phân tích và thiết kế bộ giao thoa mach-zehnder cho phân cực plasma bề mặt

Tiếp theo trong chương 2, các kiến thức cơ bản về lý thuyết trường điện từ hệphương trình Maxwell, các phương trình thế và điều kiện biên…, lý thuyết cơ bản về hiệu ứng phân cực plasmon

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HÔI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

-NHIỆM VỤ ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Họ và tên sinh viên: QUANG NGỌC HIẾU Số hiệu sinh viên: 20061173 Khoá:51 Viện: Điện tử - Viễn thông Ngành: Điện tử - Viễn Thông 1 Đầu đề đồ án: ……… ………

……… ………

2 Các số liệu và dữ liệu ban đầu: ……… ……… …… ………

………

….… ……… ……….

3 Nội dung các phần thuyết minh và tính toán: ……… ….

………

…… ….

………

……… ….………

4 Các bản vẽ, đồ thị ( ghi rõ các loại và kích thước bản vẽ ): ……… ….

………

……….……….

5 Họ tên giảng viên hướng dẫn:……… ………

6 Ngày giao nhiệm vụ đồ án: ……….…………

7 Ngày hoàn thành đồ án: ……… ………

Ngày tháng năm

Sinh viên đã hoàn thành và nộp đồ án tốt nghiệp ngày tháng năm

Cán bộ phản biện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-BẢN NHẬN XÉT ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Họ và tên sinh viên: QUANG NGỌC HIẾU Số hiệu sinh viên:20061173 Ngành: Điện tử - Viễn thông Khoá: 51 Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS Đào Ngọc Chiến Cán bộ phản biện:

1 Nội dung thiết kế tốt nghiệp:

2 Nhận xét của cán bộ phản biện:

Ngày tháng năm

Cán bộ phản biện

( Ký, ghi rõ họ và tên )

Lời nói đầu

Ngày nay, với sự phát triển bùng nổ của khoa học và công nghệ các thiết bị điện

tử và thiết bị quang ngày càng nhỏ đi, các nhà khoa học luôn luôn không ngừnghướng tới các công nghệ mới để tối ưu và thu nhỏ kích thước của các thiết bị nhằmthỏa mãn nhu cầu ngày càng cao của con người Vì thế những cấu trúc nhỏ hơn mộtnửa bước sóng (subwavelength) ngày càng được quan tâm nghiên cứu và phát triển,các khe subwavelength trong các tấm film kim loại mỏng (như vàng, bạc, đồng…)làm cho sự giam hãm ánh sang vượt qua giới hạn của sự nhiễu xạ trong quang học

cơ bản Điều này có vẻ vô lý vì theo lý thuyết nhiễu xạ hiệu suất năng lượng truyềnqua khe suy giảm tỷ lệ với, trong đó là đường kính khe, còn là bước sóng Như vậyphải có một hiệu ứng đặc biệt nào đó đã xảy ra trên bề mặt kim loại khi nó bị kíchthích bởi sóng điện từ ở vùng tần số ánh sáng Gần đây, người ta đã phát hiện vàchứng minh được sự tồn tại của sóng phân cực plasmon (SPPs - Surface PlasmonPolaritons) trên bề mặt kim loại-điện môi, chính hiệu ứng này làm cho ánh sáng cóthể truyền ở kích thước subwavelength

Phân cực plasmon bề mặt (SPPs) là sóng điện từ truyền lan dọc theo bề mặt tiếpxúc giữa kim loai và điện môi, nó được kích thích bởi chùm bức xạ điện từ có bướcsóng trong vùng nhìn thấy và hông ngoại chiếu lên bề mặt tiếp xúc kim loại – điệnmôi với một số điều kiện nhất định Mặc dù SPPs là sóng lan truyền suy hao rấtnhanh theo hàm mũ với độ dài truyền dẫn khoảng vài , nhưng khoảng đó cũng đủ xa

để truyền trong các mạch quang học tích hợp kích thướng nano

Hiệu ứng phân cực plasmon bề mặt được ứng dụng trong các mạch quang tíchhợp (IOCs- Integrated Optical Circuits), hứa hẹn tạo ra một thế hệ các chíp máytính mới hoạt động với tốc độ siêu nhanh, trên cơ sơ đó các máy tính quang học củatương lai sẽ ra đời Trong máy tính quang học, các bus dữ liệu tín hiệu điện sẽ đượcthay thế bởi các bus dữ liệu tín hiệu quang, tuy nhiên các linh kiện tử chỉ có thể làmviệc với tín hiệu điện, do vậy để máy tính có thể làm việc với bus dữ liệu quang cần

có một linh kiện điều chế tín hiệu điện thành tín hiệu quang Vì vậy nhiêm vụ của

đồ án này là phân tích và thiết kế linh kiện kiện quang có khả năng điều chế tín hiệu

Tôi xin được bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới PGS-TS Đào Ngọc Chiến, người đãhướng dẫn, chỉ dạy tận tình và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện đồ án Tôi cũngxin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, thầy cô và bạn bè trong phòng nghiêncứu và phát triển truyền thông - những người đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo điềukiện cho tôi hoàn thành đồ án

Sinh viên thực hiện

Quang Ngọc Hiếu

Tóm tắt đồ án

Trong đồ án này, một cấu trúc mới của bộ ghép định hướng và bộ giao thoaMach-Zehnder được giới thiệu trên nền tảng đường truyền kim loại-điện môi-kimloại Đồng thời khảo sát sự phụ thuộc của tín hiệu đầu ra của chúng theo các thông

số kỹ thuật bằng phương pháp vi phân hữu hạn miền thời gian Bộ giao thoa Zehnder với một nhánh ống dẫn sóng được điền đầy bởi vật liệu hiệu ứng Pockelsđược đưa ra để điều khiển ánh sáng theo điện trường ngoài Kết quả cho thấy rằng:

Mach-sử dụng vật liệu có hiệu ứng quang điện cao cho phép làm giảm kích thước của thiết

of device can be reduced significantly

Mục lục

Danh mục hình vẽ

Thuật ngữ viết tắt

DC Directional copler Bộ ghép định hướng

DMD Dielectric-metal-dielectric Điện môi-kim loại-điện môiDLSPP

W

Dielectric-load SPPs

wavegiude

Ống dẫn sóng tải điện môi

EO Electro-optic effect Hiệu ứng điện-quang

Giới thiệu đề tài

Vài thập niên trở lại đây, các mạch quang tích hợp kích thước nano dựa trên cơ

sở sóng SPPs được nghiên cứu và phát triển trong các phòng thí nghiệm trên thếgiới hứa hẹn sẽ tạo ra một thế hệ các chip máy tính và máy tính quang học hoạtđộng ở tốc độ siêu nhanh trong tương lai gần Với xu thế phát triển như vậy, trongcác máy tính quang học của tương lai các bus dữ liệu tín hiệu điện thông thường sẽđược thay thế bởi các bus dữ liệu quang học Tuy nhiên các hệ thống xử lý tín hiệuhiện nay chỉ có thể làm việc với các tín hiệu điện do vậy yêu cầu đặt ra là cần cónghiên cứu về các thiết bị với kích thước nano có khả năng biến đổi tín hiệu điệnthành tín hiệu quang để có thể thực hiện việc kết nối giữa hệ thống với các bus dữliệu Loại thiết bị được lựa chọn sử dụng để giải quyết vấn đề này là bộ giao thoaMach-Zehnder Bộ giao thoa này đồng thời còn có thể sử dụng như một chuyểnmạch quang trong các hệ thống ghép kênh WDM Với hệ thống thông thường, kíchthước của chuyển mạch rất lớn so với kích thước của mạch tích hợp, như vậy sẽ rấtkhó khi tích hợp nó vào mạch quang tích hợp Như vậy một bộ giao thoa với kíchthước nano sẽ giải quyết tất cả các yêu cầu trên Đồ án này trình bày phương phápphân tích và kết quả đạt được trong thiết kế bộ giao thoa Mach-Zehnder với kíchthước nano

Nội dung đồ án được trình bày làm 3 chương:

Ở chương 1 giới thiệu công nghệ mạch quang tích hợp kích thước nano, tìm hiểuhiện trạng của bài toán các vấn đề gặp phải liên quan đến công nghệ nanooptic,động lực để phát triển nghiên cứu và thiết kế bộ giao thoa Mach-Zehnder và các kếtquả mong muốn đạt được

Tiếp theo trong chương 2, các kiến thức cơ bản về lý thuyết trường điện từ (hệphương trình Maxwell, các phương trình thế và điều kiện biên…), lý thuyết cơ bản

về hiệu ứng phân cực plasmon bề mặt, lý thuyết mode sóng ghép, hiệu ứng điệnquang, phương pháp tính toán trường điện từ và giới thiệu công cụ mô phỏng được

mô tả một cách chi tiết

Với những kiến thức cơ bản về trường điện từ, hiệu ứng phân cực plasmon bềmặt, nhu cầu nghiên cứu, ý tưởng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu phù hợp

đã được trình bày trong chương 1 và chương 2, tại chương 3 sẽ đi sâu vào trình bàyquá trình thiết kế bộ giao thoa Mach-Zehnder cũng như những kết quả đạt được

Chương 1

Giới thiệu chung

1.1 Giới thiệu sự ra đời mạch quang tích hợp kích thước nano IOC

Ngày nay với sự phát triển bùng nổ của khoa học và công nghệ các thiết bị điện

tử và thiết bị quang ngày càng nhỏ đi, các nhà khoa học luôn luôn không ngừnghướng tới các công nghệ mới, vật liệu mới để tối ưu và thu nhỏ kích thước của cácthiết bị nhằm thỏa mãn nhu cầu ngày càng cao của con người Công nghệ chế tạoChip vi điện tử đã đạt tới kích thước nhỏ hơn 10nm, tuy nhiên phương thức kết nốitín hiệu điện cổ điển bị giới hạn tốc độ bởi trễ RC (RC delay – thời gian tích điệncho tụ - T=R.C) dẫn đến giới hạn về băng thông truyền dẫn (cỡ GHz)

Trong khi đó các kết nối sử dụng tín hiệu quang có băng thông rất lớn (cỡ THz)nhưng lại bị giới hạn về mặt kích thước do giới hạn nhiễu xạ ánh sáng Khi truyềnsóng quang học qua một khe hẹp có kích thước nhỏ hơn một nửa bước sóng ánhsáng sẽ bị nhiễu xạ và năng lượng giảm mạnh Do đó truyền dẫn quang học gặp khókhăn trong việc ứng dụng vào công nghệ chế tạo các thiết bị truyền dẫn có kíchthước nanomet Theo đó với công nghệ truyền dẫn trong trông tin quang ngày naytín hiệu quang ghép kênh theo bước sóng đã chứng tỏ được tính ưu việt của mình,tuy nhiên khi được ứng dụng trong các thiết bị quang tích hợp theo cách thôngthường, nghĩa là tín hiệu quang được tách kênh trước khi inter-connection với cácmạch quang tích hợp, khi đó sẽ là không khả thi bởi các bộ tách kênh thông thường

có kích thước rất lớn (cỡ cm) so với kích thước các mạch quang tích hợp, hơn nữa

sử dụng bao nhiêu bước sóng thì sẽ cần bấy nhiêu đầu vào trên mạch quang tíchhợp như vậy sẽ là không tối ưu về mặt thiết kế

Thực tế với sự bùng nổ của ngành công nghệ thông tin và điện tử viễn thôngcùng với các ứng dụng tính toán, lưu trữ, tìm kiếm, truyền phát thông tin… trongnghiên cứu các ngành khoa học hay trong đời sống đỏi hỏi các chip điện tử cũngnhư các đường bus kết nối chúng ngày càng nhỏ ở kích thước nanomet và phải đáp

ứng được tốc độ tính toán vượt xa khỏi giới hạn RC Nhu cầu nghiên cứu ứng dụng

sự kết hợp được ưu thế của phương thức kết nối tín hiệu điện tử cổ điển và truyềndẫn quang học ngày càng trở nên thiết thực Vì thế, những cấu trúc nhỏ hơn mộtnửa bước sóng (subwavelength) ngày càng được quan tâm nghiên cứu và phát triểnsao cho có thể phá bỏ được những giới hạn mà công nghệ vi điện tử ngày nay đang

gặp phải Từ đó ngành công nghệ mạch quang tích hợp IOC ra đời để đáp ứng

nhu cầu trên.

Mạch quang tích hợp IOC là thiết bị tích hợp nhiều chức năng quang học nhưmạch tương tự hay mạch điện tử Sự khác biệt chính giữa mạch quang tích hợp vàmạch điện tử là cung cấp chức năng truyền dẫn tín hiệu thông tin dựa trên bướcsóng quang học điển hình là vùng ánh sáng thấy và vùng hồng ngoại

Không giống các mạch tích hợp điện tử trong đó silic là vật liệu chủ yếu, hệthống mạch quang tích hợp đã được chế tạo từ nhiều loại vật liệu bao gồm cả silichay chất cách điện , polymer hay các loại vật liệu bán dẫn được sử dụng để chế tạolaser bán dẫn như GaAs và InP Các loại vật liệu khác nhau này được sử dụng bởi vìchúng đem lại nhiều ưu điểm phụ thuộc vào chức năng được tích hợp

Công nghệ chế tạo mạch quang tích hợp tương tự như các công nghệ được sửdụng trong các mạch tích hợp điện tử trong đó công nghệ in được sử dụng để tạokhung cho việc việc khắc và lắng đọng Không giống như điện tử trong đó thiết bịchủ yếu là transitor mạch quang tích hợp không có một loại thiết bị đơn nổi trội.Các thiết bị quang tích hợp yêu cầu sự kết nối suy hao thấp giữa các đường dẫnsóng, bộ chia năng lượng, bộ khuếch đại quang học và bộ điều chế quang học hình1.1 Các thiết bị này đòi hỏi phải có nhiều loại vật liệu khác nhau và các kỹ thuậtchế tạo làm cho nó khó để nhận ra tất cả chúng trên một chip đơn

a) Mạch quang tích hợp b) Bộ ghép kênh theo bướcsóng

Hình 1- 1: Mạch quang tích hợp

Việc áp dụng các mạch tích hợp quang tử không chỉ trong trong lĩnh vực truyềndẫn quang học mà còn các ứng dụng trong các lĩnh vực khác như y sinh và máy tínhquang học Các mảng cách từ dẫn sóng thông thường được sử dụng như là bộ điềughép kênh phân chia theo bước sóng trong hệ thống thông tin quang là một ví dụcủa mạch tích hợp quang học, thiết bị này đã thay thế hệ thống ghép kênh quanghọc sử dụng các yếu tố lọc rời rạc trước đó Một ví dụ khác của một chip tích hợpquang tử trong ngày nay sử dụng rộng rãi trong thông tin sợi quang là hệ thống laserđược điều chế từ bên ngoài (EML)

Ưu điểm của mach quang tích hợp là có thể cho phép các hệ thống quang họcđược thực hiện nhỏ gọn hơn và hiệu suất cao hơn với các thành phần quang học rờirạc Họ cũng cung cấp khả năng tích hợp với các mạch điện tử để cung cấp chứcnăng tăng lên Ưu điểm quan trọng nhất là tăng tốc độ truyền dẫn với mạch kíchthước nhỏ

1.2 Động lực phát triển

Nhà vật lý học Richard P.Feynman là người đầu tiên miêu tả khái niệm về khoahọc Nano vào năm 1959 trong một bài thuyết trình trước hội đồng khoa học vật lýnước Mỹ

Công nghệ Nano được đưa ra năm 1974 bởi nhà nghiên cứu người Nhật NorioTaniguchi miêu tả kỹ thuật một cách chính xác tới micromet và hơn thế nữa.Vào

khoảng giữa thập niên 80 ,Eric Drexler đã đưa công nghệ Nano phổ biến hơn vớiviệc phát hành cuốn sách Engines of Creation.

Photonics là ngành khoa học và công nghệ nghiên cứu các phương pháp tạo ra

và điều khiển các phôtons, ánh sáng trong vùng nhìn thấy và gần với phổ hồngngoại Photonics là hệ thống kiến thức có liên hệ mật thiết với lượng tử ánh sáng vàquang lượng tử học(optoelectronics), ở một mức độ nào đó thì không thể phân biệtbiến giới giữa hai trường này

Nanophotonics là ngành khoa học nghiên cứu hoạt động của ánh sáng ở kích

thước nano (nanometre scale) Các nhà nghiên cứu nanophotonics thực hiện cáccuộc thử nghiệm với các cách khác nhau để tìm ra các phương pháp chung để điềukhiển ánh sáng và phát hiện các cấu trúc ở kích thước Nano Các thánh phần rất nhỏđược gọi là “nanostars” đang được nghiên cứu để hiểu cách chúng tương tác vớiánh sáng

Trong những năm gần đây việc nghiên cứu về nanoptic đã và đang diễn ra rất

sôi nổi ở hầu hết các viện nghiên cứu, các phòng thí nghiệm của các trường đại họctạo nền tảng cho việc nghiên cứu và phát triển các thiết bị điện tử có cấu trúc kíchthước nanomet nhưng hoạt động ở tần số quang học (các nhóm nghiên cứu ở Nhật,

Gần đây một hiện tương vật lý quý báu-sóng Plasmon bề mặt (SPP-Surface

Plasmon Polarition) không những nhận được sự quan tâm mà còn còn hấp dẫn các

nhà nghiên cứu và phát triển thiết bị tích hợp quang điện tử bởi những tính chất quýbáu của nó có thể giúp thiết bị điện tử kích thước nano có tần số hoạt động ở tần sốquang học

Hình 1- 2: tốc độ hoạt động cùng kích cỡ của các công nghệ chip

Hình 1- 3: Ứng dụng hiện tượng sóng bề mặt trong mạch quang tích hợp

Khi khảo sát với các khe subwavelength trong các tấm film kim loại mỏng (nhưvàng, bạc, đồng…) cho thấy sự giam hãm ánh sang vượt qua giới hạn của sự nhiễu

xạ trong quang học cơ bản Điều này có vẻ vô lý vì theo lý thuyết nhiễu xạ hiệu suấtnăng lượng truyền qua khe suy giảm tỷ lệ với, trong đó là đường kính khe, còn làbước sóng Như vậy phải có một hiệu ứng đặc biệt nào đó đã xảy ra trên bề mặt kimloại khi nó bị kích thích bởi sóng điện từ ở vùng tần số ánh sáng Gần đây, người ta

đã phát hiện và chứng minh được sự tồn tại của sóng phân cực plasmon (SPPs Surface Plasmon Polaritons) trên bề mặt kim loại-điện môi, chính hiệu ứng này làmcho ánh sáng có thể truyền ở kích thước subwavelength

-Phân cực plasmon bề mặt (SPPs) là sóng điện từ truyền lan dọc theo bề mặt tiếpxúc giữa kim loai và điện môi, nó được kích thích bởi chùm bức xạ điện từ có bướcsóng trong vùng nhìn thấy và hông ngoại chiếu lên bề mặt tiếp xúc kim loại – điệnmôi với một số điều kiện nhất định Mặc dù SPPs là sóng lan truyền suy hao rấtnhanh theo hàm mũ với độ dài truyền dẫn khoảng vài , nhưng khoảng đó cũng đủ xa

để truyền trong các mạch quang học tích hợp kích thướng nano

Hiệu ứng phân cực plasmon bề mặt được ứng dụng trong các mạch quang tíchhợp (IOCs- Integrated Optical Circuits), hứa hẹn tạo ra một thế hệ các chíp máytính mới hoạt động với tốc độ siêu nhanh, trên cơ sơ đó các máy tính quang học củatương lai sẽ ra đời Trong máy tính quang học, các bus dữ liệu tín hiệu điện sẽ đượcthay thế bởi các bus dữ liệu tín hiệu quang, tuy nhiên các linh kiện điện tử chỉ cóthể xử lý các tín hiệu điện Do đó cần phải nghiên cứu về các thiết bị biến đổi tínhiệu điện thành tín hiệu quang với kích thước nano.

Ứng dụng của hiện tượng sóng bề mặt này rất rộng rãi không chỉ được ứng dụngtrong các mạch quang tích hợp mà còn được ứng dụng rất rộng rãi trong lĩnh vựcnăng lượng (pin mặt trời), trong lĩnh vực công nghệ sinh học (kính hiển vi, cảmbiến sinh học, trong công nghệ gen…)

1.3 Mục tiêu nghiên cứu và kết quả mong muốn

Nghiên cứu phân tích tính chất đặc biệt của sóng SPP trong mô hình ống dẫnsóng kim loại-điện môi-kim loại (MDM) bằng mô phỏng sử dụng phương pháp viphân hữu hạn miền thời gian (FDTD Trên nền tảng ống dẫn sóng MDM, phân tích

và thiết kế bộ ghép định hướng (Directional coupler-DC) Từ đó thiết kế bộ ghép3dB với mục đích chia tín hiệu đầu vào thành hai tín hiệu bằng nhau

Nghiên cứu hiệu ứng điện-quang tuyến tính, hiệu ứng Pockels Phân tích sự thayđổi chiết suất của vật liệu theo tác động của điện trường ngoài

Trên cơ sở bộ ghép và hiệu ứng điện-quang, nghiên cứu và thiết kế bộ giao thoaMac-Zehnder ứng dụng sóng SPPs Với việc sử dụng vật liệu hiệu ứng Pockels, tínhiệu ánh sáng trong bộ giao thoa được điều khiển bằng điện áp bên ngoài Do đó,khi đặt tín hiệu điện vào bộ giao thoa, điện trường ngoài tác động lên bộ giao thoathay đổi làm cho tín hiệu ánh sáng bên trong nó biến đổi theo tín hiệu điện Từ đóđạt được mục tiêu biến đổi tín hiệu điện thành tín hiệu quang

Tóm lại chương này nêu lên thực trạng của bài toán, những động lực cho sự phát triển và kết quả nghiên cứu mong muốn Để đạt được những mục tiêu đề ra chương 2 sẽ đi tìm hiểu cơ sớ lý thuyết của bài toán và lựa chọn phương pháp tính toán trường điện từ phù hợp

Chương 2

Cơ sở lý thuyết của bài toán

Chương này giới thiệu các kiến thức cơ bản về lý thuyết trường điện từ (hệ phương trình Maxwell, các phương trình thế và điều kiện biên…), lý thuyết cơ bản

về hiệu ứng phân cực plasmon bề mặt, phương pháp kích thích và các mô hình đường dẫn sóng ứng dụng trong thực tế, phương pháp tính toán trường điện từ và giới thiệu công cụ mô phỏng.

2.1 Lý thuyết trường điện từ

2.1.1 Hệ phương trình Maxwell

Trong không gian tự do hệ phương trình Maxwell và các phương trình liên quanđược biểu diễn như sau:

(1.1a) (1.1b)(1.1c)

(1.1d)

(1.1e)

(1.1f)Đối với các vật liệu dẫn điện, định luật bảo toàn điện tích được biểu diễn bởiquan hệ:

(1.2)Mật độ dòng và cường độ điện trường liên hệ với nhau bởi định luật Ohm:

(1.3)Nếu vật dẫn chuyển động trong từ trường thì điện trường tổng cộng phải baogồm thêm thành phần được sinh ra do hiệu ứng chuyển động:

Trong các phương trình này , là các véc-tơ cường độ từ trường và điện trường ,

là các véc-tơ mật độ thông lượng từ và mật độ thông lượng điện là mật độ dòngđiện dẫn, là mật độ điện tích Cuối cùng, , là hệ số điện môi và hệ số từ thẩm trongkhông gian tự do, là hệ số phụ thuộc tính dẫn điện của môi trường

2.1.2 Các phương trình thế

2.1.2.1 Trường phụ thuộc thời gian biến đổi nhanh

Khi trường phụ thuộc vào thời gian biến đổi nhanh thì điện trường và từ trườngảnh hưởng tương hỗ lẫn nhau Trường phân bố phụ thuộc cả vảo thời gian và vị trí,

E(r,t) , B(r,t) Từ trường thay đổi theo thời gian sinh ra điện trường

xoáy và điện trường thay đổi theo thời gian sinh ra từ trường xoáy Như vậy điệntrường và từ trường sinh ra là các đại lượng động

Trong môi trường không suy hao và miền nguồn không gian tự do rất dễ dàng

nhận thấy rằng E và H thoả mãn phương trình sóng Đối với E , từ phương trình

hàm vector thế A thoả mãn:

Thay (1.7) và (1.8) vào (1.5) và (1.6) ta được:

(1.9)(1.10)

Do A và là các hàm tuỳ ý nên ta có thể chọn chúng sao cho:

(1.11)Trong môi trường suy hao thì phương trình sóng sử dụng dạng sau:

(1.12)Cuối cùng phương trình sóng thu được có dạng:

(1.13)(1.5)(1.14)(1.5)(1.14) Phương trình (1.13) và (1.14) được dùng để tính toán sóng bức xạ, trường tán xạcủa vật liệu và sự truyền sóng trong ống dẫn sóng hay các thiết bị điện từ khác

Phương trình (1.13) và (1.14) được dùng để tính toán sóng bức xạ, trường tán xạcủa vật liệu và sự truyền sóng trong ống dẫn sóng hay các thiết bị điện từ khác

2.1.2.2 Trường cân bằng

Khi bài toán được xét trong điều kiện trường biến đổi theo thời gian rất chậm thìtrạng thái cân bằng xấp xỉ được sử dụng Tiêu chuẩn được gọi là chậm nếu nó thoảmãn điều kiện sau:

là tần số góc của tín hiệu hình sin

Tiêu chuẩn này có nghĩa rằng dòng dẫn chiếm ưu thế và dòng dịch có thể được bỏ qua Do đó, từ trường xoáy sinh ra bởi điện trường không tồn tại Không

có mối liên hệ giữa sự thay đổi vị trí và biến đổi theo thời gian của trường Vì vậykhông có sự truyền sóng

Thông thường, trong các bài toán trường cân bằng đại lượng H(r,t), E(r,t) , J(r,t) và là hàm điều hoà theo thời gian Do đó trường

phân bố chỉ phụ thuộc vào vị trí và sự trễ pha tại từng vị trí trong không gian Trongtrường hợp này các phương trình Maxwell được rút gọn thành:

(1.16)(1.17)(1.18)

Khi là hằng số thì E và H tuân theo phương trình truyền parabol:

(1.20)Trong trường hợp như vậy để thuận tiện ta giả thiết sự tồn tại của véc-tơ từ thế

A và véc-tơ điện thế T Việc xác định A và T xuất phát trực tiếp từ hệ phương trình

Phương trình vi phân của 2 véc-tơ thế có thể thu được bằng cách thay phươngtrình (2.7), (2.8) và (2.22) vào hệ phương trình Maxwell, sau một số biến đổi đơngiản ta có hai phương trình sau:

(1.23)(1.24)Trong đó là mật độ dòng mặt

Ứng dụng quan trọng nhất của trạng thái xấp xỉ cân bằng là để xác định sự phân

bố của dòng xoáy trong vùng dẫn và trong lõi kim loại Tuỳthuộc vào hằng số vật liệu,

sự xấp xỉ có thể có giá trị đến khoảng tần số của tia X

2.1.2.3 Trường tĩnh và gần tĩnh

Các đại lượng trường tĩnh là độc lập với thời gian, ví dụ vàtrường phân bố chỉ là hàm của vị trí Nếu tần số đủ nhỏ thì điện trường xoáy sinh ra

bởi từ trường của dòng dịch là rất nhỏ Trường phân bố trong trường hợp này thực

tế gọi là phân bố tĩnh hay gần như là tĩnh Tiêu chuẩn của trường gần tĩnh là trong

đó là bước sóng, L là kích thước vùng trường.

Trong trường hợp trường tĩnh và gần tĩnh hệ phương trình Maxwellđược rút gọn thành:

Dựa vào phương trình , cả điện thế, từ thế vô hướng và

véc-tơ từ thế A được biểu diễn dưới dạng:

2.1.3 Các điều kiện biên

Tại bề mặt của các vật liệu khác nhau dạng tích phân của hệ phương trìnhMaxwell được rút gọn lại thành:

(1.30)(1.31)(1.32)(1.33)

Trong đó n là véc-tơ pháp tuyến đơn vị của bề mặt trong hình 2.1, E 1 , D 1 , B 1 , H 1 ,

J 1 và E 2 , D 2 , B 2 , H 2 , J 2 là của trường ở 2 phía của

bề mặt, đồng thời K và là mật độ của dòng mặt và thế mặt

Hình 2- 1: Điều kiện biên của E và B

Nếu véc-tơ thế điện vô hướng được coi như là một biến thì điều kiện biên

giữa 2 mặt là:

(1.34)

Do sự dịch chuyển đối xứng đối với từ trường, điều kiện biên bề mặt là:

(1.35)Nếu các bài toán từ trường được xét đến trong không gian 3 chiều thì véc-tơ từ

thế A được phân tích làm 3 thành phần:

(1.36)Trong đó là 3 thành phần của A, t và s là 2 véc-tơ đơn vị trực giao

với véc-tơ chuẩn hướng n Với tiêu chuẩn Coulomb thành phần chuẩn thoả mãn:

(1.37)

Tính liên tục của thành phần tiếp tuyến của cường độ từ trường H được biểu

diễn bằng biểu thức sau:

(1.38)Phương trình trên có thể được phân tích thành 2 phương trình:

(1.39)

(1.40)Phương trình (1.39) và (1.40) chỉ ra rằng các điều kiện biên cho từ trường 3chiều là phức tạp hơn so với trường vô hướng Do đó sự lựa chọn mô hình toán họcxấp xỉ đối với biến chưa biết và tiêu chuẩn biên là phương pháp chính để giải bàitoán trường điện từ trong không gian 3 chiều.

2.2 Lý thuyết về phân cực plasmon bề mặt

2.2.1 Giới thiệu

Sự kích thích bề mặt tiếp xúc điện từ trường:

Một ví dụ rất đơn giản đối với sự kích thích bề mặt tiếp xúc là sóng nước truyềntrên bề mặt hồ trong một ngày lặng gió Trong trường hợp này, bề mặt tiếp xúc làmặt nước còn sự kích thích là các di chuyển cơ học lên xuống của các phân tử nước.Điều này dẫn đến động năng của các phân tử nước là khác không, và vì thế dù cólực hấp dẫn của trái đất nó vẫn tạo ra các sự dao động

Tương tự như vậy, sự di chuyển tuần hoàn của các ion hay electron gần bề mặtvật rắn có thể tạo ra sự phân cực bề mặt Kết quả là các ion hay các hạt mang điện

tự do chịu sự tác động của lực Coulomb tương tự như lực hấp dẫn đối với các phân

tử nước Lực Coulomb tạo ra gia tốc cho các hạt mang điện và vì thế tạo ra sự daođộng Hoàn toàn tương tự, sự di chuyển tuần hoàn của trạng thái bị phân cực đã tạo

ra nguồn điện từ trường, sóng điện từ thay cho sóng nước bị giới hạn bởi bề mặt vậtrắn và truyền dọc theo bề mặt của nó

Thêm nữa, sự kích thích bề mặt điện từ trường có nguồn gốc vật lý là sự đổi chỗ

cơ học của các hạt mang điện, nguyên tử, phân tử Sự đổi chỗ này dẫn đến hìnhthành sự phân cực phụ thuộc theo thời gian (P) hay sự từ hóa (M) và sự tạo thànhtrường điện từ phụ thuộc theo thời gian kết hợp gần bề mặt tiếp xúc Vì thế sự kíchthích điện từ và cơ học không độc lập mà kết hợp với nhau Trạng thái kết hợp này

thường được xem là phân cực bề mặt tiếp xúc mà ở đó thuật ngữ phân cực được

cho là nhấn mạnh đến sự có mặt của trường điện từ bên ngoài vật rắn mặc dù cũng

có trường bên trong vật rắn[9]

Đối với vật rắn, để giải quyết hoàn toàn vấn đề đòi hỏi lời giải của hệ phươngtrình Maxwell với sự lựa chọn điều kiện biên hợp lý Trong đồ án này, ta chỉ xétđến những mô hình mà trong đó điều kiện biên cho phép giải bài toán một cách dễdàng Cụ thể, chúng ta sẽ tập trung vào trường hợp 2 bề mặt lớn tối đa phẳng tuyểnđối và song song Như một mô hình, nếu chính thức coi như là môi trường đơn lẻ,không đồng nhất thì đôi khi được gọi là môi trường phân tầng Vì thế hệ số điệnmôi có thể chỉ phụ thuộc vào biến không gian Do điều kiện biên nên các nghiệm cóthể của hệ phương trình Maxwell có thể nhóm vào 2 loại chính là sóng điện từtrường phân cực và phân cực , thường quy cho là các mode bề mặt điện từ.Điện trường của sóng điện từ phân cực song song với bề mặt tiếp xúc trong khivới sóng điện từ phân cực thì nó lại nằm trong mặt phẳng tới Như sẽ được đềcập chi tiết ở phần sau, trong trường hợp đặc biệt của SPP sóng phân cực mớisinh ra sóng truyền bề mặt bởi vì khi đó sự tich điện tương ứng với sự phân cực bềmặt mới có thể xảy ra.

Phân cực plasmon bề mặt - Surface plasmon polariton (SPPs): SPPs đã và đangnhận được rất nhiều sự chú ý, quan tâm của các nhà nghiên cứu trong các lĩnh vựcNano-Optics và Nanophotonics [1-4], bởi vì sóng SPPs có khả năng hoạt động tốt ởkích thước nhỏ hơn nhiều lần bước sóng, hay nói cách khác SPPs đã vượt qua đượcgiới hạn nhiễu xạ của của quang học cổ điển SPPs là sóng điện-từ kích thích truyềnlan dọc theo bề mặt tiếp xúc giữa kim loại và điện môi [1] như minh họa ở (Hình2.1) Sự kích thích này có thể được hiểu là sóng điện từ trường bị chặn lại ở bề mặttiếp xúc bởi sự hiện diện của các hạt mang điện tự do từ vật dẫn Vì thế, bên trongvật dẫn sự kích thích này có đặc điểm giống như là plasma trong khi ở bên trong

điện môi nó giống với sóng điện từ trường tự do hơn Thuật ngữ “phân cực plasmon bề mặt” ý muốn phản ánh sự trái ngược giữa 2 miền này.

Điều khiến SPPs đáng quan tâm như vậy là ở chỗ trường của nó suy giảm theohàm mũ từ bề mặt tiếp xúc hình 2.1(b) Vì lý do này mà nó cũng được quy cho làsóng suy giảm bề mặt không bức xạ Vì thế, trường điện từ của nó lớn nhất ở bề mặt

tiếp xúc và thậm chí có thể có mật độ năng lượng lớn hơn nhiều lần so với nguồnbức xạ

Sự quan tâm mới nhất về SPPs là khả năng ứng dụng trong các mạch quang tíchhợp kích thước nano hoạt động ở dải tần số ánh sáng (cỡ THz) Trong những mạchquang tích hợp, tín hiệu ánh sáng kích thích sóng SPPs và dẫn đi theo các đườngdẫn sóng có kích thước rất nhỏ so với bước sóng giúp nâng cao mức độ tích hợp,tốc độ cũng như băng thông so với sử dụng tín hiệu điện thông thường

Hình 2- 2: Dạng trường điện tử ở bề mặt tiếp xúc giữa 2 lớp

2.2.2 SPPs trong mô hình mặt tiếp xúc đơn, phẳng

Trường điện từ của SPP ở trong mô hình mặt tiếp xúc đơn, phẳng có thể nhậnđược một cách đơn giản từ các phương trình Maxwell Thực tế mô hình mặt tiếpxúc đơn (cũng được gọi là mô hình phân tầng) có thể được xem như môi trườngkhông đồng nhất có hệ số điện môi Như đã đề cập đếntrong phần 2.2.1, tất cả các nghiệm có thể của hệ phương trình Maxwell nói chung

có thể chia thành các mode điện từ phân cực và phân cực SPPs chỉ được

kích thích khi sóng tới kích thích là sóng từ ngang TM (phân cực P) bởi vì sóngphân cực P (TM) (có vector từ trường song song với bề mặt tiếp xúc) gây ra sự tích

tụ điện tích ở bề mặt tiếp xúc, vector điện trường có các thành phần không bị triệt

tiêu vuông góc với bề mặt tiếp xúc, thực tế các hạt mang điện bị giữ lại bên trongvật rắn, chúng không thể thoát ra ngoài, kết quả là gây ra một phản lực tạo nên sựdao động cộng hưởng SPPs lan truyền dọc theo bề mặt tiếp xúc Ngược lại mộtsóng phân cực S (TE) có vector cường độ điện trường song song với bề mặt tiếpxúc, do vậy gây nên sự chuyển động của các hạt mang điện song song với bề mặt vànhư vậy sẽ không có phản lực nào được tạo ra và kết quả là không tồn tại sự cộnghưởng SPPs

Hình 2- 3: Dạng trường điện từ SPP truyền trên bề mặt 2 môi trường

Vì SPP là sóng điện từ phân cực , nên véc-tơ cường độ từ trường vuông gócvới mặt phẳng – mặt phẳng trong Hình 2.3 Vì thế chúng ta có biểu thức:

)

Với hàm bao Ở đây, là véc-tơ sóng SPP song song với bề mặt tiếp xúc dọctheo hướng truyền SPP và là tần số SPP Giờ ta thay biểu thức trên vào hệ phươngtrình Maxwell, cùng với các điều kiện biên và hàm bao Sau đó, véc-tơ cường độ từtrường của SPP lại được thay vào hệ phương trình Maxwell, thu được cường độđiện trường

Như đã đề cập ở trên, các phương trình Maxwell tạo ra một bộ 4 phương trình

vi phân tuyến tính bậc nhất Rõ ràng bằng cách dùng các phương trình Maxwell,chúng ta có thể thu được hai công thức hoàn toàn tương đương dưới dạng phươngtrình vi phân, gọi là phương trình sóng đối với và , khi đó 2 phương trình khôngcòn là bậc nhất nữa mà là bậc hai Chúng ta xét và vì có thể giải thích đối với mật

độ dòng điện và mật độ điện tích bằng cách đưa ra một giá trị thực thay cho các giátrị phức của hệ số điện môi Trên thực tế, gần với bề mặt vật dẫn, SPP trở nên rõràng qua sự dao động tuần hoàn của các điện tích bề mặt Với sự giả thiết này,phương trình sóng đối với là [11]:

Cường độ điện trường của SPP có thể tính dễ dàng thu được khi thay vàophương trình Maxwell Cuối cùng ta thu được các công thức tương ứng với mô hìnhnhư ở Hình 2.2:

,

Áp dụng các điều kiện biên đối với các thành phần điện, từ trường pháp tuyến

và . (2.8)

Ở đó chúng ta đã biết rõ sự tán sắc trong cả hai môi trường Phương trình đầutiên có thể thu được mối quan hệ tán sắc , khi thay từ phương trình (2.6) vàophương trình (2.8) Chỉ khi phương trình (2.8) có nghiệm thì biểu thức mới đượcthỏa mãn Nếu quả thực như vậy, thì môi trường 2 được gọi là vật liệu hoạt tính bềmặt và mối quan hệ tán sắc được viết lại là:

(2.9)

Từ quan điểm toán học, là phương trình chứa các giá trị phức và Vì tốc độánh sáng và tần số là giá trị thực, nên véc-tơ sóng phải có giá trị phức, và qua đóxác định là độ dài suy hao theo hướng truyền Mối quan hệ tán sắc được mô tả như

ở Hình 2.3 Nhìn vào hình vẽ chúng ta thấy rằng, ở miền tần số thấp quan hệ tánsắc có cùng độ dốc với sóng điện từ tự do trong môi trường 1 Đối với vùng tần sốcao, quan hệ tán sắc bão hòa ở , ở đây là tần số cộng hưởng plasma của vật dẫn(môi trường 2)

Hình 2- 4: Quan hệ tán sắc của SPP ω=ω(Re(k))

Cụ thể, quan hệ tán sắc của sóng SPPs và sóng điện từ tự do là không kết hợp(mismatch) Điều này có nghĩa rằng, ta không thể kích thích SPPs chỉ bằng cách rọiánh sáng vào bề mặt vật dẫn-điện môi Vì thề cần thêm các cấu hình ghép nối đểkích thích sóng SPP Một số phương pháp sẽ được trình bày ở mục 2.4

Dựa trên các kết quả trên, ta có một số kết luận quan trọng sau:

• Theo phương trình (2.7), chỉ những thành phần trường , , của SPP

là không bị triệt tiêu như đã chỉ rõ trong Hình 2.2

• Tính các trường trong phương trình (2.7) tại mà các thành phần

và là liên tục Đối với ta thu được quan hệ ở bề mặt tiếp xúc Vìthông thường các hệ số điện môi và là số phức, nên cả biên độ vàpha của sẽ thay đổi ở bề mặt

Tương tự như thế, chúng ta có thể nhận được:

Cuối cùng, cấu trúc của trường điện từ SPP ở mặt tiếp xúc phẳng được xácđịnh rõ ràng bởi các giá trị hệ số điện môi và của hai môi trường Chúng ta sẽ dùngcác giá trị đặc trưng cho các hệ số điện môi của kim loại và bán dẫn để thu được cácgiá trị cụ thể cho các độ dài suy hao , , và

Chú ý rằng, với những gì mà chúng ta đã đề cập ở trên thì không thể đo được

độ sâu thâm nhập vào trong môi trường hoạt tính bề mặt kim loại Tuy nhiên, đốivới chúng ta có thể nhận được một kết quả tương đối, nếu chúng ta giả thiết và(giá trị này xấp xỉ với trường hợp vàng ở tần số THz), thì chúng ta có thể viết:

(2.12)(2.13)

Vì thế nên là biểu thức chính xác đối với độ sâu bề mặt đối với biên độ điệntrường ảnh hưởng trên bề kim loại

2.2.3 SPPs trong mô hình nhiều lớp (multylayer)

Bây giờ chúng ta tập trung đi nghiên cứu lý thuyết về SPPs trong mô hình nhiềulớp, gồm các màng mỏng kim loại và điện môi xếp kề nhau Trong hệ thống nhưnày mỗi một bề mặt đơn có khả năng tạo ra sóng SPPs riêng Khi mà hai bề mặt liền

kề tương đương hoặc là nhỏ hơn độ dài suy giảm của mode sóng bề mặt, khi đó sựtương tác giữa các mode tạo ra mode kết hợp Để xem xét các tính chất chung củasóng ghép SPPs, chúng ta sẽ tập trung vào 2 cấu hình 3 lớp đặc biệt như hình 2.4:thứ nhất là một tấm kim loại mỏng (I) nằm giữa 2 lớp vỏ điện môi dầy (II, III), đây

là cấu hình dạng điện môi/kim loại/điện môi (DMD), thứ 2 là cấu hình với một lớpmỏng điện môi (I) nằm kệp giữa 2 lớp kim loại (II,III), cấu hình này là dạng kimloại/điện môi/ kim loại (MDM)

Hình 2- 5: Cấu hình hệ thống 3 lớp gồm lớp mỏng I

Chúng ta quan tâm ở đây là mode bậc thấp nhất, chúng ta bắt đầu xem xét vớicác mode TM Với z > a, các thành phần trường là :

, (2.14a) (2.14b) (2.14c)Với z < -a ta có :

, (2.15a), (2.15b) (2.15c)

Để đơn giản hóa chúng ta chỉ định thành phần vector sóng trực giao với bềmặt là :

Trong vùng lõi –a < z < a, các mode được giới hạn tại 2 bề mặt dưới vàtrên, tạo ra:

(2.16a)

, (2.16b) (2.16c)Liên tục Hy và Ex dẫn

(2.17a) (2.17b)Tại z = a và

(2.20)Chúng ta để ý rằng với chiều dầy vô hạn (a), (2.20) sẽ trở thành (2.9),phương trình của hai sóng SPPs không kết hợp tại hai bề mặt phân biệt

Chúng ta sẽ đi từ điểm này và xem xét trường hợp đặc biệt với các môi trường(II) và (III), ví dụ khi dẫn đến Trong trường hợp này, phương trình (2.20) có thểtách thành 2 phương trình đơn như sau:

, (2.21a) (2.21b)

Có thể thấy rằng phương trình (2.21a) biểu diễn các mode của vector cân bằng

lẻ (Ex(z) là hàm lẻ, Hy(z) và Ez(z) là các hàm chẵn) , trong khi (2.21b) biểu diễncác mode của vector cân bằng chẵn (Ex(z) là hàm chẵn, Hy(z) và Ez(z) là các hàm

lẻ).

Quan hệ giữa (2.21a và 2.21b) giờ có thể ứng dụng cho các cấu trúc DMD vàMDM để nghiên cứu tính chất của các mode SPP kết hợp trong hai hệ thống này

Đầu tiên, chúng ta bắt đầu với cấu trúc MDM – một lớp kim loại mỏng cớ độ dầy2a kẹp giữa 2 lớp giới hạn điện mô Ở đây, biểu diễn hàm điện môi của kim loại, và

là hằng số điện môi dương thực của diện môi Cũng tương tự như vậy với cấu trúcMDM, chúng ta xét là hàm điện môi của kim loại và là hằng số điện môi của lõiđiện môi trong công thức (2.21a và 2.21b) Xem xét về mặt năng lượng, mode dẫnđược chú ý nhất là mode lẻ cơ bản của hệ thống, nó không thể hiện điều kiện cut-offcho giới hạn độ dầy lớp lõi Hình 2.5 thể hiện quan hệ của mode cho cấu trúcbạc/không khí/bạc

Hình 2- 6: Quan hệ của các mode SPP kết hợp của hệ thống 3 lớp bạc/không khí/bạc, với

độ dầy lõi là 100nm (đường đứt nét màu xám), 50nm (đường đứt nét màu đen) và 25nm (đường liền màu đen) Cũng thể hiện SPP tại bề mặt đơn bạc/không khí (đường cong màu

xám) và đường thẳng của photon ánh sáng (đường thẳng màu đen)

Chúng ta đã thảo luận về SPPs kết hợp trong mô hình 3 lớp, với các mode bề mặt

cơ sở của hệ thống, với cách nhìn nhận theo hướng ứng dụng trong các đường dẫnsóng và sự giam hãm năng lượng điện từ trường Một điều quan trọng cần ghi nhớ ởđây là họ các mode được ủng hộ bởi cấu trúc này được xem xét ở đây là còn rấtkhiêm tốn Ví dụ, với cấu trúc DMD, chúng ta đã không bao hàm việc thảo luận cácmode rò (leaky modes), và cấu trúc MDM có thể được thể hiện qua các mode daođộng với độ dầy đủ lớp của lõi điện môi Thêm nữa, sự kết hợp giữa SPPs tại 2 bề

mặt lõi/vỏ thay đổi quan trọng khi hằng số điện môi thay đổi, bởi vì

, tạo ra sự không cho phép kết hợp về pha giữa các mode trong vùng hai bềmặt

2.3.1 Lý thuyết gép mode sóng

2.3.1.1 Mô tả định lượng hoạt động của bộ ghép định hướng.

Để mô tả hoạt động của bộ ghép định hướng một cách định lượng, chúng ta xem xétđến một cấu trúc gồm hai ống dẫn sóng đặt rất gần nhau Hai ống dẫn sóng này cóthể là hai tấm điện môi đặt song song: một tấm trên, một tấm dưới; hay là hai kênhdẫn chạy song song như hình 2.7 Khi hai ống dẫn sóng đặt xa và cách ly với nhau,mỗi ống dẫn sóng được cấp một số mode dẫn hữu hạn và một mode bức xạ liên tục.Kết quả khảo sát thực nghiệm và mô phỏng số đã chỉ ra: chỉ những mode lan truyềnvới vận tốc pha đồng nhất hay gần đồng nhất trong cùng một hướng mới tương tácmạnh với nhau Để đơn giản, chúng ta xem xét các mode dưới dạng hai mode dẫn,mỗi mode cho một ống dẫn sóng Chúng ta có thể viết hai mode được dẫn bởi hai

ống dẫn sóng cách ly như sau: a10e1(x,y) và a20e2(x,y) với a 10 và a 20 là hằng số biên

độ, e1(x,y) và e2(x,y) là trường và β 1 , β 2 là hằng số lan truyền của hai mode dẫn Khi

hai ống dẫn sóng đặt rất gần nhau, e1(x,y) mở rộng cho ống dẫn sóng 2 và e2(x,y)

mở rộng cho ống dẫn sóng 1 Tuy nhiên e1(x,y) lại không thỏa mãn điều kiện biên

tại biên của ống dẫn sóng 2 cũng như e2(x,y) khi gặp điều kiện biên tại bề mặt ống

dẫn sóng 1 Nói cách khác, ống dẫn sóng 2 gây nhiễu cho e1(x,y) và ống dẫn sóng 1

gây nhiễu cho e2(x,y) Nhưng khi hai ống dẫn sóng rất gần nhau, nhiễu gây ra là rấtnhỏ Với giả định nhiễu nhỏ, trường dẫn bởi hai ống dẫn sóng có thể xấp xỉ bằng

tổng tuyến tính của e1(x,y) và e2(x,y) Do đó, chúng ta có thể viết trường được dẫnbởi ống dẫn sóng như sau:

Hình 2- 7: Bộ ghép định hướng với hai ống dẫn sóng: (a) hai tấm điện môi và (b) hai kênh

mode chuẩn của cấu trúc là đối xứng-symmetric hay phản đối xứng-antisymmetric

với trục của cấu trúc Hình 6.8 mô tả phân bố trường của hai mode chuẩn thấp nhất của cấu trúc phức hợp với hai ống dẫn sóng đồng nhất đặt song song cạnh nhau

Trường và hệ số lan truyền của hai mode này lần lượt là es(x,y), ea(x,y) và β s , β a