TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chuyên đề 16 QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU A Kiến thức cần nhớ Khái niệm: Trong hình 16.1 - Điểm H gọi hình chiếu A đường thẳng d - Đoạn thẳng AH gọi đường vng góc, đoạn thẳng AB gọi đường xiên - Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu đường xiên AB đường thẳng d Định lí Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn Trong hình 16.1 ta có AH AB Bổ sung: Trong hình 16.2: A d ; M d ; AH d Ta có AM AH (dấu “=” xảy M H ) Định lí Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó: - Đường xiên có hình chiếu lớn lớn hơn; - Đường xiên lớn có hình chiếu lớn hơn; - Nếu hai đường xiên hai hình chiếu Ngược lại, hai hình chiếu hai đường xiên B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hai đoạn thẳng AB CD song song Một đường thẳng xy khơng song song, khơng vng góc với hai đoạn thẳng Hãy so sánh hình chiếu AB CD đường thẳng xy Giải (h.16.3) * Tìm cách giải Muốn có hình chiếu AB CD xy, ta vẽ AA, BB, CC , DD vng góc với xy Ta phải chứng minh AB C D Muốn ta tạo hai tam giác cách vẽ đường phụ * Trình bày lời giải Vẽ AA xy, BB xy, CC xy, DD xy Khi AB C D hình chiếu AB CD xy File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Vẽ AM / / AB, C N / / CD theo tính chất đoạn chắn song song ta có AM AB; C N CD Mặt khác AB CD nên AM C N D 90o ; AM C N (hai góc có cạnh tương ứng song song MAB NC D có: B M N nhọn) Do MAB NC D (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AB C D Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng cân A, BC a Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm D, M, E Chứng minh MD ME a Giải (h.16.4) * Tìm cách giải Ta thấy độ dài a a có liên hệ với nhau: a độ dài cạnh huyền tam giác vng cân cịn a độ dài cạnh góc vuông Ta phải chứng minh MD ME AB Vì MD, ME đường xiên vẽ từ M đến cạnh góc vng AB, AC nên ta vẽ thêm đường vng góc từ M đến AB, AC để dùng định lí mối quan hệ đường vng góc đường xiên * Trình bày lời giải Ta có: AB AC BC AB a AB a Vẽ MH AB; MK AC , MH ∥ AC ; MK ∥ AB suy MK AH (tính chất đoạn chắn song song) HBM vuông cân MH BH Ta có MD MH ; ME MK (dấu “=” D H ; E K ) (quan hệ đường vuông góc đường xiên) Do đó: MD ME MH MK BH AH AB a Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông A, AB AC Đường trung trực BC cắt BC M, cắt AC N Lấy điểm K đoạn thẳng CN Hãy so sánh BK CN Giải(h.16.5) * Tìm cách giải Ta dễ dàng so sánh đường xiên BK BN nhờ so sánh hình chiếu chúng Vậy phải so sánh BN với CN mà thơi * Trình bày lời giải Ta có BK BN đường xiên vẽ từ B tới đường thẳng AC, AK AN hình chiếu File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN chúng AC Vì AK AN nên BK BN (quan hệ đường xiên hình chiếu) (1) Mặt khác, MN BC MB MC nên NB NC (2) Từ (1) (2), suy ra: BK NC C Bài tập vận dụng Đường vuông góc đường xiên 16.1 Cho tam giác ABC Vẽ AD BC , BE AC , CF AB D BC , E AC , F AB Chứng minh tổng AD BE CF nhỏ chu vi tam giác ABC 16.2 Cho tam giác ABC, góc A tù Qua A vẽ đường thẳng d cắt cạnh BC O Chứng minh tổng khoảng cách từ B từ C đến đường thẳng d nhỏ BC 16.3 Cho tam giác ABC vuông A Gọi M trung điểm AC Chứng minh trung bình cộng hình chiếu AB BC đường thẳng BM lớn AB 16.4 Cho tam giác ABC vuông cân A Qua A vẽ đường thẳng xy không cắt cạnh BC Gọi D E thứ tự hình chiếu B C xy Xác định vị trí xy để BD CE BC 16.5 Cho tam giác ABC điểm M tam giác Biết đường trung trực CM qua A Hãy so sánh AB AC 16.6 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối BA CA lấy điểm M N cho BM CN Chứng minh rằng: a) BN MN BC ; b) BM MN BC 16.7 Cho đoạn thẳng BC 5cm trung điểm M Vẽ điểm A cho BAC 90o Qua M vẽ đường thẳng vng góc với AM cắt tia AB, AC E F Xác định vị trí điểm A để EF có độ dài ngắn Tính độ dài ngắn Đường xiên hình chiếu 16.8 Cho tam giác ABC vuông A Vẽ AH BC H BC Cho biết BAH CAH Hãy so sánh HB với HC C 90o Chứng minh với vị trí điểm M