Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Phần 1 - NXB Kinh tế

eT —— TRUONG DAI HOC KINH TE TP HO CHi MINH KHOA TOAN- THONG KE HOANG NGOC NHAM / + -_ Lý thuyết XÁC SUẤT VA THỐNG KÊ TOÁN NHA XUAT BAN KINH TE TP HO CHi MINH MUC LUC A incl Pics Trang PHAN I: LY THUYET XAC SUAT Chương 1: Xác suất biến cố cơng thức tính xác suất 2E 1/22 T7 c2 li Tiếp th Mai biến cố ah II- M6i quan giifa C4c BIEN CO ooo coc cocceccosesseseeseesceseeeeseeceeccece cate HI- Xác suất biến cố cách tính xác suất À 22th Hs 14 ISR 2345- 01x Định ñehia Định nghĩa Định nghĩa Nguyên lý (cauñ!: .s .< 14 cổ điển xác suất: .02 thống kê xác suất S0 nerare xác suất theo lối tiên đề Bes ei oa ists ected xác suất nhỏ xác suất lớn 2221252552870 nen 14 24 25 26 X+ Cũng lufc cộng xếp sUất ố 27 V= Cone Gite Wahi xtc onde Xu oxi TC 30 vi iS cha “ 34 VI: CN Đức xát suất4ávđ@f : 5- 36 VHI- Công thức Bayes sesordussesesansesnesapscaneatisncenesgnecessanessuecentcnetansracqedetaesbbcractntaeh 37 Peel Palate tS sae ee a ee ge 40 Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên phân phối xác suất 44 I- Định nghĩa phân loại đại lượng ngẫu nhiên 44 II- Phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên t2 cự 45 HII- Các tham số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 22222, 52 On “HH ĐO ẾN G202 22002026 512001620606 222% 52 Nha 260 122x012 sei 57 3-Ð6 Min - -60 #- Giá nu Giáp Nhất = .: 60 5- Một số tham số đặc trưng khác 221.220 S122 2201 ccg 61 Bai tap ChUGN a csssssnsstssentnrntnsentsesneestsisnnaensenenennsenesnnnsennevennenneieeet 66 Chương 3: Một số qui luật phân phối xác suất thông dụng 71 senenns A&-J I- Phan phoii bij the oo cssssssesseesenseennntereseereensennennennenneantanerntamanessoevarunte cco 75 ERE o II- Phân phối Poisson Nh hấu, 79 III- Phân phối siêu bội . Sa 0/02: 41g 88Adu-0EE 83 IV- Phân phối chuẩn -2 2n V- Phân phối aa ROS 2D | So See Trong 02a SN 95 sce nenernenettesnescntsrsrnemenenennanienntrbttaabesecsteienectteiinna 96 VI Phan phOi 110i VII- Phan phi chi-binh phuang 0000-onesnnenntnennntntuninnnnintinnnnnnnen 98 - 101 stamens tre - -2292 VIII- Phân phối Student nen222ssn 102 IX- Phân phối Fisher Snedecor -2 Bài tập chương - . -2 —n si 147965ãnl 105 Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều- Hàm đại lượng ngẫu nhiên 111 atk ngẫu nhiên chiều Coy đại lượng ngẫu nhiên chiều đại lượng ngẫu nhiên hai chiều diéu kién va ky vọng tốn có diéu kién V- Hàm đại lượng ngẫu nhiền ' I- Khái niệm đại lượng II- Phân phối xác suất III- Các tham số đặc trưng IV- Phân phối xác suất có 22 ca bố n6 cau 17 111 112 118 121 124 130 Chương 5: Hàm đại lượng ngẫu nhiên luật số lớn 136 I- Các dạng hội tụ dãy đại lượng Ed II- Bất đẳng thức Chebyshev SỐ NM.: re 64 ee .-: sepopiton 136 acon 137 138 "21 138 TU 142 ố số 0101 s ke 1x eeexe 145 0000 -.-Q 2.2222 6c Bài tậpP Chương PHAN Il: THỐNG KÊ TOÁN Chương 6: Mẫu ngẫu nhiên CS Meee VA MA Sis tae ee ss ee II- Mơ hình xác suất tổng thể mẫu HI- Các tham số đặc trưng mẫu 1S IV- Phương pháp tính tham s6 dic trung cla mau Ly S5 ` .: KH ph 1k - cv 146 146 151 158 166 171 174 Chương 7: Ước lượng số đặc trưng tổng thể 178 I- Các phương pháp tìm ước lượng điểm 4x ƑNH hà phản KHoảNg du dây 22222 ee I - Mô tả phương pháp khoảng tin cậy 1E 178 183 183 - Ước lượng trung bình tổng thể 1S I84 - Ước lượng tỷ lệ tổng thể 189 - Ước lượng phương sai tổng thể 191 Scauansen Kick Unme mae er ae 194 - Xác định độ tin Ẻ - EM 195 sale na ` 196 Chương 8: Kiểm định gia thiét théngké 204 Gv lì.„ TC ot Ne eS Bo aaa 204 II- Kiểm định giả thiết: phương pháp khoảng tin cậy 210 III- Kiểm định giả thiết trung bình no ĐỂ 2a 211 IV- Kiểm định giả thiết p-value SE 219 Ý- TH tắc tụ xà Tìm lai Ye 223 VI- Kiểm định giả thiết tỷ lệ tổng thể EEce 226 VII- Kiểm định giả thiết hai trưng bình: .2 227 VII- Kiểm định giả thiết hai tỷ lệ 229 IX- Kiểm định giả thiết phương sai tổng thể .22 231 X- Kiểm định giả thiết hai phương sai XI- Kiểm định giả thiết phân phối xác suất rrr ọnhhnrrieerirrrrirr 2-55ẰS đại lượng ngẫu nhiên XI- Kiểm định giả thiết tính độc lập Bài tập chương MỘT SỐ ĐỀ THỊ THAM KHẢO 251 Phụ lục 1: Hướng dẫn sử dụng số hàm Excel - 283 Phụ lục 2: Bảng giá trị hàm Laplace 289 Phụ lục 3: Bảng giá trị x¿ 290 Phụ lục 4: Bảng giá trị t„ Phụ lục 5: Bảng giá trị F,(n,,n,) 294 298 FS Thuy lK adidas Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Dựa thành tựu lý thuyết xác suất, thống kê toán khoa học định sở thông tin thu thập từ thực tế Hơn 300 năm phát triển, đến nội dung phương pháp xác suất thống kê phong phú áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Vì việc học tập, nghiên cứu môn xác suất thống kê trở thành nhu cầu thiếu sinh viên nhiều trường đại học Để đáp ứng yêu câu nâng cao chất lượng đào tạo, đáp ứng đồi hỏi kinh tế thị trường tạo điều kiện thuận lợi để sinh viên trường học môn xác suất thống kê Chúng biên soạn “Lý ¿huyết xác suất thống kê toán” Qua sách hy vọng giúp bạn sinh viên đạt kết cao học tập, nghiên cứu môn học ứng dụng phương pháp xác suất thống kê cơng việc sau Cuốn sách gồm ba phần chia làm tám chương xếp theo thứ tự chặt chẽ nhằm giúp cho sinh viên hiểu rõ khái niệm, công thức phương pháp xác suất để nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Những tượng thường gặp kinh tế, đặc biệt kinh tế thị trường Trang bị phương pháp thống kê toán như: Phương pháp mẫu để thu thập xử lý thông tin, phương pháp ước lượng, phương pháp kiểm định giả thiết thống kê Các phương pháp ngày coi công cụ thiếu “hộp đổ nghề” nhà kinh tế Ngoài sách giúp nâng cao lực tư duy, khả độc lập nghiên cứu sinh viên Đối với nhà kinh tế nhà quản trị doanh nghiệp, biết thu thập nắm vững phương pháp xử lý thông tin kinh tế xã hội u cầu khơng thể thiếu Tốn học nói chung, xác suất thống kê nói riêng cơng cụ nghiên cứu kinh tế hữu hiệu Đối với sinh viên, mục tiêu cuối việc học toán sử dụng công cụ vào công việc tương lai Do sách viết theo quan điểm thực hành, trọng việc áp dụng xác suất thống kê toán vào thực tế việc trình bày vấn để có tính chất túy lý thuyết Ngoài đối tượng bạn đọc sinh viên trường Đại học Kinh tế, sách giúp ích cho tất cơng việc, nghiên cứu phải xử lý số lượng lớn thông tin, số liệu Cuốn sách chỉnh lý, sửa đổi số phần cho phù hợp với yêu cầu trình độ tiếp thu sinh viên Đồng thời sách cán giảng dạy mơn Tốn Kinh tế , Khoa Tốn - Thống kê trường Đại học Kinh tế thành phố Hồ Chí Minh góp ý song khơng thể tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong bạn doc gan xa góp ý, bổ sung để sách ngày có chất lượng cao đáp ứng ngày tốt nhu cầu nghiên cứu, học tập sinh viên Nhân địp xin chân thành cảm ơn tất đóng góp vào nội dung tổ chức cho sách mắt bạn đọc Thành phố Hồ Chí Minh 8/2012 Tác giả Chương 1: Xác suất biến cố cơng thức tính xác suất PHẨN I LY THUYET Xác SuấT Chương XÁC SUẤT CỦA BIẾNCỐ _ VÀ CÁC CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT I Phép thử loại biến cố Việc thực điều kiện định để quan sát, nghiên cứu đối tượng hay tượng gọi phép thử Phép thử công việc đơn giản tung đồng xu, tung súc sắc hay kiểm tra sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng Phép thử cơng việc phức tạp r hiên cứu công nghệ sản xuất hay nghiên cứu loại giống trồng Khi thực phép thử ta thường biết trước kết xảy Khi thực phép thử, có nhiều kết xảy Có kết đơn 00, giản, có kết phức hợp Chẳng hạn, quay xổ số, ta quan tâm tới hai số cuối, xuất số từ 01, ,, 98, 99 kết đơn giản nhất; đó, xuất số chấn, lẻ, đầu 5, đuôi 2, kết phức hợp (gồm nhiều kết đơn giản hợp thành) Kết đơn giản gọi biến cố sơ cấp Tập hợp tất biến cố sơ cấp gọi không gian biến cố sơ cấp (không gian mẫu) Mỗi tập không gian biến cố sơ cấp gọi biến cố Ta thường dùng: œ để ký hiệu biến cố sơ cấp; © để ký hiệu khơng gian biến cố sơ cấp; A,B,C, Ai, A2, , An, để ký hiệu biến cố Lý thuyết xác suất thống kê toán Để minh họa, ta xét phép thử có số kết đơn giản hữu hạn vô hạn đếm được: œ„, (;, Theo trên, œy gọi biến cố sơ cấp, cịn tập hợp © = {œ\, (œ;, } khơng gian biến cố sơ cấp Thí dụ: 1- Gieo súc sắc thực phép thử Không gian biến cố sơ cấp phép thử là: Q= {@1, 032, (3, (4, Ws, (6 } đó: (¡ (¡ = 1, 2, , 6) kết súc sắc xuất mặt¡ chấm Gieo hai súc sắc Không gian biến cố sơ cấp phép thử Q = {@11, @12, -.+, M65, (66 } đó: @j (¡,j = 1, 2, , 6) kết súc sắc thứ xuất mặt ¡ chấm súc sắc thứ hai xuất mặt j chấm (phép thử có 36 biến cố sơ cấp) Trong không gian biến cố sơ cấp, ta gọi tập A c Ô biến cố Như vậy, biến cố xảy phép thử gắn liền với thực Trong thực tế, ta gặp loại biến cố sau : e Biến cố chắn : biến cố định xảy thực phép thử Biến cố chắn ký hiệu Q e Biến cố : Là biến cố định không xảy thực phép thử Biến cố ký hiệu Ø e Biến cố ngẫu nhiên : Là biến cố xảy khơng xây thực phép thử Người ta quy ước dùng chữ đứng đầu bảng (chữ in hoa) để ký hiệu cho biến cố ngẫu nhiên Chẳng hạn: A, B, Dy At, ass eg BORO Bs, Bae i De Thí dụ: Một kiện hàng có 10 sản phẩm, có sản phẩm loại I sản phẩm loại II Chọn ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm để kiểm tra Biến cố “có sản phẩm loại I sản phẩm lấy kiểm tra” biến cố chắn Biến cố “có sản phẩm loại I sản phẩm lấy kiểm tra” 10 ae là: Chương 1: Xác suất biến cố cơng thức tính xác suất biến cố khơng thể Biến cố “có sản phẩm loại I sản phẩm lấy kiểm tra” biến cố ngẫu nhiên II- Mối quan hệ biến cố Khi giải toán lý thuyết xác suất ta thường phải diễn tả biến cố phức hợp theo biến cố đơn giản Để làm điều ta cần nghiên cứu mối quan hệ biến cố thể qua định nghĩa đây: Định nghĩa 1: Biến cố A gọi kéo theo biến cố B, ký hiệu A cB, A xảy B xẩy Thí dụ : Tung súc sắc, gọi A biến cố súc sắc mặt B biến cố súc sắc mặt chắn, Ac B Định nghĩa 2: Hai biến cố A B gọi hai biến cố ương đương, ký hiệu A = B, A c B B c A Xác suất biến cố tương đương Tức là: A = B thì: P(A) la xác suất biến cố A P(A) = P(B) Thí dụ: Tung súc sắc, biến cố “'súc sắc mặt chắn” biến cố “'súc sắc mặt mặt mặt 6” hai biến cố tương đương Định nghĩa 3: Tổng hai biến cố A B biến cố, ký hiệu A 1B A + B, biến cố xảy có hai biến cố A, B xắy Tổng quát: Tổng n biến cố Aj, Aa, , An biến cố, biến cố xảy có n biến cố A\, À¿, , An xẩy Để ký hiệu tổng n biến cố ta sử dụng ký hiệu sau: Ai A¿Ở OAn,hay | JA, i=l Ai+A¿+ + Án, hay 3A, i=l Thi dụ: Xét phép thử quan sát hai xạ thủ bắn vào bia (mỗi xa thủ bắn viên đạn) Gọi A biến cố “xạ thủ thứ bắn trúng bia”, B ll Lý thuyết xác suất thống kê toán biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”, C biến cố “bia trúng đạn” Rõ ràng C xảy có hai biến cố A, B xảy Vậy: C=AUB Định nghĩa 4: Tích hai biến cố A B biến cố, ký hiệu A ¬ B AB, biến cố xảy A B xảy Tổng quát: Tích n biến cố Aạ, A;, A„ biến cố, biến cố xảy n biến A, A¿, Aa xảy Để ký hiệu tích n biến cố ta dùng ký hiệu sau: Ain Aon An, hay (A, i=l Ai Aa ea" Ag hay HA: i=l Thí dụ: Xét phép thử quan sát hai xạ thủ bắn vào bia (mỗi xạ thủ bắn viên đạn) Gọi A biến cố “xạ thủ thứ bắn trật”, B biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trật” C biến cố “ bia khơng trúng đạn” Ta thấy C tích A B Tức C = A.B Định nghĩa 5: Hai biến cố A B gọi xung khắc đồng thời xảy phép thử Tức AB = Ø chúng Tổng quát: Các biến cố A, A¿, , Aa gọi xung khắc đôi hai n biến cố xung khắc với Thí dụ: Khi kiểm tra sản phẩm, biến cố “có phế phẩm” biến cố “có phế phẩm” biến cố xung khắc Định nghĩa 6: Biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu A, A, A xung khắc A t2 A =Q@ Ta định nghĩa biến cố đối lập cách khác sau: Biến cố “ không xảy biến cố A” gọi biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu A Thí dụ: Kiểm tra sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng Biến cố “có sản phẩm tốt sản phẩm kiểm tra” biến cố “không có sản phẩm tốt sản phẩm kiểm tra” hai biến cố đối lập 12 Chương 1: Xác suất biến cố công thức tính xác suất Biểu đồ Venn Biến cố téng AUB Biến cố tích AfB 5e? A.B A,A đối lập xung khắc Các tính chất: Xét phép thử + có khơng gian mẫu Q; A, B, C biến cố: A(JB=BUA AMBFBONA A JÍB C) =(A B)(C C=At2B(UC AN(BAC)ZF(AAN B)NCZFANBNC AU (BN C)=(AAU BN (AU C) AN(BUC)=(AN BU (ANC) AUB=AnB ANB=AUB 13 Lý thuyết xác suất thống kê toán HI- Xác suất biến cố cách tính xác suất 1- Khái niệm xác suất Giả sử A biến cố phép thử Mặc dù tiến hành phép thử lần, ta khơng thể nói trước biến cố A có xảy hay khơng, ta thừa nhận rằng: Có số [ký hiệu P(A) tổn khách quan] đo khả xảy biến cố A Số phải 1(100%) A biến cố chắn, A biến cố không thể, A, B hai biến cố xung khắc thì: P(A U B) = P(A) + P(B) Vay: Xác suất biến cố số biểu thị khả xảy biến cố thực phép thử Tùy trường hợp cụ thể, ta tìm cách xác định P(A) cách hợp lý 2- Định nghĩa cổ điển xác suất Phần ta trình bày cách xây dựng mơ hình xác suất cho phép thử “đối xứng”, tung đồng xu hay gieo súc sắc chọn ngẫu nhiên k phần tử từ tập hợp có số hữu hạn phần tử a- Thí dụ: Tung súc sắc cân đối đồng chất Gọi A biến cố " súc sắc mặt chấn" Ta tìm xác suất biến cố A Khi tung súc sắc đặn đồng chất ta thấy có trường hợp xảy ra: Súc sắc mặt 1; mặt 2; ; mặt Những trường hợp có khả xảy (đối xứng nhau) Người ta thường gọi : trường hợp thỏa mãn điều kiện frường hợp (kết cục) đông khả Trong trường hợp đồng khả năng, ta thấy có trường hợp mà trường hợp xảy biến cố A xảy Đó trường hợp: súc sắc mặt 2; mặt 4; mặt Những trường hợp mà xảy làm cho biến cố A xảy gọi trường hợp fhuận lợi cho A Như mặt trực quan ta thấy khả xảy biến cố A : hay 0,5 Đó cách tính xác suất theo lối cổ điển b- Định nghĩa: Xác suất xảy biến cố A tỉ số số trường hợp thuận lợi cho A số trường hợp đồng khả xảy thực phép thử 14 ' Chương 1: Xác suất biến cố cơng thức tính xác suất Ký hiệu P(A) xác suất biến cố A m số trường hợp thuận lợi cho A n số trường hợp đồng khả xảy phép thử Thì: tá) (1.1) n c- Các tính chất xác suất: Từ định nghĩa cổ điển xác suất, ta dễ dàng suy tính chất sau : Nếu A biến cố ngẫu nhiên thì: 0< P(A)