bai tap tham khao ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.

CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG PHẦN – LÝ THUYẾT Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian Cho hai đường thẳng a b khơng gian Khi xảy trường hợp sau: a b chéo a b M a b a //b Tính chất Tính chất 1: Trong khơng gian, qua điểm khơng nằm đường thẳng cho trước, có đường thẳng song song với đường thẳng cho Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với Định lý 1: Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đơi song song với Hệ (của định lý 1): Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến hai mặt phẳng (nếu có) song song với hai đường thẳng (hoặc trùng với hai đường thẳng đó) PHẦN – CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng chéo Phương pháp giải: Để chứng minh hai đường thẳng a b chéo nhau, ta thường dùng phương pháp phản chứng, nghĩa giả sử a b không chéo nhau, tìm điều mâu thuẫn so với giả thiết tốn Ví dụ điển hình Ví dụ Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB CD hai đường thẳng chéo Hướng dẫn giải CD Giả sử AB không chéo nhau, nghĩa hai đường thẳng đồng phẳng Khi AB CD song song với nhau, cắt điểm trùng (vô lý) Vậy AB CD chéo Dạng 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng a b song song với Phương pháp giải: Tìm điểm chung M hai mặt phẳng, từ kết luận giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng , với M //a //b Ví dụ Ví dụ điển hình Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến mặt phẳng: a) SAD SBC b) MCD SAB , với M điểm thuộc cạnh SA Hướng dẫn giải S   SAB    SCD    AB   SAB  a) Ta có:  CD   SCD   AB //CD    SAB    SCD   xx , với S  xx xx//AB //CD M   SAB    MCD    AB   SAB  b) Ta có:  CD  MCD     AB //CD    SAB    SCD   yy , với yy//AB//CD M  yy Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB Gọi M điểm thuộc đoạn thẳng SD Tìm giao tuyến mặt phẳng: a) d1   SAB    SCD  b) d2   SCD    MAB  Từ chứng minh d1 //d2 Hướng dẫn giải S   SAB    SCD    AB   SAB  a) Ta có:  CD   SCD   AB //CD    SAB    SCD   d1 , với S  d1 d1 //AB //CD 1 M   MAB    SCD    AB   MAB  b) Ta có:  CD   SCD   AB //CD    MAB    SCD   d2 , với M  d2 d2 //AB //CD   Từ 1   suy ra: d1 //d2 Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng a b song song với Phương pháp giải: Dựa vào hình học phẳng: Định lý Ta-lét đảo, đường trung bình ; đưa dạng a //c b //c , từ suy a //b Ví dụ điển hình: Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I , J trung điểm cạnh SA, SB Chứng minh IJ //AB , từ suy IJ //CD Hướng dẫn giải Vì I , J trung điểm cạnh SA, SB nên IJ đường trung bình tam giác SAB Từ suy IJ //AB Lại có AB //CD nên từ ta có IJ //CD (vì song song với đường thẳng AB ) Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M , N điểm thuộc cạnh AB , AC cho AM AN ; I , J trung điểm BD , CD  AB AC a) Chứng minh MN //BC b) Tứ giác MNJI hình Tìm điều kiện để tứ giác MNJI hình bình hành Hướng dẫn giải a) Ta có: AM AN  , từ suy MN //BC 1 (Định lý Ta-lét AB AC đảo) b) Vì I , J trung điểm BD , CD nên IJ đường trung bình tam giác BCD Từ suy IJ //BC   Từ 1   suy MN / / IJ Vậy tứ giác MNJI hình thang Để MNJI hình bình hành MI //NJ Lại có ba mặt phẳng  MNJI  ,  ABD  ,  ACD  đôi cắt theo giao tuyến MI , NJ , AD nên theo định lý ta có MI //AD //NJ Từ suy điều kiện để hình thang MNJI trở thành hình bình hành M , N trung điểm AB , AC Dạng 4: Thiết diện chứa điểm M song song với hai đường thẳng a b chéo Phương pháp giải: Qua điểm M ta kẻ đường thẳng d1 //a d2 //b Sau tìm giao tuyến mặt phẳng tạo hai đường thẳng  d1 , d  với mặt hình chóp Ví dụ điển hình: Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SA Tìm thiết diện mặt phẳng P với hình chóp S.ABCD , biết P mặt phẳng qua điểm M song song với SC , AD Hướng dẫn giải Qua M kẻ đường thẳng MQ //AD  Q  SD  MO //SC  O  AC  Ta có: SC AD song song với mặt phẳng  OMQ  nên  OMQ    P  Dễ dàng tìm  OMQ    ABCD   NP , với NP//MQ//BC O  NP Từ ta có:  OMQ    SAD   MQ   OMQ    SCD   QP , thiết diện tạo  P    OMQ    ABCD   PN  OMQ    SAB   NM  hình chóp hình thang MNPQ Dạng 5: Thiết diện chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác Phương pháp giải: Ví dụ điển hình: Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD Gọi M , N hai điểm SB , CD P mặt phẳng qua MN song song với SC a) Tìm giao tuyến mặt phẳng P với mặt phẳng SCD , SBC , SAC b) Xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng P a) Qua N kẻ NP //SC  P  SD  Hướng dẫn giải  NP //SC  Ta có:  NP   MNP   SC //  MNP   SC   MNP  Từ ta có:  MNP  mặt phẳng qua MN song song với SC Vậy  P    MNP  Ta có:  P    SCD   NP M   MNP    SBC   Ta có:  NP   MNP  , SC   SBC    MNP    SBC   MQ , với MQ//SC //NP , M  MQ Q  BC  NP //SC  Trong  ABCD  gọi I  QN  AC  I   MNP    SAC   Ta có:  NP   MNP  , SC   SAC    MNP    SAC   IJ , với IJ //SC //NP , I  IJ J  MP  NP //SC  b) Dễ thấy thiết diện tạo  P  hình chóp tứ giác MPNQ BÀI TẬP KIỂM TRA Bài Cho tứ diện ABCD Gọi I , J điểm thuộc đoạn thẳng AB , AC ( I , J không trùng với hai đầu đoạn thẳng) Chứng minh rằng: a) AB CD chéo nhau, AC BD chéo b) IJ chéo với đường thẳng AD , BD , CD Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm BD CD Tìm giao tuyến mặt phẳng AMN ABC Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Tìm giao tuyến mặt phẳng SAB SCD Bài Cho tứ diện ABCD có I , J trọng tâm tam giác ABC ABD Tìm giao tuyến AIJ ACD Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , H trung điểm cạnh SA, SB, BC Chứng minh MH //SC ; MN //AB //CD Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi M , N trung điểm SA , SB a) Chứng minh MN //CD b) Tìm giao điểm P SC AND c) Kéo dài AN cắt DP I Chứng minh SI //AB //CD Tứ giác SABI hình gì? Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P , Q , R , S trung điểm AB , CD , BC , AD , AC , BD a) Chứng minh MSNR hình bình hành b) Chứng minh MN , PQ , RS cắt trung điểm đoạn Bài Cho tứ diện ABCD M thuộc AB Gọi P mặt phẳng qua M song song với BC , AD Tìm thiết diện tạo mặt phẳng P tứ diện, thiết diện hình gì? Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, đáy lớn AB Gọi M trung điểm CD Mặt phẳng P qua M , song song với SA BC Tìm thiết diện cho biết thiết diện hình gì? Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi P mặt phẳng qua CD , cắt SA SB M N a) Chứng minh tứ giác DCMN hình thang b) Gọi I giao điểm MC DN Chứng minh S , I , O thẳng hàng BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AC BC ; K điểm cạnh BD cho KD KB a) Tìm giao tuyến IJK ACD b) Tìm giao tuyến IJK ABD Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm SB , SD ; P điểm SC cho SP PC a) Tìm giao tuyến MNP SAC b) Tìm giao tuyến MNP SAB c) Tìm giao tuyến MNP  SAD  d) Tìm giao tuyến MNP ABCD Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , H trung điểm cạnh SA, SB, BC a) Chứng minh MN //CD NH // SCD b) Tìm giao tuyến MNH ABCD c) Tìm giao tuyến MNH NAC Bài Cho tam giác ABC nằm mặt phẳng P Gọi Bx , Cy hai tia song song với nằm phía mặt phẳng P ; M N điểm di động Bx , Cy cho CN BM a) Chứng minh MN qua điểm cố định I EA ; F giao điểm IE AN ; Q b) Gọi E điểm thuộc đoạn AM EM giao điểm BE CF Chứng minh AQ //Bx //Cy mặt phẳng QMN chứa đường thẳng cố định M , N di động Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M , N , P , Q là điểm thuộc đoạn thẳng BC , SC , SD , AD cho MN //SB , NP //CD , MQ //CD a) Chứng minh PQ //SA b) Gọi K giao điểm MN PQ Chứng minh SK //AD //BC c) Qua Q dựng Qx //SC , Qy //SB Tìm giao điểm Qx mặt phẳng SAB ; giao điểm Qy mặt phẳng  SCD  Bài Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M , N cho AM : AC BN : BF 1: Chứng minh MN //DE Bài Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M , N cho AM : AC BN : BF Dựng đường thẳng MM //AB với M AD ; NN //AB với N AF a) Chứng minh MM //CD NN //CD b) Chứng minh M N //DF Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SB Xác định thiết diện hình chóp cắt bới mặt phẳng P trường hợp sau: a) Mặt phẳng P qua M song song với SO AD b) Mặt phẳng P qua O song song với AM SC PHẦN – CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dạng Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng song song Câu 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo B Hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung C Hai đường thẳng phân biệt không cắt không song song chéo D Hai đường thẳng phân biệt khơng chéo cắt song song Hướng dẫn giải Chọn A Hai đường thẳng điểm chung chúng song song với (khi chúng đồng phẳng) chéo (khi chúng không đồng phẳng) Câu 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai đường thằng có điểm chung chúng có vơ số điểm chung khác B Hai đường thẳng song song chúng không điểm chung C Hai đường thẳng song song chúng không đồng phẳng D Hai đường thẳng chéo chúng không đồng phẳng Hướng dẫn giải Chọn D  A sai Trong trường hợp đường thẳng cắt chúng có điểm chung  B C sai Hai đường thẳng song song chúng đồng phằng khơng có điểm chung Câu 3: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với B Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba trùng C Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với trùng D Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba chúng nằm hai mặt phẳng song song Hướng dẫn giải Chọn C Câu 4: Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A Hai đường thẳng chéo chúng có điểm chung B Hai đường thẳng khơng có điểm chung hai đường thẳng song song chéo C Hai đường thẳng song song với chéo D Khi hai đường thẳng hai mặt phẳng phân biệt hai đường thẳng chéo Hướng dẫn giải Chọn B Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo a b Lấy A, B thuộc a C , D thuộc b Khẳng định sau nói hai đường thẳng AD BC ? A Có thể song song cắt B Cắt C Song song với D Chéo Hướng dẫn giải Chọn D Vì a b chéo nên bốn điểm A , B , C , D không đồng phẳng, từ dẫn đến AD BC chéo Câu 6: Cho ba mặt phẳng phân biệt , , ba đường thẳng d1, d2 , d3 : A Đơi cắt C Đồng quy có d1 ; d2 ; d3 Khi B Đôi song song D Đôi song song đồng quy Hướng dẫn giải Chọn D Dựa vào định lý Câu 7: Trong không gian, cho đường thẳng a, b, c , biết a b , a c chéo Khi hai đường thẳng b c : A Trùng chéo B Cắt chéo C Chéo song song D Song song trùng Hướng dẫn giải Chọn B Câu 8: Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c a b Khẳng định sau sai? A Nếu a c b c B Nếu c cắt a c cắt b C Nếu A a B b ba đường thẳng a, b, AB mặt phẳng D Tồn mặt phẳng qua a b Hướng dẫn giải Chọn B c chéo với b Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I , J , E, F trung điểm SA, SB, SC, SD Trong đường thẳng sau, đường thẳng không song song với IJ ? A EF B DC C AD D AB Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có IJ đường trung bình tam giác SAB nên IJ //AB , nên D ABCD hình bình hành nên AB //CD Suy IJ //CD Nên B EF đường trung bình tam giác SCD nên EF //CD Suy IJ //EF , nên A Câu 2: Do chọn đáp án C Cho hình chóp S ABCD Gọi A, B, C, D trung điểm cạnh SA, SB, SC SD Trong đường thẳng sau đây, đường thẳng không song song với AB ? A AB B CD C C D D SC Hướng dẫn giải: Chọn D Nếu ABCD hình bình hành AB song song với đường thẳng AB, CD C D Do phương án A, B C sai Câu 3: Cho hình hộp ABCD ABC D Khẳng định sau sai? A ABC D ABCD hai hình bình hành có chung đường trung bình B BD BC  chéo C AC DD chéo D DC  AB chéo Hướng dẫn giải: Chọn D DC  AB song song với Câu 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, AD, CD, BC Mệnh đề sau sai? A MN //BD MN  BD B MN //PQ MN  PQ C MNPQ hình bình hành D MP NQ chéo Hướng dẫn giải: Chọn D Có MN , PQ đường trung bình tam giác ABD, BCD  MN //BD, MN  BD nên   PQ//BD, PQ  BD  Nên MN //PQ, MN  PQ  MNPQ hình bình hành Do MP NQ thuộc mặt phẳng MNPQ Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi M , N trung điểm SA SB I a) Khẳng định sau nhất? S A MN song song với CD N B MN chéo với CD M C MN cắt với CD B A D MN trùng với CD P b) Gọi P giao điểm SC  ADN  , I giao điểm AN DP Khẳng định sau đúng? C D A SI song song với CD B SI chéo với CD C SI cắt với CD E D SI trùng với CD Hướng dẫn giải: a) Chọn A Ta có MN đường trung bình tam giác SAB nên MN //AB Lại có ABCD hình thang  AB //CD MN //AB Vậy   MN //CD CD //AB b) Chọn A Trong  ABCD  gọi E  AD  BC ,  SCD  gọi P  SC  EN Ta có E  AD   ADN   EN   AND   P   ADN  Vậy P  SC   ADN   I  AN  I   SAB    SI   SAB    SCD  Do I  AN  DP    I  DP  I   SCD   AB   SAB   CD   SCD  Ta có   SI //CD  AB //CD  SAB    SCD   SI  Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy AD BC Biết AD  a, BC  b Gọi I J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng  ADJ  cắt SB, SC M , N Mặt phẳng  BCI  cắt SA, SD P, Q a) Khẳng định sau đúng? A MN song song với PQ B MN chéo với PQ C MN cắt với PQ D MN trùng với PQ b) Giải sử AM cắt BP E ; CQ cắt DN F Chứng minh EF song song với MN PQ Tính EF theo a, b A EF   a  b B EF   a  b C EF   a  b D EF   a  b Hướng dẫn giải: a) Chọn A Ta có I   SAD   I   SAD    IBC   AD   SAD    BC   