Chuyên đề SỐ VÔ TỈ KHÁI NIỆM VỀ CĂN BẬC HAI SỐ THỰC A Kiến thức cần nhớ Số vô tỉ Số vô tỉ số viết dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Tập hợp số vơ tỉ kí hiệu I Khái niệm bậc hai Căn bậc hai số a không âm số x cho x a * Số dương a có đứng hai bậc hai, số dương kí hiệu * Số có bậc hai số 0, biết a số âm kí hiệu a 0 Số thực * Số vô tỉ số hữu tỉ gọi chung số thực * Tập hợp số thực kí hiệu R * Cách so sánh hai số thực tương tự so sánh hai số hữu tỉ viết dạng số thập phân * Trong tập hợp số thực có phép tốn với tính chất tương tự phép toán tập hợp số hữu tỉ B Một số ví dụ Ví dụ 1: Tính so sánh: a) 4.9 c) 25.81 9; 25 81 b) 9.36 d) 0,64.0,25 36 0,64 0,25 Giải Tìm cách giải Để tính a b ta tính a a.b ta thực phép nhân a.b trước, sau khai kết Để tính b sau nhân kết với Trình bày lời giải a) Ta có: Suy 9.4 36 6 3.2 5 9.4 4.9 b) Kết 9.36 36 18 c) Kết 25.81 25 81 45 d) Kết 0,64.0,25 0,64 0,25 0, Từ ta dự đốn công thức: a.b a b với a 0; b 0 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: a) 36 25 16 b) 25 : 1 81 81 c) 0,1 225 Giải Tìm cách giải Thực phép tính chứa bậc hai phép tính cộng, trừ, nhân, chia, thực theo thứ tự phép tính: khai bậc hai trước, sau nhân, chia cuối cộng trừ Trình bày lời giải 25 30 31 6 16 4 4 4 a) 36 b) 25 2 7 : : 81 81 9 5 c) 0,1 225 1 0,1.15 0,75 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức: A 27 x 2002 x, biết x 2 Giải x 2 x 2 - Nếu x 2 A 27 7.2 2020.2 4027 - Nếu x A 27 7.2 2020( 2) 2033 Ví dụ 4: Tìm x, biết: 81 13 a) 1,69 x 121 10 c) 2 x 0 b) x x 0,18 x 20 4 d) x x 3 x 5 0 Giải Tìm cách giải Những tìm x chứa bậc hai, lưu ý kiến thức sau: x m (m 0) x m x m (n 0) x n Trình bày lời giải 9 a) 1,3 x 1,3 11 1 11 1 x x x 11 11 121 x 2 x 0 b) x x 0,18 2 + Trường hợp 1: Xét: 3x 0 3x 2 x x 3 + Trường hợp 2: Xét: x 1 1 0 x x2 x 0,18 0,18 0,36 0,6 2 5 ; ; Vậy x ; 3 3 22 x 20 15 c) + Trường hợp 1: Xét: 22 91 x x 20 15 60 + Trường hợp 2: Xét: 22 17 x x Không tồn x 20 15 12 x 91 8281 x 36 1296 8281 Vậy x 1296 d) x 0 3x 0 x 0 Xét x 0 x 5 x Xét 3x Xét x 4 0 x x 5 0 x x 16 16 2 5 Vậy x 5; 5; ; ; ; 3 16 16 Ví dụ 5: Khơng dùng bảng số máy tính, so sánh: a) 26 17 với c) 63 27 với b) 63 8 với 27 Giải Tìm cách giải: Khi so sánh biểu thức chứa bậc hai, mà không dùng máy tính, vận dụng tính chất: a b 0 a b, x y a x b y a b Trình bày lời giải a) Ta có: 26 25 5; 17 15 4 26 17 b) 3; 2 c) Ta có: 63 26 17 8 hay 8 63 27 36 6 27 64 25 8 3 63 27 63 27 Ví dụ 6:Cho A 2019 x 3; B 21 10 x Hãy tìm: a) Giá trị nhỏ A b) Giá trị lớn B Giải Tìm lời giải Chúng ta lưu ý: A 0 với A 0 Đẳng thức xảy A 0 Trình bày lời giải a) Ta có: A 2019 x 2019 Dấu xảy x 1,5 Vậy giá trị nhỏ A 2019 x 1,5 b) Ta có: B 21 10 x 21 Dấu xảy x Vậy giá trị lớn B 21 x Ví dụ 7: Tính tổng chữ số a biết rằng: a 99 96 2020 ch÷ sè Giải Ta có: a 99 96 99 96 99 96 2020 2020 2020 a 100 99 96 99 96 99 96 00 2020 2021 2020 2020 2020 a 99 96 399 9996 00 2020 2020 2020 a 99 9560 004 2020 2020 Vậy tổng chữ số a là: 2020.9 18195 Ví dụ 8: Chứng minh số vơ tỉ Giải Tìm lời giải Một số thực số hữu tỷ số vô tỉ Do để chứng minh số vô tỉ, nên dùng phương pháp chứng minh phản chứng: Bước 1: Phủ định kết luận Giả sử số hữu tỷ Bước 2: Lập luận logic, suy mâu thuẫn với điều biết, tính chất hiển nhiên Bước 3: Vậy giả sử sai Suy kết luận Trình bày lời giải Giả sử số hữu tỉ, viết m Với m, n N * ƯCLN (m, n) 1 n Khi m n m 2 n Do m 2 m 2 (1) Đặt m 2 k (k N * ) Thay vào, ta có: (2k )2 2 n2 n 2 k n 2 n2 (2) Từ (1) (2) suy m n chia hết cho trái với ƯCLN (m, n) 1 Vì khơng thể số hữu tỉ, số vơ tỉ C Bài tập vận dụng 7.1 Thực phép tính: a) A 64 81 b) B 121 ( 5)2 16 ( 7)2 7.2 Thực phép tính: 7 a) A 2,25 ( 2,15) 6 16 b) B 361 2.105 ( 10) 30 106 25 c) C 64 ( 3)2 1,69 :5 16 10 1,21 22 0,25 225 7.3 Thực phép tính: B : 49 7.4 Thực phép tính: A 810 410 84 411 7.5 So sánh: a) 0,04 0,25 0,01 0,36 b) 0,5 x 100 25 16 :5 16 7.6 So sánh: a) 17 b) 63 c) 13 17 13 17 7.7 Tính giá trị biểu thức: B x y x với x 7, y 6, z 2 7.8 Tìm x biết: a) x ( 5)2 c) x e) b) 2020 : x 22,09 10 25 d) x 81 52 32 25 x 3 36 7.9 Hãy so sánh A với B biết: A 225 1 1; B 196 7.10 Cho P x ; Q 7 x Hãy tìm: a) Giá trị nhỏ P b) Giá trị lớn Q 7.11 Cho M x Tìm x Z x 50 M có giá trị nguyên 7.12 Cho N Tìm x Z để N có giá trị nguyên x5 7.13 Chứng minh rằng: 12 5 7.14 Chứng tỏ rằng: số vơ tỉ 7.15 Tìm x, biết; a) x 4 b) x 6 c) x 5 (với x 0) d) x 8 (với x 0) e) ( x 5)2 5 f) ( x 8)2 8 g) ( x 3)2 6 h) (2 x 5)2 7 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 7.1 a) A 8 10 b) B 11 12 25 7.2 a) A 1,5 4.2,15 16 A 1,5 8,6 10,5 5 17 A ( 3, 4) 4 19 19 2 3 b) B 10 30.2.10 10 10 3.2 19.(15 6) 171 10 10 2 5 2 50 c) C 2.3 7.1,3 : 25 (8 9,1 3,75) : 4 3 C 8,65 0.519 50 10.1,1 22.0,5 15 11 11 5 : : 7.3 B 1 1 11 B 11 : 230 20 220.(210 1) 12 28 2 16 7.4 A 12 22 10 2 (1 ) 7.5 a) Ta có: 0,04 0,25 0,2 0,5 0,7 0,01 0,36 0,01 5.0,6 3,01 Suy 0,04 0,25 0,01 0,36 b) Ta có 0,5 100 2 23 0,5.10 5 5 5 16 25 : 16 16 Suy 0,5 100 3 1 16 4 10 9 :5 16 16 7.6 a) 17 16 4 b) 63 64 8 c) 13 17 30 36 6 13 17 16 3 7 Suy ra: 13 17 13 17 7.7 Thay x 7, y 6, z 2 vào biểu thức ta được; B 72 62 2 49 36 81 9 7.8 a) x 5 x 2 b) 2020 : x 3 2020 : x 5 x 404 c) x 4,7 0,3 x 1 5 d) x 4 x e) x , x x 3 7.9 Ta có: A 15 B 14 mà 1 14 5 5 6 1 1 A 14 B 14 A B 6 1 7.10 a) Ta có: P x 2 Dấu xảy x 0 Vậy giá trị nhỏ P x 0 b) Ta có: Q 7 x 7 Dấu xảy x 1 Vậy giá trị lớn Q x 1 7.11 M có giá trị nguyên x 2 hay x số phương chẵn Mà x 50 nên x 49 suy x 0;4;16;36 x 1;5;17;37 Vậy với x 1;5;17;37 M có giá trị số nguyên 7.12 x Ư (9) mà Ư (9) 1;3;9; 1; 3; 9 Suy bảng giá trị: x5 x x 36 64 14 196 -1 16 -3 -9 -4 Vậy với x 36;64;196;16;4 N có giá trị ngun 7.13 Ta có: 6 15 Từ suy ra: 15 22 Mà 12 5 12 5.2 22 Từ suy điều phải chứng minh 7.14 Giả sử Suy ra: số hữu tỷ, suy 3 m với m, n N * ƯCLN (m, n) 1 n m2 m 3.n2 m 3 Đặt m 3k (k N * ) n Suy 9k 3n n 3k n 3 (1) (2) Từ (1) (2) suy m n chia hết cho trái với ƯCLN (m, n) 1 Vì khơng thể số hữu tỷ, số vô tỉ 7.15 Đáp số: a) x 2 b) x c) x d) x e) x f) x g) x h) x 7