Luận án tiến sĩ một số tính chất định tính của vài lớp phương trình vi phân giá trị khoảng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG VĨNH AN MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIÁ TRỊ KHOẢNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tp Hồ Chí Minh - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG VĨNH AN MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIÁ TRỊ KHOẢNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã ngành: 62 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Đình Phư PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Tp Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, thực Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn PGS.TS Nguyễn Đình Phư Nội dung luận án viết sở báo tác giả Các kết chưa khác công bố Các báo đồng tác giả đồng tác giả cho phép sử dụng viết luận án Tác giả luận án Trương Vĩnh An Mục lục LỜI CAM ĐOAN GIỚI THIỆU TỔNG QUAN CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 10 Chương Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Giải tích khoảng 11 1.1.1 Các phép toán 11 1.1.2 Phép tính đạo hàm, tích phân 14 1.1.3 Tích khơng gian (KC (R), H ) 19 1.1.4 Thứ tự không gian mêtric khoảng 20 1.2 Giải tích phân thứ khoảng 22 1.2.1 Phép tính đạo hàm Riemann–Liouville 23 1.2.2 Phép tính đạo hàm Caputo 24 1.3 Một vài kết quan trọng R 29 Chương Phương trình tích phân vi phân khoảng 32 2.1 Phương trình tích phân khoảng Volterra 33 2.1.1 Sự tồn nghiệm 33 2.1.2 Phương pháp giải nghiệm 37 2.2 Phương trình vi phân khoảng có trễ 39 2.2.1 Sự tồn nghiệm 40 2.2.2 Phương pháp giải nghiệm 45 2.3 Kết luận chương 50 Chương Phương trình vi-tích phân khoảng 51 3.1 Phương trình vi-tích phân khoảng 51 3.1.1 Sự tồn nghiệm 51 3.1.2 Phương pháp giải nghiệm 58 3.2 Phương trình vi-tích phân khoảng có trễ 62 3.2.1 Sự tồn nghiệm 63 3.3 Phương trình vi-tích phân khoảng có xung với trễ 72 3.3.1 Sự tồn nghiệm 72 3.4 Kết luận chương 78 Chương Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ 79 4.1 Phương trình vi phân khoảng phân thứ có trễ 80 4.1.1 Sự tồn nghiệm 81 4.1.2 Phương pháp giải nghiệm 90 4.2 Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ 96 4.2.1 Sự tồn nghiệm 102 4.2.2 Phương pháp giải nghiệm 105 4.3 Kết luận chương 109 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 111 Kết luận luận án 112 Các hướng nghiên cứu 113 Tài liệu tham khảo 114 Danh sách hình vẽ 2.1 Nghiệm Ví dụ 2.1.3 39 2.2 Nghiệm Ví dụ 2.1.4 39 2.3 (S1 )-nghiệm phương trình (2.29) (λ = 0.5) 47 2.4 (S2 )-nghiệm phương trình (2.29) (λ = 0.5) 47 2.5 (S1 )-nghiệm phương trình (2.32 49 2.6 (S2 )-nghiệm phương trình (2.32) (λ = 1) 49 2.7 (S1 )-nghiệm (2.32) (λ = −1) 49 2.8 (S2 )-nghiệm (2.32) (λ = −1) 49 3.1 (S1)- nghiệm Ví dụ 3.1.5 60 3.2 (S2)- nghiệm Ví dụ 3.1.5 60 3.3 (S1)- nghiệm Ví dụ 3.1.6 61 3.4 (S2)- nghiệm Ví dụ 3.1.6 61 3.5 Biểu diễn X (t), X (t) với t ∈ [ −21 , 12 ], α = 0.01 70 3.6 Biễu diễn X (t), X (t) với t ∈ [ −21 , 12 ], α = 0.01 70 3.7 Biễu diễn X (t), X (t) với t ∈ [ −21 , 12 ], α = −0.01 71 3.8 Biễu diễn X (t), X (t) với t ∈ [ −21 , 12 ], α = −0.01 71 4.1 Nghiệm w−tăng Ví dụ 4.1.5 Trường hợp 94 4.2 Nghiệm w−giảm Ví dụ 4.1.5 Trường hợp 95 4.3 Nghiệm w−tăng Ví dụ (4.40) 108 4.4 Nghiệm w−giảm Ví dụ (4.40 ) 109 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN Hầu hết tốn kỹ thuật mơ hình hóa hệ động lực (Dynamical systems) dạng phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình vi- tích phân Tuy nhiên mơ hình khơng phải lúc hồn hảo tác động bị nhiễu yếu tố bất định, không đầy đủ không chắn thông số lên hệ thống Hiện nay, hướng nghiên cứu hệ động lực nhúng vào môi trường chứa đựng yếu tố không chắn vấn đề cần nghiên cứu phát triển mạnh