Cđ16 quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Chun đề 16 QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU A Kiến thức cần nhớ  Khái niệm: Trong hình 16.1 - Điểm H gọi hình chiếu A đường thẳng d - Đoạn thẳng AH gọi đường vng góc, đoạn thẳng AB gọi đường xiên - Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu đường xiên AB đường thẳng d  Định lí Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn Trong hình 16.1 ta có AH  AB Bổ sung: Trong hình 16.2: A  d ; M  d ; AH  d Ta có AM  AH (dấu “=” xảy  M H )  Định lí Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đó: - Đường xiên có hình chiếu lớn lớn hơn; - Đường xiên lớn có hình chiếu lớn hơn; - Nếu hai đường xiên hai hình chiếu Ngược lại, hai hình chiếu hai đường xiên B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hai đoạn thẳng AB CD song song Một đường thẳng xy không song song, khơng vng góc với hai đoạn thẳng Hãy so sánh hình chiếu AB CD đường thẳng xy Giải (h.16.3) * Tìm cách giải Muốn có hình chiếu AB CD xy, ta vẽ AA, BB, CC , DD vng góc với xy Ta phải chứng minh AB C D Muốn ta tạo hai tam giác cách vẽ đường phụ * Trình bày lời giải Vẽ AA  xy, BB  xy, CC   xy, DD  xy Khi AB C D hình chiếu AB CD xy Vẽ AM / / AB, C N / / CD theo tính chất đoạn chắn song song ta có AM  AB; C N CD Mặt khác AB CD nên AM C N   D   90o  ; AM C N   (hai góc có cạnh tương ứng song song MAB NC D có: B M N nhọn) Do MAB NC D (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AB C D Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng cân A, BC a Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm D, M, E Chứng minh MD  ME a Giải (h.16.4) * Tìm cách giải Ta thấy độ dài a a có liên hệ với nhau: a độ dài cạnh huyền tam giác vuông cân cịn a độ dài cạnh góc vng Ta phải chứng minh MD  ME  AB Vì MD, ME đường xiên vẽ từ M đến cạnh góc vng AB, AC nên ta vẽ thêm đường vng góc từ M đến AB, AC để dùng định lí mối quan hệ đường vng góc đường xiên * Trình bày lời giải  Ta có: AB  AC BC  AB  a   AB a Vẽ MH  AB; MK  AC , MH ∥ AC ; MK ∥ AB suy MK  AH (tính chất đoạn chắn song song) HBM vng cân  MH BH Ta có MD MH ; ME MK (dấu “=”  D H ; E K ) (quan hệ đường vng góc đường xiên) Do đó: MD  ME MH  MK BH  AH  AB a Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông A, AB  AC Đường trung trực BC cắt BC M, cắt AC N Lấy điểm K đoạn thẳng CN Hãy so sánh BK CN Giải(h.16.5) * Tìm cách giải Ta dễ dàng so sánh đường xiên BK BN nhờ so sánh hình chiếu chúng Vậy phải so sánh BN với CN mà thơi * Trình bày lời giải Ta có BK BN đường xiên vẽ từ B tới đường thẳng AC, AK AN hình chiếu chúng AC Vì AK  AN nên BK  BN (quan hệ đường xiên hình chiếu) (1) Mặt khác, MN  BC MB MC nên NB NC (2) Từ (1) (2), suy ra: BK  NC C Bài tập vận dụng  Đường vng góc đường xiên 16.1 Cho tam giác ABC Vẽ AD  BC , BE  AC , CF  AB  D  BC , E  AC , F  AB  Chứng minh tổng AD  BE  CF nhỏ chu vi tam giác ABC 16.2 Cho tam giác ABC, góc A tù Qua A vẽ đường thẳng d cắt cạnh BC O Chứng minh tổng khoảng cách từ B từ C đến đường thẳng d nhỏ BC 16.3 Cho tam giác ABC vuông A Gọi M trung điểm AC Chứng minh trung bình cộng hình chiếu AB BC đường thẳng BM lớn AB 16.4 Cho tam giác ABC vuông cân A Qua A vẽ đường thẳng xy không cắt cạnh BC Gọi D E thứ tự hình chiếu B C xy Xác định vị trí xy để BD  CE BC 16.5 Cho tam giác ABC điểm M tam giác Biết đường trung trực CM qua A Hãy so sánh AB AC 16.6 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối BA CA lấy điểm M N cho BM CN Chứng minh rằng: a) BN  MN  BC ; b) BM  MN  BC  16.7 Cho đoạn thẳng BC 5cm trung điểm M Vẽ điểm A cho BAC 90o Qua M vẽ đường thẳng vng góc với AM cắt tia AB, AC E F Xác định vị trí điểm A để EF có độ dài ngắn Tính độ dài ngắn  Đường xiên hình chiếu 16.8 Cho tam giác ABC vuông A Vẽ AH  BC  H  BC    Cho biết BAH  CAH Hãy so sánh HB với HC  