nằm B C ta 16.9 Cho tam giác ABC, B ln có AM AB 16.10 Cho tam giác ABC vuông A, AB 5, AC 12 Vẽ AH BC Gọi M điểm đoạn thẳng AH Chứng minh rằng: 13 MB MC 17 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 16.11 Cho tam giác ABC Vẽ AH BC (H nằm B C) Lấy điểm M nằm AH Gọi D E hình chiếu M AB AC Chứng minh BD CE tam giác ABC tam giác cân Hướng dẫn giải 16.1 (h.16.6) Vì AD BC nên AD AB (dấu “=” xảy ABC 90o ) Vì BE AC nên BE BC (dấu “=” xảy ACB 90o ) Vì CF AB nên CF CA (dấu “=” xảy BAC 90o ) Do dấu “=” xảy đồng thời nên AD BE CF AB BC CA chu vi ABC 16.2 (h.16.7) Vẽ BH d ; CK d Theo quan hệ đường vng góc đường xiên ta có BH BO; CK CO Do BH CK BO CO BC Dấu “=” xảy H O K O d BC Vì góc A tù nên d ln cắt BC 16.3 (h.16.8) Vẽ AH BM , CK BM BH CK hình chiếu AB BC đường thẳng BM Ta có HAM KCM (cạnh huyền, góc nhọn) MH MK Ta có AB BM (quan hệ đường vng góc đường xiên) Do AB BH HM (1) Mặt khác AB BM nên AB BK MK (2) Từ (1) (2), suy 2AB BH HM BK MK Lại MH MK nên 2AB BH BK hay AB BH BK 16.4 (h.16.9) File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN E 90o , AB AC , ABD CAE ABD CAE có: D (cùng phụ với góc BAD) Do ABD CAE (cạnh huyền, góc nhọn) Suy BD AE AD CE Ta có BD CE AE AD DE Vẽ BH CE DE BH (tính chất đoạn chắn song song) Vì BH BC (quan hệ đường vng góc đường xiên) nên DE BC (dấu “=” xảy C H hay xy //BC ) Vậy xy //BC BD CE BC 16.5 (h.16.10) Gọi N giao điểm AB tia CM Vì M nằm tam giác ABC nên tia CM cắt cạnh AB điểm N nằm A B, AB AN (1) Theo quan hệ đường vng góc đường xiên, từ HN HM suy AN AM (2) Từ (1) (2), ta có AB AM Mặt khác AM AC (vì HM HC ) nên AB AC 16.6 (h.16.11) a) Ta có AB AC , BM CN AM AN ABC AMN cân A 180o A ABC AMN BC // MN (vì có cặp góc đồng vị nhau) Vẽ AH BC AH MN (tại K) 1 Ta có BH BC ; KN MN 2 Gọi O giao điểm BN với AK Theo quan hệ đường vng góc đường xiên ta có: 1 BO BH BC ; ON KN MN 2 Do BN BO ON nên BN BC MN MN BC 2 b) Vẽ BI MN BI // HK Do IK BH (tính chất đoạn chắn song song) File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 1 MN BC Ta có MI MK IK MN BC 2 Mặt khác BM MI nên BM MN BC 16.7 (h.16.12) Gọi N trung điểm EF Các tam giác ABC AEF tam giác vuông, M N trung điểm cạnh huyền 1 nên AM BC , AN EF (1) 2 Suy BC 2 AM ; EF 2 AN Theo quan hệ đường vng góc đường xiên ta có AN AM (2) Từ (1) (2), suy EF BC 5cm Để xác định dấu “=” xảy ra, ta gọi H giao điểm AN với BC Ta có AH BC (bạn đọc tự chứng minh) Ta có EF BC AN AM N M H M Khi tam giác ABC có MB MC , AM BC (vì M H ) nên tam giác vng cân Do độ dài ngắn EF 5cm A đỉnh tam giác vng cân có cạnh huyền BC 16.8 (h.16.13) A (cùng phụ với ); B A (cùng phụ với C ) Ta có C B B mà A1 A2 (giả thiết) nên C B nên AB AC (quan hệ cạnh Xét ABC có C góc đối diện tam giác) Suy HB HC (quan hệ đường xiên hình chiếu) 16.9 (h.16.14) Vẽ AH BC Vì góc B C nhọn nên H nằm B C C AC AB (quan hệ cạnh góc đối diện Ta có B tam giác) Nếu M H AM AB (quan hệ đường vng góc đường xiên) Nếu M nằm B H HM HB AM AB (quan hệ đường xiên hình chiếu) File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Nếu M nằm H C (h.16.15) Ta có HM HC AM AC (quan hệ đường xiên hình chiếu) mà AC AB nên AM AB 16.10 (h.16.16) Theo định lí Py-ta-go ta có: BC AB AC 52 122 169 BC 13 Ta có BM BH (dấu “=” xảy M H ); CM CH (dấu “=” xảy M H ) Do BM CM BH CH 13 (dấu “=” xảy M H ) (1) Ta có HM HA nên BM BA (dấu “=” xảy M A ) Tương tự CM CA (dấu “=” xảy M A ) Do BM CM BA CA 5 12 17 (dấu “=” xảy M A ) (2) Từ (1) (2), suy 13 MB MC 17 16.11 (h.16.17) Giả sử AB AC , theo quan hệ đường xiên hình chiếu ta có HB HC , MB MC Từ điều kiện AB AC BD CE suy AD AE Theo định lí Py-ta-go, ta có: MD AM AD ; ME AM AE MD ME Ta có MB MD BD ; MC ME CE Vì MD ME BD CE nên MB MC suy MB MC Theo quan hệ đường xiên hình chiếu ta suy HB HC , AB AC (trái giả thiết) Chứng minh tương tự, AB AC suy mâu thuẫn Vậy AB AC hay tam giác ABC tam giác cân File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000