Thiết diện ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (ACB’) là hình lục giác MPNQRS có các cạnh đối diện song song với nhau từng đôi một: MP RQ,PN S[r]
(1)Giải SBT Tốn 11 ơn tập chương 2: Đường thẳng mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song
Bài 2.37 trang 84 Sách tập (SBT) Hình học 11
Trong mặt phẳng ((α) cho tam giác ABC Từ ba đỉnh tam giác ta kẻ nửa đường thẳng song song chiều Ax, By, Cz không nằm (α) Trên Ax lấy đoạn AA’ = a, By lấy đoạn BB’ = b, Cz lấy đoạn CC’ = c a) Gọi I, J K giao điểm B’C’, C’A’ A’B’ với (α) Chứng minh IB/IC.JC/JA.KA/KB=1
b) Gọi G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ Chứng minh: GG′ AA′∥
c) Tính GG’ theo a, b, c Giải:
a) CC′ BB∥ ′ ΔICC⇒ ′ ΔIBB′∼ ⇒IB/IC=B B′/CC′=b/c CC′ AA∥ ′ ΔJCC⇒ ′ ΔJAA′∼ ⇒JC/JA=C C′/AA′=c/a AA′ BB∥ ′ ΔKAA⇒ ′ ΔKBB′∼
⇒KA/KB=AA′/BB′=a/b
Do đó: IB/IC.JC/JA.KA/KB=b/c.c/a.a/b=1
(2)Mà BB′ AA′ suy HH′ AA′∥ ∥ Ta có: G AH G′ A′H′ ta có:∈ ∈
c) AH′∩GG′=M GG⇒ ′=G′M+MG
Ta có: G′M AA′ ΔH′G′M ΔH′A′A∥ ⇒ ∼
⇒G′M/AA′=H′G′/H′A′=1/3 G′M=13AA′=1/3a⇒ MG HH′ ΔAMG ΔAH′H∥ ⇒ ∼
⇒MG/HH′=AG/AH=2/3 MG=2/3HH′⇒
Mặt khác HH’ đường trung bình hình thang BB’CC’ nên HH′=BB′+CC′2=b+c/2 MG=2/3HH′=2/3.b+c/2=1//3(b+c)⇒ Do đó: GG′=G′M+MG=1/3a+1/3(b+c)=1/3(a+b+c)
Vậy GG′=1/3(a+b+c)
Bài 2.38 trang 84 Sách tập (SBT) Hình học 11 Cho tứ diện ABCD điểm M nằm tam giác BCD
a) Dựng đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng (ABC) (ABD) Giả sử đường thẳng cắt mặt phẳng (ACD) B’
Chứng minh AB’, BM CD đồng quy điểm b) Chứng minh MB′/BA=dt(ΔMCD)/dt(ΔBCD)
c) Đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ACB) (ACD) kẻ từ M cắt (ABD) C’ đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ADC) (ADB) kẻ từ M cắt (ABC) D’ Chứng minh
(3)a) MB’ qua M song song với
(ABC)
(ABD) MB′ song⇒ song với giao tuyến AB hai mặt phẳng Ta có: MB′ AB nên∥ MB’ AB xác định mặt phẳng Giả sử MB cắt AB’ I
Ta có: I BM I (BCD)∈ ⇒ ∈ I AB′ I (ACD)∈ ⇒ ∈
Nên I (BCD)∩(ACD)=CD∈ I CD∈
Vậy ba đường thẳng AB’, BM CD đồng quy I b) MB′ AB MB′AB=IMIB∥ ⇒
Kẻ MM′ CD BH CD⊥ ⊥
Ta có: MM′ BH IM/IB=MM′/BH∥ ⇒ Mặt khác:
dt(ΔMCD)=1/2CD.MM‘
dt(ΔBCD)=1/2CD.BH
dt(ΔMCD)/dt(ΔBCD)=1/2CD.MM′/1/2CD.BH=MM′/BH Do đó: MB′/AB=IM/IB=MM′/BH=dt(ΔMCD)/dt(ΔBCD) Vậy MB′/AB=dt(ΔMCD)/dt(ΔBCD)
(4)Vậy:
MB′/AB+MC′/CA+MD′/DA
=dt(ΔMCD)/dt(ΔBCD)+dt(ΔMBD)/dt(ΔBCD)+dt(ΔMBC)/dt(ΔBCD) =dt(ΔMCD)+dt(ΔMBD)+dt(ΔMBC)/dt(ΔBCD)
=dt(ΔBCD)/dt(ΔBCD)=1
Bài 2.39 trang 84 Sách tập (SBT) Hình học 11
Từ đỉnh tam giác ABC ta kẻ đoạn thẳng AA’, BB’, CC’ song song chiều, không nằm mặt phẳng tam giác Gọi I, G K trọng tâm tam giác ABC, ACC’, A’B’C’
a) Chứng minh (IGK) (BB′CC′).∥ b) Chứng minh (A′GK) (AIB′).∥ Giải:
Gọi M M’ tương ứng trung điểm AC A’C’, ta có:
I BM,G C∈ ∈ ′M,K B′M′∈
Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:
MI/MB=MG/MC′=1/3 IG BC′⇒ ∥
(5)Mặt khác IG IK (IGK) nên (IGK) (BB′C′C)⊂ ∥
b) Gọi E F tương ứng trung điểm BC B’C’, O trung điểm A’C A, I, E thẳng hàng nên (AIB’) (AEB’) A’, G, C thẳng hàng nên (A’GK) (A’CF)
Ta có B′E CF (do B’FCE hình bình hành ) AE A′F nên (AIB′) (A′GK)∥ ∥ ∥ Bài 2.40 trang 84 Sách tập (SBT) Hình học 11
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M N trung điểm hai cạnh bên AA’ CC’ Một điểm P nằm cạnh bên DD’
a) Xác định giao điểm Q đường thẳng BB’ với mặt phẳng (MNP)
b) Mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện Thiết diện có tính chất gì?
c) Tìm giao tuyến mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD) hình hộp Giải:
a) Ta có mặt phẳng (AA’, DD’) song song với mặt phẳng (BB’, CC’) Mặt phẳng (MNP) cắt hai mặt phẳng nói
theo hai giao tuyến song song
Nếu gọi Q điểm cạnh BB’ cho NQ PM Q giao điểm đường∥ thẳng BB’ với mặt phẳng (MNP)
(6)b) Vì mặt phẳng (AA’, BB’) song song với mặt phẳng (DD’, CC’) nên ta có MQ PN Do mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện MNPQ một∥ ình bình hành
Giả sử P khơng phải trung điểm đoạn DD’ Gọi H=PN∩DC,K=MP∩AD Ta có D = HK giao tuyến mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD) hình hộp Chú ý giao điểm E=AB∩MQ nằm giao tuyến d nói Khi P trung điểm DD’ mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABCD)
Bài 2.41 trang 85 Sách tập (SBT) Hình học 11
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Hai điểm M N nằm hai cạnh AD CC’ cho AMMD=CNNC′
a) Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACB’)
b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng qua MN song song với mặt phẳng (ACB’)
Giải:
a) Vẽ MP song song với AC cắt CD P
Ta có:
AM/MD=CP/PD=CN/NC′ Do PN DC′ AB′∥ ∥
Đường thẳng MN thuộc mặt phẳng (MNP) mặt phẳng có MP AC và∥ PN AB′ Vậy mặt phẳng(MNP) song song với mặt phẳng (ACB’) đó∥ MN (ACB′)∥
(7)Ta vẽ NQ CB′,QR C′A′(( CA),RS AB′( PN)và tất nhiên SM QN Thiết diện∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ hình hộp cắt mặt phẳng qua MN song song với mặt phẳng (ACB’) hình lục giác MPNQRS có cạnh đối diện song song với đôi một: MP RQ,PN SR,NQ MS.∥ ∥ ∥
Bài 2.42 trang 85 Sách tập (SBT) Hình học 11 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’
a) Chứng minh hai đường chéo AC’ A’C cắt hai đường chéo BD’ B’D cắt
b) Cho E F trung điểm hai đường chéo AC BD.Chứng minh MN = EF
Giải:
Hình bình hành ACC’A có hai đường chéo
AC’ A’C cắt trung điểm M đường Tương tự, hai đường chéo BD’ B’D cắt trung điểm N đường
b) Trung điểm E AC hình chiếu trung điểm M
AC’ theo phương cạnh lăng trụ Tương tự, trung điểm F hình chiếu trung điểm N đường chéo BD’ BD Ta có EM CC′ EM=CC′/2∥
Mặt khác FN DD′và FN=DD′/2 Từ suy tứ giác MNFE hình bình hành∥ ta có MN = EF
Bài 2.43 trang 85 Sách tập (SBT) Hình học 11
Cho hai mặt phẳng (α) (β) cắt theo giao tuyến m Trên đường thẳng d cắt (α) A cắt (β) B ta lấy hai diểm cố định S1,S2 không thuộc (α), (β) Gọi
M điểm di động (β) Giả sử đường thẳng MS1,MS2 cắt (α) lần
(8)a) Chứng minh M1M2 luôn qua điểm cố định
b) Giả sử đường thẳng M1M2 cắt giao tuyến m K Chứng minh ba điểm
K, B, M thẳng hàng
c) Gọi b đường thẳng thuộc mặt phẳng (β) không qua điểm B cắt m I Chứng minh M di động b điểm M1 M2 di
động hai đường thẳng cố định thuộc mặt phẳng (α) Giải:
a) Mặt phẳng (M, d) cắt (α) theo giao tuyến M1M2
Điểm A thuộc giao tuyến Vậy đường thẳng M1M2
luôn qua điểm A cố định
b) Mặt phẳng (M, d) cắt (β) theo giao tuyến BM Điểm K thuộc giao tuyến nên ba điểm K, B, M thẳng hàng
c) Giả sử b cắt m I mặt phẳng (S1, b) ln ln cắt (α) theo giao tuyến
IM1 Do điểm M1 di động giao tuyến IM1 cố định Cịn M di
động b mặt phẳng (S2, b) cắt (α) theo giao tuyến IM2 Do điểm M2
chạy giao tuyến IM2 cố định
Bài 2.44 trang 85 Sách tập (SBT) Hình học 11
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ trung điểm E, F cạnh AB, DD’ Hãy xác định thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (EFB), (EFC), (EFC’) (EFK) với K trung điểm cạnh B’C’
(9)Ta
xác định thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng sau:
- Mặt phẳng (EFB): ta vẽ FG AB thiết diện hình chữ nhật ABGF, G∥ trung điểm CC’
- (h.2.67) Mặt phẳng (EFC): Nối FC vẽ EG FC, ta thiết diện hình∥ thang ECFG(AG=14AA′)
- (h.2.68) Mặt phẳng (EFC’): Nối FC’ vẽ EG FC′ Nối GC’ vẽ FH GC′.∥ ∥ Ta thiết diện hình ngũ giác EGC’FH
(BG=14BB′,AH=13AD)
- (h.2.69) Mặt phẳng (EFK) với K trung điểm đoạn B’C’ Lấy trung điểm E’ đoạn A’B’ Ta có I=EF∩E′D′ Ta có IK giao tuyến hai mặt phẳng (EFK) (A’B’C’D’) Gọi G=IK∩C′D′ Nối F với G, vẽ EH FG Nối K với H,∥ vẽ FL KH nối L với E Ta thiết diện hình lục giác EHKGFL (G,∥ H, L theo thứ tự trung điểm D’C’, B’B, AD)