Nhắc lại, bổ sung các khái niệm về hàm số

HÀM SỐ BẬC NHẤT NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ A Tóm tắt lý thuyết Khái niệm hàm số a) Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá trị x ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x x gọi biến số b) Hàm số cho bảng công thức y  f  x  ; y g  x  ; c) Khi y hàm số x , ta viết: d) Khi x thay đổi mà y nhận giá trị khơng đổi y gọi hàm Giá trị hàm số, điều kiện xác định hàm số - Giá trị hàm số f  x y  f  x0  điểm x0 kí hiệu là: - Điều kiện xác định hàm số f  x f x tất giá trị x cho biểu thức   có nghĩa Đồ thị hàm số - Đồ thị hàm số y  f  x tập hợp tất điểm M  x; y  mặt phẳng tọa độ Oxy y  f  x cho x, y thỏa mãn hệ thức: - Điểm M  x0 ; y  thuộc đồ thị hàm số y  f  x   y0  f ( x ) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Cho hàm số: y  f  x xác định với x  R y  f  x y  f  x - Nếu giá trị x tăng lên mà giá trị tương ứng tăng lên hàm số gọi đồng biến R y  f  x - Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tương ứng giảm hàm số gọi nghịch biến R Nói cách khác: Với x1 , x2 thuộc R f x  f  x2  y  f  x - Nếu x1  x2 mà   đồng biến R f x  f  x2  y  f  x - Nếu x1  x2 mà   nghịch biến R *) Chú ý: Trong q trình giải tốn ta sử dụng kiến thức sau để xét tính đồng biến nghịch biến hàm số R Cho x1 , x2 thuộc R x1  x2 Đặt T f ( x2 )  f ( x1 ) x2  x1 +) Nếu T  hàm số cho đồng biến R +) Nếu T  hàm số cho nghịch biến R B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Tính giá trị hàm số điểm Cách giải: Để tính giá trị hàm số y  f  x y  f  x điểm x0 , ta thay x x0 vào được: y0  f  x0  Bài 1: Tính giá trị hàm số a) y  f  x  x  x  x0  b) y  f  x  x  x0  Lời giải 1  1 1 y0  f          x0   2  2  2 vào y  f  x   x  x  ta được: a) Thay b) Thay x0  vào y  f  x  3 y0  x  ta được: x y  f  x   Bài 2: Tính giá trị hàm số a) x0  b) x0  x2   Lời giải x y  f  x   a) Thay x0  vào x2   ta được: y  f ( x)  x y  f  x   x0  vào b) Thay :2 x  12 ta được: 2 1    12    4  15 2 16 (không tồn tại) Bài 3: Cho hàm số y  f ( x)    x   x  1 Cho x0  ; x1  4 Hãy só sánh f  x0  f  x1  Lời giải x0  ; x1  4 thỏa mãn điều kiện để thức có nghĩa Với 5  7     x0   f  x0        1  x1   f  x1        1  4  ; 4    Ta có: Vậy f  x0   f  x1  Bài 4: Cho hai hàm số f  x  5 x  g  x   x   1 f   2  g    2 a) Tính b) Tính f   3  3g    Lời giải  1  1 f     g   5             12  2  2 a) Ta có: f   3  3g    2      3        1  1539 b) Ta có: Bài 5: Cho hàm số y  f ( x ) 3 x 1  mx  x  (m tham số) Tìm m để f  3  f   1 Lời giải Ta có: f  3 9m  3; f   1 m  Để f  3  f   1  9m  m   m  Vậy m giá trị cần tìm Bài 6: 2 Tìm m để hàm số y  f ( x) ( m   m) x  2mx  thỏa mãn điều kiện: f    f  1 Lời giải Ta có: f   5 f  1  m   3m  3m 0 m  3m   2  m  m   3m   f    f  1  Vậy m 2 giá trị cần tìm Bài 7: Cho hàm số y  f ( x)  x  x  b) Tìm x để f  x  10 a) Tính f   1 ; f   c) Rút gọn A f  x x2   x 3 Lời giải a) Ta có: y  f ( x)  x  x   x   f ( 1) 4; f (5) 2  x  10 f ( x) 10  x  10     x   10 b) c) A + Nếu + Nếu  x 13  x   x f ( x)  x  ( x  3)( x  3) x   x    x  3  x  A  x 3 A  1 x 3 x 3 Bài 8: Cho hai hàm số f  x  5 x  g  x  1 x 1 a) Tìm a cho f  a  g  a  b) Tìm b cho f  b   g  2b   Lời giải a) Ta có: f  a   g  a   5a   1 a 1  a  11 b) Ta có: f  b    g  2b    b 2 Bài 9: g x 2  x Cho hai hàm số f  x  x  x    Tìm a cho f  a  g  a  Lời giải Ta có: f  a  a  a  g  a  2  a  a 0 a  a  2  a  2a  3a 0  a  2a   0    a   Theo ta có:  Vậy a 0 a  2  f  a  g  a  Bài 10: Cho hàm số y  f ( x)  x 1 x1 a) Tìm tập xác định hàm số b) Tính  f 4  c) Tìm x nguyên để f  x  nhận giá trị nguyên Lời giải  x 0   x    a) Hàm số xác định  f (4  3)  b) Ta có: (  1)  (  1)    x 0   x 1 3 c) Ta có: y  f ( x)  x 1 1   Z  ( x  1)  U (2)  x1 x1 x  1  1; 2  x   0; 4;9 Dạng 2: Tìm điều kiện xác định hàm số Cách giải: Chú ý 2k +) Hàm số dạng thức: y  A( x)  k  Z  xác định (hay có nghĩa)  A( x ) 0 A( x) có nghĩa +) Hàm số dạng phân thức: y A( x) B( x) xác định (hay có nghĩa)  B ( x) 0 A  x  , B  x  có nghĩa *) Chú ý: +) Đơi điều kiện kết hợp chồng chéo hàm số +) Điều kiện để hàm số xác định tập K K  D  A 0 A.B 0    B 0 +) Bài 1: Tìm điều kiện x để hàm số sau xác định a) c) y 3 x 1 y 5x  x2 1 y x 1 x y x x x b) d) Lời giải a) Hàm số xác định  x  0  x   x 0   x  1  x   b) Hàm số xác định c) Hàm số xác định x d) Hàm số xác định   x 1 Bài 2: Tìm điều kiện x để hàm số sau xác định a) c) y y  2x   y e) x x  2x b) y  x    x x 5 x d) y x  x   2 2 x 3x  Lời giải  x 0  x  x 0    x 2 a) Hàm số xác định 3  x 0   b) Hàm số xác định 6  x 0  x     x 6   x 6 2 x  0    x 1 c) Hàm số xác định  x  0 d) Hàm số xác định   x 0 e) Hàm số xác định  4  x 2 Bài 3: Tìm điều kiện x để hàm số sau xác định y a) y  x   x  3x  b) 2 c) y  x   x    x   x Lời giải x1 x4 x a) Hàm số xác định  x      x  0  x  0  x         x  0   x  x  0 ( x  1)( x  2) 0   x         x  0  Vậy điều kiện:  x      x 1       x 2   x 1       x 2  x     x 2     x 1  x 2     x 1   1;1   2;   x 0  x 0     x 4 x   x     b) Hàm số xác định  2 2 c) Điều kiện  y  x   x    x   x  ( x   1)  (  x  1)  x  1   x2 1  x    x  Hàm số xác định  x     1  x 0  x  0  x         1  x 0  1  x 0 (1  x)(1  x) 0     1  x 0   1  x 0  x      x 1      x 1    x    x 1    (vonghiem)    x  Dạng 3: Xét đồng biến nghịch biến hàm số Cách giải: Ta thực cách sau Cách 1: Sử dụng định nghĩa f x  f  x2  Giải sử x1  x2 , ta xét hiệu   - Nếu f  x1   f  x2   hàm số đồng biến - Nếu f  x1   f  x2   hàm số nghịch biến Cách 2: Với x1 , x2  R; x1  x2 , xét tỉ số T f ( x )  f ( x1 ) x  x1 - Nếu T  hàm số đồng biến - Nếu T  hàm số nghịch biến Bài 1: Chứng minh rằng: a) Hàm số b) Hàm số y  f  x  3x  y  f  x  đồng biến R 1 x 3 nghịch biến R Lời giải a) Ta có: a 3   hàm số đồng biến b) Ta có: b 1 0 hàm số nghịch biến Bài 2: Với a số, hàm số sau đồng biến hay nghịch biến R a) b) y  f  x  2 x  5a y  f  x  5 x  a  Lời giải 2 0 a) Ta có hàm số nghịch biến b) Ta có:   hàm số đồng biến Bài 3: Xét biến thiên hàm số sau a) y  f  x  x  c) y  f  x   x b) y  f  x  2 x  Lời giải a) Cách 1: Hàm số xác định R Cho giá trị x1 , x2 cho x1  x2  x1  x2  Xét f  x1   f  x2   x1     x2   x1  x2   f  x1   f  x2   Hàm số đồng biến tập xác định Cách 2: Hàm số xác định R Với x1 , x2 thuộc R , x1  x2 , ta có: T f ( x )  f ( x1 )  ax2  b    ax1  b   a x  x1 x2  x1 +) Nếu a  hàm số đồng biến R +) Nếu a  hàm số nghịch biến R b) Hàm số y  f  x  2 x  xác định với x  R Cách 1: Với x1 , x2  R x1  x2  x1  x2  10 Suy y1  f  x1  2 x1  3; y2  f  x2  2 x2  Ta có: f  x1   f  x2   x1  3   x2  3 2  x1  x2    x1  x2   f  x1   f  x2   Hàm số đồng biến tập xác định Cách 2: Với x1 , x2 thuộc R , x1  x2 , suy y1 2 x1  3; y2 2 x2  y1  y2  x1  3   x2  3  x1  x2    2  x  x x  x x  x 2 Ta có: Do hàm số c) Hàm số y  f  x  2 x  y  f  x   x đồng biến R xác định với x  R y1  f  x1   x12 ; y2  f  x2   x22 x , x  R x  x x  x  2 Với (hay ), suy Ta có:     f  x1   f  x2    x12   x22   x1  x2   x1  x2  +) Xét x    ;   x1 , x2   x1  x2     x1  x2   x1  x2    f  x1   f  x2  Do hàm số y  f  x   x đồng biến khoảng   ;  +) Xét x   0;   x1 , x2 0  x1  x2     x1  x2   x1  x2    f  x1   f  x2  Do hàm số y  f  x   x nghịch biến  0;  Bài 4: y  f  x   x  3, x  R Cho hàm số Chứng minh hàm số đồng biến R Lời giải Trên tập hợp số thực R cho x hai giá trị tùy ý x1 , x2 cho x1  x2  x1  x2  4  y1  y2  x1    7  Ta có: 4   x2     x1  x2    y1  y2  o  y1  y2 7  Vậy hàm số đồng biến R Bài 5: 0;5 Chứng tỏ hàm số y 4 x  đồng biến khoảng   Lời giải 11 0;5 Trong khoảng   lấy hia giá trị tùy ý x cho x1  x2 , ta có: f ( x1 )  f ( x2 ) (4 x 12 9)  (4 x2  9) 4( x1  x2 )( x1  x2 ) Vì x1  x2  x1  x2  x1 ; x2   0;5   x1  x2    x1  x2   x1  x2    f  x1   f  x2    f  x1   f  x2  0;5 Vậy hàm số đồng biến khoảng   Bài 6:  1 f   0 f x 0;1 Cho hàm số   đồng biến khoảng     Chứng minh rằng: 3 1   f  3  0 f  2  0 2 2   Lời giải 3  1  ;      0;1      0;1 2 2 Ta có:   Vì 3 3  0;1  f       2  2 hàm số y  f  x  đồng biến khoảng 1 f   2 3 1  f   0  f     2  Mà   Tương tự ta có: 2 1 1  1   f     f   0 2 2   2 Bài 7: Cho hàm số y 3x  x  5( x  R) a) Tìm giá trị nhỏ hàm số b) Chứng minh hàm số đồng biến x   , hàm số nghịch biến x   Lời giải a) Ta có: y 3x  x  3  x  1  2, x  R  ymin 2  x  b) Trên tập hợp số R cho hai giá trị x1  x2 , ta có: x1  x2  đó: 12 2 y1  y2   x1  1      x2  1   3  x1  x2   x1  x2       +) Khi x    x1  x2    x1  x2    3( x  x2 )( x1  x2  2)   y1  y2  hàm số đồng biến +) Khi x    x1  x2    x1  x2    3( x1  x2 )( x1  x2  2)   y1  y2  hàm số đồng biến Dạng 4: Biểu diễn tọa độ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy Cách giải: Để biểu diễn tọa độ điểm M  x0 ; y0  hệ trục tọa độ Oxy , ta làm sau: - Vẽ đường thẳng song song với trục Oy điểm có hồnh độ x x0 - Vẽ đường thẳng song song với trục Ox điểm có hồnh độ y  y0 - Giao điểm hai đường thẳng điểm M  x0 ; y0  Bài 1: 3  A   2;1 ; B  0;  1 ; C  ;   Oxy   Trên hệ trục tọa độ cho điểm a) Biểu diễn điểm A, B, C hệ trục tọa độ Oxy y  f  x  2 x  b) Trong điểm A, B, C điểm thuộc hàm số Lời giải b) Xét điểm A  2;1 13 y  f  x  2 x  1 2       Thay x  2; y 1 vào hàm số ta được: (vô lý) Vậy điểm A  2;1 không thuộc đồ thị hàm số y  f  x  2 x  y  f  x  2 x  - Tương tự ta có điểm B điểm C không thuộc đồ thị hàm số Bài 2: M 1;  1 ; N  2;0  ; P   2;  Trên hệ trục tọa độ Oxy cho điểm  a) Biểu diễn điểm M , N , P hệ trục tọa độ Oxy b) Trong điểm M , N , P điểm thuộc hàm số y  f  x   x2 Lời giải y  f  x  x2 b) Ta có điểm M , N không thuộc hàm số y  f  x  x2 Điểm P thuộc đồ thị hàm số Bài 3: A  1;  ; B   3;0  ; C  2;0  ; D  2;  Trên hệ trục tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD với  a) Vẽ tứ giác ABCD mặt phẳng tọa độ b) Gọi độ dài đơn vị trục Ox, Oy 1cm Tính diện tích tứ giác ABCD Lời giải b) Ta thấy tứ giác ABCD hình thang vuông đáy AD BC , chiều cao CD Áp dụng cơng thức tính diện tích hình thang tính được: S ABCD 8cm Bài 4: A 3;0 ; B  2;0  ; C  0;  Cho ABC mặt phẳng tọa độ Oxy với    a) Vẽ tam giác ABC mặt phẳng tọa độ Oxy 14 b) Tính diện tích tam giác ABC biết đơn vị trục Ox; Oy 1m Lời giải 1 S ABC  OC AB  4.5 10 m 2 b) Ta có:   10  m   ABC Vậy diện tích BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hàm số y  f  x   f   2 ; f  0 ; f x 3 Tính 1   ; f  6  2 Khẳng định sau sai a f    4   13 f  c   Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: 15 b f   3 d f   0 Ta có: y  f  x   x 3   1 f          4  2 A)  1 f       0  2 B) 1 11 1  1 f          4 C)      1 f         0  2 D) Câu 2: Cho bốn điểm E  1;   ; F   2;  1 ; I  3;   ; H  0;3 d Điểm nằm đồ thị   hàm số y  x  a E F b E I c H F d I H Lời giải Chọn đáp án D d : y  x   * Giải thích: Ta có   *       E   d  A) Thay xE 1; yE  vào   ta được: *       F   d  B) Thay xF  2; yF  vào   ta được: *       I   d  C) Thay xI 3; yI  vào   ta được: *      H   d  D) Thay xH 0; yH 3 vào   ta được: d Câu 3: Đường thẳng   hình vẽ đồ thị hàm số y x a c y  b x y  x 2 y x d Lời giải 16 Chọn đáp án C Giải thích: d O 0;0 d Đường thẳng   qua gốc tọa độ   nên   đồ thị hàm số y ax d M 3;   Đường thẳng   qua  nên tọa độ điểm M nghiệm y ax Ta có:  a.3  a  4 4  y x 3 Câu 4: Cho hàm số y ax Tìm hệ số a , biết a c a a 2 b d a x 1 y a Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: 1 2   1  1  a  a   :   a  x ;y    4 vào y ax ta được: Thay g x g x   2 x  Câu 5: Xác định hàm số   , biết  a x  b x  c  x  d  x  Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Đặt x  t  x t   g  t  2  t    2t  hay g  x  2 x  Câu 6: Cho hàm số y ax  b  a   Hỏi hàm số cho đồng biến hay nghịch biến a Nghịch biến b Đồng biến c Không xác định d Không đồng biến không nghịch biến 17 Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: Với x1 , x2  R x1  x2 Ta có: ax1  ax2 a   ax1  b  ax2  b  f  x1   f  x2   hàm số cho nghịch biến Câu 7: Cho hàm số f  x  ax  bx  x  f 16 f 2 (với a, b số) Biết   Tính   a 11 b 12 c 13 d Không tính Lời giải Chọn đáp án B Giải thích:  f   a.24  b.2    f    f    4  f   a   b           Ta có:    Do f    16  12 Câu 8: Đồ thị hàm số y  x    x có điểm a Vơ số b điểm c điểm d Khơng có điểm Lời giải Chọn đáp án C Giải thích:  x 3   x 3 x  y  x    x Hàm số xác định  3;0 Do x 3  y 0 , đò thị hàm số gồm điểm   18 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tìm giá trị x để hàm sau xác định y a) y   x  x  b) c) y   x  x   2x  x  2 x  d) y  x   x  3x  Hướng dẫn giải 19   x 0 4  x      x 4 x   x    a) Hàm số xác định *) Hàm số chứa hai thức bậc hai nên ta cần tìm điều kiện để hai thức có 4  x 0  nghĩa, tức  x  0 5  x 0    x  0  x    b) Hàm số xác định  x 2   x 2  x 1    1  x    x 2 *) Nhận xét: Hàm số vừa chứa phân thức, vừa chứa thức, nên điều kiện ràng buộc nhau, cụ thể 5  x 0   x  0 x    c) Hàm số xác định   x  0   x  0 2   x  x  0  x  x  0   x  1  x  3 0     x 3  x      x   d) Hàm số xác định  x      x  0  x   x  0         x  0  x  x   x  x           x         x    x     x 2     x 1  x 2   x 1 *) Nhận xét: Ở câu c) d) để giải bất phương trình bậc hai sử dụng phương   A 0   B 0 A.B 0     A 0    B 0 pháp phân tích đa thức thành nhân tử vận dụng điều kiện để 20