Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ ÁP DỤNG HẠ THỊ NGÂN CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP THÁI NGUYÊN 2016 i Mục lục Mở đ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ ÁP DỤNG HẠ THỊ NGÂN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP THÁI NGUYÊN 2016 i Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa tính chất hàm số lượng giác 1.2 Một số tính chất đa thức lượng giác 1.3 Một số dạng đẳng thức lớp hàm lượng giác lượng giác ngược 1.4 Định nghĩa số dạng đẳng thức lớp hàm hyperbolic 1.5 Một số đồng thức đại số sinh hàm lượng giác 1.6 Một số tính chất dãy số Chương Ước lượng, đánh giá dãy số sinh hàm lượng giác 13 2.1 Xác định dãy số 13 2.2 Ước lượng, đánh giá dãy số sinh hàm lượng giác 26 2.3 Xác định tính chất liên quan đến dãy số sinh hàm lượng giác 33 Chương Một số áp dụng dãy số sinh hàm lượng giác 38 3.1 Tính giới hạn dãy 38 3.2 Ước lượng, đánh giá tổng tích phần tử 49 ii 3.3 Một số dạng toán liên quan đến hàm lượng giác ngược hàm hyperbolic 51 KẾT LUẬN 58 Tài liệu tham khảo 59 Mở đầu Các toán dãy số sinh hàm số lượng giác nội dung quan trọng giải tích Rất nhiều dạng toán khác quy việc ước lượng, tính tổng, xét tính tuần hồn, tìm số hạng tổng quát giới hạn dãy số sinh hàm lượng giác Những toán dãy số dạng toán thường gặp kỳ thi Olympic toán quốc gia quốc tế, Olympic toán sinh viên trường đại học, cao đẳng Việc giải tốn dạng địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức lớp hàm đồng thời nắm kiến thức liên quan phải biết vận dụng cách sáng tạo, logic hợp lý Chính lý mà tơi chọn đề tài "Một số tính chất dãy số sinh hàm lượng giác áp dụng" nhằm hệ thống số áp dụng lớp hàm Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày tính chất hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược hàm hyperbolic đồng thời trình bày số dạng đẳng thức, định lý đại số giải tích liên quan Chương Trình bày dạng tốn xác định dãy số, ước lượng dãy số tính chất dãy số sinh hàm lượng giác Chương Trình bày dạng tốn tính giới hạn, tính tổng tích dãy số sinh hàm lượng giác, số dạng toán liên quan đến hàm lượng giác ngược hàm hyperbolic Trong suốt trình làm luận văn, tác giả nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Đào Thị Liên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô - Người sát cánh bên tác giả từ ngày thực luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn gợi ý quý báu GS TSKH Nguyễn Văn Mậu trình tác giả học tập nghiên cứu thực đề tài Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phịng đào tạo sau đại học, khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa hoc - Đại học Thái Nguyên, thầy cô giáo tham gia giảng dạy giúp đỡ tác giả thời gian theo học chuyên đề hoàn thành công việc học viên cao học Thái nguyên, ngày 30 tháng 05 năm 2016 Tác giả Hạ Thị Ngân Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa tính chất hàm số lượng giác Trong mục ta xét hàm số f (x) : R → R với tập xác định D ⊂ R Định nghĩa 1.1 Hàm số f (x) gọi hàm số chẵn M ⊂ D ∀x ∈ M −x ∈ M f (−x) = f (x) Hàm số f (x) gọi hàm số lẻ M ⊂ D ∀x ∈ M −x ∈ M f (−x) = −f (x) Ví dụ 1.1 Hàm số y = cos x hàm số chẵn; hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x hàm số lẻ tập xác định chúng Định nghĩa 1.2 Hàm số f (x) gọi hàm số tuần hồn cộng tính M ⊂ D ∀x ∈ M x ± a ∈ M, f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M Số nguyên dương a bé thỏa mãn điều kiện gọi chu kỳ hàm tuần hồn cộng tính f (x) Ví dụ 1.2 Hàm số y = cos x, hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π ; hàm số y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kỳ T = π 1.2 Một số tính chất đa thức lượng giác Định nghĩa 1.3 Hàm số có dạng An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx, an , bn khơng đồng thời (tức an + bn > 0), , bj ∈ R với i = 0, 1, , n, j = 1, , n, gọi đa thức lượng giác bậc n (n ∈ N∗ ) Khi tất bj = với j = 1, 2, , n ta có Định nghĩa 1.4 Hàm số có dạng Cn (x) = a0 + a1 cos x + · · · + an cos nx ( an 6= ) gọi đa thức lượng giác bậc n theo cosin Tương tự, tất = với i = 0, 1, , n ta có Định nghĩa 1.5 Hàm số có dạng Sn (x) = b0 + b1 sin x + · · · + bn sin nx ( bn 6= ) gọi đa thức lượng giác bậc n theo sin Tính chất 1.1 Tổng hai đa thức lượng giác An (x) Bm (x) đa thức lượng giác có bậc khơng vượt q max {m, n} Tính chất 1.2 Tích hai đa thức lượng giác An (x) Bm (x) đa thức lượng giác có bậc n + m Tính chất 1.3 Nếu đa thức lượng giác An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx đồng với x ∈ R, tất hệ số 0, tức a0 = a1 = b1 = a2 = b2 = · · · = an = bn = 1.3 Một số dạng đẳng thức lớp hàm lượng giác lượng giác ngược Từ hàm lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ta có hàm lượng giác ngược tương ứng khoảng đồng biếnhhoặc nghịch biến của chúng. π π π πi hàm số y = sin x (hay y = tan x) Trong − ; , (hay − ; 2 2 hàm đồng biến, liên tục nên tồn hàm ngược y = arcsin x (hay y = arctan x)) sau: y = arcsin x (arcsin x) ≡ x sin x = sin y π π ≤ arcsin x ≤ − ⇔ −1 ≤ x ≤ −1 ≤ x ≤ −π ≤ y ≤ π 2 y = arctan x (arctan x) ≡ x x = tan y tan π π ≤ arctan x ≤ − ⇔ −∞ ≤ x ≤ ∞ −∞ ≤ x ≤ ∞ −π ≤ y ≤ π 2 Trong [0, π], (hay (0, π) hàm số y = cos x (hay y = cot x) hàm nghịch biến, liên tục nên tồn hàm ngược y = arccos x (hay y = arccot x)) sau: y = arccos x cos (arccos x) ≡ x x = cos y ≤ arccos x ≤ π ⇔ −1 ≤ x ≤ −1 ≤ x ≤ 0≤y≤π y = arccot x cot (arccot x) ≡ x x = cot y ≤ arccot x ≤ π ⇔ −∞ ≤ x ≤ ∞ −∞ ≤ x ≤ ∞ 0≤y≤π 1) arcsin(−x) = − arcsin x, 2) arccos(−x) = π − arccos x, 3) arctan (−x) = −arctan x, 4) arccot (−x) = −arccot x, 5) Hàm f (x) = arcsin px có tính chất √ 2 f (x) + f (y) = f x − y + y − x , ∀x, y ∈ [−1, 1], 6) Hàm g(x) = arccos x có tính chất p √ 2 g (x) + g (y) = f xy − − x − y , ∀x, y ∈ [−1, 1], 7) Hàm h(x) = arctan x cótính chất x+y h (x) + h (y) = h , ∀x, y ∈ R, xy 6= 1, − xy 8) Hàm p(x) = arccot x có tính chất xy − , ∀x, y ∈ R, x 6= −y p (x) + p (y) = p x+y 1.4 Định nghĩa số dạng đẳng thức lớp hàm hyperbolic 1.4.1 Định nghĩa Cho x ∈ R Kí hiệu ex + e−x gọi cosh x hàm cosin hyperbolic, cosh x = ex − e−x sinh x = gọi sinh x hàm sin hyperbolic, sinh x gọi x hàm tang hyperbolic, x = cosh x cosh x gọi coth x hàm côtang hyperbolic coth x = sinh x 1.4.2 Một số dạng đẳng thức lớp hàm hyperbolic Các đồng thức cosh2 x − sinh2 x = 1, , cosh2 x coth2 x − = sinh2 x − tanh2 x = Công thức nhân đôi sinh 2x = sinh x cosh x, cosh 2x = cosh2 x − sinh2 x = 2cosh2 x − = − 2sinh2 x, x ; 2x = + tanh2 x Công thức nhân ba sinh 3x = 4sinh3 x + sinh x, cosh 3x = 4cosh3 x − cosh x, x + tanh3 x 3x = + tanh3 x 39 Từ suy |f (x) − f (y)| ≤ q |x − y| , ∀x, y ∈ R Sử dụng tính chất trên, với m > n ≥ N, ta có: |xm − xn | = |f (xm−1 ) − f (xn−1 )| ≤ q |xm−1 − xn−1 | ≤ q |xm−2 − xn−2 | ≤ · · · ≤ q n−1 |xm−n+1 − x1 | ≤ q N −1 |xm−n+1 − x1 | Mặt khác (xn ) bị chặn q < nên với ε > tồn N đủ lớn cho: q N −1 |xm−n+1 − x1 | < ε Như dãy (xn ) thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy, (xn ) hội tụ Bài tốn 3.2 Cho dãy số (un ); n = 0, 1, 2, xác định sau: u0 = a; un+1 = sin2 (x + 3), ∀n ∈ N, a số thực cho trước Chứng minh rằng: a) Phương trình sin2 (x + 3) − x = 2011 có nghiệm b b) lim un = b n→+∞ Lời giải a) Từ giả thiết suy un ≥ −2011, ∀n ∈ N∗ Xét hàm số: f (x) = sin2 (x + 3) − 2011, ∀x ≥ −2011 Ta có f ′ (x) = sin (x + 3) cos (x + 3) = sin (2x + 6) , ∀x ≥ −2011 Vậy |f ′ (x)| ≤ 1, ∀x ≥ −2011 Xét hàm số g(x) = f (x) − x Khi g ′ (x) = f ′ (x) − = sin (2x + 6) − ≤ 0, ∀x ≥ −2011 Ta có: g (−2011) = f (−2011) + 2011 = sin2 (−2008) > 0, lim g (x) = −∞ x→+∞ Vậy g(x) liên tục nghịch biến [−2011; +∞] lim g (x) = −∞ x→+∞ g(−2011) > nên đồ thị g(x) cắt trục hoành điểm Tức phương trình g(x) = có nghiệm thuộc [−2011; +∞], gọi nghiệm b Khi phương trình sin2 (x + 3) − x = 2011 (tức phương trình f (x) = x) có nghiệm b (khi b = f (b)) b) Kí hiệu q = max |f ′ (x)| , ≤ q ≤ Ta thấy x∈[−2011;−2010] −2011 ≤ un ≤ −2010 (n = 1, 2, ) 40 phương trình sin(2x+6) = (tức phương trình f ′ (x) = 1) vơ nghiệm [−2011; −2010] nên ≤ q ≤ Theo định lý Lagrange, ứng với n ∈ N∗ , tồn cn ∈ [−2011; −2010] cho: |un+1 − b| = |f (un ) − f (b)| = |f ′ (cn )| |un − b| ≤ q |un − b| Từ đây, theo phương pháp quy nạp, ta được: |un+1 − b| ≤ q n |u1 − b| = q n |a − b| Vì lim q n = nên theo nguyên lý kẹp ta có n→+∞ lim |un+1 − b| = ⇒ lim un = b n→+∞ n→+∞ Bài toán 3.3 (Đề nghị thi Olympic 30/04/2011) Cho dãy (un ) sau: u1 = 2011 un+1 = cos 2un − π, ∀n = 1, 2, Chứng minh (un )+∞ hội tụ n=0 Lời giải Xét hàm số f (x) = cos 2x − π Khi 1 f ′ (x) = − sin 2x ⇒ |f ′ (x)| = |sin 2x| ≤ = q, ∀x ∈ R 2 Theo định lý Largrange, với cặp hai số thực x, y(x < y), tồn z ∈ (x, y) thỏa mãn: f (x) − f (y) = f ′ (z) (x − y) Từ suy |f (x) − f (y)| ≤ q |x − y| , ∀x, y ∈ R Sử dụng tính chất trên, với m > n ≥ N, ta có: |um − un | = |f (um−1 ) − f (un−1 )| ≤ q |um−1 − un−1 | ≤ · · · ≤ q n−1 |um−n+1 − u1 | ≤ q N −1 |um−n+1 − u1 | Mặt khác (un ) bị chặn q < nên với ε > tồn N đủ lớn cho: q N −1 |um−n+1 − u1 | < ε Như dãy (un ) thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy, (un ) hội tụ 41 Bài toán 3.4 (Xem [6]) Xét dãy số (xn ), (n = 0, 1, 2, ) xác định √ bởi: x0 = a xn = 6xn−1 − sin xn−1 , ∀n = 1, 2, Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn n dần tới dương vô cực Hãy tìm giới hạn Lời giải 1) Xét a = Khi xn = với n ∈ N, suy lim xn = n→+∞ 2) Xét x0 = a > Từ sin x < x, ∀x > 0, suy xn > với ∈ N Ta nhớ lại bất đẳng thức quen thuộc x3 sin x ≥ x − , ∀x ∈ R+ (1) dấu xảy x = Từ với n ≥ sin xn−1 p x3n−1 ⇔ 6xn−1 − sin xn−1 < xn−1 ⇔ xn < xn−1 > xn−1 − Suy dãy (xn )(n = 1, 2, ) dãy đơn điệu giảm bị chặn √ số Do tồn giới hạn lim xn = α với α ≥ mà α = 6α − sin α n→+∞ Theo (1) có α = nên lim xn = n→+∞ 3) Xét a < Đặt b = −a > Xét dãy (yn )(n = 1, 2, ) xác định y0 = b; √ yn = −xn = 6yn−1 − sin yn−1 với n = 1, 2, Theo kết (2) ta có lim yn = 0, lim xn = n→+∞ n→+∞ Tóm lại với số thực a cho trước có lim xn n→+∞ Bài toán 3.5 (VMO 2014) Cho hai dãy số dương (xn ), (yn ) xác định √ xn+1 yn+1 − xn = x1 = 1, y1 = với n = 1, 2, Chứng x2n+1 + yn = minh hai dãy số hội tụ tìm giới hạn Lời giải Theo tốn 2.7 ta có số hạng tổng qt hai dãy số dương (xn ), (yn ) là: π , ∀n = 1, 2, xn = = sin 3.2n π yn = cos , ∀n = 1, 2, 3.2n 42 Từ ta có lim xn = lim (2 sin π π )= n ) = 0, lim yn = lim (2 cos 3.2 3.2n Vậy hai dãy số hội tụ lim xn = 0, lim yn = Bài toán 3.6 (Xem [6]) Cho dãy (xn ): x1 = xn+1 n P (2 + cos 2α) xn + cos2 α = (2 − cos 2α) xn + (2 − cos 2α) ∀n ≥ Tìm α để dãy số (yn ) có giới hạn hữu hạn i=1 2xi + tìm giới hạn Lời giải 2sin2 α 1 1 = + ⇒ = n + − n−1 sin2 α Ta có 2xn+1 + 3 (2xn +1) 2xn+ 3 n n n P P 1 P = + sin α ⇒ yn = − i 3i−1 i=1 i=1 i=1 2xi + 1 sin2 α 1− n + n− 1− n = 3 Vì lim n = nên dãy (yn ) có giới hạn ⇔ sin α = ⇔ α = k2π Khi lim yn = Bài tốn 3.7 Cho hai dãy số dương (xn ), (yn ) xác định √ xn yn+1 = 2x2n+1 x0 = , y0 = xn + 2yn x2n+1 = yn Đặt yn = n x Q i i=0 yi Chứng minh dãy (zn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải √ π π = sin , y = = tan Ta nhận thấy x0 = 4.20 4.20 Từ công thức xác định dãy số, ta lại có x0 + 2y0 x1 = y0 p √ π 2− π 2x2 √ ⇒ x1 = = sin y1 = = − = tan 4.2 x0 4.2 với n = 1, 2, Với số tự nhiên n, đặt zn = Ta chứng minh quy nạp với n số tự nhiên, công thức xác địnhh hai dãy số cho π π xn = sin (2) n , yn = tan 4.2 4.2n 43 π , ∀n ∈ N 4.2n Với n = 0, n = (2) Giả sử (2) với n = k ≥ 1, ta chứng minh (2) với n = k + Từ công thức truy hồi dãy số giả thiết quy nạp, ta có Đặt αn = x2k+1 = 1 − cos αk xk sin αk αk αk = − = − = sin2 ⇒ xk+1 = sin 2yk 2 tan αk 2 αk αk sin = = tan αk Vậy (2) với Và yk+1 = = αk xk sin αk cos n = k + 1, theo nguyên lý quy nạp suy (2) với n số tự nhiên √ π x x1 xn x0 = = cos , , zn = Vậy z0 = y0 y y yn 2x2k+1 2sin2 = cos π π π cos cos 4.2n 4.2 4.2 Áp dụng cơng thức lượng giác, ta có π π π π π cos zn sin = sin cos cos 4.2n 4.2n 4.2n 4.2n−1 4.20 π π 1 π π = n+1 = sin n−1 cos n−1 cos = · · · = n+1 sin 2 2 4.2 4.2 4.2 π 4.2n = Suy zn = lim z = lim n π π π π 2n+1 sin sin n n 4.2 4.2 √ Bàitoán 3.8.p Cho hai dãy số dương (xn ), (yn ) xác định x0 = xn yn = − x2n − yn+1 với n = 0, 1, 2, Với số tự nhiên n xn = 2 + yn+1 Chứng minh hai dãy số hội tụ tìm giới hạn chúng Lời giải √ √ π = cos Ta nhận thấy x0 = = 2 4.20 p π Với n = ⇒ x0 y0 = − x20 ⇔ y0 = 2.1 = tan 4.20 44 Từ công thức truy hồi dãy số, ta có p √ p + π 16 = cos x1 = x1 y1 = − x21 x21 = 4.2 + y12 ⇔ − y12 ⇔ √ x0 = √ y2 = − π + y12 y1 = 2 − = tan 4.2 Ta chứng minh quy nạp với n số tự nhiên, công thức xác định hai dãy số cho xn = cos π π , y = tan n 4.2n 4.2n (3) Với n = 0, n = (3) Giả sử (3) với n = k ≥ 1, ta chứng minh (3) với n = k + π , ∀n ∈ N Đặt αn = 4.2n Từ công thức truy hồi dãy số giả thiết quy nạp, ta có q 16 x2k+1 = xk+1 yk+1 = − x2k+1 + yk+1 ⇔ − yk+1 − xk xk = y = k+1 + yk+1 + xk 16 16 αk = 4cos = x = k+1 αk + yk+1 + 4tan2 ⇔ αk sin − cos αk = 4tan2 αk y = = k+1 αk + cos αk cos2 α k xk+1 = cos ⇔ yk+1 = tan αk Suy (3) với n = k + Theo nguyên lý quy nạp, ta có (3) với n số tự nhiên π = 2, Từ ta có limxn = lim cos 4.2n π = lim yn = lim tan 4.2n 45 Bài toán 3.9 Cho hai dãy số dương (xn ), (yn ) xác định x0 = 2yn xn = p với n = 0, 1, 2, Với số tự nhiên n, + yn2 2 4xn+1 + xn yn+1 = 2yn+1 xn Chứng minh dãy (zn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới đặt zn = yn hạn Lời giải π Ta nhận thấy x0 = = cos p π Và với n = ⇒ x0 + y02 = 2y0 ⇔ y02 = ⇒ y0 = √ = cot 3 Từ cơng thức truy hồi dãy số, ta có √ π x = = cos p 3.2 y1 = 2x1 x1 + y12 = 2y1 ⇔ ⇔ 2 2 y1 = 12 √ 4x1 + y1 = 2y1 y1 = = cot π 3.2 Ta chứng minh quy nạp với n số tự nhiên, công thức xác định hai dãy số cho π π xn = cos (4) n , yn = cot 3.2 3.2n Với n = 0, n = (4) Giả sử (4) với n = k ≥ 0, ta chứng minh (4) với n = k + π , ∀n ∈ N Đặt αn = 3.2n Từ công thức truy hồi dãy số giả thiết quy nạp, ta có ( ( q 2 + y x k+1 = 4yk+1 k+1 xk+1 + yk+1 = 2yk+1 αk ⇔ 2 x2k+1 = (1 − cos αk ) yk+1 = sin2 yk+1 4x2k+1 + cos αk yk+1 = 2yk+1 2 αk αk − sin α xk+1 = cos 2 sin2 k + yk+1 =4 yk+1 = 2 αk ⇒ ⇔ ⇒ sin α x2 = sin2 n y k+1 yk+1 = cot αk αn 22 2 k+1 xk+1 = sin y 2 k+1 Suy (4) với n = k + Theo nguyên lý quy nạp tốn học, ta có π π (4) với n số tự nhiên Vậy xn = cos , y = cot n 3.2n 3.2n π xn = sin ⇒ lim zn = Suy zn = yn 3.2n 46 Bài toán 3.10 (VMO 2014) Cho hai dãy số thực dương (xn ), (yn ), √ x1 = 1, y1 = 3; ngồi với số nguyên dương n xn+1 yn+1 − xn = x2n+1 + yn = Chứng minh hai dãy số nói hội tụ tìm giới hạn chúng Lời giải √ π π Từ giả thiết x1 = = sin , y1 = = cos r √ π π π x1 = cos y2 = Suy x2 = − y1 = − cos = sin 12 x2 12 Bằng chứng minh quy nạp ta chứng minh π π ∗ xn = sin ; y = cos n n n , với n ∈ N 3.2 π π3.2 = Từ lim xn = lim sin n = lim yn = lim cos 3.2 3.2n Bài toán Tính giới hạn dãy số thực (xn ) xác định s 3.11 r q √ xn = 2n − + + · · · + với n = 1, 2, {z } | n+1 dấu Lời giải q p √ Đặt un = + + · · · + với n = 1, 2, Ta chứng minh un = cos (5) 2n+1 π Khi n = mệnh đề (5) 22 π Giả sử mệnh đề (5) n = k tức uk = cos k+1 Khi ta Thật ta có u1 = có √ π uk+1 = √ + uk = = cos r 2(1 + cos π )= k+1 r 2.2cos2 π 2k+2 = cos Do theo nguyên lý quy nạp (5) với n ∈ N Ta có r r π π xn = 2n − cos n+1 = 2n 2(1 − cos n+1 ) 2 r π π = 2n 2.sin2 n+2 = 2n+1 sin n+2 2 π sin n+2 π π 2π = Vậy lim xn = lim 2 n+2 π 2k+2 47 Bài toán 3.12 (Olympic khu vực Duyênp hải ĐBBB, năm 2012) Cho + x2n − ∀n ∈ N∗ dãy số (xn ) xác định x1 = 1, xn+1 = xn Tìm lim (2n xn ) Lời giải π Ta có nhận xét : Với α ∈ 0; ta ln có: 2α − 2sin − cos α 1+ −1 α = = cos α = = tan α α sin α tan α sin α 2 sin cos 2 cos α π π Áp dụng nhận xét dễ thấy x1 = tan ⇒ x2 = tan Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: √ tan2 α xn = tan π 2n+1 ∀n ≥ Do lim (2n xn ) = lim 2n tan π 2n+1 sin = lim π 2n+1 π 2n+1 π π π = cos n+1 Bài toán 3.13 Cho a số thực dương tùy ý Xét dãy số (xn ) xác định bởi: q p √ xn + + + x1 = a, xn+1 = xn + r q √ + + + {z } | n dấu Chứng minh dãyqsố (xn ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn p √ Lời giải Đặt un = + + · · · + ta có kết π un = cos n+1 , ∀n = 1, 2, π 2xn cos n+1 , ∀n ∈ N∗ (6) ⇒ xn+1 = xn + 48 Khi từ (6) ta có xn Dễ thấy xn > Đặt an = xn+1 = cos π 2n+1 + 2xn cos π ∀n = 1, 2, (7) 2n+1 4an π Từ (7) ta sin n π π sin n bn sin n+1 bn+1 2 = + π π , ∀n = 1, 2, 4.2 cos n+1 cos n+1 2 ⇔ bn+1 = bn + π , ∀n = 1, 2, sin n π π ⇔ bn+1 − cot n+1 = bn − cot n ∀n = 1, 2, 2 π π π π ⇒ bn+1 −4 cot n+1 = bn −4 cot n =bn−1 −4 cot n−1 = · · · = b1 −4 cot = b1 2 2 π Do bn = = b1 + cot n π π π sin n b1 sin n sin n bn π 2 (b + cot ) = + cos π = Bởi an = 2n 2n π4 b1 sin n + cos π ) = ⇒ lim x = = Suy lim an = lim( n 2n lim an Đặt bn = Bài toán 3.14 Cho dãy số (xn ) xác định bởi: √ x1 = 2r 2xn xn+1 = , ∀n ∈ N∗ xn + Tìm lim n Q xi i=1 Lời giải √ 1 2= = π ; x2 = cos √ 22 r 2x1 ; = x1 + cos π 23 ∗ Bằng quy nạp ta chứng minh được: xk = π , ∀k ∈ N cos k+1 Ta có x1 = 49 Từ n Q n xi = sin i=1 π 2n+1 ⇒ lim n Q xi = i=1 π Bài toán 3.15 Cho hai dãy số (un ) (vn ): r r q q √ √ √ u1 = v = ; un = + + · · · + ; v n = − + · · · + | | {z } {z } n dấu n dấu Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy (un +vn ) tính lim(un +vn ) Lời giải Bằng quy nạp ta chứng minh được: un = cos un + = cos π , n+1 π 2n+1 ∀n ∈ N ∗ ; + sin π 2n+1 = sin π 2n+1 , ∀n ∈ N ∗ √ (2n−1 − 1)π = 2 cos , 2n+1 ∀n ∈ N ∗ ⇒ lim(un + ) = 3.2 Ước lượng, đánh giá tổng tích phần tử Bài toán 3.16 (Đề nghị thi Olymic 30/04/2000) Cho dãy (un ) sau: u1 = 2, u2 = un = 4un−1 − un−2 , ∀n = 3, 4, Sn = n P i=1 arccot u2i Hãy tìm giới hạn dãy số (Sn ) Lời giải Trước hết ta chứng minh u2n − un+1 un−1 = 4, ∀n ≥ Ta có un (4un−1 ) = un−1 (4un ) ⇔ un (un + un−2 ) = un−1 (un+1 + un−1 ) Suy u (u + u ) 4u n n+1 n−1 n = arccot arccot u2n = arccot un u2n − un+1 un−1 un+1 un +1 un+1 un un un−1 = arccot un un+1 = arccot u − arccot u n n−1 − un−1 un 50 Suy Sn = arccot Ta có u21 + n X i=2 ui ui+1 − arccot arccot ui ui−1 = arccot un+1 un un−1 un−2 un−1 un−2 un−1 − ⇒1=4 − · un un un un−1 un un−1 un−1 hội tụ lim ≤1 Ta chứng minh dãy số n→+∞ un un un−1 un−1 (vì un−1 < un nên < dễ thấy dãy giảm) Ta có un un √ √ u un+1 n−1 = 4x−x2 x = lim , x ≤ ⇒ x = 2− ⇒ lim = 2+ n→+∞ un n→+∞ un un = 4un−1 − un−2 ⇒ = Suy √ π un+1 = arccot + = lim Sn = lim arccot n→+∞ n→+∞ un 12 Bài toán 3.17 Chứng minh rằng: √ 3n Y n n n Y Y k2 n k k2 k4 1− < sin √ < 1− + 6n n! n n 6n 5!n6 k=1 k=1 (∗) k=1 Lời giải Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau: x3 x x3 < sin x < x − + , ∀x > 6 5! x2 x2 x4 Vì x − < sin x < x − + , ∀x > nên với n ∈ N∗ ta 6 5! có: k2 k2 k k4 k k √ − < sin √ < √ 1− + , ∀k = 1, 2, , n n n 6n n n n n 6n 5!n6 x− Suy n n n Q Q Q k k k2 k2 k4 k √ √ sin √ < 1− < 1− + 6n n n 6n 5!n6 k=1 n n k=1 k=1 n n Hay với n = 1, 2, ta có 51 n n n Q Q Q k2 k2 n! k n! k4 √ n 1− < 1− + sin √ < √ n 6n n n (n n) k=1 6n 5!n6 (n n) k=1 k=1 Suy √ ra, với n = 1, 2, , ta có: √ n n Q k2 k n3n n! n3n Q √ n 1− < sin √ n! (n n) k=1 6n√ n! k=1 n n n Q n! k4 k2 n3n · √ n < 1− + n! 6n 5!n (n n) k=1 q √ (nn )3 n3n n! √ n= √ n = nên với n = 1, 2, , ta có: Mà n! (n n) √ nn ( n) n n n Q Q n3n Q k k4 k2 k2 sin √ < 1− < 1− + 6n n! n n 6n 5!n k=1 k=1 k=1 3.3 Một số dạng toán liên quan đến hàm lượng giác ngược hàm hyperbolic Bài toán 3.18 Cho trước hai số dương a, b Xét dãy số (an ) (bn ) sau: x1 = a, y1 = b, xn+1 = xn + yn √ , yn+1 = xn+1 yn , ∀n = 1, 2, Tìm lim xn , lim yn n→+∞ n→+∞ Lời giải Trường hợp 1: a = b Khi an = bn = a, ∀n = 1, 2, Bởi lim an = lim bn = a n→+∞ n→+∞ Trường hợp 2: a < b Vì < a < b nên < a π = cos v(0 < v < ) b a < Do đặt b 52 Ta có v a + b b cos v + b b (1 + cos v) = = = bcos2 , 2 r √ v v b1 = a1 b = b2 cos2 = b cos , 2 v v v 2v bcos + b cos + cos b cos 2 = 2 = b cos v cos2 v , a2 = 2r 2 22 √ v v v v v b2 = a2 b1 = b cos cos2 b cos = b cos cos , 2 2 v 2v v v b cos cos + b cos cos 2 2 = b cos v cos v cos2 v , a3 = 22 22 r √ v v v v v v b3 = a3 b2 = b2 cos2 cos2 cos2 = b cos cos cos , 2 2 2 a1 = Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: v v 2v v an = b cos cos cos n−1 cos n , ∀n = 2, 3, 2v v v2 v2 bn = b cos cos cos n−1 cos n , ∀n = 2, 3, 2 2 sin 2x (với sin x 6= 0), ta có sin x v v v sin sin sin sin v 2n−2 · 2n−1 = b sin v bn = b · v v v v v sin sin 2 sin n−1 sin n 2n sin n 2 2 Theo cơng thức cos x = Do v sin v sin v sin v 2n lim lim bn = b lim =b =b v v n→+∞ n n→+∞ n→+∞ n v v sin n sin n 2 v Từ an = bn cos n ta có v v sin v lim an = lim bn cos n = lim bn lim cos n = lim bn = b n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ 2 v a Trường hợp 3: a > b Vì a > b > nên > Gọi α số để b 53 a eα + e−α a = cosh α, tức = Ta có: b b x x 2 + e− eα + e−α e x 1 + cosh x = + = 2cosh2 = (2 + ex + e−x ) = 2 x 2 x α −α − x2 − x2 2 e +e e −e x x e +e =2 · = sinh cosh sinh x = 2 2 x lim (1 + x) = e x→0 Vì hàm số f (x) = ln x liên tục khoảng (0, +∞) nên i h 1 ln (1 + x) x x = lim ln (1 + x) = ln lim (1 + x) = ln e = lim x→0 x→0 x→0 x Đặt ex − = y , ex − y lim = = lim = lim x→0 y→0 ln (1 + y) y→0 ln (1 + y) x y x −x 2x sinh x e −e e −1 lim = lim = lim x = x→0 x→0 x→0 e x 2x 2x ex + e−x = lim cosh x = lim x→0 x→0 Ta có: a + b b cosh α + b b (1 + cosh α) α = = = bcosh2 , 2 2 r √ α α b1 = a1 b = b2 cosh2 = b cos , 2 α α 2α bcosh + b cos b cos (1 + cos α) α α 2 a2 = = = b cos cos2 , 2r 2 √ α α α α 2 b2 = a2 b1 = b2 cosh cosh = b cosh cosh , 2 2 Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: α α α α an = b cosh · cosh cosh n−1 cosh2 n , ∀n = 2, 3, 2α α2 α2 2α an = b cosh · cosh cosh n−1 cosh n , ∀n = 2, 3, 2 2 sinh 2x (với sinh x 6= 0), ta có Theo công thức cosh x = sinh x α α α sinh sinh sinh sinh α 2n−2 · 2n−1 = b sinh α bn = b · α α α α α sinh sinh 2 sinh n−1 sinh n 2n sinh n 2 2 a1 =