mẽ phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng Có ba hướng tiếp cận phổ biến để diễn đạt lý thuyết không chắn bao gồm: (1) Cách tiếp cận sử dụng rộng rãi lý thuyết xác suất để xử lý tham số không chắn hệ thống biến ngẫu nhiên trường liệu ngẫu nhiên Mặc dù đạt thành công to lớn hướng tiếp cận cho kết đáng tin cậy có đầy đủ liệu thực nghiệm để xác định hàm mật độ phân phối xác suất tham số ngẫu nhiên (2) Gần đây, việc xây dựng phát triển lý thuyết diễn tả không chắn mà không phụ thuộc vào tính đầy đủ diệu quan tâm Do đó, hướng tiếp cận thứ hai đề xuất dựa vào khái niệm tập mờ việc sử dụng hàm thuộc để mô tả mức độ thuộc tham số không chắn (3) Cách tiếp cận thứ ba, giải tích khoảng, xem trường hợp riêng giải tích tập nói riêng giải tích mờ nói chung cách tiếp cận xem cơng cụ diễn đạt chấp nhận rộng rãi số tiếp cận khơng mang tính xác suất Trong năm gần giải tích khơng chắn diễn đạt khái niệm mờ khoảng trở thành chủ đề hấp dẫn mắt nhà nghiên cứu có khả mơ hình hố tốn học hệ thống động lực chịu nhiều tác động mơi trường bên ngồi, hệ động lực phức tạp mà khơng thể biểu diễn dạng q trình thực Lý thuyết không chắn diễn đạt tập mờ được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, xây dựng hoàn thiện phép tốn cần thiết để giải tích mờ ngày trở thành lý thuyết chặt chẽ mặt toán học hiệu mặt ứng dụng thực tiễn Vào thập niên 70-80, Zadeh với cộng Chang [10], Heilpern [19], Dubois Prade [12] có nghiên cứu đặt móng cho phép tốn giải tích mờ tính khả vi, tính đo tính khả tích ánh xạ đa trị ánh xạ giá trị mờ Về sau giải tích mờ tiếp tục nghiên cứu hồn thiện cơng trình có giá trị Bede, Stefanini, Chalco cộng [7]-[9], Diamond Kloeden [11], Lakshmikantham Mohapatra [30] Theo tiến trình phát triển giải tích mờ, việc nghiên cứu hệ động lực mờ phương trình vi phân mờ Kaleva [22, 23] khởi đầu dựa khái niệm đạo hàm Hukuhara Kaleva thiết lập khái niệm bản, chứng minh tồn nghiệm tốn Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp điều kiện Lipschitz, đặt móng cho nghiên cứu sau Trong gần thập kỷ trở lại đây, lĩnh vực hệ động lực mờ phương trình vi phân mờ phát triển mạnh mẽ, thu hút nhiều nhà khoa học giới Một số nhóm nghiên cứu tiêu biểu phương trình vi phân mờ kể đến nhóm nghiên cứu Nieto, Lupulescu, Chalco-Cano, Malinowski, Rodríguez-López, Bede Trong cơng trình [24, 46], Nieto cộng phát triển kỹ thuật thường sử dụng phương trình vi phân thường sang chứng minh định lý tồn nghiệm cho số lớp phương trình vi phân mờ tuyến tính cấp với điều kiện biên dạng tuần hồn, phương trình vi phân cấp có trễ Chalco-Cano [8] xây dựng khái niệm nghiệm phương trình vi phân cấp tính khả vi mờ tổng quát Lupulescu [32] sử dụng phương pháp xây dựng dãy xấp xỉ nghiệm để chứng minh định lý tồn nghiệm toàn cục cho phương trình vi phân có trễ Hơn Lupulescu kết hợp nguyên lý suy rộng Zadeh, phương pháp Step định lý Stacking để đưa quy trình tìm nghiệm mờ dạng giải tích ứng dụng giải số mơ hình thực tế quan trọng Malinowski [34, 37] kết hợp hai khái niệm mờ ngẫu nhiên để nghiên cứu số tính chất nghiệm tồn tại, tính tính ổn định nghiệm phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên Bên cạnh đó, số ứng dụng phương pháp tiếp cận cho toán thực tế trình bày Lý thuyết khơng chắn diễn đạt khái niệm biến khoảng đường thẳng thực Moore đưa năm 1966 [42], mở rộng lý thuyết tập hợp kinh điển, nhằm mục đích giải tốn kết cấu học chịu ảnh hưởng sai số đo đạc nhiễu môi trường [44] Trong [42, 44] tác giả trình bày khái niệm phép toán đại số khoảng tốn ứng dụng liên quan Bên cạnh đó, mối liên hệ giải tích mờ giải tích khoảng trình bày Moore Lodwick [43], Pedrycz Gomide [47] Các tác giả chứng minh tập mờ biễu diễn biến vectơ khoảng thông qua tập mức thể mức độ thuộc tập mờ Do đó, thập niên trở lại đây, cách sử dụng kết giải tích mờ, việc nghiên cứu xây dựng phép tốn giải tích cho hàm khoảng nhằm ứng dụng cho việc khảo sát lớp phương trình vi phân khoảng tốn liên quan đến hệ động lực thu hút nhiều nhóm nghiên cứu nhà khoa học nước Có nhiều phương pháp tiếp cận để nghiên cứu lớp phương trình vi phân khoảng chúng liên quan đến trình phát triển đạo hàm hàm khoảng, bao gồm: đạo hàm Hukuhara đạo hàm Hukuhara tổng quát Việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm lớp phương trình vi phân khoảng dựa vào khái niệm khả vi Hukuhara thu nhiều kết đáng kể (để biết đầy đủ kết dạng này, tham khảo sách chuyên khảo [30]) Tuy nhiên, khái niệm khả vi Hukuhara xây dựng dựa hiệu Hukuhara [21] hai khoảng có nhược điểm hiệu khơng ln tồn dẫn đến đạo hàm khơng ln tồn [9] Ngồi ra, độ rộng diễn tả không chắn hàm khoảng thoả mãn khả vi Hukuhara tăng dần theo biến thời gian, tức theo thời gian, tính khơng chắn nghiệm ngày quan sát, hay nói cách khác quỹ đạo nghiệm khoảng ngày khác xa so với nghiệm cổ điển tốn Vì khái niệm khả vi Hukuhara khơng thích hợp để nghiên cứu biểu diễn tiệm cận nghiệm tốn giá trị biên có tính tuần hoàn Để khắc phục nhược điểm Bede cộng xây dựng khái niệm khả vi Hukuhara tổng quát dựa hiệu Hukuhara tổng quát [54] cho hàm khoảng Cách tiếp cận thể độ rộng khơng chắn nghiệm phương trình vi phân khoảng giảm theo biến thời gian tồn điểm chuyển (switching points) độ rộng tăng hay giảm nghiệm Việc nghiên cứu lớp hàm khoảng tính khả vi Hukuhara tổng quát tạo số hướng nghiên cứu cho lý thuyết phương trình vi phân hệ động lực khơng gian giải tích trừu tượng, là: tồn tính dạng nghiệm xét tính khả vi theo nghĩa khác nhau, điểm chuyển dạng nghiệm, điều kiện đủ để nghiệm khả vi theo nghĩa khác Tuy nhiên kết đạt theo hướng nghiên cứu khiêm tốn Một số kết nghiên cứu đạt gần kể đến kết Chalco-Cano cộng [9], Malinowski [35], Lupulescu [31, 33] Được thúc đẩy lý nêu dựa vào q trình phát triển giải tích khoảng, luận án tiến hành nghiên cứu số lớp tốn phương trình tích phân, vi phân vi- tích phân khoảng khái niệm khả vi Hukuhara tổng quát với mong muốn góp phần vào trình xây dựng hồn thiện lý thuyết Nội dung luận án bao gồm 04 chương - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị - Chương 2: Phương trình tích phân vi phân khoảng - Chương 3: Phương trình vi- tích phân khoảng - Chương 4: Phương trình vi- tích phân khoảng phân thứ Chương trình bày số kiến thức lý thuyết phương trình vi phân thường phương trình vi phân khoảng Giới thiệu kiến thức giải tích khoảng như: phép tốn, đạo hàm tích phân hàm giá trị khoảng; giới thiệu định nghĩa tích hai hàm giá trị khoảng số tính chất quan trọng tích trong; số định lý lý thuyết phương trình vi phân thường sử dụng chương trình bày Chương trình bày kết nghiên cứu hai lớp tốn khác nhau, bao gồm: phương trình tích phân khoảng Volterra phương trình vi phân khoảng với trễ khái niệm đạo hàm Hukuhara tổng quát Chúng chứng minh tồn nghiệm cho phương trình tích phân khoảng Volterra hai cơng cụ khác hội tụ dãy xấp xỉ nghiệm phương trình, lý thuyết điểm bất động Hơn nữa, phương pháp giải cho lớp toán trình bày Ngồi ra, cách sử dụng khái niệm tích khơng gian các hàm khoảng (xem mục 1.1.3), xây dựng số điều kiện tiêu biến cho vế phải phương trình vi phân khoảng với trễ chứng minh tồn nghiệm toàn cục cho lớp toán Hơn nữa, phương pháp giải tốn trình bày Kết chương công bố báo [A1], [A2] luận án Chương trình bày kết tồn tại, nghiệm ba lớp tốn cho phương trình vi- tích phân khoảng, phương trình vi- tích phân khoảng có trễ phương trình vi- tích phân khoảng có xung với trễ khái niệm khả vi Hukuhara tổng quát Bằng cách sử dụng công cụ hàm tựa Lyapunov ta chứng minh tồn nghiệm ba lớp phương trình vi- tích phân khoảng nêu Phương pháp giải cho lớp phương trình trình bày Kết chương công bố báo [A3], [A4] Chứng minh Từ Bổ đề 4.2.1, nghiệm (4.32) (4.35) có dạng gH X ( a ) = Γ(α) X (t) t s (t − s) α −1 G (s, τ, X (τ ))dτ ds, t ∈ [ a, T ], F (s, X (s)) + a a với t ∈ [ a, T ] Z (t) gH Z ( a ) = Γ(α − δ) t s (t − s) α − δ −1 F (s, Z (s)) + a G (s, τ, Z (τ ))dτ ds a Khi đó, ta có H [ X (t), Z (t)] ≤ H [ X ( a), Z ( a)] +H Γ(α − δ) +H Γ(α) +H Γ(α) t a (t − s)α−δ−1 F (s, Z (s))ds, Γ(α) t (t − s)α−δ−1 F (s, Z (s))ds, a t (t − s) a + F (s, X (s))ds, Γ(α) a )α−δ (t − α−δ ≤ H [ X ( a), Z ( a)] + (1 + M ) + Γ(α) α − δ −1 Γ(α) t (t − s)α−δ−1 F (s, Z (s))ds a t (t − s)α−δ−1 F (s, X (s))ds a t (t − s)α−1 F (s, X (s))ds a 1 − Γ(α − δ) Γ(α) sup F (t, Y (t)) t∈[0,T ] t (t − s)α−δ−1 H [ X (s), Z (s)]ds a α a ) −δ (t − (t − a)α − ( α − δ ) Γ ( α ) Γ ( α + 1) (1 + M ) ≤ B(t) + Γ(α) sup F (t, X (t)) t∈[0,T ] t (t − s)α−δ−1 H [ X (s), Z (s)]ds a Từ bất đẳng thức Gronwall tổng quát (Định lý [55]), ta có t ∞ H [ X (t), Z (t)] ≤ B(t) + ∑ a i =1 (1 + M ) Γ(α − δ) Γ(α) i (t − s)i(α−δ)−1 B(s)ds Γ(i (α − δ)) Nhận xét 4.2.2 Từ giả thiết Hệ 4.2.3, δ = 0, ta đánh giá ∞ (1 + M)i (t − a)iα Γ ( iα + i ) i =0 H [ X (t), Z (t)] ≤ H [ X ( a), Z ( a)] ∑ 104 4.2.2 Phương pháp giải nghiệm Trong hệ tiếp theo, ta trình bày phương pháp nhằm tìm nghiệm xác phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ thơng qua tìm nghiệm phương trình vi-tích phân bậc nguyên Hệ 4.2.4 Giả sử điều kiện Hệ 4.2.2 thoả mãn Khi đó, nghiệm (4.32), X FO , có dạng (t − a)α , X FO (t) = X IO Γ ( α + 1) X IO (v) nghiệm phương trình vi-tích phân khoảng bậc ngun sau v DgH X IO (v) = F ∗ (v, X IO (v)) + G ∗ (v, s, X (s))ds, X IO (0) = X0 , v ∈ [0, bα /Γ(α + 1)], (4.36) F ∗ (v, X IO (v)), G ∗ (v, s, X IO (s)) xây dựng giống Định lý 4.2.2 Chứng minh Từ giả thiết Hệ 4.2.2, ta suy nghiệm tốn (4.32) tồn thoả phương trình tích phân khoảng phân thứ X FO (t) gH X0 = Γ(α) t (t − s)α−1 F (s, XFO (s))ds, t ∈ [ a, b], (4.37) a s F (s, X FO (s)) := F (s, X FO (s)) + Ta đổi biến s = lại G (s, τ, X FO (τ ))dτ a α 1/α t − [(t − a) − vΓ(α + 1)] Khi đó, phương trình (4.37) viết (t− a)α /Γ(α+1) X FO (t) gH F (k(t, v), XFO (k(t, v))dv X0 = (t− a)α /Γ(α+1) F ∗ (v, X IO (v))dv, = (4.38) F ∗ (v, X IO ( v )) = F ( k ( t, v ), X FO ( k ( t, v )) Ngược lại, hàm X IO có w −đơn điệu nghiệm (4.36) X IO thoả v X IO (v) gH F (k(t, τ ), XFO (k(t, τ )))dτ X0 = v F ∗ (τ, X IO (τ ))dτ, = 105 (4.39) v ∈ [0, bα /Γ(α + 1)] Từ (4.38), (4.39) ≤ (t − a)α /Γ(α + 1) ≤ (b − a)α /Γ(α + 1), nên ta X FO (t) gH X0 = X IO (t − a)α Γ ( α + 1) gH X0 Ví dụ 4.2.3 Xét tốn giá trị đầu cho phương trình vi-tích phân khoảng bậc phân thứ có dạng t ( C D00.5 + X )( t ) = λ1 X ( t ) + λ2 [1, + s]ds, X (0) = [ X (0), X (0)], t ∈ [0, 1], (4.40) λ1 , λ ∈ R\{0} Trong ví dụ này, F ∗ (v, X IO (v)) = λ1 X IO (v) √ 3 + λ2 tΓ v − v2 Γ2 2 √ 1, + tΓ 3 v − v2 Γ2 /2 Bài toán giá trị đầu bậc nguyên tương ứng với toán sau đổi biến có dạng     DgH X IO√(v) = λ1 X IO (v) +λ2 tΓ 32 v − v2 Γ2    X (0) = [ X (0), X (0)], √ [1, + tΓ v − v2 Γ2 /2], IO v ∈ [0, 1/Γ(3/2)] Trường hợp Giả sử λ1 ∈ R+ X IO có w−tăng Khi đó, ta tìm nghiệm X IO (v) = [ X IO (v), X IO (v)], √ λ2 Γ(3/2) Γ ( 3/2 ) λ ( λ v + 2v ) − 2λ 1 t ( λ1 v + 1) + 2Γ (3/2) , λ31 √ λ Γ(3/2) + e λ1 v X (0 ) + (2λ1 t − 2Γ(3/2)) λ1 X IO (v) = 106 λ2 Γ(3/2) X IO (v) = X¯ (0) + 2λ51 √ 24Γ3 (3/2) − 4Γ(3/2)λ21 + 4λ31 t √ +8Γ(3/2)λ21 t − 24Γ2 (3/2)λ1 t e λ1 v √ √ λ2 Γ(3/2) 3 2 + 4λ t − 24Γ ( 3/2 ) λ 24Γ ( 3/2 ) − 4Γ ( 3/2 ) λ t + 8Γ ( 3/2 ) λ t 1 1 2λ51 √ √ λ λ Γ(3/2)v + −4Γ(3/2)λ21 + 24Γ3 (3/2) + 4λ31 t − 24Γ2 (3/2)λ1 t + 8Γ(3/2)λ21 t 2λ1 √ λ2 λ2 Γ(3/2)v2 2 + + 12Γ ( 3/2 ) − 12Γ ( 3/2 ) λ t + 4Γ(3/2)λ21 t − 2Γ ( 3/2 ) λ 1 2λ1 − √ λ31 λ2 Γ(3/2)v3 λ2 Γ4 (3/2)v4 + 4Γ (3/2) − 4Γ (3/2)λ1 t + 2λ1 2λ51 Từ kết Hệ 4.2.4, nghiệm toán (4.40) X FO (t) = X IO t0.5 Γ(1.5) = [ X FO (t), X FO (t)], λ2 π X FO (t) = −λ21 t + + exp λ1 X FO (t) = exp − λ2 2λ51 √ 2λ1 t √ π X (0) + √ 2λ1 t √ π X (0) + √ λ2 ( λ πt − π/2) , λ31 √ √ λ2 2 π − πλ + 2λ πt + 2πλ t − 3πλ πt 1 2λ51 √ √ π − λ21 π + 2λ31 πt + 2πλ21 t − 3πλ1 πt √ √ √ 3π πt − 2λ21 πt + 4λ31 t − 6πλ1 t + πλ21 t3/2 + λ2 2λ41 + √ √ 3/2 λ2 λ2 λ2 2 3/2 2 t − 2λ t + 3πt − πλ t + 4λ t πt − 4λ1 t2 + + 1 2λ1 2λ1 2λ1 Trong ví dụ này, ta giả thiết: X (0) = [1, 2], λ1 = λ2 = Nghiệm w−tăng (4.40) biểu diễn hình 4.3 Trường hợp Xét λ1 ∈ R− X IO có w−giảm Khi đó, ta tìm nghiệm 107 Hình 4.3: Nghiệm w−tăng Ví dụ (4.40) X IO (v) = [ X IO (v), X IO (v)], X IO (v) = eλ1 v X (0) + λ2 Γ(3/2) 2λ51 24Γ3 (3/2) − 4Γ(3/2)λ21 √ √ +4λ31 t + 8Γ(3/2)λ21 t − 24Γ2 (3/2)λ1 t λ2 Γ(3/2) 2λ51 24Γ3 (3/2) − 4Γ(3/2)λ21 √ √ +4λ31 t + 8Γ(3/2)λ21 t − 24Γ2 (3/2)λ1 t √ λ1 λ2 Γ(3/2)v −4Γ(3/2)λ21 + 24Γ3 (3/2) + 4λ31 t √ + −24Γ2 (3/2)λ1 t + 8Γ(3/2)λ21 t 2λ51 − √ λ21 λ2 Γ(3/2)v2 2 + − 2Γ ( 3/2 ) λ + 12Γ ( 3/2 ) − 12Γ ( 3/2 ) λ t + 4Γ (3/2) λ1 t 2λ51 + √ λ31 λ2 Γ(3/2)v3 λ2 Γ4 (3/2)v4 t + , 4Γ ( 3/2 ) − 4Γ ( 3/2 ) λ 2λ1 2λ51 √ λ2 Γ(3/2) Γ ( 3/2 ) λ ( λ v + 2v ) − 2λ t(λ1 v + 1) + 2Γ(3/2) 1 λ31 √ λ Γ(3/2) + e λ1 v X (0 ) + (2λ1 t − 2Γ(3/2)) λ1 X IO (v) = Từ Hệ 4.2.4, nghiệm toán (4.40) X FO (t) = X IO t0.5 Γ(1.5) 108 = [ X FO (t), X FO (t)], Hình 4.4: Nghiệm w−giảm Ví dụ (4.40 ) X FO (t) = exp − + + λ2 2λ51 λ2 2λ41 √ 2λ1 t √ π X (0) + √ √ λ2 2 π − πλ + 2λ πt + 2πλ t − 3πλ πt 1 1 2λ51 √ √ π − λ21 π + 2λ31 πt + 2πλ21 t − 3πλ1 πt √ √ √ 3π πt − 2λ21 πt + 4λ31 t − 6πλ1 t + πλ21 t3/2 √ λ2 t + 3πt − πλ t3/2 + 4λ2 t2 − 2λ 1 2λ1 √ λ2 λ2 + 2λ πt3/2 − 4λ1 t2 + 2λ t 1 λ2 π X FO (t) = −λ21 t + + exp λ1  , √ 2λ1 t √ π X (0) + √ λ2 ( λ πt − π/2) λ31 Trong ví dụ này, ta giả thiết: X (0) = [1, 2], λ1 = −1, λ2 = Nghiệm w−giảm (4.40) biểu diễn Hình 4.4 4.3 Kết luận chương Dựa vào kết trình bày Chương (Mục 1.2) giải tích phân thứ khoảng kết lý thuyết điểm bất động không gian thứ tự (Định lý 1.3.8), chương chúng tơi trình bày kết tồn tại, nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện đầu bậc phân thứ 109 đạo hàm Phương pháp giải cho lớp phương trình trình bày Cụ thể là: - Chúng chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân khoảng phân thứ có trễ cách sử dụng lý thuyết điểm bất động không gian xếp thứ tự (Mục 4.1.1-Định lý 4.1.1) Phương pháp giải toán đề xuất (Mục 4.1.2-Hệ 4.1.3) Bên cạnh đó, phụ thuộc liên tục nghiệm vào liệu đầu vào bậc đạo hàm phương trình nghiên cứu (Định lý 4.1.2 4.1.3) - Chúng chứng minh tồn nghiệm phương trình vi-tích phân khoảng với đạo hàm phân thứ cách sử dụng lý thuyết điểm bất động không gian xếp thứ tự (Xem 4.2.1- Hệ 4.2.2) Thuật giải cho lớp tốn trình bày (Xem 4.2.2-Hệ 4.2.4) Bên cạnh đó, phụ thuộc liên tục nghiệm vào liệu đầu vào bậc phân thứ đạo hàm phương trình nghiên cứu (Xem [A5]) 110 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Các báo cơng bố Tạp chí chun ngành thuộc ISI: [A1] Truong Vinh An, Nguyen Dinh Phu, Ngo Van Hoa, A note on solutions of interval-valued Volterra integral equations, Journal of Integral Equations and Applications.Vol.26, N01, Spring 2014, pp 2073-2085 [A2] Nguyen Dinh Phu, Truong Vinh An, Ngo Van Hoa, Nguyen Thi Hien, Intervalvalued functional differential equations under dissipative conditions, J.Advances in Diff Eqs Springer, 198 doi:10.1186/1847-2014-704 [A3] An Vinh Truong, Hoa Van Ngo, Phu Dinh Nguyen, Global existence of solutions for interval-valued integro-differential equations under generalized H-differentiability, J Advances in Difference Equations Springer, 217 (2013) doi:10.1186/1687-1847 [A4] Truong Vinh An, Ngo Van Hoa, Nguyen Anh Tuan, Impulsive hybrid intervalvalued functional integro-differential equations, Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 32, 529-541, (2017) [A5] Truong Vinh An, Ho Vu, Ngo Van Hoa, Applications of contractive-like mapping principles to interval-valued fractional integro-differential equations, Journal of Fixed Point Theory and Applications, 19, 2577-2599, (2017) Hội nghị khoa học tham gia [A6] Nguyen Dinh Phu, Truong Vinh An, Ngo Van Hoa, On the Interval - valued differential equation, The 8th Vietnamese Mathematical Conference, Nha Trang, August, 10-14 /2013 [A7] Truong Vinh An, On the solution of interval-valued integro-differential equations under two kinds Hukuhara derivative, Proceedings of The 2nd International Conference on Green Technology and Sustainable Development (GTSD’14), October 30-31, Ho Chi Minh City, Vietnam, 2014, Vol 2, pp 452-463 [A8] Trương Vĩnh An, Nguyễn Anh Tuấn, Nguyễn Đình Phư, Sự tồn nghiệm phương trình vi phân khoảng có trễ khơng gian thứ tự, Tạp chí khoa học Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, Số 97, trang 150-160,2016 111 KẾT LUẬN Trong luận án này, chứng minh tồn nghiệm, trình bày phương pháp giải cho lớp tốn khác phương trình tích phân khoảng, phương trình vi phân khoảng có trễ, phương trình vi-tích phân có trễ, phương trình vi -tích phân với đạo hàm phân thứ Luận án đạt kết sau: - Chứng minh tồn nghiệm cho lớp phương trình tích phân khoảng Volterra phương trình vi phân khoảng có trễ cách sử dụng nguyên lý điểm bất động Banach cơng cụ tích trong không gian hàm khoảng Chương - Chứng minh tồn nghiệm địa phương tồn cục phương trình vi- tích phân khoảng, phương trình vi- tích phân khoảng có trễ phương trình vi- tích phân khoảng có xung với trễ cách sử dụng công cụ hàm tựa Lyapunov Chương - Chứng minh tồn tại, nghiệm tính ổn định nghiệm cho phương trình tích phân khoảng phân thứ có trễ phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ cách sử dụng lý thuyết điểm bất động không gian xếp thứ tự Chương - Phương pháp giải cho lớp phương trình giới thiệu luận án trình bày - Các kết luận án cơng bố cơng trình sau: [A1], [A2], [A3], [A4], [A5] 112 HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Hiện nay, hướng nghiên cứu luận án cịn nhiều tốn mở chưa giải Chẳng hạn nghiên cứu tính chất ổn định, nghiệm tối đại, tối tiểu cho lớp phương trình vi phân khoảng với đạo hàm phân thứ Xây dựng phương pháp số để giải lớp toán vấn đề nghiên cứu mẻ cần thiết Do đó, chúng tơi hy vọng toán sớm giải tương lai 113 Tài liệu tham khảo [1] R P Agarwal, S Arshad, D O’Regan, and V Lupulescu Fuzzy fractional integral equations under compactness type condition Fractional Calculus and Applied Analysis, 15(4):572–590, 2012 [2] R P Agarwal, V Lakshmikantham, and J J Nieto On the concept of solution for fractional differential equations with uncertainty Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 72(6):2859–2862, 2010 [3] T Allahviranloo, A Armand, and Z Gouyandeh Fuzzy fractional differential equations under generalized fuzzy caputo derivative Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 26(3):1481–1490, 2014 [4] T Allahviranloo, S Salahshour, and S Abbasbandy Explicit solutions of fractional differential equations with uncertainty Soft Computing, 16(2):297–302, 2012 [5] D D Ang Integral Theory Education Publishing House, Ha Noi, Viet Nam, 1999 [6] S Arshad and V Lupulescu On the fractional differential equations with uncertainty Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 74(11):3685– 3693, 2011 [7] B Bede and L Stefanini Generalized differentiability of fuzzy-valued functions Fuzzy Sets and Systems, 230:119–141, 2013 [8] Y Chalco-Cano and H Román-Flores On new solutions of fuzzy differential equations Chaos, Solitons & Fractals, 38(1):112 – 119, 2008 [9] Y Chalco-Cano, A RufiáN-Lizana, H RomáN-Flores, and M D JiméNezGamero Calculus for interval-valued functions using generalized hukuhara derivative and applications Fuzzy Sets and Systems., 219:49–67, 2013 [10] S S Chang and L A Zadeh On fuzzy mapping and control IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, 1(SMC-2):30–34, 1972 114 [11] P Diamond Stability and periodicity in fuzzy differential equations IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 8(5):583–590, 2000 [12] D Dubois and H Prade Towards fuzzy differential calculus part 3: Differentiation Fuzzy sets and systems, 8(3):225–233, 1982 [13] O S Fard and M Salehi A survey on fuzzy fractional variational problems Journal of Computational and Applied Mathematics, 271:71–82, 2014 [14] T H Gronwall Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations Annals of Mathematics, 20(4):292– 296, 1919 [15] M Guo, X Xue, and R Li Impulsive functional differential inclusions and fuzzy population models Fuzzy Sets and Systems, 138(3):601–615, 2003 [16] J Hale Theory of Functional Differential Equations Springer, New York, USA, 1971 [17] J Hale Theory of Functional Differential Equations Springer, New York, 1997 [18] J Harjani and K Sadarangani Generalized contractions in partially ordered metric spaces and applications to ordinary differential equations Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 72(3):1188–1197, 2010 [19] S Heilpern Fuzzy mappings and fixed point theorem Journal of Mathematical Analysis and Applications, 83(2):566 – 569, 1981 [20] N V Hoa, V Lupulescu, and D O’Regan Solving interval-valued fractional initial value problems under caputo gh-fractional differentiability Fuzzy Sets and Systems, 309:1–34, 2017 [21] M Hukuhara Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe Funkcialaj Ekvacioj, 10(3), 1967 [22] O Kaleva Fuzzy differential equations Fuzzy Sets and Systems, 24(3):301 – 317, 1987 [23] O Kaleva A note on fuzzy differential equations Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 64(5):895–900, 2006 [24] A Khastan, J J Nieto, and R Rodríguez-López Fuzzy delay differential equations under generalized differentiability Information Sciences, 275:145–167, 2014 [25] A A Kilbas, H Srivastava, and J J Trujillo Theory and Applications of Fractional Differential Equations, volume 204 Elsevier, 2006 115 [26] V Kolmanovskii and A Myshkis Applied Theory of Functional Differential Equations Kluwer Academic Publishers, 1992 [27] V Lakshmikantham Theory of fractional functional differential equations Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 69(10):3337 – 3343, 2008 [28] V Lakshmikantham, T G Bhaskar, and J V Devi Theory of set differential equations in metric spaces CRC PressCambridge Scientific Publisher, UK, 2006 [29] V Lakshmikantham and S Leela Differential and Integral inequalities Academic Press, New York, USA, 1969 [30] V Lakshmikantham and R N Mohapatra Theory of Fuzzy Differential Equations and Inclusions CRC Press, Singapore, 2003 [31] V Lupulescu Initial value problem for fuzzy differential equations under dissipative conditions Information Sciences, 178(23):4523 – 4533, 2008 [32] V Lupulescu On a class of fuzzy functional differential equations Fuzzy Sets and Systems, 160(11):1547 – 1562, 2009 [33] V Lupulescu Fractional calculus for interval-valued functions Fuzzy Sets and Systems, 265:63 – 85, 2015 [34] M T Malinowski Existence theorems for solutions to random fuzzy differential