Chuyên đề 7 số vô tỉ khái niệm về căn bậc hai số thực

Chuyên đề SỐ VÔ TỈ KHÁI NIỆM VỀ CĂN BẬC HAI SỐ THỰC A Kiến thức cần nhớ Số vô tỉ Số vô tỉ số viết dạng số thập phân vô hạn khơng tuần hồn Tập hợp số vơ tỉ kí hiệu I Khái niệm bậc hai Căn bậc hai số a không âm số x cho x2 a * Số dương a có đứng hai bậc hai, số dương kí hiệu a số âm kí hiệu  a * Số có bậc hai số 0, biết 0 Số thực * Số vô tỉ số hữu tỉ gọi chung số thực * Tập hợp số thực kí hiệu R * Cách so sánh hai số thực tương tự so sánh hai số hữu tỉ viết dạng số thập phân * Trong tập hợp số thực có phép tốn với tính chất tương tự phép tốn tập hợp số hữu tỉ B Một số ví dụ Ví dụ 1: Tính so sánh: a) 4.9 9; b) 9.36 36 c) 25.81 25 81 d) 0,64.0,25 0,64 0,25 Giải  Tìm cách giải Để tính a.b ta thực phép nhân a.b trước, sau khai kết Để tính a b ta tính a b sau nhân kết với  Trình bày lời giải a) Ta có: 9.4  36 6 3.2 5 Suy 9.4  4.9 b) Kết 9.36  36 18 c) Kết 25.81  25 81 45 d) Kết 0,64.0,25  0,64 0,25 0, Từ ta dự đốn cơng thức: a.b  a b với a 0;b 0 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: 36 25  : 25  0,1 225 a) 16 c) b) 81 81 Giải  Tìm cách giải Thực phép tính chứa bậc hai phép tính cộng, trừ, nhân, chia, thực theo thứ tự phép tính: khai bậc hai trước, sau nhân, chia cuối cộng trừ  Trình bày lời giải 36 25  6  30  31 a) 16 4 4 4 : 25  2 :  2   b) 81 81 9 5 0,1 225 0,1.15 0,75 c) Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức: A 27  x  2002x, biết x    22 Giải x 2  x 2 - Nếu x 2 A 27  7.2  2020.2  4027 - Nếu x  A 27  7.2  2020( 2) 2033 Ví dụ 4: Tìm x, biết:  81  13  3x2 2 2 1 1,69. x     2x 121  10     x  9 0 a)  b) 0,18   x   4  4  5  x  5  3x   2 x   0  c) 20 d)  3  Giải  Tìm cách giải Những tìm x chứa bậc hai, lưu ý kiến thức sau:  x m (m 0) x m2  x2 m (n  0) x  n  Trình bày lời giải  9 1,3. x   1,3 a)  11  x  1 11 x 2  x 1  x 11 11 121  3x2  2 2  1 . 2x   x  9 0 b)  0,18  3x2  0  3x2 2  x2 2  x  + Trường hợp 1: Xét: 2x2  0  2x2   x2   x  5 + Trường hợp 2: Xét: 0,18 0,18 0, 36 0,6 x   ; ; ; 5 Vậy  3 3 x  4  22 c) 20 15 x  22  x 91  x 91  x 8281 + Trường hợp 1: Xét: 20 15 60 36 1296 x   22  x  17  + Trường hợp 2: Xét: 20 15 12 Không tồn x x 8281 Vậy 1296 d) x2  0 3x2  43 0 x  0 Xét x2  0  x2 5  x  Xét 3x2  0  x2 4  x 2 Xét x  0  x   x  16 16  2 5 x   5; 5; ; ; ;  Vậy  3 16 16  Ví dụ 5: Khơng dùng bảng số máy tính, so sánh: a) 26  17 với b)  với c) 63  27 với 63  27 Giải  Tìm cách giải: Khi so sánh biểu thức chứa bậc hai, mà khơng dùng máy tính, vận dụng tính chất:  a  b 0  a  b  a  b, x  y  a  x  b  y  Trình bày lời giải a) Ta có: 26  25 5; 17  15 4  26  17    26  17  b)  3;  2     hay   c) Ta có: 63  27  36 6 63  27  64  25 8  3  63  27  63  27 Ví dụ 6:Cho A 2019  2x  3; B 21 10 x  Hãy tìm: a) Giá trị nhỏ A b) Giá trị lớn B Giải  Tìm lời giải Chúng ta lưu ý: A 0 với A 0 Đẳng thức xảy A 0  Trình bày lời giải a) Ta có: A 2019  2x  2019 Dấu xảy x  1,5 Vậy giá trị nhỏ A 2019 x  1,5 b) Ta có: B 21 10 x  21 Dấu xảy x  Vậy giá trị lớn B 21 x  Ví dụ 7: Tính tổng chữ số a biết rằng: a 9 9 96 2020 ch÷ sè Giải  2 a  99 96  9 9 96 99 96 Ta có:  2020  2020 2020   a 100.   99 96 99 96 00   99 96  2020  2020 2020 2021 2020 a 9 9 96 00  399. 9996 2020 2020 2020 a 9 9 9560. 004 2020 2020 Vậy tổng chữ số a là: 2020.9    18195 Ví dụ 8: Chứng minh số vô tỉ Giải  Tìm lời giải Một số thực số hữu tỷ số vô tỉ Do để chứng minh số vô tỉ, nên dùng phương pháp chứng minh phản chứng:  Bước 1: Phủ định kết luận Giả sử số hữu tỷ  Bước 2: Lập luận logic, suy mâu thuẫn với điều biết, tính chất hiển nhiên  Bước 3: Vậy giả sử sai Suy kết luận  Trình bày lời giải m * Giả sử số hữu tỉ, viết n Với m, n  N ƯCLN (m, n) 1 Khi m n  m2 2n2 Do m2 2  m2 (1) Đặt m 2k (k  N* ) Thay vào, ta có: (2k)2 2n2  n2 2k2  n2 2  n2 (2) Từ (1) (2) suy m n chia hết cho trái với ƯCLN (m, n) 1 Vì khơng thể số hữu tỉ, số vô tỉ C Bài tập vận dụng 7.1 Thực phép tính: a) A  64  81  ( 7)2 b) B  121  ( 5)2  16 7.2 Thực phép tính:  2,25  ( 2,15)2       A      16    a)  361  2.105  B   ( 10)  30  b) 10    25    C  64  ( 3)  1,69   :  c)  16     10 1,21 22 0,25   225  B  7.3 Thực phép tính:      :       49   10 10 4 A  11 7.4 Thực phép tính: 4 7.5 So sánh: a) 0,04  0,25 0,01 5 0,36 0,5x 100   25    16 9 16  :  b) 7.6 So sánh: a) 17 b) 63 c) 13 17 13  17 7.7 Tính giá trị biểu thức: B  x2  y2  x2 với x 7, y 6, z 2 7.8 Tìm x biết: a)  x  ( 5)2 b) 2020 : x   1   1 x  22,09  d) x  81  52  32 c) 10 25  x  25 e) 3 36 A  225   1; B  196  7.9 Hãy so sánh A với B biết: P 1  x; Q 7  x  7.10 Cho Hãy tìm: a) Giá trị nhỏ P b) Giá trị lớn Q 7.11 Cho M  x Tìm x  Z x  50 M có giá trị nguyên N 7.12 Cho x  Tìm x  Z để N có giá trị nguyên 7.13 Chứng minh rằng:      12  5 7.14 Chứng tỏ rằng: số vơ tỉ 7.15 Tìm x, biết; a) x2 4 b) x2 6 c) x2 5 (với x  0) d) x2 8 (với x  0) e) (x  5)2 5 f) (x  8)2 8 g) (x  3)2 6 h) (2x  5)2 7 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 7.1 a) A 8   10 b) B 11   12 A   1,5  4.2,15  7  25 7.2 a)   16 A   1,5 8,6  10,5 A ( 3, 4)  17 44 19   19   B   10  30.2.10   10  10  3.2 19.(15  6) 171 b) 10   10    5  2 50 C 8  2.3  7.1,3   :  25  (8   9,1  3,75) : c)  4  3 C 8,65 0.519 50 B  10.1,1 22.0,5   15   11 11   5    :       :    7.3   7    7 3   1    1  11 B 11   :  5      3   3 230  220 220.(210 1) A  12 22  12 10  2 16 7.4 2 (1 ) 7.5 a) Ta có: 0,04  0,25 0,2  0,5 0,7 0,01 0,36 0,01  5.0,6 3,01 Suy 0,04  0,25  0,01  0,36 0,5 100  0, 5.10  5  23 b) Ta có 55  9   25    1    :         16 16   16 16   4  10  9 0,5 100       16 16  :  Suy 7.6 a) 17  16 4 b) 63  64 8 c) 13 17  30  36 6 13  17   16 3  7 Suy ra: 13 17  13  17 7.7 Thay x 7, y 6, z 2 vào biểu thức ta được; B  72  62  22  49  36   81 9 7.8 a)  x 5  x 2 b) 2020 : x  3  2020 : x 5  x 404 x  4,7 0,3  x 1 c) 5 d) x  4  x   x 5  , x 1  x 3 e) 3 A 15   14  7.9 Ta có: B 14      A 14   B 14   A  B mà 56 P 1  x 1 7.10 a) Ta có: Dấu xảy x 0 Vậy giá trị nhỏ P x 0 b) Ta có: Q 7  x  7 Dấu xảy x 1 Vậy giá trị lớn Q x 1 7.11 M có giá trị nguyên  x  12 hay x  số phương chẵn Mà x  50 nên x   49 suy x  1 0;4;16;36  x  1;5;17;37 Vậy với x  1;5;17;37 M có giá trị số nguyên 7.12 x  5 Ư (9) mà Ư (9)  1;3;9; 1; 3; 9 Suy bảng giá trị: x - - - x 14 -4 x 36 64 196 16  Vậy với x  36;64;196;16;4 N có giá trị ngun 7.13 Ta có:      6          15 Từ suy ra:      1 15 22 Mà 12  5 12  5.2 22 Từ suy điều phải chứng minh  * m 7.14 Giả sử số hữu tỷ, suy n với m,n  N ƯCLN (m,n) 1 m 2   m 3.n  m3 Suy ra: n Đặt m 3k (k  N ) (1) * Suy 9k2 3n2  n2 3k2  n3 (2) Từ (1) (2) suy m n chia hết cho trái với ƯCLN (m,n) 1 Vì khơng thể số hữu tỷ, số vơ tỉ 7.15 Đáp số: a) x 2 b) x  c) x  f) x  8 d) x  e) x   g) x   h) x  