IBC  Vậy   AD //BC  SAD    IBC   PQ   PQ//AD//BC 1 S A E Tương tự J   SBC   J   SBC    ADJ   AD   ADJ    BC   SBC  Vậy   AD //BC  SBC    ADJ   MN   MN //AD //BC   Từ 1   suy MN //PQ b) Chọn D I P B Q K M J D N C F  F   AMND   E   AMND  Ta có E  AM  BP   ; F  DN  CQ    F   PBCQ   E   PBCQ   AD //BC Do EF   AMND    PBCQ  Mà   EF //AD //BC //MN //PQ MN //PQ Tính EF : Gọi K  CP  EF  EF  EK  KF EK PE PE PM  1 , PM //AB   BC PB EB AB PM SP PE     Mà AB SA EB EK PE PE 2      EK  BC  b Từ 1 suy BC PB PE  EB  EB 5 PE 2 Tương tự KF  a Vậy EF  EK  KF   a  b  5 Ta có EK //BC  Câu 7: Cho tứ diện ABCD M , N , P , Q trung điểm AC , BC , BD , AD Tìm điều kiện để MNPQ hình thoi A AB  BC B BC  AD C AC  BD D AB  CD Hướng dẫn giải: D Chọn D Ta có: MN song song với PQ song song với AB , MQ P song song với PN song song với CD nên tứ giác MNPQ Q hình bình hành Tứ giác MNPQ hình thoi MQ  PQ  AB  CD B A M N C Dạng Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, ba đường đồng quy Câu 1: Cho hình chóp S ABCD Gọi M , N , P, Q, R, T trung điểm AC , BD , BC , CD , SA , SD Bốn điểm sau đồng phẳng? A M , P, R, T B M , Q, T , R C M , N , R, T D P, Q, R, T Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có RT đường trung bình tam giác SAD nên RT //AD Câu 2: MQ đường trung bình tam giác ACD nên MQ//AD Suy RT //MQ Do M , Q, R, T đồng phẳng Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi M , N , E, F trung điểm cạnh bên SA, SB, SC SD a) Khẳng định sau đúng? A ME, NF , SO đôi song song ( O giao điểm AC BD ) B ME, NF , SO không đồng quy ( O giao điểm AC BD ) C ME, NF , SO đồng quy ( O giao điểm AC BD ) D ME, NF , SO đôi chéo ( O giao điểm AC BD ) b) Khẳng định sau đúng? A Bốn điểm M , N , E, F đồng phẳng B Bốn điểm M , N , E, F không đồng phẳng C MN, EF chéo D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải: a) Chọn C Trong  SAC  gọi I  ME  SO , dễ thấy I trung điểm SO , suy FI đường trung bình tam giác SOD Vậy FI //OD Tương tự ta có NI //OB nên N , I , F thẳng hàng hay I  NF S I N Vậy minh ME, NF , SO đồng quy E D A b) Chọn A Do ME  NF  I nên ME NF xác định mặt phẳng Suy M , N , E, F đồng phẳng Câu 3: F M O B C Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P, Q, R, S trung điểm cạnh AC, BD, AB, AD, BC, CD Bốn điểm sau đồng phẳng? A P, Q, R, S B M , N , R, S C M , N , P, Q D M , P, R, S Hướng dẫn giải: Chọn A Do PQ đường trung bình tam giác ABD  PQ//BD Tương tự, ta có RS //BD Vậy PQ//RS  P, Q, R, S nằm mặt phẳng Các bốn điểm M , N , R, S; M , N , P, Q M , P, R, S không đồng phẳng Nguồn tập tham khảo: Sưu tầm  ... Hai đường thẳng song song chúng không điểm chung C Hai đường thẳng song song chúng không đồng phẳng D Hai đường thẳng chéo chúng không đồng phẳng Hướng dẫn giải Chọn D  A sai Trong trường hợp đường. .. Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba trùng C Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với trùng D Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba chúng nằm hai mặt. .. bới mặt phẳng P trường hợp sau: a) Mặt phẳng P qua M song song với SO AD b) Mặt phẳng P qua O song song với AM SC PHẦN – CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dạng Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng