BỘ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP - HỒ CHÍ MINH
`: TT xu
LUANR OAU: MOH BAF 806
KHAI QUAT HOA Mor SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ ĐÃ HỌC Ở BẬC ĐẠI HỌC Phộp toỏn n ngụi Cấu trỳc đại số
_ Cấu trỳc đại số con
Trang 2LUAN VAN TOT NGHIEP ————— ŒVHD Than Trường Link
FOT MOC GA 3⁄
O bac dai hoc em đó được tỡm hiểu một số cỏc cấu trỳc đại số như
nhúm, vành, trường, mụđun, khụng gian vộctơ trong học phần Đại Số đại
cương và chuyờn đề Đại Số Một cỏch tổng quan, ta nhận thấy rằng giữa cỏc
cấu trỳc đú cú một mối tương quan; đặc biệt cỏc định lý trong mỗi phần tương
đối giống nhau nhưng được trỡnh bày một cỏch rời rạc Với sự nhỡn nhận đú,
cựng với sự hướng dẫn của thầy Phan Trường Linh, em viết bài luận văn này
với để tài: “ Khỏi quỏt hoỏ một số cấu trỳc Đại số đó học ở bậc đại học”
với mục đớch giỳp cỏc bạn sinh viờn cú cỏi nhỡn tổng quan và khỏi quỏt hơn về cỏc cấu trỳc đại số đú; đồng thời em cũng hy vọng nú giỳp cho cỏc bạn
một phần nào đú trong việc nghiờn cứu lĩnh vực toỏn học trừu tượng Đứng ở
vị trớ một sinh viờn làm luận văn tốt nghiệp, cú lẽ bài viết này của em hẳn
cũn nhiều thiếu sút Do đú, em mong rằng cỏc thấy xem xột và đúng gúp ý kiến nhằm giỳp em hoàn thành tốt bài luận văn của mỡnh
Bài luận văn bao gồm cỏc nội dung sau : A Phộp toỏn n ngụi
B Cấu trỳc đại số
C Cấu trỳc đại số con
D Quan hệ đồng dạng - Cấu trỳc thương E Tớch trực tiếp những cấu trỳc đại số F Cấu trỳc đồng cấu
Cuối cựng em xin chõn thành cảm ơn :
- Thầy Phan Trường Linh - người đó tận tỡnh hướng dẫn em trong suốt
thời gian qua để em cú thể hoàn thành bài luận văn này
Trang 3LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh A- PHEP TOANN NGOI I DINH NGHIA Cho A là một tập khỏc rỗng và một số tự nhiờn n Ta gọi một phộp toỏn n ngụi trong À là một ỏnh xạ œ từ tap A” vao A œ: A" —— A (ai, 8¿, aa ) |—> ((4;, 8a, .Aa) * Ta xột đến cỏc trường hợp sau: e Trường hợp l:n> l Khi đú œ(a;, a;, aạ) là một phần tử của A hoàn toàn được xỏc định e Trường hợp 2:n=0 Do A # ụ nờn cố định một phần tử ae A Quyước: A°”= {a] Khi đú : o:A° —> A a ke @ (a)=a II CÁC VÍ DỤ:
(1) Phộp +1„ơ của n tập hợp (ncN, n > 2) là cỏc phộp toỏn n ngụi
(2) Gọi M, (R) là tập hợp cỏc ma trận vuụng cấp n (n eN) với hệ số thực
Ta cộ: *@:M, (R) — > M,(R)
(Ai, A2) F— > — @1 (A), Ar) = Ai + Ao (phộp cong 2 ma tran)
là một phộp toỏn 2 ngụi trong M; (R)
*@2:M, (R) —> M,(R)
(A,A) 3> — @2(A), Az) = A) Ao (phộp nhan 2 ma tran)
là một phộp toan 2 ngdội trong M, (R)
Trang 4
LUAN VAN TẾT NŒG+ư21ỆP GVHD: Phan Trucmg Linh
(3) Vne N,n22, datX=N\ {0}
Anh xa @;: x" —> xX
(mi, m;, ,m,) —> 6 (mị, m¿)= ỨCLN (mị, ,mạ)
là một phộp toỏn n ngồi trong X
III PHẫP TỐN 2 NGễI - CÁC TÍNH CHẤT THUONG GAP:
I Chỳ ý:
- Giả sửœ: A` —> A là một phộp toỏn 2 ngụi trong A
(a,a¿)|—> 0 (ai, 4)
Thế thỡ: giỏ trị œ (ay, a;) của @ tại (a;, a;) gọi là cỏi hợp thành của a;, a; Cỏi hợp thành của a;và a; thường được ký hiệu bằng cỏch viết a; và a;
theo một thứ tự nhất định với một dấu đặc trưng cho phộp toỏn đặt giữa
a; Va a>
Cỏc dấu thường dựng: dấu + và dấu (dấu thường quy ước bỏ đi) se Một phộp toỏn 2 ngụi ký hiệu bằng dấu + gọi là phộp cộng và
ai+a; gọi là tổng của a; và a¿
sđ Một phộp toỏn 2 ngụi ký hiệu bằng dấu gọi là phộp nhõn và
a, 8; (aĂa¿) gọi là tớch của a; và ap
2 Cỏc tớnh chất thường gặp :
+ Tớnh chất kết hợp:
Phộp toỏn hai ngụi trờn A gọi là cú tớnh kết hợp nếu với mọi aĂ, ap, a;
thuộc AÁ ta cú: (a)a2)a; = a)(a2a,)
Vớ dụ:
Trang 5LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trsemg Linh Vay (aj;az)az = a; (203) Do dộ p, cộ tinh chat kết hợp
Xột p; : * Vaj, az, ay € A: (ajaz)a; = ara; = a; a; (A243) = aja; = a3
Vậy (a,az)a; = a;(a2a;) Do dộ pz cod tớnh chất kết hợp
* Tinh chat giao hoỏn
Phộp toỏn 2 ngụi trờn A gọi là cú tớnh giao hodn nộu vdi moi aj, ap
thuộc A ta cú: aĂa;= a›ay Vớ dụ:
s_ Phộp cộng, phộp nhõn trờn R cú tớnh chất giao hoỏn
se Cỏc phộp toỏn p;, p; (ở vớ dụ trờn) trờn một tập A khụng cú tớnh giao
hoỏn nếu A cú hơn một phần từ * Phần tử đơn vị của phộp toỏn 2 ngụi:
Giả sử đó cho một phộp toỏn 2 ngụi trong tập hợp A
eđ Phần tử e, được gọi là đơn vị trỏi của A nộu Va € A: e, a=a
â Phan tif e, được gọi là đơn vị phải của A nếu Va e A: a e; =a
eđ Phần tử e được gọi là đơn vị (hai phớa) của A nếu Va € A: 2
đe =@q
Chỳ ý:
Một phộp toỏn 2 ngụi cú nhiều nhất một phần tử đơn vị
Vi du:
â S60 la phan tit don vj ctia phộp cộng trong cdc tap hợp số
Trang 6LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD) Phan Trường Lạnh a’ , a’ B- CAU TRUC ĐẠI SO I ĐỊNH NGHĨA: Một cấu trỳc đại số loại (n,),„Ă„ n,eN là một cặp <A, T> với: + A là một tập hợp khỏc rỗng + T 1a một họ (T,),.Ă (L# $); với T; là những phộp toỏn n, ngụi trong A s Chỳ ý:
- - Với một lớp những cấu trỳc cựng loại, ta dựng ký hiệu T = {(T;)},.Ă để
chỉ họ cỏc phộp toỏn chung cho lớp đú
- Những cấu trỳc đại số cựng loại và cựng thoả một số tớnh chất cho sẩn nào đú thường cú một tờn riờng như : nhúm, vành, trường,
mụđun, khụng gian vectơ
II NHỮNG CẤU TRÚC ĐẠI SỐ THƯỜNG GẶP:
