Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Phần 2 - NXB Kinh tế

Lý thuyết xác suất thống kê toán Phần THỐNG KÊ TOÁN Chương 6: MẪU NGẪU NHIÊN I- Tổng thể mẫu 1- Tổng thể Khi nghiên cứu vấn đề kinh tế - xã hội, nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực khác, người ta thường phải khảo sát hay số dấu hiệu Những thơng tin dấu hiệu thu thập, khảo sát nhiều phần tử khác Tập hợp tất phần tử mà từ phần tử ta thu thập, khảo sát thông tin dấu hiệu ta cần nghiên cứu gọi £ổng thể (population) Thí dụ 1: Ta cần nghiên cứu suất lúa vùng đồng sông Cửu Long, dấu hiệu mà ta cần nghiên cứu “năng suất lúa” thông tin suất lúa khảo sát ruộng trồng lúa vùng Trong trường hợp này, tổng thể bao gồm tồn diện tích gieo trồng lúa vùng đồng sơng Cửu Long Thí dụ 2: Ta cần nghiên cứu thu nhập người làm việc ngành giáo dục Dấu hiệu ta cần khảo sát “thu nhập” thông tin thu nhập thu thập, khảo sát người làm việc ngành Vậy tất người làm việc ngành giáo dục coi tổng thể Đối với tổng thể, ta sử dụng số khái niệm ký hiệu sau đây: e N: Số phần tử tổng thể gọi kích thước tổng thể Kích thước tổng thể phụ thuộc vào vấn đề phạm vi nghiên cứu e X” : Dấu hiệu ta cần khảo sát, nghiên cứu (trong kinh tế thường gọi tiêu) Cần nhấn mạnh rằng: Khi nói nghiên cứu tổng thể có nghĩa ta nghiên cứu dấu hiệu X” thể phần tử tổng thể 146 Chương : Mẫu ngẫu nhiên e x; (i= 1, 2, , k) giá trị dấu hiệu X” đo phần tử tổng thể x¡ thông tin cần thiết để ta nghiên cứu dấu hiệu = phần tử tổng thể đối tượng mang thông tin eN¡(@=1,2, , k): Tần số x; - số phần tử nhận giá trị xj k Ta luôn cú : ằ mm =N đâ D (=1,2, , k): Tần suất x; - tỷ số tần số xị kích thước tổng thể: p¡ = ` Ta ln ln có : k 2.0, =1 i=l Giữa xị¡ , N¡ p¡ ln ln có tương ứng Để biểu diễn tương ứng giá trị Xị, tần số N¡ tần suất p¡ ta lập bảng cấu tổng thể theo dấu hiệu X” Bảng có dạng: Bang 6.1 Giá trị X” XỊ Bee Tan Nụ N> số (Nj) Tần suất (p;) DỊ eens Xk “ẻ 6% Ny eee Px e Chú ý: Ta lập bảng cấu tổng thể dạng cột Bảng 6.1 mô tả cách đầy đủ thông tin dấu hiệu X” để lập bảng ta phải khảo sát toàn N phần tử tổng thể, điều khó thực thực tế ta khó mà nhớ thơng tin tiết Vì vậy, người ta thường tóm tắt bảng số đặc trưng sau đây: 1- Trung bình tổng thể Trung bình tổng thể (ký hiệu 1), xác định theo công thức: k ne > Ki; li (6.2) 2- Phương sai tổng thể Phương sai tổng thể (ký hiệu ø?) xác định theo công thức: 147 Lý thuyết xác suất thống kê toán ga k d(x; = u)’p; (6.3) i=l 3- Độ lệch ciuẩn tổng thể Độ lệch chuẩn tổng thể (ký hiệu ø) xác định theo công thức: c= Jo" (6.4) 4- Tỷ lệ tổng thé Tỷ lệ tổng thể (ký hiệu p) định nghĩa sau: Giả sử tổng thể gồm N phân tử, có M phần tử có tính chất A Gọi p= < tỷ lệ phần tử có tính chất A tổng thể (hay gọi tắt tỷ lệ tổng thể) p xác suất lấy phần tử có tính chất A lấy ngẫu nhiên phần tử từ tổng thể Thí dụ: Ngành cao su có 500.000 cơng nhân Để nghiên cứu mức sống họ, người ta khảo sát tiêu X” :” Thu nhập thực tế công nhân ngành cao su” giả sử thu số liệu cho bảng sau: Bang 6.5 Thu nhap x (triệuđ/tháng) ba na 4,5 a9 số công nhân (Nj) 6,5 te 50.000 70.000 150.000 120.000 55.000 30.000 25.000 Tổng 500.000 Tần suất (p;) 0,10 0,14 0,30 0,24 0,11 0,06 0,05 1,00 Từ bảng 6.5 ta tính được: s Thu nhập trung bình cơng nhân r:gành cao su (trung bình tổng thể) là: H= 148 2,5x 0,1 +3,5x 14 + 4,5x 0,3 + 5,5x 0,24 + 6,5x 0,11 + + 7,5x 0,06 + 9x 0,05 = 5,025 triệu đồng/tháng ‘ Chương : Mẫu ngẫu nhiên e Phương sai thu nhập (phương sai tổng thể): ơ? = (2,5 - 5,025)? 0,1 + (3,5 - 5,025)? 0,14 + (4,5 - 5,025)” 0,3 + + (5,5 - 5,025)? 0,24 + (6,5 — 5,025)" 0,11 + (7,5 - 5,025)” 0,06 + + (9 — 5,025)" 0,05 = 2,496875 e Độ lệch chuẩn thu nhập (độ lệch chuẩn tổng thé): 2496875 = 1,58015 e Tỷ lệ cơng nhân có thu nhập cao ngành cao su (tỷ lệ tổng thể): Nếu ta co: cơng nhân có mức thu nhập từ 7,5 triệu đồng/tháng trở lên người có thu nhập cao tỷ lệ cơng nhân có thu nhập cao ngành cao su là: _ 30000 + 25000 500000 = 0,11 hay 11% 2- Khái niệm mẫu Để lập bảng cấu tổng thể để từ ta tính trung bình, phương sai tổng thể ta cần điều tra tồn N phần tử tổng thể Cách làm thực tế gặp phải khó khăn sau đây: e Phải chịu chi phí lớn tiền của, thời gian, nhân lực, phương tiện, Chẳng hạn, để thực tổng điều tra dân số người ta phải huy động hàng chục ngàn người tham gia phải tốn chi phí lớn cho điều tra e Có nhiều trường hợp điều tra phá hủy phần tử điều tra Do phương diện kinh tế khơng thể điều tra tồn Chẳng hạn: để kiểm tra hộp sữa nhà máy sản xuất ta khơng thể mở tất hộp sữa sản xuất để kiểm tra e Có trường hợp ta khơng thể xác định toàn N phân tử tổng thể Trường hợp thường xảy việc điểu tra vấn đề thuộc lĩnh vực xã hội học Chẳng hạn: điều tra người nghiện ma túy, trẻ vị thành niên phạm pháp, Trong trường hợp ta khơng thể tiến hành điều tra tồn cịn phận lớn phần tử tổng thể chưa phát nên khơng thể xác định tồn số phần tử tổng thể 149 Lý thuyết xác suất thống kê tốn Vì vậy, từ kỷ 17, phương pháp nghiên cứu mẫu đời, ngày phát triển sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Tư tưởng phương pháp mẫu sau: Từ tổng thể ta lấy n phân tử đo lường giá trị dấu hiệu X” chúng, n phần tử lập nên mẫu Số phần tử mẫu (n) gọi kích thước mẫu, thơng thường kích thước mẫu nhỏ nhiều so với kích thước tổng thể Vì ta có khả thực tế để thu thập, xử lý khai thác thông tin mẫu cách nhanh chóng, tồn diện Sử dụng phương pháp tốn học (đặc biệt lý thuyết xác suất), người ta tiến hành suy rộng kết nghiên cứu mẫu cho tồn tổng thể, mục đích cuối phương pháp mẫu Để đạt mục đích mẫu phải đại diện cho tổng thể Muốn vậy, lấy mẫu phải đảm bảo tính ngẫu nhiên, không chọn mẫu theo tiêu chuẩn chủ quan định trước Trong thực tế có nhiều cách lấy mẫu: 1- Lấy mẫu ngẫu nhiên: Ta đánh số phần tử từ đến N (N số phần tử tổng thể) Để có mẫu kích thước n, ta dùng bảng số ngẫu nhiên dùng cách bốc thăm để lấy cho đủ n phần tử vào mẫu Bằng cách này, phân tử tổng thể có khả chọn vào mẫu 2- Chọn mẫu giới: Các phần tử tổng thể đưa vào mẫu cách khoảng xác định Chẳng hạn, dây chuyển sản xuất, sau khoảng thời gian t lại lấy sản phẩm để đưa vào mẫu 3- Chọn mẫu cách phân lớp: Ta chia tổng thể thành số lớp theo tiêu phụ đó, cho phần tử lớp đồng Sau lấy ngẫu nhiên từ lớp số phần tử để đưa vào mẫu Cách chọn mẫu thường áp dụng phạm vi nghiên cứu rộng, số lượng phần tử tổng thể lớn Việc lấy mẫu tiến hành chủ yếu theo phương thức: a-_ Lấy mẫu có hồn lại (có lặp) 150 Chương : Mẫu ngẫu nhiên Phương pháp áp dụng tập hợp có phần tử Theo phương thức này, lần lấy vào mẫu phần tử Sau nghiên cứu ta trả lại phần tử vào tập hợp trước lấy phần tử Như vậy, với cách lấy này, phân tử xuất nhiều lần mẫu b- Lấy mẫu không hồn lại (khơng lặp) Theo cách lấy này, phần tử lấy nghiên cứu bị loại hẳn khỏi tập hợp Việc lựa chọn phương pháp lấy mẫu phụ thuộc vào mục đích, đối tuợng nghiên cứu điều kiện tiến hành Nhờ định lý giới hạn lý thuyết xác suất, người ta chứng minh rằng: Khi số phần tử tổng thể đủ lớn coi hai cách lấy mẫu có lặp khơng lặp Trong giáo trình này, để thuận tiện cho việc mơ hình hố ta giả thiết mẫu thành lập theo phương thức có lặp I- Mơ hình xác suất tổng thể mẫu Ta dùng cơng cụ tốn học để mô tả khái quát khái niệm: tổng thể, dấu hiệu nghiên cứu mẫu nêu phần Tức xây dựng mơ hình tốn học chúng 1- Đại lượng ngẫu nhiên gốc phân phối gốc Từ bảng (6.1) ta thấy mơ hình hố dấu hiệu X Ỷ đại lượng ngẫu nhiên Thật vậy, lấy ngẫu nhiên từ tổng thể phần tử gọi X giá trị dấu hiệu X” đo phân tử lấy X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất sau Pests X ess Dk xX XỊ Xà 110/25 Meta P DI Đồ St Beate Như dấu hiệu mà ta nghiên cứu (X”) mơ hình hóa đại lượng ngẫu nhiên X Phân phối xác suất X gọi phân phối gốc 151 Lý thuyết xác suất thống kê toán 2- Các tham số đại lượng ngẫu nhiên gốc a- Kỳ vọng toán: Với phân phối xác suất (6.5) X Theo định nghĩa, kỳ vọng toán X là: E(X)= xP; So sánh với (6 2) ta thấy trung bình tổng thể kỳ vọng toán đại lượng ngẫu nhiên X b- Phương sai: Theo định nghĩa phương sai ta có: Var(X) = Š`]x, ~ EQG)Ƒp, i=] Nhung E(X) = p, Do đó: k Var(X) = Ÿ`(x, —H)?p, i=l So sánh với (6.3) ta thấy phương sai đại lượng ngẫu nhiên X phương sai tổng thể: Var(X) = o 3- Mẫu ngẫu nhiên Giả sử lấy n phần tử từ tổng thể, tạo nên mẫu có kích thước n theo phương pháp có hồn lại Gọi X; giá trị dấu hiệu XỈ đo phần tử thứ ¡ ( = 1, 2, ,, n) Vì phần tử lấy theo phương thức có lặp nên X\, X¿, , Xa đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có phân phối xác suất giống với phân phối xác suất X Vậy n phần tử thuộc mẫu, gạt bỏ hình thức cụ thể, mơ tả n đại lượng ngẫu nhiên: Xị, X¿, , Xạ Do ta khái quát để định nghĩa mẫu ngẫu nhiên sau: Cho đại lượng ngẫu nhiên X với phân phối xác suất Một mẫu ngẫu nhiên kích thước n thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên X n đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có phân phối xác suất với đại lượng ngẫu nhiên X Ký hiệu mẫu ngẫu nhiên kích thước n xây dựng từ đại lượng ngẫu nhién X 1a: Wx = (Xj, 152 X2, , Xn) Chương : Mẫu ngẫu nhiên Thực phép thử mẫu ngẫu nhiên Wx, tức thực phép thử thành phần (X;) mẫu (trong thực tế thường lấy n phần tử cụ thể từ tổng thể) Giả sử X; nhận giá trị X¡ ( i = 1, 2, , n) Các giá trị Xị, Xạ, , Xn tạo thành giá trị mẫu ngẫu nhiên, hay gọi mẫu cụ thể Ký hiệu Wx = (Xị, X2, - ; Xn) Thí dụ I: Kết thi mơn tốn lớp gồm 50 sinh viên sau: Bảng 6.6 Điểm thi Số sinh viên có điểm tương ứng 15 | 13 L9 Gọi X điểm thi mơn tốn sinh viên chọn ngẫu nhiên danh sách lớp X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất sau: Bảng 6.7 X k 0,16 0,3 0,26 £ 0,18 0,1 Ta coi 50 sinh viên lớp tổng thể (kích thước tổng thể N = 50) Từ lớp ta lấy mẫu gồm học sinh Gọi X; (¡ = 1,5) điểm thi môn toán sinh viên thứ ¡ lấy vào mẫu Vậy ta có mẫu ngẫu nhiên kích thước n = xây dựng từ đại lượng ngẫu nhiên X: Wx xã (X\, X¿, X3, Xa, Xs) Thực phép thử mẫu ngẫu nhiên này, tức chọn ngẫu nhiên (có hồn lại) sinh viên lớp Giả sử điểm thi sinh viên thứ ; sinh viên thứ hai ; sinh viên thứ ba ; sinh viên thứ tư sinh viên thứ năm 4, ta có mẫu cụ thể là: Wx = (5, 9, 5, 7, 4) Thực phép thử khác Wx (tức chọn sinh viên khác lớp) ta lại mẫu cụ thể khác, chẳng hạn: W„x=(4, 7,9,9, 5) Nếu kích thước mẫu lớn, việc trình bày cách cụ thể kết quan sát không thuận tiện Trong trường hợp ta sử dụng khái 153 Lý thuyết xác suất thống kê toán niệm: giá trị cuả dấu hiệu X” (x;); tần suất x; (p;) nêu phần để trình bày mẫu cụ thể dạng bảng Để phân biệt với ký hiệu tổng thể Đối với mẫu ta dùng ký hiệu sau đây: n n¡ : Tần số Xị ; f¡= —- : Tần suất Xị n Thí dụ 2: Từ bảng (6.4) ta thấy thu nhập cơng nhân ngành cao su mơ hình hố đại lượng ngẫu nhiên X với bảng phân phối xác suất Sau: Bảng 6.8 Xx P co 3,5 4,5 su) 0,10 | 0,14 | 0,30 | 0,24 | 6,5 7,5 0,11 | 0,06 | 0,05 Trong thực tế ta thường chưa biết bảng (vì muốn có bảng ta phải điều tra thu nhập tồn 500.000 cơng nhân ngành cao su) Vì người ta dự định điều tra thu nhập 500 công nhân chọn số 500.000 cơng nhân tồn ngành cách ngẫu nhiên, có hồn lại Gọi X; “Thu nhập công nhân thứ ¡ đưa vào mẫu” (i= 1,500) Nhu vay ta có 500 đại lượng ngẫu nhiên: X\, Xạ, ,, Xsoo, độc lập, có phân phối xác suất với X Tức ta có mẫu ngẫu nhiên: Wx = (Xj, X2, Xsœ) xây dựng từ đại lượng ngẫu nhiên gốc X Thực phép thử mẫu Wx, tức điều tra thu nhập 500 công nhân cụ thể Giả sử kết điều tra cho bảng sau: Bảng 6.9 xs 2T 22 n | 50 | 75 L4 l5 |J75.-1 |105 | 160 | 60 | 40 85 10 Như vậy, bảng mẫu cụ thể (kích thước mẫu n = 500) chọn từ tổng thể có kích thước N = 500.000 154 Chương : Mẫu ngẫu nhiên Nếu điều tra thu nhập 500 công nhân khác ta lại có mẫu cụ thể khác (một giá trị khác) mẫu ngẫu nhiên Wx Như vậy, mẫu ngẫu nhiên phản ánh kết điểu tra thực nghiệm Bởi kết coi giá trị Tức khái quát thực nghiệm Quan hệ mẫu ngẫu nhiên mẫu cụ thể (hay giá trị nó) tương tự quan hệ đại lượng ngẫu nhiên giá trị nhận _4-Phương pháp mô tả số liệu mẫu a-_ Mô tả mẫu bảng phân phối tân số thực nghiệm: Bảng 6.10 Xi XỊ X2 ij ni n2 Xk Seiad nk eer k DGi vdi bang trén, ta luéncé: Dn, =n i=l b- Mô tả mẫu bảng phân phối tân suất thực nghiệm: Bảng 6.11 Xi XI X2 fi fj f2 Xk giải ghẻ fy Ti N: k Trong đó: f, =— Đối với bảng trên, ta ln có: Ð`f, = n i=l c- Để mô tả số liệu mẫu cách rõ ràng hơn, cho phép ta đưa nhận xét sơ ban đầu tổng thể, người ta xây dựng loại đồ thị khác phân phối thực nghiệm O Đa giác tần số: Là đường gãy khúc nối điểm (xạ, nị), (xạ, n2), - › (Xk, Nx) © Đa giác tần suất: Là đường gãy khúc nối điểm (xị, f1), (xa, f2), w+» (Xk, fy) Thí dụ: Vẽ đa giác tần suất phân phối thực nghiệm sau: 155 Lý thuyết xác $uất thống kê toán Xi fj 0,1 0,3 Ẫ 0,4 0,2 Đa giác tần suất có dạng: 0.45 ¬ 0.4 + tần suất 0.35 + 0.3 + 0.25 G2 * 0.15 0.14 a o> T = t 4 0.05 - X hình 6.12 Đa giác tần suất thường dùng để mô tả số liệu mẫu theo thời gian © Biểu đồ tần số: Khi dấu hiệu nghiên cứu có phân phối liên tục, khoảng chứa giá trị quan sát mẫu chia thành số khoảng có chiểu dài h ứng với khoảng ta tính số quan sát thuộc khoảng này, tức tính tần số (n;) tương ứng với khoảng Biểu đô tần số biểu đồ dạng bậc thang tạo nên nhiều hình chữ nhật có đáy bing h va chiéu cao sit Lúc diện tích hình chữ nhật bằng: hột =n, Vậy điện tích tất hình chữ nhật kích thước mẫu n Tương tự, biểu đồ tần suất biểu đổ dạng bậc thang tạo nên nhiễu hình chữ nhật có đáy h có chiểu cao nh Lúc diện tích hình chữ nhật thứ ¡ bằng: ho nhật 156 =f, Vậy diện tích tất hình chữ Chương : Mẫu ngẫu nhiên Thí dụ: Vẽ biểu đồ tần suất phân phối thực nghiệm cho bảng sau: Xi —Xi+I 5—10 10-15 15 — 20 20-25 Nj nj, h 0,8 1,2 16 | 3,2 36 | 7,2 Xi — Xi+l Nj 25 — 30 30 — 35 35 — 40 24 10 nhị h 4,8 2,0 0,8 Biểu đồ tần suất có dạng sau: Hinh 6.13 © Biểu đồ hình bánh xe: Đối với dấu hiệu định tính người ta thường mơ tả số liệu mẫu biểu đồ hình bánh xe Đó hình trịn chia thành phần tương ứng với tỷ lệ phận mẫu Thí dụ: Điều tra ngẫu nhiên 100 khách hàng doanh nghiệp thấy khách hàng phân chia theo tỷ lệ sau tầng lớp xã hội: (bảng 6.14) 157 Lý thuyết xác suất thống kê toán Bảng 6.14 Tầng lớp xã hội | Số khách hàng Công nhân Nông dân Thương nhân 35 40 15 Tổng số 100 Trí thức 10 Tỷ lệ 0,35 0,40 0,15 0,10 1,00 Biểu đồ hình bánh xe phản ánh cấu 100 khách hành sau: công nhân trí thức 10c thương nhân 5% nơng dân 40% hình 6.15 Đơ thị phân phối mẫu vẽ dễ dàng ta sử dụng phần mềm thống kê Excel, SPSS, HI- Các tham số đặc trưng mẫu Khi nghiên cứu mẫu, người ta thường quan tâm đến tham số đặc trưng sau đây: 1- Trung bình mẫu a- Định nghĩa: Cho mẫu ngẫu nhiên kích thước n, xây dựng từ đại lượng ngẫu nhiên X: Wx = (X\, X¿, , Xạ) Trung bình mẫu ngẫu nhiên (ký hiệu X) định nghĩa: pie Ae X=— DX, i=] 158 (6.16) Chương : Mẫu ngẫu nhiên Do Xị, X¿, , Xạ đại lượng ngẫu nhiên, theo định nghĩa X hàm n đại lượng ngẫu nhiên Xị, Xạ, , Xa nên X đại lượng ngẫu nhiên Nếu có mẫu cụ thể: (ký hiệu x) Wx = (XỊ, X¿, , Xn) ta tính giá trị + x tính theo công thức: x= + Sx n i=l{ (6.17) Như x giá trị X, đồng thời trung bình mẫu cụ thể Wx =(Xị, X2 - Xp) b- Tính chất: Nếu đại lượng ngẫu nhiên gốc X có kỳ vọng tốn: E(X) =p phương sai: Var(X) = ơˆ thì: E(X)=p Var(X)=ơ7n Thật vậy, theo tính chất kỳ vọng tốn, ta có : pm =#{2 i=l x, )-2Ly Ex, )=— np = LL N j=! Để ý đại lượng ngẫu nhiên X; độc lập, có phân phối xác suất với đại lượng ngẫu nhiên gốc X Theo tính chất phương sai thì: var(X) = Var{ ¥x, |- = Dvar(X,)=—p-n9of =o i=l i=l Như vậy, qui luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên gốc nào, thống kê X có kỳ vọng toán kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên gốc [E(X)= E(X)] Còn phương sai X nhỏ phương sai đại lượng ngẫu nhiên gốc n lần Nghĩa giá trị có Xổn định quanh kỳ vọng giá trị có X 159 Lý thuyết xác suất thống kê toán Nếu lấy bậc hai var(X) ta độ lệch chuẩn o(X) phan ánh sai số ước lượng người ta thường gọi sai số chuẩn, ký hiệu se(X) Vậy: se(X) = 0(X) = +jvar(X) = T n Ở ta giả thiết mẫu rút từ tổng thể theo phương thức có hồn lại Nếu kích thước tổng thể vơ hạn kích thước tổng thể hữu hạn n > 0,1N lấy mẫu khơng hồn lại mà khơng ảnh hưởng đến kết Trường hợp n < 0,1N công thức phải sử dụng hệ số điều chỉnh mẫu khơng lặp Khi ta có: var(X)= NT se(X)= NT (6.18) Thí dụ: Xem tổng thể tập hợp gồm công ty A, B, C, D, E với lợi nhuận (tỷ đồng/năm) là: 29, 31, 32, 33, 36 Lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước n = từ tổng thể Tính kỳ vọng tốn phương sai trung bình mẫu ngẫu nhiên hai trường hợp: a- Chọn mẫu có lặp; b- Chọn mẫu khơng lặp Giải: a) Trường hợp chọn mẫu có lặp: Gọi X lợi nhuận công ty chọn ngẫu nhiên từ tổng thể gồm công ty A, B, C, D, E Phân phối xác suất X sau: X P 29 0,2 31 0,2 32 0,2 33 0,2 36 0,2 Từ bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên X, ta tính được: E(X) = 0,2(29 + 31 + 32 + 33 + 36) = 32,2 Vay: Var(X) = 0,2(297 + 317 + 327 + 337 + 362) - (32,2)? = 5,36 a E(x) = E(X) = 32,2; var(X) = 5,36/4 = 1,34 a) Trường hợp chọn mẫu không lặp: Có C‡ = cách chọn mẫu Các trường hợp xảy ra, giá trị trung bình mẫu (X) nhận xác suất tương ứng cho bảng sau: 160 mm Chương : Mẫu ngẫu nhiên Bảng 6.19 Công ty | — Chọn vào mẫu A,B,C,D A,B,C,E AC DE Mẫu cụ thể Wx = (29, 31, Wx = (29, 31, Wx = (29, 32, Wx = (29, 31, A, B,D, E B, C, D, E Giá trị X 32, 33) 32, 36) 33, 36) 33, 36) Xác suất Tương ứng_ 31,25 32 32,5 32,25 Wx = (31, 32, 33, 36) 33 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 Từ kết bảng trên, ta tính được: E(X) = 0,2(31,25 + 32 + 32,5 + 32,25 + 33) = 32,2 Var(X) =0,2[G1,25) + (32)? + (32,5)? + (32,25)? + (33)”] - (32,2)? = 0,335 Ta tìm kết cách áp dụng công thức: var(X == £ n 5-1) 928 0,335 c- Phân phối xác suất x Phân phối xác suất trung bình mẫu phụ thuộc vào phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên gốc Người ta chứng minh rằng: Nếu X có phân phối chuẩn Nu ; ø) X có phân phối chuẩn Nu ; /n) 2- Phương sai mẫu a- Định nghĩa: Cho mẫu ngẫu nhiên Wx = (X\, Xạ, , Xa) Phương sai (ký hiệu S”) định nghĩa: ?=—— i=l -X” (6.20) Trong X 1a trung bình mẫu ngẫu nhiên * Chú ý: Theo định nghĩa trên, ta thấy phương sai mẫu ngẫu nhiên hàm n đại lượng ngẫu nhiên X\, X¿ạ, , Xạ ngẫu nhiên nên sĩ đại lượng 161 Lý thuyết xác suất thống kê tốn w Xn) = (Xị, Xạ, , Nếu có mẫu cụ thể: Wx s nhận giá trị: (6.21) Jã vn, S” gọi phương sai mẫu cụ thể b- Tính chất S” Do SŸ đại lượng ngẫu nhiên nên ta tính E(S”) Giả sử: EŒ®) = L ; Ta có: Var(X) = ơ? - XỶ =|(X, =w)~@~M)] = (Xj —p)? -2(X-p).(X, =u)+(ŒX—H)” Do đó: —p)? -2(X-p)—“YX, —p)+(X-p)’ “dX, -XỶ= 2S N j=1 i=l N j=1 Vi: xứ Nén: —H)=—Tà X -p=X-p 2X —w)— PK, -H) = 2K -n)? i=l Do đó: xứ -X)? = “YX, —)? -(X-p)’ casgnbe-s]x|2ltbe-x] N i=l j=1 = - oS ox —w)” -&~)| 162 i=l Chương : Mẫu ngẫu nhiên = TH SP suy -E|X-m'} i=l E(X) = k (Vi) nên E(Xị— u)”= Var(X;) = Var(X) = 0” E(X)=p nên E[CX—)?]= Var(X) = ơn Do đó: Như vậy, kỳ vọng tốn phương sai mẫu phương sai đại lượng ngẫu nhiên gốc X c) Định lý : Giả sử X ~ N(u, 0”) Wx = (Xị, Xạ, , Xa) mẫu ngẫu nhiên kích thước n thành lập từ X Khi đó: ‘ RE xs (n pe ass oe => d) Dinh lý 2: X ~N(p, “ 0”) thi ~ x? (n) Sec ze X-h ~-Tời~Í S/Vn a e) Thí dụ: Quan sát số gia đình khu thị Gọi X số hộ gia đình Cho biết bảng phân phối xác suất X sau: X Ẻ 0,2 0,3 Z 0,5 Từ bảng phân phối xác suất X ta dễ dàng tính E(X) = p = 1,3 va Var(X) = œ? =0,61 Goi Wx = (Xi, X2) 14 mẫu ngẫu nhiên chiều thành lập từ X Các đại lượng ngẫu nhiên X\, X¿ độc lập, có phân phối xác suất giống X 163 Lý thuyết xác suất thống kê tốn Đối với mẫu này, ta có phương sai mẫu: =x, aX)? +(X, -x)?| Bang sau liệt kê giá trị S” xác suất tương ứng Bang 6.22 : Mẫu cụ thể Giá trị S7 Xác suất tương ứn Wx = (0; 0) Wx = (0; 1) 0,5 0,04 0,06 05 Wx = (0; 2) Wx = (1; 0) Wx=(1; 1) — 0,1 Wx=(1;2) 0,5 0,06 0,09 0,15 Wx = (2; 1) 0,5 0,15 Wx = (2; 2) 0,25 Wx = (2; 0) 0,1 Trong bảng trên, xác suất tương ứng tính sau: P(X; = 0, X2 = 0) = P(X; = 0)P(X2 = 0) = 0,2 x 0,2 = 0,04 P(X; = 0, X2 = 1) = P(X; = 0)P(X2 = 1) = 0,2 x 0,3 = 0,06 Bảng phân phối xác suất SỂ: s? P Vậy: 0,5 038 | 0442 | 02 E(S?) = 0x 0,38 + 0,5x 0,42 + 2x 0,2=0,61 = ở” 3- Độ lệch chuẩn mẫu Độ lệch chuẩn mẫu ngẫu nhiên (ký hiệu S) bậc hai phương sai mẫu: | S= 164 VS’ (6.23) Chương : Mẫu ngẫu nhiên Nếu có mẫu cụ thể độ lệch chuẩn mẫu cụ thể giá trị S (ký hiệu $): a (6.24) 4- Tỷ lệ mẫu Từ tổng thể gồm N phân tử, có M phần tử có tính chất A Ta lấy ngẫu nhiên n phần tử vào mẫu (lấy theo phương thức có hoàn lại) Gọi X; ( =1, 2, n) số phần tử có tính chất A lần lấy phần tử thứ ¡ vào mau X; (i= 1, 2, , n) đại lượng ngẫu nhiên nhận hai giá trị: X; nhận giá trị phần tử thứ ¡ lấy vào mẫu tính chất A; X¡ nhận giá trị phần tử thứ ¡ lấy vào mẫu có tính chất A Tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên (ký hiệu F) định nghĩa sau:_ F= TY, N j=1 (6.25) Vi Xj (i = 1, 2, , n) đại lượng ngẫu nhiên, F hàm dai lượng nên F đại lượng ngẫu nhiên ngẫu nhiên * Chú ý: Nhìn vào biểu thức định nghĩa F ta thấy giống với biểu thức định nghĩa X Thực chất F trung bình mẫu ngẫu nhiên Wx = (X\, X¿, , Xa) Mẫu ngẫu nhiên thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên gốc X (X số phần tử có tính chất A có phần tử chọn ngẫu nhiên từ tổng thể) Nếu có mẫu cụ thể, ta tính giá trị F (ký hiệu f) tà + (6.26) Trong nạ tổng số phần tử có tính chất A có mẫu cụ thể; n kích thước mẫu Như f giá trị F tỷ lệ phần tử có tính chất A mẫu cụ thể 165