M P với mặt phẳng (BCD) b) Xác định giao điểm Q đường thẳng CD với mặt phẳng (M N P ) Lời giải 762/764 Toán 11 theo chương trình GDPT2018 763 Chương Đường thẳng mặt phẳng không gian.Quan hệ song song Biết làm, làm đúng, làm nhanh A a) Trong ® (ABC) gọi E = M P ∩ BC ® E ∈ MP E ∈ MP Ta có ⇒ ⇒ E = M P ∩ (BCD) E ∈ BC, BC ⊂ (BCD) E ∈ (BCD) b) Trong ® (BCD) gọi Q = CD ∩ N E ® Q ∈ CD Q ∈ CD Ta có ⇒ Q ∈ N E, N E ⊂ (M N P ) Q ∈ (M N P ) ⇒ Q = CD ∩ (M N P ) M P N B D Q C E □ Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AB ∥ CD) AB = 2CD Gọi M , N trung điểm cạnh SA, SB Chứng minh a) M N ∥ (SCD); b) DM ∥ (SBC); c) Lấy điểm I thuộc cạnh SD cho SI = Chứng minh SB ∥ (AIC) SD Lời giải S a) Chứng®minh M N ∥ (SCD) M N ∥ AB Ta có ⇒ M N ∥ CD CD ∥ AB   M N ∥ CD Khi CD ⊂ (SCD) ⇒ M N ∥ (SCD)   M N ̸⊂ (SCD) N M I A B E b) Chứng minh DM ∥ (SBC)  M N ∥ CD ã Å Ta có AB ⇒ M N CD hình bình hành M N = CD = Do DM ∥ CN   DM ∥ CN Khi CN ⊂ (SBC) ⇒ DM ∥ (SBC)   DM ̸⊂ (SBC) D C c) Chứng minh SB ∥ (AIC) Gọi E = AC ∩ BD CD DE DE = = ⇒ = Ta có EB AB DB DI Theo giả thiết ta có = ⇒ IE ∥ SB SD   SB ∥ IE Khi IE ⊂ (AIC) ⇒ SB ∥ (AIC)   SB ̸⊂ (AIC) □ Bài Cho hình hộp ABCD.A′ B ′ C ′ D′ Gọi M , N trung điểm AB, C ′ D′ a) Chứng minh (A′ DN ) ∥ (B ′ CM ) 763/764 Tốn 11 theo chương trình GDPT2018 764 Bài tập cuối chương IV Biết làm, làm đúng, làm nhanh b) Gọi E, F giao điểm đường thẳng D′ B với mặt phẳng (A′ DN ), (B ′ CM ) Chứng minh D′ E = BF = EF Lời giải a) Chứng minh (A′ DN ) ∥ (B ′ CM ) Gọi M ′ trung điểm A′ B ′ Ta có M M ′ ∥ CC ′ M M ′ = CC ′ nên CM M ′ C ′ hình bình hành, suy CM ∥ C ′ M ′ Lại có A′ M ′ = C ′ N A′ M ′ ∥ C ′ N nên A′ M ′ C ′ N hình bình hành, suy A′ N ∥ C ′ M ′ Do CM ∥ A′ N ⇒ CM ∥ (A′ DN ) Mặt khác CB ′ ∥ DA′ ⇒ CB ′ ∥ (A′ DN ) Mà CB ′ CM cắt nằm mặt phẳng (B ′ CM ) Vậy (B ′ CM ) ∥ (A′ DN ) M′ A′ K D N ′ B′ K′ C′ E A M F B H D C b) Chứng minh D′ E = BF = EF Trong (BDD′ B ′ ) : gọi H = BD ∩ CM ⇒ (B ′ M C) ∩ (BDD′ B ′ ) = B ′ H Trong (BDD′ B ′ ) : F = B ′ H ∩ BD′ ⇒ F = BD′ ∩ (B ′ CM ) Trong (BDD′ B ′ ) : gọi K = B ′ D′ ∩ A′ N ⇒ (A′ DN ) ∩ (BDD′ B ′ ) = DK Trong (BDD′ B ′ ) : E = DK ∩ BD′ ⇒ F = BD′ ∩ (A′ DN ) Gọi K ′ = C ′ M ′ = B ′ D′ Ta có M ′ K ′ ∥ A′ K M ′ trung điểm A′ B ′ nên K ′ trung điểm B ′ K Tương tự, K trung điểm D′ K ′ Suy D′ B ′ = 3D′ K D′ E D′ K Xét tam giác D′ F B ′ có ′ = ′ ′ = ⇒ EF = 2D′ E DF DB BF BH Tương tự = = ⇒ EF = 2BF BE BD ′ Vậy D E = BF = EF □ 764/764 Toán 11 theo chương trình GDPT2018