C   90o Chứng minh với vị trí điểm M nằm B C ta 16.9 Cho tam giác ABC, B ln có AM  AB 16.10 Cho tam giác ABC vuông A, AB 5, AC 12 Vẽ AH  BC Gọi M điểm đoạn thẳng AH Chứng minh rằng: 13 MB  MC 17 16.11 Cho tam giác ABC Vẽ AH  BC (H nằm B C) Lấy điểm M nằm AH Gọi D E hình chiếu M AB AC Chứng minh BD CE tam giác ABC tam giác cân Hướng dẫn giải 16.1 (h.16.6) Vì AD  BC nên AD  AB (dấu “=” xảy  ABC 90o ) Vì BE  AC nên BE BC (dấu “=” xảy  ACB 90o )  Vì CF  AB nên CF CA (dấu “=” xảy  BAC 90o ) Do dấu “=” xảy đồng thời nên AD  BE  CF  AB  BC  CA chu vi ABC 16.2 (h.16.7) Vẽ BH  d ; CK  d Theo quan hệ đường vuông góc đường xiên ta có BH BO; CK CO Do BH  CK BO  CO BC Dấu “=” xảy  H O K O  d  BC Vì góc A tù nên d cắt BC 16.3 (h.16.8) Vẽ AH  BM , CK  BM BH CK hình chiếu AB BC đường thẳng BM Ta có HAM KCM (cạnh huyền, góc nhọn)  MH MK Ta có AB  BM (quan hệ đường vng góc đường xiên) Do AB  BH  HM (1) Mặt khác AB  BM nên AB  BK  MK (2) Từ (1) (2), suy 2AB   BH  HM    BK  MK  Lại MH MK nên 2AB  BH  BK hay AB  BH  BK 16.4 (h.16.9)  E   90o  , AB  AC , ABD CAE  ABD CAE có: D (cùng phụ với góc BAD) Do ABD CAE (cạnh huyền, góc nhọn) Suy BD  AE AD CE Ta có BD  CE  AE  AD DE Vẽ BH  CE DE BH (tính chất đoạn chắn song song) Vì BH BC (quan hệ đường vng góc đường xiên) nên DE BC (dấu “=” xảy  C H hay xy //BC ) Vậy xy //BC BD  CE BC 16.5 (h.16.10) Gọi N giao điểm AB tia CM Vì M nằm tam giác ABC nên tia CM cắt cạnh AB điểm N nằm A B, AB  AN (1) Theo quan hệ đường vng góc đường xiên, từ HN  HM suy AN  AM (2) Từ (1) (2), ta có AB  AM Mặt khác AM  AC (vì HM HC ) nên AB  AC 16.6 (h.16.11) a) Ta có AB  AC , BM CN  AM  AN ABC AMN cân A 180o  A    ABC  AMN   BC // MN (vì có cặp góc đồng vị nhau) Vẽ AH  BC AH  MN (tại K) 1 Ta có BH  BC ; KN  MN 2 Gọi O giao điểm BN với AK Theo quan hệ đường vng góc đường xiên ta có: 1 BO  BH  BC ; ON  KN  MN 2 Do BN BO  ON nên BN  BC MN MN  BC   2 b) Vẽ BI  MN  BI // HK Do IK BH (tính chất đoạn chắn song song) 1 MN  BC Ta có MI MK  IK  MN  BC  2 Mặt khác BM  MI nên BM  MN  BC 16.7 (h.16.12) Gọi N trung điểm EF Các tam giác ABC AEF tam giác vuông, M N trung điểm cạnh huyền 1 nên AM  BC , AN  EF (1) 2 Suy BC 2 AM ; EF 2 AN Theo quan hệ đường vuông góc đường xiên ta có AN  AM (2) Từ (1) (2), suy EF BC 5cm Để xác định dấu “=” xảy ra, ta gọi H giao điểm AN với BC Ta có AH  BC (bạn đọc tự chứng minh) Ta có EF BC  AN  AM  N M  H M Khi tam giác ABC có MB MC , AM  BC (vì M H ) nên tam giác vng cân Do độ dài ngắn EF 5cm A đỉnh tam giác vng cân có cạnh huyền BC 16.8 (h.16.13)   A (cùng phụ với  ); B   A (cùng phụ với C  ) Ta có C B  B  mà A1  A2 (giả thiết) nên C  B  nên AB  AC (quan hệ cạnh Xét ABC có C góc đối diện tam giác) Suy HB  HC (quan hệ đường xiên hình chiếu) 16.9 (h.16.14) Vẽ AH  BC Vì góc B C nhọn nên H nằm B C  C   AC  AB (quan hệ cạnh góc đối diện Ta có B tam giác)  Nếu M H AM  AB (quan hệ đường vng góc đường xiên)  Nếu M nằm B H HM  HB  AM  AB (quan hệ đường xiên hình chiếu)  Nếu M nằm H C (h.16.15) Ta có HM  HC  AM  AC (quan hệ đường xiên hình chiếu) mà AC  AB nên AM  AB 16.10 (h.16.16) Theo định lí Py-ta-go ta có: BC  AB  AC 52  122 169  BC 13 Ta có BM BH (dấu “=” xảy  M H ); CM CH (dấu “=” xảy  M H ) Do BM  CM BH  CH 13 (dấu “=” xảy  M H ) (1) Ta có HM HA nên BM BA (dấu “=” xảy  M  A ) Tương tự CM CA (dấu “=” xảy  M  A ) Do BM  CM BA  CA 5  12 17 (dấu “=” xảy  M  A ) (2) Từ (1) (2), suy 13 MB  MC 17 16.11 (h.16.17)  Giả sử AB  AC , theo quan hệ đường xiên hình chiếu ta có HB  HC , MB  MC Từ điều kiện AB  AC BD CE suy AD  AE Theo định lí Py-ta-go, ta có: MD  AM  AD ; ME  AM  AE MD  ME Ta có MB MD  BD ; MC ME  CE Vì MD  ME BD CE nên MB  MC suy MB  MC Theo quan hệ đường xiên hình chiếu ta suy HB  HC , AB  AC (trái giả thiết) Chứng minh tương tự, AB  AC suy mâu thuẫn Vậy AB  AC hay tam giác ABC tam giác cân