equations Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 73(6):1515 – 1532, 2010 [35] M T Malinowski Interval differential equations with a second type hukuhara derivative Applied Mathematics Letters, 24(12):2118 – 2123, 2011 [36] M T Malinowski Interval cauchy problem with a second type hukuhara derivative Information Sciences, 213:94 – 105, 2012 [37] M T Malinowski Random fuzzy differential equations under generalized lipschitz condition Nonlinear Analysis: Real World Applications, 13(2):860 – 881, 2012 [38] M T Malinowski Second type hukuhara differentiable solutions to the delay set-valued differential equations Applied Mathematics and Computation, 218(18):9427 – 9437, 2012 [39] M T Malinowski Random fuzzy fractional integral equations–theoretical foundations Fuzzy Sets and Systems, 265:39–62, 2015 [40] S Markov Calculus for interval functions of a real variable Computing, 22(4):325–337, 1979 116 [41] M Mazandarani and A V Kamyad Modified fractional euler method for solving fuzzy fractional initial value problem Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 18(1):12–21, 2013 [42] R Moore Interval Analysis Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1966 [43] R Moore and W Lodwick Interval analysis and fuzzy set theory Fuzzy sets and systems, 135(1):5–9, 2003 [44] R E Moore Methods and applications of interval analysis, volume Siam, 1979 [45] A Neumaier Interval Methods for Systems of Equations Interval Methods for Systems of Equations, 1990 [46] J Nieto, A Khastan, and K Ivaz Numerical solution of fuzzy differential equations under generalized differentiability Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 3(4):700–707, 2009 [47] W Pedrycz and F Gomide An introduction to fuzzy sets: analysis and design Mit Press, 1998 [48] I Podlubny Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications, volume 198 Academic press, 1998 [49] L T Quang, N V Hoa, N D Phu, and T T Tung Existence of extremal solutions for interval-valued functional integro-differential equations Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 30(6):3495–3512, 2016 [50] R Rodríguez-López Monotone method for fuzzy differential equations Fuzzy Sets and Systems, 159(16):2047–2076, 2008 [51] W Rudin Real and Complex Analysis, 3rd Ed McGraw-Hill, Inc., New York, NY, USA, 1987 [52] S G Samko, A A Kilbas, and M O I Fractional integrals and derivatives : theory and applications Switzerland ; Philadelphia, Pa., USA : Gordon and Breach Science Publishers, 1993 [53] S Song, C Wu, and X Xue Existence and uniqueness of cauchy problem for fuzzy differential equations under dissipative conditions Computers & Mathematics with Applications, 51(9):1483 – 1492, 2006 [54] L Stefanini and B Bede Generalized hukuhara differentiability of intervalvalued functions and interval differential equations Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 71(3–4):1311 – 1328, 2009 117 [55] H Ye, J Gao, and Y Ding A generalized gronwall inequality and its application to a fractional differential equation Journal of Mathematical Analysis and Applications, 328(2):1075–1081, 2007 118 ... [A4] Chương trình bày kết nghiên cứu tồn nghiệm hai lớp phương trình vi phân khoảng, bao gồm: phương trình vi phân khoảng phân thứ với trễ phương trình vi- tích phân khoảng phân thứ vi? ??c xây dựng,... báo [A1], [A2] luận án Chương trình bày kết tồn tại, nghiệm ba lớp tốn cho phương trình vi- tích phân khoảng, phương trình vi- tích phân khoảng có trễ phương trình vi- tích phân khoảng có xung... Chương 4: Phương trình vi- tích phân khoảng phân thứ Chương trình bày số kiến thức lý thuyết phương trình vi phân thường phương trình vi phân khoảng Giới thiệu kiến thức giải tích khoảng như: