Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán phần 2

Chƣơng CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN 5.1 ĐỊNH NGHĨA Dãy ĐLNN {Xn} đƣợc gọi hội tụ theo xác suất tới ĐLNN X với   > 0, lim P  X n  X     Khi n  P ta ký hiệu: Xn  X 5.2 BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ-BƢ-SÉP Cho ĐLNN X có kỳ vọng E(X) phƣơng sai D(X) hữu hạn Khi với  > 0, ta có: D(X) D(X) P  X  E(X)      hay P  X  E(X)     (1)   Các bất đẳng thức (1) đƣợc gọi bất đẳng thức Trê-bư-sép Chứng minh: Giả sử X ĐLNN liên tục có hàm mật độ phân phối f(t) Theo tính chất hàm mật độ, ta có: P  X  E(X)     P  E(X)    X  E(X)     E(X)   f (t)dt E(X)    E(X)      f (t)dt   f (t)dt    E(X)     (2) t  E(X) 1 Mặt khác: t  E(X)    t  E(X)    2 2 t  E(X)  f (t)  f (t) (vì f(t)  0) 2 E(X)   Vì f(t)  nên  f (t)dt   E(X)     f (t)dt   E(X)      f (t)dt     f (t)dt   E(X)  f (t)dt  E(X)   E(X)    f (t)dt   f (t)dt   t  E(X) f (t)dt   t  E(X) f (t)dt    D(X) 2 78 (3) Từ (2) (3) suy ra: P  X  E(X)      D(X)  2 Về mặt thực tế bất đẳng thức Trê-bƣ-sép cho phép đánh giá cận cận dƣới xác suất để ĐLNN X nhận giá trị sai lệch so với kỳ vọng lớn bé thua  Đơi đánh giá hiển nhiên khơng có ý nghĩa Chẳng hạn, D(X)  2 bất đẳng thức hiển nhiên Song lại có ƣu điểm áp dụng đƣợc ĐLNN mà không cần biết quy luật phân phối xác suất Ví dụ Thu nhập trung bình hàng năm dân cƣ vùng 700 USD độ lệch chuẩn 120 USD Hãy xác định khoảng thu nhập hàng năm xung quanh giá trị trung bình 95% dân cƣ vùng Giải Gọi X thu nhập hàng năm dân cƣ vùng X ĐLNN với quy luật phân phối xác suất chƣa biết song có kỳ vọng tốn E(X) = 700 độ lệch chuẩn D(X) = 120 Do theo bất đẳng thức Trê-bƣ-sép, ta có: P  X  700      130  0,95    536,656 2 Vậy 95% dân cƣ vùng có thu nhập hàng năm nằm khoảng (700 – 536,656; 700 + 536,656), tức khoảng (163,344; 1236,656) 5.3 ĐỊNH LÝ TRÊ-BƢ-SÉP 5.3.1 Định lý Giả sử X1, X2, , Xn dãy ĐLNN độc lập đôi một, có kỳ vọng E(Xi) hữu hạn ( i  1,n ) phƣơng sai D(Xi) bị chặn số C (nghĩa D(Xi)  C, C số,  i  1,n ) Khi  > ta có: 1 n  n lim P   Xi   E(Xi )     n  n i 1  n i 1  n n 1 (P)   E(Xi ) Khi ta nói:  Xi  n i 1 n i 1 Chứng minh: 79 n 1 n  n Đặt Sn   Xi  E(Sn )  E   Xi    E(Xi ) n i1  n i1  n i 1 nC C 1 n  n D(Sn )  D   Xi    D(Xi )   n n  n i1  n i 1 Áp dụng bất đẳng thức Trê-bƣ-sép ĐLNN Sn, ta có: D(S ) C   0, P  Sn  E(Sn )      n    n C    lim P  Sn  E(Sn )     lim 1    n  n   n  Mà xác suất biến cố không vƣợt nên:   0, lim P  Sn  E(Sn )     n  1 n  n    0, lim P   Xi   E(Xi )      n  n i 1  n i 1  5.3.2 Hệ Giả sử X1, X2, , Xn dãy ĐLNN độc lập tuân theo quy luật phân phối xác suất với kỳ vọng E(Xi) =  phƣơng sai D(Xi) = 2 hữu hạn ( i  1, n ) Khi  > ta có: 1 n  lim P   Xi       n   n i 1  Qua hệ ta thấy n lớn trung bình cộng ĐLNN có kỳ vọng hầu nhƣ lấy giá trị xấp xỉ kỳ vọng chúng xấp xỉ tốt n lớn Điều có ý nghĩa thực tiễn lớn, chẳng hạn nhƣ muốn đo đạc đại lƣợng vật lý ta cần thực nhiều lần lấy trung bình cộng kết làm giá trị thực đại lƣợng Nội dung hệ sở cho phƣơng pháp đƣợc áp dụng thống kê phƣơng pháp mẫu mà thực chất dựa vào mẫu ngẫu nhiên để đến kết luận cho tổng thể đối tƣợng đƣợc nghiên cứu 5.4 ĐỊNH LÝ BERNOULLI 80 Định lý: Giả sử fn(A) tần suất xuất biến cố A n phép thử độc lập p xác suất xuất biến cố A phép thử Khi  > ta có: lim P  f n (A)  p     n  Chứng minh: Gọi Xi số lần xuất biến cố A phép thử thứ i, i  1, n Ta có: Xi  A xuất phép thử thứ i A không xuất phép thử thứ i Do đó: Xi  A(p) ( i  1, n )  p 1 p   E(Xi )  p;D(Xi )  p(1  p)     , i  1, n    D(Xi) bị chặn, i  1,n f n (A)  n 1 n  n X  E f (A)  E X    i n  n  i   n  E(Xi )  p n i1 i 1  i 1  Áp dụng định lý Trê-bƣ-sép cho dãy ĐLNN X1, X2, , Xn ta có: 1 n  n   0, lim P   Xi   E(Xi )     n  n i 1  n i 1   lim P  f n (A)  p      n  Định lý Bernoulli nêu lên hội tụ theo xác suất tần suất xuất biến cố n phép thử độc lập xác suất xuất biến cố phép thử số phép thử tăng lên vô hạn Do thực tế số phép thử tăng lên lớn ta lấy fn(A) làm giá trị xấp xỉ cho xác suất P(A) 5.5 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định lý Giả sử X1, X2, , Xn dãy ĐLNN độc lập tuân theo quy luật phân phối xác suất với kỳ vọng E(Xi) =  phƣơng sai D(Xi) = 2 hữu hạn ( i  1,n ) Khi đó: 81 X1  X   X n hội tụ theo xác n  2  suất tới ĐLNN có quy luật phân phối xác suất chuẩn N  ,   n  Đại lƣợng ngẫu nhiên X  n    X  hay đại lƣợng ngẫu nhiên U    n hội tụ theo xác suất tới    quy luật phân phối xác suất chuẩn hóa N(0, 1) n   Trong thực hành tính tốn, n > 30 ta xấp xỉ:  X   2  X N  ,  hay   n N  0,1  n     Ví dụ 1) Chọn ngẫu nhiên 192 số đoạn [0, 1] Tìm xác suất để tổng số điểm thu đƣợc X nằm khoảng (88, 104) Giải Ta coi nhƣ X  192  X , ĐLNN Xi độc i 1 i lập tuân theo quy luật phân phối U(0, 1) (1  0) 1  ,  i  1,192  0,5 ; D(Xi) = Từ ta có E(Xi) = 12 12  E(X) = 192.0,5 = 96 D(X) = 192/12=16   =  104  96   88  96  Vì P(88  X  104)         2    0,954     2) Cho biến ngẫu nhiên X  B(1000; 0,02) Tìm xác suất để X nhận giá trị khoảng (40, 50) 1000 Giải Có thể coi X   Xi , Xi độc lập có phân i 1 phối khơng A(0,02) Từ theo định lý giới hạn trung tâm suy X  N(, 2),  = np = 1000.0,02 = 20; 2 = np(1 – p) = 19,6  50  20   40  20   P(40  X  50)           6,77     4,51  0,5  4,999  19,6   19,6  = 0,001 82 BÀI TẬP CHƢƠNG Bài 5.1 Xác suất xuất sản phẩm loại kiểm tra sản phẩm 0,5 Gọi X số lần xuất sản phẩm loại tiến hành kiểm tra 100 sản phẩm Đánh giá xác suất biến cố (40 < X < 60) Đ/s: X  B(100; 0,5) Áp dụng BĐT Trê-bƣ-sép, ta có: 25 P(40 < X < 60) = P( X  50  10)    0,75 10 Bài 5.2 Cho X ĐLNN có E(X) = 1; D(X) = 0,04 Chứng minh rằng: a P(  X  )  0,84 2 b P(0  X  2)  0,96 Bài 5.3 Hãy tìm , biết X ĐLNN có D(X) = 0,01 thỏa mãn: P( X  E(X)  )  0,96 Đ/s: <   0,5 Bài 5.4 Gieo xúc xắc cân đối đồng chất n lần cách độc lập Gọi X số lần xuất mặt chấm Chứng minh rằng: n n  31 P  n  X   n   6  36 Bài 5.5 Giả sử tiền điện gia đình phải trả tháng ĐLNN với trung bình 16 USD độ lệch chuẩn USD Sử dụng bất đẳng thức Trê-bƣ-sép, xác định số M nhỏ để với xác suất 0,99 số tiền điện phải trả năm (12 tháng) không vƣợt M Đ/s: M = 226,64 Bài 5.6 Gieo xúc xắc 120 lần Tính xác suất để số lần xuất mặt chấm nhỏ 15 Biết xúc xắc cân đối đồng chất Đ/s: 0,113 83 Chƣơng LÝ THUYẾT MẪU 6.1 KHÁI NIỆM VỀ PHƢƠNG PHÁP MẪU Trong thực tế thƣờng phải nghiên cứu tập hợp phần tử đồng theo hay nhiều dấu hiệu định tính hay định lƣợng đặc trƣng cho phần tử Để nghiên cứu tập hợp phần tử theo dấu hiệu định, ta sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu toàn bộ, tức thống kê tồn tập hợp phân tích phần tử theo dấu hiệu nghiên cứu Ví dụ Nghiên cứu dân số nƣớc theo dấu hiệu nhƣ tuổi tác, trình độ văn hóa, địa bàn cƣ trú, cấu nghề nghiệp, tiến hành điều tra dân số phân tích ngƣời theo dấu hiệu từ tổng hợp thành dấu hiệu chung cho toàn dân số nƣớc Tuy nhiên, thực tế việc áp dụng phƣơng pháp nghiên cứu tồn gặp phải khó khăn chủ yếu sau: Nếu quy mô tập hợp lớn việc nghiên cứu tồn địi hỏi nhiều chi phí vật chất, thời gian đơi dẫn tới trùng bỏ sót phần tử nó; Có q trình nghiên cứu đối tƣợng bị thay đổi hình dạng, bị phá hủy, chúng khơng cịn giá trị sử dụng nữa, chƣa xác định đƣợc tất đối tƣợng Ví dụ Kiểm tra chất lƣợng kho hàng có 106 sản phẩm, ta khơng thể kiểm tra tất 106 sản phẩm; Để xác định tổng số ngƣời cịn mù chữ Việt Nam, ta khơng thể điều tra toàn dân số Việt Nam; Để tìm hiểu tâm lý ngƣời mắc bệnh truyền nhiễm HIV, ta khơng thể tìm hiểu hết ngƣời mắc bệnh HIV, cịn phận ngƣời mắc bệnh ta chƣa phát Vì thế, thực tế phƣơng pháp nghiên cứu toàn thƣờng đƣợc áp dụng với tập hợp có quy mơ nhỏ Đối với đối tƣợng nghiên cứu có số phần tử lớn ngƣời ta áp dụng phƣơng pháp nghiên cứu khơng tồn bộ, đặc biệt phƣơng pháp nghiên cứu chọn mẫu (gọi phương pháp mẫu) Phƣơng pháp chủ trƣơng từ tập hợp nghiên 84 cứu chọn số phần tử đại diện để nghiên cứu, khảo sát từ sở phƣơng pháp suy luận toán học ngƣời ta rút kết luận tính chất cần thiết dấu hiệu hay đặc điểm tập tất đối tƣợng nói chung Việc thu thập, xếp trình bày số liệu tổng thể mẫu gọi thống kê mơ tả Cịn việc sử dụng thông tin mẫu để tiến hành suy đoán, kết luận tổng thể gọi thống kê suy diễn Ví dụ Muốn khảo sát chiều cao trung bình niên Việt Nam có tăng lên so với trƣớc hay khơng, ta phải đo chiều cao tất niên Việt Nam Điều làm đƣợc nhƣng rõ ràng tốn nhiều thời gian, tiền bạc, công sức,… Do ta khảo sát khoảng triệu niên từ chiều cao trung bình triệu ngƣời này, ta suy chiều cao trung bình toàn niên Việt Nam 6.2 TỔNG THỂ VÀ MẪU Tập hợp có phần tử đối tƣợng mang dấu hiệu X mà ta cần nghiên cứu đƣợc gọi tổng thể Số phần tử tập hợp đƣợc gọi kích thước tổng thể, ký hiệu N Từ tổng thể ta chọn n phần tử n phần tử đƣợc gọi mẫu có kích thước n (gọi cỡ mẫu) Kích thƣớc mẫu thƣờng nhỏ nhiều so với kích thƣớc tổng thể Từ tổng thể ta lấy nhiều mẫu khác với kích thƣớc n Tập hợp tất mẫu lấy đƣợc từ tổng thể đƣợc gọi khơng gian mẫu Ví dụ Ở ví vụ 3, tổng thể tất niên Việt Nam, kích thƣớc mẫu triệu niên Việt Nam Ví dụ Cần đánh giá chất lƣợng nhà máy bia Hà Nội sản xuất tháng, ta đem mở hết tất chai bia để kiểm tra chất lƣợng, làm nhƣ khơng cịn bia để bán mà mở số chai bia đó, đánh giá chất lƣợng chai bia đƣợc mở để đƣa kết luận (mang tính tƣơng đối) cho chất lƣợng bia toàn nhà máy Số chai bia sản xuất tháng kích thƣớc tổng thể, số chai bia đƣợc mở kích thƣớc mẫu 85 Thay nghiên cứu tất phần tử có mặt tổng thể ta chuyển sang nghiên cứu phận tổng thể mẫu, mẫu phải đại diện cách khách quan cho tổng thể Để đảm bảo yêu cầu ngƣời ta đƣa phƣơng pháp chọn mẫu sau 6.3 CÁC PHƢƠNG PHÁP CHỌN MẪU 6.3.1 Phƣơng pháp chọn mẫu có lặp phƣơng pháp ban đầu lấy ngẫu nhiên phần tử từ tổng thể nghiên cứu, khảo sát phần tử ghi nhận kết sau trả lại phần tử cho tổng thể tiếp tục chọn phần tử thứ từ tổng thể, nghiên cứu, khảo sát ghi nhận kết quả, trả lại phần tử cho tổng thể, tiếp tục nhƣ chọn đƣợc phần tử thứ n Cách chọn có ƣu điểm phần tử chọn kết phép thử độc lập, thuận lợi cho việc xét điều kiện định lý tốn học, nhƣng có nhƣợc điểm phần tử mẫu lặp lại làm cho kích thƣớc mẫu giảm khơng thể áp dụng trƣờng hợp trình nghiên cứu phần tử chọn bị phá hủy cấu trúc 6.3.2 Phƣơng pháp chọn mẫu không lặp Từ tập hợp cần nghiên cứu, rút ngẫu nhiên phần tử, ghi lại đặc số cần thiết từ phần tử không trả phần tử tập hợp ban đầu Tiếp tục lấy tiếp ngẫu nhiên lần sau Ta nhận thấy với kích thƣớc n, số lƣợng mẫu trƣờng hợp lấy mẫu không lặp A nN , số lƣợng mẫu trƣờng hợp lặp Nn Khi N lớn nhiều so với n A nN Nn sai khác khơng đáng kể việc lấy mẫu có hồn lại gần giống nhƣ việc lấy mẫu khơng hồn lại Ví dụ Khi nghiên cứu số cá hồ tổng số cá hồ kích thƣớc tổng thể Từ hồ chọn ngẫu nhiên 10 cá thể cá đƣợc mẫu khơng hồn lại kích thƣớc 10 Nếu từ hồ chọn ngẫu nhiên cá thể cá thả xuống, sau tiếp tục chọn cá thể khác, tiến hành 10 lần nhƣ ta đƣợc mẫu có hồn lại kích thƣớc 10 86 6.4 MẪU NGẪU NHIÊN VÀ MẪU CỤ THỂ Khi nghiên cứu dấu hiệu X, X ĐLNN tuân theo quy luật phân phối xác suất Giả sử ta tiến hành n phép thử (quan sát) độc lập để xác định n giá trị mẫu Gọi Xi ĐLNN ứng với giá trị thu đƣợc phép thử thứ i ( i  1,n ) Các ĐLNN Xi độc lập với có phân phối với X, sau thực phép thử Xi nhận giá trị xi ( i  1,n ) 6.4.1 Định nghĩa Một mẫu ngẫu nhiên có kích thƣớc n n đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập, có phân phối xác suất với X, đƣợc ký hiệu W = (X1, X2, , Xn) Thực phép thử W = (X1, X2, , Xn) ta thu đƣợc mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) Nhƣ mẫu cụ thể giá trị mẫu ngẫu nhiên 6.4.2 Các ví dụ Ví dụ Khảo sát điểm thi mơn Tốn lớp Ta tiến hành quan sát sinh viên Khi dấu hiệu X cần nghiên cứu điểm mơn Tốn sinh viên, X ĐLNN Gọi Xi điểm Toán sinh viên thứ i (i = 1,…, 5), Xi ĐLNN có phân phối với X Khi W = (X1, X2, X3, X4, X5 ) mẫu ngẫu nhiên có kích thƣớc Trong lần quan sát mẫu ngẫu nhiên W, sinh viên thứ đƣợc điểm, sinh viên thứ hai đƣợc điểm, sinh viên thứ ba đƣợc điểm, sinh viên thứ tƣ đƣợc điểm, sinh viên thứ năm đƣợc điểm Khi w = (x1, x2, …, xn) = (5, 7, 4, 6, 5) giá trị cụ thể (hay gọi mẫu cụ thể) mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, X3, X4, X5 ) Ví dụ Gọi X ĐLNN "số sản phẩm làm tổ sản xuất nhà máy A tháng" X1, X2, X3 lần lƣợt ĐLNN "sản lƣợng tổ 1, 2, 3" Khi ta có mẫu ngẫu nhiên kích thƣớc n = W = (X 1, X2, X3),   tập w   x1 , x , x3  x i  Xi ,i  1,3 giá trị mẫu ngẫu nhiên W Chẳng hạn nhƣ w = (40, 30, 60) giá trị cụ thể mẫu W = (X1, X2, X3), mẫu cụ thể 87 Ta có: g= m  np0 140  200.0,9   9,428  U  1,64 np0 (1  p0 ) 200.0,9(1  0,9) Nên ta bác bỏ H0, chấp nhận H1; tức tỷ lệ nảy mầm kho bị giảm 135 BÀI TẬP CHƢƠNG Bài 8.1 Trong nhà máy bánh kẹo A, máy tự động sản xuất chocolate với trọng lƣợng quy định 250gram độ lệch chuẩn 5gram Trong ngày, phận kiểm tra kỹ thuật chọn mẫu ngẫu nhiên gồm 32 chocolate tính đƣợc trọng lƣợng trung bình chúng 248gram Hãy kiểm định giả thuyết H: “Trọng lƣợng chocolate máy tự động sản xuất quy định”, với mức ý nghĩa α = 0,05? Đ/s: Bác bỏ giả thuyết “Trọng lƣợng chocolate máy tự động sản xuất quy định” Bài 8.2 Trọng lƣợng sản phẩm nhà máy sản xuất (X) ĐLNN phân phối theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn kg trọng lƣợng trung bình 20 kg Nghi ngờ máy hoạt động khơng bình thƣờng làm thay đổi trọng lƣợng trung bình sản phẩm, ngƣời ta cân thử 100 sản phẩm thu đƣợc kết sau: Trọng lƣợng sản phẩm (kg) Số sản phẩm tƣơng ứng 19 10 20 60 21 20 22 23 Với mức ý nghĩa kết luận điều nghi ngờ với mức ý nghĩa 97% Bài 8.3 Trọng lƣợng quy định loại chi tiết 250 (gam) Giả sử trọng lƣợng tuân theo quy luật phân phối chuẩn N(µ, 25) Ngƣời ta lấy mẫu gồm 16 chi tiết tính đƣợc trọng lƣợng trung bình 244 gam Hãy kiểm định giả thiết H: µ = 250 với đối thiết K: µ < 250, với mức ý nghĩa 5% Bài 8.4 Trọng lƣợng loại gà trại chăn nuôi A xuất chuồng 3,62 kg/con Biết trọng lƣợng gà biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ; 0,01) Sau thời gian ngƣời ta cho gà ăn thức ăn cân thử 15 xuất chuồng thấy trọng lƣợng trung bình gà 3,69 kg/con Với mức ý nghĩa 2%, cho ý kiến kết luận: "Loại thức ăn tốt so với loại thức ăn trƣớc đây", hay sai? 136 Bài 8.5 Trọng lƣợng trung bình xuất chuồng trại chăn nuôi gà công nghiệp năm trƣớc 3,3 kg/con Năm ngƣời ta sử dụng loại thức ăn Cân thử 15 xuất chuồng, ta đƣợc số liệu sau (kg): 3,25; 2,5; 4,0; 3,8; 3,9; 4,02; 3,6; 3,8; 3,2; 3,82; 3,4; 3,75; 4,0; 3,5; 3,75 Giả sử trọng lƣợng gà ĐLNN phân phối theo quy luật chuẩn Với mức ý nghĩa 5% kết luận tác dụng loại thức ăn có thực làm tăng trọng lƣợng trung bình gà lên hay không Bài 8.6 Chiều cao giống X (m) vƣờm ƣơm ĐLNN có phân phối chuẩn Ngƣời ta đo ngẫu nhiên 25 giống có bảng số liệu: X (m) Số 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 Theo quy định vƣờn ƣơm cao m đem trồng Với mức ý nghĩa 5%, hỏi vƣờn ƣơm đem trồng đƣợc chƣa? Bài 8.7 Trong điều kiện ni bình thƣờng, lƣợng sữa trung bình bò 14 kg/ngày Nghi ngờ điều kiện chăn ni bị làm cho lƣợng sữa giảm xuống Ngƣời ta điều tra ngẫu nhiên 25 bò tính đƣợc lƣợng sữa trung bình ngày 12,5 kg độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh 2,5 kg Với mức ý nghĩa 0,05 kết luận điều nghi ngờ nói Giả thiết lƣợng sữa bị đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Đ/s: Lƣợng sữa bị có xu hƣớng giảm Bài 8.8 Năng suất trung bình giống lúa 47 tạ/ha Sau thời gian canh tác, ngƣời ta nghi ngờ giống lúa bị thối hóa, suất giảm Dựa vào mẫu kích thƣớc n = 25, suất trung bình mẫu 45,5 tạ/ha độ lệch mẫu điều chỉnh tạ/ha Hãy kết luận điều nghi ngờ nói với mức ý nghĩa 3% Cho biết suất giống lúa ĐLNN tuân theo quy luật chuẩn Đ/s: Giống lúa bị thối hóa Bài 8.9 Mức hao phí xăng (X) cho loại xe ô tô chạy đoạn đƣờng AB ĐLNN phân phối chuẩn có kỳ vọng tốn 50 lít Do 137 đƣờng đƣợc tu sửa lại, ngƣời ta cho mức hao phí xăng trung bình giảm xuống Quan sát 30 chuyến xe chạy đƣờng AB ta thu đƣợc bảng số liệu sau: Mức xăng hao phí (lít) Số chuyến xe 48,5-49,0 49,0-49,5 49,5-50,0 50,0-50,5 50,5-51,0 10 10 Với mức ý nghĩa 5% kết luận ý kiến nêu Đ/s: Có sở để kết luận mức xăng hao phí trung bình giảm xuống Bài 8.10 Để kiểm tra độ xác máy ngƣời ta đo ngẫu nhiên kích thƣớc 15 chi tiết máy máy sản xuất tính đƣợc s2 = 14,6 Với mức ý nghĩa 1% kết luận máy móc có hoạt động bình thƣờng khơng, biết kích thƣớc chi tiết ĐLNN phân phối chuẩn có dung sai theo thiết kế 2 = 12 Đ/s: Máy móc hoạt động bình thƣờng Bài 8.11 Từ mẫu kích thƣớc n = 15 rút từ tổng thể phân phối chuẩn ngƣời ta tìm đƣợc s2 = 144 Với mức ý nghĩa 1% kiểm định cặp giả thuyết: H0: 2 = 138; H1: 2 > 138 Bài 8.12 Trọng lƣợng gà lúc nở ĐLNN có phân phối chuẩn Nghi ngờ độ đồng trọng lƣợng gà bị giảm sút ngƣời ta cân thử 12 tìm đƣợc s2 = 11,41 gram2 Với mức ý nghĩa 5% kết luận điều nghi ngờ trên, biết bình thƣờng độ phân tán trọng lƣợng gà 2 = 10 gram2 Đ/s: Chƣa có sở để nghi ngờ độ đồng trọng lƣợng gà giảm sút Bài 8.13 Lô hàng đủ tiêu chuẩn xuất tỷ lệ phế phẩm không vƣợt 3% Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm lơ hàng thấy có 14 phế phẩm Với mức ý nghĩa 5% có cho phép lơ hàng xuất đƣợc không? Đ/s: Lô hàng đủ tiêu chuẩn xuất Bài 8.14 Tỷ lệ bệnh nhân khỏi bệnh T điều trị thuốc A 85% Thí nghiệm dùng loại thuốc B để chữa bệnh số 900 ngƣời mắc bệnh T có 810 ngƣời đƣợc chữa khỏi bệnh Nhƣ 138 kết luận thuốc B hiệu thuốc A hay không? Yêu cầu kết luận mức ý nghĩa 5% Đ/s: Có thể kết luận thuốc B hiệu thuốc A Bài 8.15 Tỷ lệ phế phẩm nhà máy trƣớc 5% Năm nhà máy áp dụng biện pháp kỹ thuật Để nghiên cứu tác dụng biện pháp kỹ thuật có làm giảm tỷ lệ phế phẩm hay không ngƣời ta lấy mẫu gồm 800 sản phẩm để kiểm tra thấy có 24 phế phẩm mẫu Với mức ý nghĩa 5% kết luận xem biện pháp kỹ thuật có thực làm giảm tỷ lệ phế phẩm tồn nhà máy khơng? Đ/s: Biện pháp kỹ thuật thực có tác dụng làm giảm tỷ lệ phế phẩm nhà máy Bài 8.16 Tỷ lệ phế phẩm nhà máy tự động sản xuất 5% Kiểm tra ngẫu nhiên 300 sản phẩm thấy có 24 sản phẩm phế phẩm Từ ý kiến cho tỷ lệ phế phẩm máy sản xuất có chiều hƣớng tăng lên Hãy kết luận ý kiến với mức ý nghĩa 5% Bài 8.17 Nếu áp dụng phƣơng pháp công nghệ thứ tỷ lệ phế phẩm 6%, cịn áp dụng phƣơng pháp cơng nghệ thứ hai 100 sản phẩm có phế phẩm Vì kết luận áp dụng phƣơng pháp cơng nghệ thứ hai tỷ lệ phế phẩm thấp tỷ lệ phế phẩm phƣơng pháp công nghệ thứ không? với mức ý nghĩa 5% Bài 8.18 Để kiểm tra loại súng thể thao, ngƣời ta cho bắn 1000 viên đạn vào bia thấy có 670 viên trúng mục tiêu Sau đó, cải tiến kỹ thuật ngƣời ta nâng đƣợc tỉ lệ trúng súng lên 70% Hãy cho kết luận việc cải tiến với mức ý nghĩa 1% Bài 8.19 Tỷ lệ học sinh tốt nghiệp phổ thơng năm ngối tỉnh A 94% Trong kỳ thi năm 100 em đƣợc chọn ngẫu nhiên có 87 em thi đỗ Với mức ý nghĩa 5% kết luận tỷ lệ học sinh thi đỗ tỉnh A năm thấp năm ngối khơng? 139 Bảng Giá trị hàm tích phân La-pla-ce  (u )  u t2 e dt 2 0 U 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0,00 0000 0398 0793 1179 1554 1915 0039 0438 0832 1217 1591 1950 0079 0477 0871 1255 1628 1985 0197 0517 0909 1293 1664 2019 0159 0557 0948 1331 1700 2054 0199 0596 0987 1368 1736 2088 0239 0636 1026 1406 1772 2123 0279 0675 1064 1443 1808 2157 0319 0714 1103 1480 1844 2190 0359 0753 1141 1517 1879 2224 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 2257 2580 2881 3159 3413 2291 2611 2910 3186 3438 2324 2642 2939 3212 3461 2357 2673 2967 3238 3485 2389 2704 2995 3264 3508 2422 2734 3023 3289 3531 2454 2764 3051 3315 3554 2486 2794 3078 3340 3577 2517 2823 3016 3365 3599 2549 2852 3133 3389 3621 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 3643 3849 4032 4192 4332 3665 3869 4049 4207 4345 3686 3888 4066 4222 4357 3708 3907 4082 4236 4370 3729 3925 4099 4251 4382 3749 3944 4115 4265 4394 3770 3962 4131 4279 4406 3779 3980 4147 4292 4418 3810 3997 4162 4306 4429 3730 4015 4177 4319 4441 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 4452 4554 4641 4713 4772 4463 4564 4649 4719 4778 4474 4573 4656 4726 4783 4484 4582 4664 4732 4788 4495 4591 4671 4738 4793 4505 4599 4678 4744 4798 4515 4608 4686 4750 4803 4525 4616 4693 4756 4808 4535 4625 4699 4761 4812 4545 4633 4706 4767 4817 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 4821 4861 4893 4918 4938 4826 4864 4896 4920 4940 4830 4868 4898 4922 4941 4834 4871 4901 4925 4943 4838 4875 4904 4927 4945 4842 4878 4906 4929 4946 4846 4881 4909 4931 4948 4850 4884 4911 4932 4949 4854 4887 4913 4934 4951 4857 4890 4916 4936 4952 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 4953 4965 4974 4981 4987 4955 4966 4975 4982 4987 4956 4967 4976 4982 4987 4957 4968 4977 4983 4988 4959 4969 4977 4984 4988 4960 4970 4978 4984 4989 4961 4971 4979 4985 4989 4962 4972 7979 4985 4989 4963 4973 7980 4986 4990 4964 4974 7981 4986 499 140 Bảng Giá trị phân vị Student t (n) Bậc tự n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 + Mức ý nghĩa  0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289 1,282 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980 1,960 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 3,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,358 2,326 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,617 2,576 318,309 22,327 10,215 7,713 5,893 5,208 4,785 4,501 4,397 4,144 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,396 3,385 3,307 3,232 3,160 3,090 636,620 31,060 12,920 8,610 6,870 5,960 5,410 5,040 4,780 4,590 4,440 4,320 4,220 4,110 4,070 4,010 3,960 3,920 3,880 3,850 3,820 3,790 3,770 3,740 3,720 3,710 3,690 3,660 3,660 3,650 3,550 3,460 3,370 3,290 Nếu n  30 t (n)  U 141 Bảng 3a Giá trị phân vị 2 (n) phân phối 2 N 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100+ 0,995 392704.10-10 0,010025 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,155 2,603 3,074 3,565 4,074 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 8,034 8,643 9,260 9,886 10,519 11,160 11,807 12,461 13,121 13,787 20,707 27,991 35,534 43,275 51,172 59,196 67,328 0,99 0,15708.10-3 0,0201007 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,087 2,558 3,033 3,570 4,106 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,879 13,565 14,256 14,954 22,164 29,707 37,485 45,442 53,540 61,754 70,065 0,975 0,982.10-3 0,0506 0,216 0,484 0,831 1,237 1,689 2,179 2,700 3,246 3,815 4,404 5,008 5,628 6,262 6,907 7,564 8,231 8,906 9,591 10,283 10,982 11,688 12,401 13,119 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 24,433 32,357 40,482 48,757 57,153 65,647 74,222 142 0,95 0,393.10-2 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,338 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 26,509 34,764 43,188 51,739 60,392 69,126 77,930 0,90 0.157908 0,207 0,584 1,063 1,610 2,204 2,833 3,489 4,168 4,865 5,579 6,304 7,042 7,790 8,547 9,312 10,085 10,865 11,651 12,443 13,239 14,041 14,848 15,659 16,475 17,292 18,114 18,939 19,768 20,599 29,050 37,688 46,459 55,329 64,278 73,291 82,358 0,750 0,1015308 0,575 1,212 1,923 2,675 3,455 4,255 5,071 5,899 6,737 7,584 8,438 9,299 10,165 11,036 11,912 12,792 13,675 14,562 15,452 16,344 17,239 18,137 19,037 19,939 20,843 21,749 22,657 23,566 24,477 33,660 42,942 52,294 61,698 71,144 80,625 90,133 Bảng 3b Giá trị phân vị 2 (n) phân phối 2 n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100+ 0,50 0,455 1,386 2,366 3,356 4,351 5,348 6,346 7,344 8,342 9,342 10,341 11,340 12,339 13,339 14,339 15,338 16,338 17,338 18,338 19,337 20,337 21,337 22,337 23,337 24,337 25,337 26,337 27,337 28,337 29,337 39,337 49,335 59,335 69,334 79,334 89,334 99,334 0,25 1,323 2,772 4,108 5,385 6,625 7,840 9,037 10,218 11,388 12,549 13,701 14,845 15,984 17,117 18,245 19,368 20,488 21,605 22,712 23,828 24,934 26,039 27,141 28,241 29,339 30,435 31,528 32,621 33,711 34,799 45,616 56,333 66,981 77,576 88,130 98,649 109,141 0,10 2,705 4,605 6,251 7,779 9,236 10,644 12,011 13,362 14,684 15,987 17,275 18,549 19,812 21,064 22,307 23,542 24,769 25,989 27,204 28,412 29,615 30,813 32,006 33,196 34,382 35,563 36,741 37,916 39,087 40,356 51,805 63,167 74,397 85,527 96,578 107,565 118,498 0,05 3,841 5,991 7,814 9,487 11,071 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 25,996 26,296 27,587 28,869 30,143 31,410 32,671 33,924 35,173 36,415 37,653 38,885 40,113 41,338 42,557 43,772 55,758 67,505 79,092 90,531 101,879 113,145 124,324 143 0,025 5,023 7,377 9,348 11,143 12,832 14,449 16,012 17,534 19,022 20,483 21,920 23,336 24,735 26,119 27,488 28,845 30,191 31,526 32,852 34,169 35,478 36,780 38,075 39,364 40,646 41,923 43,194 44,460 45,722 46,979 59,341 71,420 38,297 95,023 106,629 118,136 129,561 0,01 6,634 9,210 11,344 13,276 15,086 16,811 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,577 31,999 33,408 34,805 36,190 37,566 38,932 40,289 41,638 42,979 44,314 45,641 46,963 48,278 49,587 50,892 63,690 76,153 88,379 100,425 112,329 124,116 135,807 0,005 7,979 10,596 12,838 14,860 16,749 18,547 20,277 21,950 23,589 25,188 26,756 28,299 29,819 31,319 32,801 34,267 35,718 37,156 38,582 39,996 41,401 42,795 44,181 45,558 46,927 48,289 49,644 50,993 52,335 53,672 66,765 79,490 91,951 104,215 116,321 128,299 140,169 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Ngọc Dục, Nguyễn Ngọc Siêng (2010), Lý thuyết xác suất thống kê toán, Nxb Đà Nẵng Trần Doãn Phú, Nguyễn Thọ Liễn (2010), Xác suất thống kê toán, Nxb thống kê Trần Bá Nhẫn, Đinh Thái Hoàng (2006), Thống kê ứng dụng quản trị, kinh doanh nghiên cứu kinh tế, Nxb Thống kê Hoàng Ngọc Nhậm (2005), Bài tập xác suất thống kê, Đại học kinh tế Tp Hồ Chí Minh Đào Hữu Hồ (1996), Xác suất thống kê, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Ngọc Siêng (2007), Xác suất thống kê toán, Nxb Đà Nẵng Nguyễn Cao Văn (2012), Giáo trình lý thuyết xác suất thống kê toán, Nxb Đại học kinh tế quốc dân Lê Đức Vĩnh (2014), Xác suất thống kê, Nxb Đại học Nơng Nghiệp Tống Đình Quỳ (1999), Giáo trình xác suất thống kê, Nxb Giáo dục 144 MỤC LỤC CHƢƠNG BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 1.1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên loại biến cố ngẫu nhiên 1.1.2 Quan hệ biến cố 1.1.3 Các phép toán biến cố 1.1.4 Các tính chất phép tốn biến cố 1.2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất 1.2.2 Định nghĩa thống kê xác suất 11 1.3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SUẤT 12 1.3.1 Định lý cộng 12 1.3.2 Định lý nhân 15 1.3.3 Tính độc lập biến cố 18 1.4 CÁC HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ CỘNG, ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT 20 1.4.1 Công thức xác suất phần (đầy đủ) 20 1.4.2 Định lý Bayes 22 1.4.3 Công thức Bernoulli 23 BÀI TẬP CHƢƠNG 25 CHƢƠNG ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 29 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN 29 2.1.1 Định nghĩa 29 2.1.2 Phân loại đại lƣợng ngẫu nhiên 30 2.2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 31 2.2.1 Bảng phân phối xác suất 31 2.2.2 Hàm phân phối xác suất 33 145 2.2.3 Hàm mật độ phân phối xác suất 37 2.3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN 39 2.3.1 Kỳ vọng 39 2.3.2 Phƣơng sai 42 2.3.3 Độ lệch chuẩn 45 2.3.4 Trung vị 45 BÀI TẬP CHƢƠNG 48 CHƢƠNG MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƢỜNG GẶP 53 3.1 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC 53 3.1.1 Qui luật phân phối xác suất Không – Một 53 3.1.2 Quy luật phân phối xác suất nhị thức 54 3.1.3 Quy luật phân phối xác suất Poisson 55 3.2 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT LIÊN TỤC 56 3.2.1 Quy luật phân phối U[a, b] 56 3.2.1 Quy luật phân phối chuẩn 58 3.2.2 Quy luật phân phối  – bình phƣơng 62 3.2.3 Quy luật phân phối Student – T(n) 63 BÀI TẬP CHƢƠNG 63 CHƢƠNG ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU 66 4.1 ĐỊNH NGHĨA 66 4.2 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN HAI CHIỀU 66 4.2.1 Định nghĩa 66 4.2.2 Tính chất 66 4.3 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN HAI CHIỀU 67 4.3.1 Bảng phân phối xác suất ĐLNN hai chiều rời rạc 67 4.3.2 Hàm mật độ phân phối xác suất ĐLNN hai chiều liên tục 69 146 4.4 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA ĐLNN HAI CHIỀU 71 4.4.1 Phân phối có điều kiện ĐLNN hai chiều rời rạc 71 4.4.2 Phân phối có điều kiện ĐLNN hai chiều liên tục 73 4.5 KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN 74 4.5.1 Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN hai chiều rời rạc 74 4.5.2 Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN hai chiều liên tục 75 BÀI TẬP CHƢƠNG 76 CHƢƠNG CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN 78 5.1 ĐỊNH NGHĨA 78 5.2 BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ-BƢ-SÉP 78 5.3 ĐỊNH LÝ TRÊ-BƢ-SÉP 79 5.3.1 Định lý 79 5.3.2 Hệ 80 5.4 ĐỊNH LÝ BERNOULLI 80 5.5 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 81 BÀI TẬP CHƢƠNG 83 CHƢƠNG LÝ THUYẾT MẪU 84 6.1 KHÁI NIỆM VỀ PHƢƠNG PHÁP MẪU 84 6.2 TỔNG THỂ VÀ MẪU 85 6.3 CÁC PHƢƠNG PHÁP CHỌN MẪU 86 6.3.1 Phƣơng pháp chọn mẫu có lặp 86 6.3.2 Phƣơng pháp chọn mẫu không lặp 86 6.4 MẪU NGẪU NHIÊN VÀ MẪU CỤ THỂ 87 6.4.1 Định nghĩa 87 6.4.2 Các ví dụ 87 6.5 CÁC PHƢƠNG PHÁP SẮP XẾP MẪU CỤ THỂ 88 6.5.1 Sắp xếp theo số tăng dần giảm dần 88 6.5.2 Sắp xếp theo bảng phân phối tần số, tần suất thực nghiệm 88 6.6 CÁC ĐẶC TRƢNG MẪU 90 147 6.6.1 Hàm mẫu (thống kê) 90 6.6.2 Trung bình mẫu, phƣơng sai mẫu, phƣơng sai mẫu điều chỉnh 90 6.7 LUẬT PHÂN PHỐI CỦA CÁC ĐẶC TRƢNG MẪU 93 6.7.1 Phân phối phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh 93 6.7.2 Phân phối trung bình mẫu 94 BÀI TẬP CHƢƠNG 95 CHƢƠNG BÀI TOÁN ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ 99 7.1 KHÁI NIỆM ƢỚC LƢỢNG 99 7.2 HÀM ƢỚC LƢỢNG VÀ PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM 99 7.2.1 Ƣớc lƣợng không chệch 100 7.2.2 Ƣớc lƣợng vững 101 7.3 PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG 102 7.3.1 Mở đầu 102 7.3.2 Ƣớc lƣợng khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể 103 7.3.3 Ƣớc lƣợng khoảng tin cậy cho kỳ vọng (trung bình) tổng thể 104 7.3.4 Ƣớc lƣợng phƣơng sai 109 BÀI TẬP CHƢƠNG 112 CHƢƠNG BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT 118 8.1 KHÁI NIỆM CHUNG 118 8.1.1 Giả thuyết thống kê 118 8.1.2 Tiêu chuẩn kiểm định 118 8.1.3 Miền bác bỏ 119 8.1.4 Giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định 119 8.1.5 Quy tắc kiểm định giả thuyết thống kê 119 8.1.6 Các sai lầm mắc phải thực toán kiểm định 120 8.1.7 Quy tắc chung kiểm định giả thuyết thống kê 120 148 8.2 KIỂM ĐỊNH THAM SỐ 121 8.2.1 Kiểm định kỳ vọng ĐLNN có phân phối chuẩn 121 8.2.2 Kiểm định phƣơng sai ĐLNN có phân phối chuẩn 129 8.2.3 Kiểm định tỷ lệ xác suất 133 t BÀI TẬP CHƢƠNG 136 u e dt 140 Bảng Giá trị hàm tích phân La-pla-ce  (u )  2 0 Bảng Giá trị phân vị Student t (n) 141 Bảng 3a Giá trị phân vị 2 (n) phân phối 2 142 Bảng 3b Giá trị phân vị 2 (n) phân phối 2 143 TÀI LIỆU THAM KHẢO 144 MỤC LỤC 145 149 ... Đ/s: (2, 0 12; 2, 024 ) 113 Bài 7. 12 Đo đƣờng kính 20 chi tiết máy tiện sản xuất ra, ta có số liệu nhƣ sau: Đƣờng kính (mm) Số chi tiết máy 24 7 24 8 24 9 25 0 25 1 25 2 25 3 25 5 25 6 25 7 25 8 25 9 Giả sử... sợi 120 -140 140-160 160-180 180 -20 0 20 0 -22 0 22 0 -24 0 24 0 -26 0 26 0 -28 0 96 Số sợi 10 14 12 Tính độ bền trung bình mẫu, phƣơng sai mẫu độ lệch chuẩn mẫu mẫu nói Đ/s: x = 195 ,2; s2 = 8 12, 96 ; s = 28 ,513... phân phối tần suất: xi 10 fi 3 /20 4 /20 3 /20 4 /20 4 /20 3 /20 4 /20 3 /20 2/ 20 6.5 .2. 2 Bảng phân phối tần số, tần suất thực nghiệm chia lớp Trong trƣờng hợp mẫu có nhiều phần tử, giá trị phần tử chênh