Khái quát hóa một số cấu trúc đại số đã học ở bậc đại học

BỘ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP - HỒ CHÍ MINH `: TT xu LUANR OAU: MOH BAF 806 KHAI QUAT HOA Mor SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Đà HỌC Ở BẬC ĐẠI HỌC Phép tốn n ngơi Cấu trúc đại số _ Cấu trúc đại số ._ Quan hệ đồng dạng —- Cấu trúc thương Tích trực tiếp cấu trúc đại số Cấu trúc đồng cấu GVHD: SVTH: KHOA: THAY PHAN TRƯỜNG LINH NGUYEN TH] MY DUNG 25 | THU VIEN _———— TP - HO CHi MINH Thang 05-2003 LUAN VAN TOT NGHIEP ————— ŒVHD Than Trường Link FOT MOC GA 3⁄ O bac dai hoc em tìm hiểu số cấu trúc đại số nhóm, vành, trường, môđun, không gian véctơ học phần Đại Số đại cương chuyên đề Đại Số Một cách tổng quan, ta nhận thấy cấu trúc có mối tương quan; đặc biệt định lý phần tương đối giống trình bày cách rời rạc Với nhìn nhận đó, với hướng dẫn thầy Phan Trường Linh, em viết luận văn với để tài: “ Khái quát hoá số cấu trúc Đại số học bậc đại học” với mục đích giúp bạn sinh viên có nhìn tổng quan khái quát cấu trúc đại số đó; đồng thời em hy vọng giúp cho bạn phần việc nghiên cứu lĩnh vực tốn học trừu tượng Đứng vị trí sinh viên làm luận văn tốt nghiệp, có lẽ viết em hẳn cịn nhiều thiếu sót Do đó, em mong thấy xem xét đóng góp ý kiến nhằm giúp em hồn thành tốt luận văn Bài luận văn bao gồm nội dung sau : A Phép tốn n ngơi B Cấu trúc đại số C Cấu trúc đại số D Quan hệ đồng dạng - Cấu trúc thương E Tích trực tiếp cấu trúc đại số F Cấu trúc đồng cấu Cuối em xin chân thành cảm ơn : - Thầy Phan Trường Linh - người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian qua để em hồn thành luận văn - Thầy Trần Đức Huyên, thầy Nguyễn Đình Lân, thầy Bùi Tường Trí - người tạo cho em tảng kiến thức học phần Đại số đại cương Tp Hồ Chí Minh, ngày 22 tháng năm 2003 Nguyễn Thị Mỹ Dung SVTH:, Nguyễn Thị Mỹ Tung Trang LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh A- PHEP TOANN NGOI I DINH NGHIA Cho A tập khác rỗng số tự nhiên n Ta gọi phép tốn n ngơi À ánh xạ œ từ tap A” vao A œ: A" —— (ai, 8¿, aa ) A |—> ((4;, 8a, .Aa) * Ta xét đến trường hợp sau: e Trường hợp l:n> l Khi œ(a;, a;, aạ) phần tử A hoàn toàn xác định e Trường hợp 2:n=0 Do A # ô nên cố định phần tử ae A Quyước: A°”= {a] Khi : o:A° —> A a ke @ (a)=a II CÁC VÍ DỤ: (1) Phép +1„¬ n tập hợp (ncN, n > 2) phép tốn n ngơi (2) Gọi M, (R) tập hợp ma trận vuông cấp n (n eN) với hệ số thực Ta cé: *@:M, (R) (Ai, A2) —> M,(R) F— > — @1 (A), Ar) = Ai + Ao (phép cong ma tran) phép tốn ngơi M; (R) *@2:M, (R) —> (A,A) M,(R) 3> — @2(A), Az) = A) Ao (phép nhan ma tran) phép toan ngdéi M, (R) SVTH: Nguyén Thi My Dung Trang LUAN VAN TẾT NŒG+ư21ỆP GVHD: Phan Trucmg Linh (3) Vne N,n22, datX=N\ {0} Anh xa @;: x" —> (mi, m;, ,m,) —> xX (mị, m¿)= ỨCLN (mị, ,mạ) phép toán n ngồi X III PHÉP TỐN NGƠI - CÁC TÍNH CHẤT THUONG GAP: I Chú ý: - Giả sửœ: A` —> (a,a¿)|—> A phép tốn ngơi A (ai, 4) Thế thì: giá trị œ (ay, a;) @ (a;, a;) gọi hợp thành a;, a; Cái hợp thành a;và a; thường ký hiệu cách viết a; a; theo thứ tự định với dấu đặc trưng cho phép toán đặt a; Va a> Các dấu thường dùng: dấu + dấu (dấu thường quy ước bỏ đi) se Một phép toán ký hiệu dấu + gọi phép cộng ai+a; gọi tổng a; a¿ s® Một phép tốn ngơi ký hiệu dấu gọi phép nhân a, 8; (a¡a¿) gọi tích a; ap Các tính chất thường gặp : + Tính chất kết hợp: Phép tốn hai ngơi A gọi có tính kết hợp với a¡, ap, a; thuộc Ấ ta có: (a)a2)a; = a)(a2a,) Ví dụ: Các phép tốn 2ngơi pạ:A` —> A p;:A—> (a; a2)}-—> a, (a¡a;}—> A a? có tính chất kết hợp Thật vậy: Xét py: * Wa), a2, @y € A: (ajQ2)a; = aja; = a; a; (@2a;) = a;az = a; SVTERH: Nguyễn Thị Me Dung Trang LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trsemg Linh Vay (aj;az)az = a; (203) Do dé p, cé tinh chat kết hợp Xét p; : * Vaj, az, ay € A: (ajaz)a; = ara; = a; a; (A243) = aja; = a3 Vậy (a,az)a; = a;(a2a;) Do dé pz cod tính chất kết hợp * Tinh chat giao hốn Phép tốn ngơi A gọi có tính giao hodn néu vdi moi aj, ap thuộc A ta có: a¡a;= a›ay Ví dụ: s_ Phép cộng, phép nhân R có tính chất giao hốn se Các phép tốn p;, p; (ở ví dụ trên) tập A khơng có tính giao hốn A có phần từ * Phần tử đơn vị phép tốn ngơi: Giả sử cho phép tốn ngơi tập hợp A e® Phần tử e, gọi đơn vị trái A néu Va € A: e, a=a © Phan tif e, gọi đơn vị phải A Va e A: a e; =a e® Phần tửe gọi đơn vị (hai phía) A Va € A: đe =@q Chú ý: Một phép tốn ngơi có nhiều phần tử đơn vị Vi du: © S60 la phan tit don vj ctia phép céng cdc tap hợp số s_ Số ] phần tử đơn vị phép nhân đơn vị phải phép mũ hoá tập hợp số e Anh xa déng phần tử đơn vị tập hợp ánh xạ từ tập vào SVTH: Ngun Thi Mp Dung Trang LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD) Phan Trường Lạnh a’ , B- CAU TRUC a’ ĐẠI SO I ĐỊNH NGHĨA: Một cấu trúc đại số loại (n,),„¡„ n,eN cặp với: + A tập hợp khác rỗng + T 1a họ (T,),.¡ (L# $); với T; phép tốn n, ngơi A s Chú ý: - - Với lớp cấu trúc loại, ta dùng ký hiệu T = {(T;)},.¡ để họ phép tốn chung cho lớp - Những cấu trúc đại số loại thoả số tính chất cho sẩn thường có tên riêng : nhóm, vành, trường, mơđun, khơng gian vectơ II NHỮNG CẤU TRÚC ĐẠI SỐ THƯỜNG GẶP: Nửa nhóm; Là cấu trúc đại số với A có tính kết hợp phép tốn hai ngơi cho Vậy: Một nửa nhóm tập A khác rỗng, có trang bị phép tốn ngơi cho: (XxY)z = X(yZ); VX,y,# 6A Ví dụ s« (N,+);(N,.):(N, s_ Cho p,, p› phép tốn ngơi A với: p: UCLN); (N, BCNN) nửa nhóm A'` —> (aj, a2) /? a; Khi do: (A, p)) SVT#H;, Nguyễn va A p ẽ AẺ (a,a:) —> -F A a (A, p›) nửa nhóm Thị My Dung Trang LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD) Phan Trường Lành Dinh ly 1: Giả sử ay, a;, a„ (n> 3) n phần tử nửa nhóm với phân chia bộ(I, 2,3 ,n) thành có dang sau: (1, 2„.„ m) ; (m+l, m+2, ,q); ; (p+l, p+2, ,n) Ta có: y8 đa = (i82 8m)(m+ifm+2 - 8a) (Aa¿yfp„2 8n) Chứng minh: - Vớin = 3: Đo nửa nhóm nên Vay;, az, a; EA: - (Qj Gz) Az = a; (a2 A3)= A) Az a Gid sitménh dé diing tdi n— 1; ta can chitng minh ménh dé ding tdi n Thật vậy: Với phân chia (l,2, n) thành có dạng sau: (1,2, m) ; (m+l, m+2, q) ; (p+l, p+2, n) Ta có: (d4 đ„Ì(đm+¡iđm+2 đạ) (ApstQp+2 ‹ đạ) = (đi du Ì(đm+iđm+2 - dạ} (đp+¡đn+2 Œ„., ) đạ = [(d¡4; đmÌ(dm+¡đm+2 ay) + (Ape tApe2 2,4 )Ja, =(d¡đ; đ„.¡)d„ = 4)Q> a, (dpcm) s Vị nhóm: Một nửa nhóm có phần tử đơn vị gọi vị nhóm Vi du: (N,.,1) va (N,+,0) la cdc vi nhém “> Nita nhém giao hoán: Một nửa nhóm giao hốn phép tốn giao hốn Ví du: (Z.+) (Q” ) nửa nhóm giao hốn SVTH: Nguyễn Thị Mẹ Dung Trang LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Treimg Linh Định lý 2: Trong nửa nhóm giao hốn , tích a:a; a; (n>2) khơng phụ thuộc vào thứ tự nhân tử Chứng - Wđin= 2: Do nửa nhóm giao hodn nén: Va; az EA: aj)a2=a20; - Giả sử mệnh đề cho k nhân tử, với k