THÔNG TIN TÀI LIỆU
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG VĨNH AN MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIÁ TRỊ KHOẢNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tp Hồ Chí Minh - 2018 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG VĨNH AN MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIÁ TRỊ KHOẢNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã ngành: 62 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Đình Phư PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Tp Hồ Chí Minh - 2018 Luan van LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, thực Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn PGS.TS Nguyễn Đình Phư Nội dung luận án viết sở báo tác giả Các kết chưa khác công bố Các báo đồng tác giả đồng tác giả cho phép sử dụng viết luận án Tác giả luận án Trương Vĩnh An Luan van Mục lục LỜI CAM ĐOAN GIỚI THIỆU TỔNG QUAN CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 10 Chương Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Giải tích khoảng 11 1.1.1 Các phép toán 11 1.1.2 Phép tính đạo hàm, tích phân 14 1.1.3 Tích không gian (KC (R), H ) 19 1.1.4 Thứ tự không gian mêtric khoảng 20 1.2 Giải tích phân thứ khoảng 22 1.2.1 Phép tính đạo hàm Riemann–Liouville 23 1.2.2 Phép tính đạo hàm Caputo 24 1.3 Một vài kết quan trọng R 29 Chương Phương trình tích phân vi phân khoảng 32 2.1 Phương trình tích phân khoảng Volterra 33 2.1.1 Sự tồn nghiệm 33 2.1.2 Phương pháp giải nghiệm 37 2.2 Phương trình vi phân khoảng có trễ 39 2.2.1 Sự tồn nghiệm 40 2.2.2 Phương pháp giải nghiệm 45 2.3 Kết luận chương 50 Chương Phương trình vi-tích phân khoảng 51 3.1 Phương trình vi-tích phân khoảng 51 3.1.1 Sự tồn nghiệm 51 3.1.2 Phương pháp giải nghiệm 58 Luan van 3.2 Phương trình vi-tích phân khoảng có trễ 62 3.2.1 Sự tồn nghiệm 63 3.3 Phương trình vi-tích phân khoảng có xung với trễ 72 3.3.1 Sự tồn nghiệm 72 3.4 Kết luận chương 78 Chương Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ 79 4.1 Phương trình vi phân khoảng phân thứ có trễ 80 4.1.1 Sự tồn nghiệm 81 4.1.2 Phương pháp giải nghiệm 90 4.2 Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ 96 4.2.1 Sự tồn nghiệm 102 4.2.2 Phương pháp giải nghiệm 105 4.3 Kết luận chương 109 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 111 Kết luận luận án 112 Các hướng nghiên cứu 113 Tài liệu tham khảo 114 Luan van Danh sách hình vẽ 2.1 Nghiệm Ví dụ 2.1.3 39 2.2 Nghiệm Ví dụ 2.1.4 39 2.3 (S1 )-nghiệm phương trình (2.29) (λ = 0.5) 47 2.4 (S2 )-nghiệm phương trình (2.29) (λ = 0.5) 47 2.5 (S1 )-nghiệm phương trình (2.32 49 2.6 (S2 )-nghiệm phương trình (2.32) (λ = 1) 49 2.7 (S1 )-nghiệm (2.32) (λ = −1) 49 2.8 (S2 )-nghiệm (2.32) (λ = −1) 49 3.1 (S1)- nghiệm Ví dụ 3.1.5 60 3.2 (S2)- nghiệm Ví dụ 3.1.5 60 3.3 (S1)- nghiệm Ví dụ 3.1.6 61 3.4 (S2)- nghiệm Ví dụ 3.1.6 61 3.5 Biểu diễn X (t), X (t) với t ∈ [ −21 , 12 ], α = 0.01 70 3.6 Biễu diễn X (t), X (t) với t ∈ [ −21 , 12 ], α = 0.01 70 3.7 Biễu diễn X (t), X (t) với t ∈ [ −21 , 12 ], α = −0.01 71 3.8 Biễu diễn X (t), X (t) với t ∈ [ −21 , 12 ], α = −0.01 71 4.1 Nghiệm w−tăng Ví dụ 4.1.5 Trường hợp 94 4.2 Nghiệm w−giảm Ví dụ 4.1.5 Trường hợp 95 4.3 Nghiệm w−tăng Ví dụ (4.40) 108 4.4 Nghiệm w−giảm Ví dụ (4.40 ) 109 Luan van GIỚI THIỆU TỔNG QUAN Hầu hết toán kỹ thuật mơ hình hóa hệ động lực (Dynamical systems) dạng phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình vi- tích phân Tuy nhiên mơ hình khơng phải lúc hồn hảo tác động bị nhiễu yếu tố bất định, không đầy đủ không chắn thông số lên hệ thống Hiện nay, hướng nghiên cứu hệ động lực nhúng vào môi trường chứa đựng yếu tố không chắn vấn đề cần nghiên cứu phát triển mạnh mẽ phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng Có ba hướng tiếp cận phổ biến để diễn đạt lý thuyết không chắn bao gồm: (1) Cách tiếp cận sử dụng rộng rãi lý thuyết xác suất để xử lý tham số không chắn hệ thống biến ngẫu nhiên trường liệu ngẫu nhiên Mặc dù đạt thành công to lớn hướng tiếp cận cho kết đáng tin cậy có đầy đủ liệu thực nghiệm để xác định hàm mật độ phân phối xác suất tham số ngẫu nhiên (2) Gần đây, việc xây dựng phát triển lý thuyết diễn tả không chắn mà không phụ thuộc vào tính đầy đủ diệu quan tâm Do đó, hướng tiếp cận thứ hai đề xuất dựa vào khái niệm tập mờ việc sử dụng hàm thuộc để mô tả mức độ thuộc tham số không chắn (3) Cách tiếp cận thứ ba, giải tích khoảng, xem trường hợp riêng giải tích tập nói riêng giải tích mờ nói chung cách tiếp cận xem cơng cụ diễn đạt chấp nhận rộng rãi số tiếp cận khơng mang tính xác suất Trong năm gần giải tích khơng chắn diễn đạt khái niệm mờ khoảng trở thành chủ đề hấp dẫn mắt nhà nghiên cứu có khả mơ hình hố toán học hệ thống động lực chịu nhiều tác động mơi trường bên ngồi, hệ động lực phức tạp mà biểu diễn dạng trình thực Lý thuyết khơng chắn diễn đạt tập mờ được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, xây dựng hoàn thiện phép tốn cần thiết để giải tích mờ ngày trở thành lý thuyết chặt chẽ mặt toán học hiệu Luan van mặt ứng dụng thực tiễn Vào thập niên 70-80, Zadeh với cộng Chang [10], Heilpern [19], Dubois Prade [12] có nghiên cứu đặt móng cho phép tốn giải tích mờ tính khả vi, tính đo tính khả tích ánh xạ đa trị ánh xạ giá trị mờ Về sau giải tích mờ tiếp tục nghiên cứu hồn thiện cơng trình có giá trị Bede, Stefanini, Chalco cộng [7]-[9], Diamond Kloeden [11], Lakshmikantham Mohapatra [30] Theo tiến trình phát triển giải tích mờ, việc nghiên cứu hệ động lực mờ phương trình vi phân mờ Kaleva [22, 23] khởi đầu dựa khái niệm đạo hàm Hukuhara Kaleva thiết lập khái niệm bản, chứng minh tồn nghiệm toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp điều kiện Lipschitz, đặt móng cho nghiên cứu sau Trong gần thập kỷ trở lại đây, lĩnh vực hệ động lực mờ phương trình vi phân mờ phát triển mạnh mẽ, thu hút nhiều nhà khoa học giới Một số nhóm nghiên cứu tiêu biểu phương trình vi phân mờ kể đến nhóm nghiên cứu Nieto, Lupulescu, Chalco-Cano, Malinowski, Rodríguez-López, Bede Trong cơng trình [24, 46], Nieto cộng phát triển kỹ thuật thường sử dụng phương trình vi phân thường sang chứng minh định lý tồn nghiệm cho số lớp phương trình vi phân mờ tuyến tính cấp với điều kiện biên dạng tuần hồn, phương trình vi phân cấp có trễ Chalco-Cano [8] xây dựng khái niệm nghiệm phương trình vi phân cấp tính khả vi mờ tổng quát Lupulescu [32] sử dụng phương pháp xây dựng dãy xấp xỉ nghiệm để chứng minh định lý tồn nghiệm tồn cục cho phương trình vi phân có trễ Hơn Lupulescu kết hợp nguyên lý suy rộng Zadeh, phương pháp Step định lý Stacking để đưa quy trình tìm nghiệm mờ dạng giải tích ứng dụng giải số mơ hình thực tế quan trọng Malinowski [34, 37] kết hợp hai khái niệm mờ ngẫu nhiên để nghiên cứu số tính chất nghiệm tồn tại, tính tính ổn định nghiệm phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên Bên cạnh đó, số ứng dụng phương pháp tiếp cận cho tốn thực tế trình bày Lý thuyết không chắn diễn đạt khái niệm biến khoảng đường thẳng thực Moore đưa năm 1966 [42], mở rộng lý thuyết tập hợp kinh điển, nhằm mục đích giải toán kết cấu học chịu ảnh hưởng sai số đo đạc nhiễu môi trường [44] Trong [42, 44] tác giả trình bày khái niệm phép toán đại số khoảng toán ứng dụng liên quan Bên cạnh đó, mối liên hệ giải tích mờ giải tích khoảng trình bày Moore Lodwick [43], Pedrycz Gomide Luan van [47] Các tác giả chứng minh tập mờ biễu diễn biến vectơ khoảng thông qua tập mức thể mức độ thuộc tập mờ Do đó, thập niên trở lại đây, cách sử dụng kết giải tích mờ, việc nghiên cứu xây dựng phép tốn giải tích cho hàm khoảng nhằm ứng dụng cho việc khảo sát lớp phương trình vi phân khoảng toán liên quan đến hệ động lực thu hút nhiều nhóm nghiên cứu nhà khoa học ngồi nước Có nhiều phương pháp tiếp cận để nghiên cứu lớp phương trình vi phân khoảng chúng liên quan đến trình phát triển đạo hàm hàm khoảng, bao gồm: đạo hàm Hukuhara đạo hàm Hukuhara tổng quát Việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm lớp phương trình vi phân khoảng dựa vào khái niệm khả vi Hukuhara thu nhiều kết đáng kể (để biết đầy đủ kết dạng này, tham khảo sách chuyên khảo [30]) Tuy nhiên, khái niệm khả vi Hukuhara xây dựng dựa hiệu Hukuhara [21] hai khoảng có nhược điểm hiệu khơng ln tồn dẫn đến đạo hàm khơng ln tồn [9] Ngồi ra, độ rộng diễn tả không chắn hàm khoảng thoả mãn khả vi Hukuhara tăng dần theo biến thời gian, tức theo thời gian, tính khơng chắn nghiệm ngày khơng thể quan sát, hay nói cách khác quỹ đạo nghiệm khoảng ngày khác xa so với nghiệm cổ điển tốn Vì khái niệm khả vi Hukuhara khơng thích hợp để nghiên cứu biểu diễn tiệm cận nghiệm tốn giá trị biên có tính tuần hồn Để khắc phục nhược điểm Bede cộng xây dựng khái niệm khả vi Hukuhara tổng quát dựa hiệu Hukuhara tổng quát [54] cho hàm khoảng Cách tiếp cận thể độ rộng không chắn nghiệm phương trình vi phân khoảng giảm theo biến thời gian tồn điểm chuyển (switching points) độ rộng tăng hay giảm nghiệm Việc nghiên cứu lớp hàm khoảng tính khả vi Hukuhara tổng quát tạo số hướng nghiên cứu cho lý thuyết phương trình vi phân hệ động lực khơng gian giải tích trừu tượng, là: tồn tính dạng nghiệm xét tính khả vi theo nghĩa khác nhau, điểm chuyển dạng nghiệm, điều kiện đủ để nghiệm khả vi theo nghĩa khác Tuy nhiên kết đạt theo hướng nghiên cứu khiêm tốn Một số kết nghiên cứu đạt gần kể đến kết Chalco-Cano cộng [9], Malinowski [35], Lupulescu [31, 33] Được thúc đẩy lý nêu dựa vào trình phát triển giải tích khoảng, luận án chúng tơi tiến hành nghiên cứu số lớp toán phương trình tích phân, vi phân vi- tích phân khoảng khái niệm khả vi Luan van Hukuhara tổng qt với mong muốn góp phần vào q trình xây dựng hoàn thiện lý thuyết Nội dung luận án bao gồm 04 chương - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị - Chương 2: Phương trình tích phân vi phân khoảng - Chương 3: Phương trình vi- tích phân khoảng - Chương 4: Phương trình vi- tích phân khoảng phân thứ Chương trình bày số kiến thức lý thuyết phương trình vi phân thường phương trình vi phân khoảng Giới thiệu kiến thức giải tích khoảng như: phép tốn, đạo hàm tích phân hàm giá trị khoảng; giới thiệu định nghĩa tích hai hàm giá trị khoảng số tính chất quan trọng tích trong; số định lý lý thuyết phương trình vi phân thường sử dụng chương trình bày Chương trình bày kết nghiên cứu hai lớp toán khác nhau, bao gồm: phương trình tích phân khoảng Volterra phương trình vi phân khoảng với trễ khái niệm đạo hàm Hukuhara tổng quát Chúng chứng minh tồn nghiệm cho phương trình tích phân khoảng Volterra hai công cụ khác hội tụ dãy xấp xỉ nghiệm phương trình, lý thuyết điểm bất động Hơn nữa, phương pháp giải cho lớp toán trình bày Ngồi ra, cách sử dụng khái niệm tích khơng gian các hàm khoảng (xem mục 1.1.3), xây dựng số điều kiện tiêu biến cho vế phải phương trình vi phân khoảng với trễ chứng minh tồn nghiệm tồn cục cho lớp tốn Hơn nữa, phương pháp giải toán trình bày Kết chương công bố báo [A1], [A2] luận án Chương trình bày kết tồn tại, nghiệm ba lớp tốn cho phương trình vi- tích phân khoảng, phương trình vi- tích phân khoảng có trễ phương trình vi- tích phân khoảng có xung với trễ khái niệm khả vi Hukuhara tổng quát Bằng cách sử dụng công cụ hàm tựa Lyapunov ta chứng minh tồn nghiệm ba lớp phương trình vi- tích phân khoảng nêu Phương pháp giải cho lớp phương trình trình bày Kết chương công bố báo [A3], [A4] Luan van (t − a )α−δ 1 B(t) = H [ X ( a), Z ( a)] + − sup F (t, Y (t), Yt ) α−δ Γ(α − δ) Γ(α) t∈[0,T ] (t − a )α−δ (t − a)α − + sup F (t, X (t), Xt ) (α − δ)Γ(α) Γ(α + 1) t∈[0,T ] Chứng minh Từ Bổ đề 4.1.1, nghiệm (4.1) (4.14) có dạng X (t) gH ϕ (0) = Γ(α) Zt (t − s)α−1 F (s, X (s), Xs )ds, t ∈ [ a, T ], a Z (t) gH ψ(0) = Γ(α − δ) Zt (t − s)α−δ−1 F (s, Z (s), Zs )ds, t ∈ [ a, T ] a Do H [ X (t), Z (t)] ≤ H [ ϕ(0), ψ(0)] +H Γ(α − δ) h h +H Γ(α) Zt a Zt (t − s) α − δ −1 a (t − s) α − δ −1 F (s, Z (s), Zs )ds, Γ(α) F (s, Z (s), Zs )ds, Γ(α) Zt Zt (t − s) α − δ −1 F (s, Z (s), Zs )ds i a (t − s) α − δ −1 F (s, X (s), Xs )ds i a Zt h Zt i α − δ −1 +H (t − s) F (s, X (s), Xs )ds, (t − s)α−1 F (s, X (s), Xs )ds Γ(α) Γ(α) a a (t − a )α−δ 1 − ≤ H [ ϕ(0), ψ(0)] + ... 2: Phương trình tích phân vi phân khoảng - Chương 3: Phương trình vi- tích phân khoảng - Chương 4: Phương trình vi- tích phân khoảng phân thứ Chương trình bày số kiến thức lý thuyết phương trình. .. trình vi phân thường phương trình vi phân khoảng Giới thiệu kiến thức giải tích khoảng như: phép tốn, đạo hàm tích phân hàm giá trị khoảng; giới thiệu định nghĩa tích hai hàm giá trị khoảng số tính. .. phương trình vi phân khoảng, bao gồm: phương trình vi phân khoảng phân thứ với trễ phương trình vi- tích phân khoảng phân thứ vi? ??c xây dựng, phát triển tổng qt hóa khái niệm giải tích phân thứ
Ngày đăng: 13/02/2023, 09:54
Xem thêm: