Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.. Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là I.. Số thực * Số vô tỉ và số hữu tỉ gọi chung là số thực.. * Tập hợp các số thực
Trang 1Chuyên đề 7 SỐ VÔ TỈ KHÁI NIỆM VỀ CĂN BẬC HAI SỐ THỰC
A Kiến thức cần nhớ
1 Số vô tỉ Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là I
2 Khái niệm về căn bậc hai
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 a
* Số dương a có đứng hai căn bậc hai, một số dương kí hiệu là a và một số âm kí hiệu là a
* Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số 0, cũng biết 0 0
3 Số thực
* Số vô tỉ và số hữu tỉ gọi chung là số thực
* Tập hợp các số thực kí hiệu là R
* Cách so sánh hai số thực tương tự như so sánh hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân
* Trong tập hợp các số thực cũng có các phép toán với các tính chất tương tự như các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ
B Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tính và so sánh:
c) 25.81 và 25 81 d) 0,64.0, 25 và 0,64 0, 25
Giải
Tìm cách giải Để tính a b ta thực hiện phép nhân a.b trước, sau đó mới khai căn kết quả
Để tính a b ta tính a và b sau đó nhân kết quả với nhau
Trình bày lời giải
a) Ta có: 9.4 366 và 9 4 3.25
Suy ra 9.4 4.9
Trang 2b) Kết quả 9.36 9 36 18.
c) Kết quả 25.81 25 8145
d) Kết quả 0,64.0, 25 0,64 0, 25 0, 4
Từ đó ta có thể dự đoán một công thức: a b a b với a 0;b 0
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức:
a)
25 1
1 0,1 225 .
4
Giải
Tìm cách giải Thực hiện phép tính chứa căn bậc hai và phép tính cộng, trừ, nhân, chia, chúng
ta thực hiện theo thứ tự phép tính: khai căn bậc hai trước, sau đó nhân, chia cuối cùng là cộng trừ
Trình bày lời giải
a)
16 4 44 4 4 4
b)
81 81 59 9 5 5 5
c)
0,1 225 0,1.15 0, 75.
Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức: A27 7 x 2002 ,x biết x 2 2
Giải
x x
- Nếu x 2 thì A 27 7.2 2020.2 4027
- Nếu x 2 thì A 27 7.2 2020( 2) 2033.
Ví dụ 4: Tìm x, biết:
Trang 3a)
x
b)
0,18
x x x
Giải
Tìm cách giải Những bài tìm x chứa căn bậc hai, chúng ta lưu ý kiến thức sau:
x m m( 0) thì 2
xm
x2 m n( 0) thì x n
Trình bày lời giải.
a)
9
11
x
9
11
x
b)
0,18
+ Trường hợp 1: Xét:
+ Trường hợp 2: Xét:
Vậy
x
c)
+ Trường hợp 1: Xét:
Trang 4
+ Trường hợp 2: Xét:
5 x 20 15 5 x 12 Không tồn tại x
Vậy
8281
1296
x
d) 2
x hoặc
2 4
3
x
5 0
4
x
Xét x2 5 0 x2 5 x 5
Xét
x x x
Vậy
x
Ví dụ 5: Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh:
c) 63 27 với 63 27
Giải
Tìm cách giải: Khi so sánh các biểu thức chứa căn bậc hai, mà không dùng máy tính, chúng
ta vận dụng tính chất:
a b 0 a b.
ab x, y a xb y.
Trình bày lời giải.
a) Ta có: 26 255; 17 154
b) 8 93; 5 4 2 8 5 3 2 hay 8 5 1.
c) Ta có: 63 27 36 6
Trang 5
Ví dụ 6:Cho A2019 2x3;B21 10 x2. Hãy tìm:
a) Giá trị nhỏ nhất của A b) Giá trị lớn nhất của B
Giải
Tìm lời giải Chúng ta lưu ý: A0 với mọi A 0. Đẳng thức xảy ra khi A 0
Trình bày lời giải.
a) Ta có: A2019 2x 3 2019
Dấu bằng xảy ra khi x 1,5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2019 khi x 1,5
b) Ta có: B21 10 x 2 21 Dấu bằng xảy ra khi x 2
Vậy giá trị lớn nhất của B là 21 khi x 2
Ví dụ 7: Tính tổng các chữ số của a biết rằng: 2020 ch÷ sè
99 96
a
Giải
Ta có:
2
2020 2020 2020 99 96 99 96 99 96
a
2020 2020 2020 2021 2020
a
2020
2020
2020
99 96 00 0 399 9996
99 9560 004
a
a
Vậy tổng các chữ số a là: 2020.9 5 6 4 18195
Ví dụ 8: Chứng minh rằng 2 là một số vô tỉ
Giải
Trang 6 Tìm lời giải Một số thực chỉ có thể là số hữu tỷ hoặc số vô tỉ Do vậy để chứng minh 2 là
số vô tỉ, chúng ta nên dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng:
Bước 1: Phủ định kết luận Giả sử 2 là số hữu tỷ
Bước 2: Lập luận logic, suy ra mâu thuẫn với một điều đã biết, một tính chất hiển nhiên.
Bước 3: Vậy giả sử là sai Suy ra kết luận là đúng.
Trình bày lời giải.
Giả sử 2 là một số hữu tỉ, như vậy 2 có thể viết 2 .
m n
Với m n N, * và ƯCLN ( , n)m 1. Khi đó mn 2 m22 n2 Do đó m22 m2 (1)
Đặt m2 (k kN*) Thay vào, ta có: (2 )k 2 2n2
Từ (1) và (2) suy ra m và n cùng chia hết cho 2 trái với ƯCLN ( , n)m 1.
Vì vậy 2không thể là số hữu tỉ, do đó 2 là số vô tỉ
C Bài tập vận dụng
7.1 Thực hiện phép tính:
7.2 Thực hiện phép tính:
a)
2
A
b)
5 8
6
c)
2
C
7.3 Thực hiện phép tính:
B
Trang 77.4 Thực hiện phép tính: 4 11
7.5 So sánh:
a) 0,04 0, 25 và 0,01 5 0,36
b)
4
0, 5 100
25
và
7.6 So sánh:
7.7 Tính giá trị biểu thức: B x2y2 x2 với x 7,y 6,z 2.
7.8 Tìm x biết:
c)
22,09 1 9
.
e)
7.9 Hãy so sánh A với B biết:
1
2
Hãy tìm:
a) Giá trị nhỏ nhất của P b) Giá trị lớn nhất của Q
7.11 Cho
1 2
x
M
Tìm xZ và x 50 để cho M có giá trị nguyên
7.12 Cho
9 5
N
x
Tìm xZđể N có giá trị nguyên
7.13 Chứng minh rằng: 1 2 3 912 5 5.
Trang 87.14 Chứng tỏ rằng: 3 là một số vô tỉ.
7.15 Tìm x, biết;
a) 2
4
6
d) 2
8
x (với x 0). e) (x 5)2 5 f)(x 8)2 8
g) (x 3)2 6. h) (2x 5)2 7.
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 7.1 a) A 8 9 7 10. b) B 11 5 4 12.
7.2 a)
A
1, 5 8,6 10, 5 5
4
A
A
b)
B
c)
C
3
50
7.3
B
B
7.4
30 20 20 10
8 4
A
7.5 a) Ta có: 0,04 0, 250,2 0, 5 0, 7
Trang 90,01 5 0,36 0,01 5.0,6 3,01.
Suy ra 0,04 0, 250,01 5 0,36.
b) Ta có
Suy ra
c) 13 17 30 36 6
Suy ra: 13 17 13 17
7.7 Thay x 7,y 6,z 2 vào biểu thức ta được;
7.8 a) 7 x 5 x2
b) 2020 :x 2 3 2020 :x 5 x404
c)
1
x x
d) x 9 4 x5
7.9 Ta có:
A
1
14
6
B
mà
Trang 107.10 a) Ta có:
P x
Dấu bằng xảy ra khi x 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
1
2 khi x 0
b) Ta có: Q 7 2 x17. Dấu bằng xảy ra khi x 1 Vậy giá trị lớn nhất của Q là 7 khi x 1
7.11 M có giá trị nguyên x 1 2 hay x 1 là số chính phương chẵn Mà x 50 nên
1 49
x suy ra x 1 0;4;16;36 x1;5;17;37
Vậy với x 1;5;17;37
thì M có giá trị là số nguyên
7.12 x 5 Ư (9) mà Ư (9)1;3;9; 1; 3; 9
Suy ra bảng giá trị:
5
Vậy với x 36;64;196;16;4
thì N có giá trị nguyên
7.13 Ta có: 2 3 4 2 2 2 6
5 6 7 8 9 3 3 3 3 3 15
Từ đó suy ra: 1 2 3 9 1 6 1522
Mà 12 5 5 12 5.2 22 Từ đó suy ra điều phải chứng minh
7.14 Giả sử 3 là số hữu tỷ, suy ra 3
m n
với m n N, * và ƯCLN ( , )m n 1 Suy ra:
2
2
n
Đặt m3 (k kN*) (1)
Suy ra 9k2 3n2 n2 3k2 n3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra m và n cùng chia hết cho 3 trái với ƯCLN ( , )m n 1
Trang 11Vì vậy 3 không thể là số hữu tỷ, do đó 3 là số vô tỉ.
7.15 Đáp số:
2
x