1 Nửa nhúm;
Là một cấu trỳc đại số <A > với là một phộp toỏn hai ngụi đó cho
trong A cú tớnh kết hợp
Vậy:
Một nửa nhúm là một tập A khỏc rỗng, trờn đú cú trang bị một phộp
Trang 7LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD) Phan Trường Lành
Dinh ly 1:
Giả sử ay, a;, a„ (n> 3) là n phần tử của một nửa nhúm <A, > thế thỡ
với mọi sự phõn chia bộ(I, 2,3 ,n) thành những bộ con cú dang sau: (1, 2„.„ m) ; (m+l, m+2, ,q); ; (p+l, p+2, ,n) Ta sẽ cú: y8 đa = (i82 8m)(m+ifm+2 - 8a) (Aa¿yfp„2 8n) Chứng minh: - Vớin = 3: Đo <A, > là nửa nhúm nờn Vay;, az, a; EA: (Qj Gz) Az = a; (a2 A3)= A) Az a - Gid sitmộnh dộ diing tdi n— 1; ta can chitng minh mộnh dộ ding tdi n Thật vậy: Với mọi sự phõn chia bộ (l,2, n) thành những bộ con cú dạng sau: (1,2, m) ; (m+l, m+2, q) ; (p+l, p+2, n) Ta sẽ cú: (d4 đ„è(đm+Ăiđm+2 đạ) (ApstQp+2 ‹ đạ) = (đi du è(đm+iđm+2 - dạ} (đp+Ăđn+2 Œ„., ) đạ = [(dĂ4; đmè(dm+Ăđm+2 ay) + (Ape tApe2 2,4 )Ja, =(dĂđ; đ„.Ă)d„ = 4)Q> a, (dpcm) s Vị nhúm: Một nửa nhúm cú phần tử đơn vị gọi là một vị nhúm Vi du: (N,.,1) va (N,+,0) la cdc vi nhộm
“> Nita nhộm giao hoỏn:
Một nửa nhúm là giao hoỏn nếu phộp toỏn của nú là giao hoỏn
Vớ du:
(Z.+) và (Q” ) là nửa nhúm giao hoỏn
Trang 8LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Treimg Linh Định lý 2: Trong một nửa nhúm giao hoỏn <A, >, tớch a:a; a; (n>2) khụng phụ thuộc vào thứ tự cỏc nhõn tử Chứng mỡnh - Wđin= 2:
Do <A, > là nửa nhúm giao hodn nộn: Va; az EA: aj)a2=a20;
- Giả sử mệnh đề đỳng cho k nhõn tử, với mọi k<n Ta chứng mỡnh mệnh
để đỏng với n nhõn từ tức là chứng mỡnh:
đd;q d„ = aj aj, vee |
Trong đú (ỡ,,i, t„) là một hoỏn vị của ( l,2, nj
Nếu a„ = a,, ta cú thể viết vế hai của đẳng thức trờn theo Định lý 1 va
tớnh giao hoỏn của A như sau:
a; Gi q, a, a;
= (a, 4, (4, (4, .-đ, )) (dinh ly 1)
= (a, 00, X(4, .‹ôđ, }4, } (giả thiết quy nạp)
= ((a, i Ma eG ))4, (giả thiết quy nạp)
= (dĂ,đĂ, dị, đị, đ )d, — (định lý Il)
= (địđ; đạ.‡ )đ„ (giả thiết quy nạp)
= 4a a, (dpcm)
2 Nhúm
Là một cấu trỳc đại số < A, ,e,'> với là một phộp toỏn 2 ngụi; ˆ là
một phộp toỏn 1 ngụi; e là phần tử biểu diễn của phộp toỏn 0 ngụi và thỏa
những tớnh chất sau:
Với mọi x,y,z thuộc A, ta cú:
Ni) x(yz) = (xy)z
N;)} xe = ex = = x (egoi la phan tử trung lập)
N;) xx’ =x'x = e (X'Ỷ gọi là phẩn tử nghịch đảo của x)
Trang 9LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD) Phan Trường Lạnh
Chỳ ý
- Nếu phộp toỏn giao hoỏn thỡ ta gọi A là nhúm giao hoỏn hay nhúm Aben Khi đú ta thay: dấu nhõn bằng dấu cộng; phần tử e bằng phần tử 0; phần tử x'' bằng phần tử -x - Mọi nhúm đều là nửa nhúm - (Z;+,0.-) là nhúm giao hoỏn - (Q* 1,'') là nhúm giao hoỏn - (M,,+.0.-) là một nhúm với M,„ là tập cỏc ma trận vuụng cấp n với hệ Số thực 3 Vanh: Là một cấu trỳc đại số <A,+,0,-, > sao cho c4c điều kiện sau được thoả món:
i) <A, +, 0, -> là một nhúm giao hoỏn
li) — <A, > là một nửa nhúm,
ii) Phộp toỏn phõn phối đối với phộp toỏn +, tức là với cỏc phần tử tuỳ ý x,y,z thuộc A ta cú:
X(Y+Z) = XY + XZ (X+y)Z = XZ + YZ
Vay:
Vành là một tập A khỏc rỗng, trờn đú trang bị 2 phộp toỏn (một ký hiệu theo lối cộng, cũn lại ký hiệu theo lối nhõn) thoả cỏc tiờn để sau:
Vị: V X,y €AÁ : X+y=y+X
Vạ: VX,Y,Z €A: (X+Y)+Zz = X+(y+z) Vị: 306A; VXx€A: x+0=x Vị: VX€A, 3(-x)€A: x+(-x)=0 Vs: Vx,y,z €A: (xy) z = x(yz) Vạ: VX,V,Z €A: a Stas Chỳ ý: > Một vành gọi là vành giao hoỏn nếu phộp toỏn cú tớnh chất giao hoỏn
> Một vành gọi là cú đơn vị 1 nếu phộp toỏn cú phần tử trung
hoà l1 Tức là: 3leA: lIx=x=xèl, VxeA (X+Y)Z= XZ+ YZ
Trang 10
LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trudmg Linh — _—_ - ẻẻ _——— ————_— _—————————————————————————— Khi đú ta cú thể xem I là phần tử biểu diễn một phộp toỏn 0 ngụi trong A Vớ du: (Z,+,0.-, )và (Rẹ{xj;+.0.-, ) là cỏc vành giao hoỏn cú đơn vị ẽ 4 Miộ ờn:
Một miễn nguyờn A là một vành giao hoỏn cú phần tử 1z0 và với
mọi x,y thuộc A, nếu xy=0 thỡ x=0 hay y=0 Vớ dụ: (Z.+.1 .-,0) và (R{x].+,0.-,1, ) là cỏc miễn nguyờn 5 Trường Là một miền nguyờn A trong đú VxeA, xz0,3yeA: xy=l=yx Ký hiệu: y = xˆ Ta cú thể xem ˆ' là một phộp toỏn l ngụitrong A'=A\ 9} Vậy:
Trường là một tập A khỏc rỗng, trờn đú đó trang bị hai phộp toỏn
Trang 11LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Truamg Linh
—————— —_—ẽễ.- 7 - -â -.—
6 Modul:
Cho một vành R giao hoỏn và cú phần tử ! khỏc 0, một modul bờn
trỏi trờn R là một cấu trỳc đại số <A,+,0,-,T> với <A,+,0,-> là một nhúm
giao hoỏn và T = {T, ,reR) là một họ cỏc phộp toỏn l ngụi trong A thỏa
những điều kiện sau: VX,Y,Z€A;r,sceR, ký hiệu T; (X) = rx ta cú : T(X+Y) = rX+TY (r+S)X = rX+$sX r(sx) = (rs)x lx=x Vớ dụ:
- - Mỗi vành A là modul trờn chớnh nú
- Một nhúm giao hoỏn tựy ý là một modul trờn Z 7 Khụng gian vectơ:
Một modul trờn một trường gọi là một khụng gian vectơ trờn trường đú
Vậy :
Một khụng gian vectơ A trờn một trường K là một tập A khỏc rỗng
cựng với một phộp toỏn 2 ngụi + trong Á và một họ cỏc phộp toỏn l ngụi (T).e xỏc định bởi : T,(x) = rx ; vxeA,vreK thỏa cỏc tớnh chất sau :
Vi) V xy, ze A: (x+y) +z = x +(y+z)
Vạ) 306A, VxeA :x+0=0O+x =x Vị) VXE€A, 3(-X)ÊA : x+{-X) =(-X)+x =0
Vị) VX,Y€A: X+Yy = y+x
Vs) Vae K; x,y € A: a(x+y) = ay+ax V.) Va,b Ee Ky xe A : (a+b)x = ax+bx
V7) Va,b € K; xE€ A : a(bx) = (ab)x Va) Lx=x ,Vxe A
Trang 12LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trưởng Linh
Vi du +
* Mọi trường đều là khụng gian vectơ trờn chớnh nú
Trang 13LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD; Phan Truộmg Linh
C CẤU TRÚC ĐẠI SỐ CON
I ĐỊNH NGHĨA
Cho một cấu trỳc đại số <A, T> với T là một họ {T,},;Ă những phộp toỏn
n, ngụi trong A Một tập hợp con B khỏc rỗng của A được gọi là một cấu trỳc con của cấu trỳc đại số A nếu với mọi phộp toỏn n, ngụi T;, Ăeẽ ta cú:
T,(B°)cB
Hay ta cũn núi B “khộp kớn” đối với mọi phộp toỏn T, ôT
Chỳ ý:
- <B, TT > là một cấu trỳc đại số cựng loại với <A, T>
- _ Nếu A thoả tớnh chất P thỡ B khụng bắt buộc thoả tớnh chất P
- Nếu A và B cựng thoả cỏc tớnh chất để cú một tờn riờng như nhúm
vành, trường, thỡ ta sẽ gọi B là nhúm con, vành con, trường con
(tương ứng) của A
II CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT SỐ CẤU TRÚC CON:
1 Nhúm con
Giả sử B là một bộ phận của một nhúm A với đơn vị e Cỏc
điểu kiện sau đõy là tương đương: j — B là nhúm con của A ii) BzŒỉ, xyeB,x'eB,Vx,ycB iii) BeO,xy'e B, Vx,ye B Chứng minh: đ (i) =(H) Taco:
B là nhúm con của A nờn e eB;xyeB;x'eB (VxyeB)
=Bzỉ; VvxveB ;xyeB, x'eB
â (ii)=> (tit)
Hiển nhiờn B z ỉ
Hơn nữa: V%,yeB, ta cú xeB va y' €B nộn: xy” eB â (iii)=>(Ù)
Do Bz ú nờn J3xeB Khi đú xvÍ=ee B
tx,yeB : x''= exè eB ; và tương tự: y EB
Trang 14
LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh — — ====EễŸỲỄễEỲễỶŸỲŸễẼễẼ =xy=x(y ”)'eB Vậy B là nhúm con của A 2 Vành con Giả sử B là một bộ phận của một vành A Cỏc điều kiện sau đõy là tương đương: i) Bla vanhconctaA
ii) Bz,x+yeB,xycb, -xe B ; Vx,yeB
iii) Bz(@,x-yeB,xyeB ; Vx,yeB
Chứ inh: (ij)=> (ii)
Đo B là vành con của A nờn: 70ecB, x+yec B, -xe B, xyeB ; W,yeB Nờn: Bzú, xv+ye B, xyeB, -xe B; vx,yeB
(ti) => (iii)
Hiển nhiờn B z ỉ, xyeB ; Ơx,yeB
Hơn nữa t%x,ye€B thỡ x e B và -ye B nờn: x+(-y) = x-yeB (iti) fi) Do BƠ 2 nờn 3‹e B Khi đú : 0 = x-x EB Mặt khỏc: t*,yeB: xyeB - x=0 - x € B; tương tự: -ycB nờn với xe B, -ye B ta cú: X+y = x- (-y)€B Vậy B là vành con của A 3 Trường con:
Giả sử B là một tập con của một trường A cỏc điều kiện sau
đõy là tương đương:
Ă) B là một trường con của A
Trang 15LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trumg Linh =—— - (I)XL): se Hiển nhiờn : Bz ú Â Do B cú nhiều hơn l phõn tử nờn 3v,.y eB, x-x=0eB Vỡ thế : y0 =yy” = IeB Do đú : Vx,yeB, yz9, -y=0 - yeB, x+y=x-(-y)cB yf=l.y'eB ; xy = x(y”)-' eB Vậy B là trường con của trường A 4 Mụđun con:
Cho M là một mụđun trờn vành A Giả sử N là một bộ phận
khỏc rỗng của M Cỏc điều kiện sau đõy là tương đương:
) — Nlà mụđun con của M
ii) — NzŒỉ,x+yeN,-xeN, rxeN ; Vx,yeN, VreA
iii) NzŒ,x-yeN,rxeN ; VxuyeN,VreA Chứng mỡnh: (i)—=Xii)=iii) : hiển nhiờn (iit) =i): Do Nz Onộn IEN : x-x = OEN Vỡ thế : tt,yeN : -y = 0-y eN x+y =x- (-y) EN
Hiển nhiờn : rx eN, VreA
Vậy N là mụđun con của M
Š Khụng gian vectơ con:
Cho W là một hệ tập con khỏc rỗng của khụng gian vectơ V trờn K
Trang 16
LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Treộng Linh
eee eee
t*,yeW : x+y= x+i.y EW
Hơn nữa: -l cK nờn 0 = x+(-l)xœeW Do dộ: -x= 0+(-l)xeW v2: 0 +Ây = Ay EW Vậy W là khụng gian vectơ con của V II ĐỊNHLíI
Cho một cấu trỳc đại số <A, T> và một họ {A;),e<], J#ỉ những
cấu trỳc con của A Nếu B = 8 A khỏc rỗng thi B là một cấu trỳc con
của Á và thường được ký hiệu bởi : AA; je Chứng mỡnh Ta cú: -B#Q (gid thiột) (1)
- ĐoAi cA (jJ) nờn B= DA; A (2)
- Với phộp toỏn T thuộc T cú cấp n bất kỳ và những phần tử a,đ;, An thuộc B; ta cú: e Trường hợp è: n>i đị,đ3, , đ„ € B : B= À } = õ\;8¿ , õn eA; (Vj € J) ii
mà A; là một cấu trỳc con của A
nờn T (aĂ,q;, a„) 6A; ( Vị e J) Do đú: T (aĂ,q;, d„) € 82i = B(3) e Trường hợp 2: n = 0 Mọi phần tử a của A được cố định bởi phộp toỏn 0 ngụi T phải thuộc A, (j € J) nộna ộ€ DA; = B(3’) Vậy từ (1)(2)(3)(3') ta cú B là cấu trỳc con của A % Hệ quả
Giao của một họ bất kỳ những nhúm con, vành con, trường con, mụđun
con, khụng gian vectơ con, của một nhúm, vành, trường, mụđun, khụng
Trang 17
LUAN VAN TOT NGHIEP aa-.aaỏa GVHD: Phan Tragng Linh —
gian vectơ, (lần lượt ) A là một nhúm con, vành con, trường con, mụđun
con, khụng gian vectơ con, của A
s* Nhõn xột
Cho một cấu trỳc đại số <A, T> và một tập hợp con B của A Khi đú, giao của tất cả cỏc cấu trỳc con của A chứa B nếu khỏc rỗng thỡ nú là một cấu trỳc con của A
IV CẤU TRÚC CON SINH BỞI MỘT TẬP:
I Định nghĩa:
Cho một cấu trỳc đại số A, B làmột tập hợp con của A Cấu trỳc đại số con bộ nhất của A chứa B được gọi là cấu trỳc đại số con của À sinh ra bởi tập B
Ký hiệu: <B>
2 Định lý 1:
Cho cấu trỳc đại số <A, T> với T là một họ {Ti,.Ă ,l#ỉ
những phộp toỏn n; ngụi trờn A Gia sử B là một tập hợp con của A
Khi đú, nếu ah Aq khỏc rỗng, với (A„)„‹a là họ tất cả cỏc cấu trỳc
con của A chứa B thỡ: <B>= Ag eA a Chứng minh: Ta co: - Hiộn nhiộn: oO Aq la một cdu tric con ctia A chita B (1) a
- Giả sử cú <C, T> là một cấu trỳc con của <A, T> và B cC
Trang 18LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD; Phan Trung Linh
—aaaanaaeEeo)o) eee
Chỳ ý:
Trong trường hợp cấu trỳc đại số cú những phộp toỏn 0 - ngụi; ta cú thể định nghĩa cấu trỳc con sinh bởi ÿ như là cấu trỳc con sinh bởi những phần
tử biểu diễn những phộp toỏn 0-ngụi
3 Dinh ly 2:
Cho một cấu trỳc đại số <A, T> với T là một họ những phộp toan n,
Trang 19LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD) Phan Truộng Linh eee — ee <2> Ta chứng |] B, sinh bởi B Ă) Hiển nhiờn |] 8, >B iwl ii) Giả sử X là một cấu trỳc con của A va X > B ta cain chitng minh : Xa 5, tôl Thật vậy, ta cú : đe BCX =B,cX â Giả sử B,ạ —X (k = 2,3,4 ), ta cú By, = By U( U7(B") ) B,cX me |r (Bt ex nộn B, ; xX Do đú: B,eX ,vi>l => Ủằ,cx Từ (1)(2) ta cú: U B, là cấu trỳc con của A sinh bởi B j=l (do X là cấu trỳc con của A) Nhõn xột: Cấu trỳc con sinh bởi một tập hợp con B của một cấu trỳc đại số A luụn tổn tại và duy nhất % Cỏc vớ dụ: (1) Giả sử B là một bộ phận khỏc rỗng của một nhúm <A, , e, su Khi đú:
<B>=b,b; b/b, e B hay b, eBè,n eNj
(2) Giả sử B là một vành con của một vành A giao hoỏn cú đơn vị è ; d;, đ;, a„ € A Vành con sinh bdi B, a;, a2, .a, được ký hiệu B [a), ap,
Trang 20LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh
(3) Cho M la một mụđun trờn vành A giao hoỏn cú đơn vị I va một bộ phận N khỏc rỗng của M Ta cú: <N> ={ ajX; + Q2X2+ +a,x, /ne N’, ae A, x€ Nj
SVTH: Nguyộn Thi Mp Dung : Tra 19 Trudng Bai-Hoc Su-Pham no
Trang 21LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Truemg Linh
—— re ——————— ee
D — QUAN HE DONG DANG VA CAU TRUC
THUONG
I DINH NGHIA:
Cho mot c&u tric dai s6 <A, T> vdi T 1a một ho {Tj}, -; (I+ @)
những phộp toỏn n, ngụi trong A
- Một quan hệ tương đương 6 trờn A gọi là quan hệ đồng dạng
trờn A nếu với mọi phộp toỏn n ngụi T thuộc T và những phần tử a;, a;,
a„€ A; bị, bạ, , bạ € A sao cho a)6 b, ; a2 8 bp ; .; a, 8 bạ thỡ ta cú: T (a), @, , a„) 8 T(b;, bo, ,b,)
Hay ta núi: T duy trỡ ỉ8 với mọi T thuộc T
- Họ tất cả cỏc quan hệ đồng dạng trờn A được ký hiệu ỉ (A)
* Cú một mối quan hệ chặt chẽ giữa quan hệ đồng dạng và
cỏc ước chuẩn tắc trong cỏc cấu trỳc đại số thường gặp Sau đõy ta tỡm hiểu về:
II TẮC TRONG CÁC CẤU
GẶP:
(1) Trường hợp nhúm:
+ Giả sử B là một nhúm con của một nhúm A, ta định nghĩa: quan hệ 6 trong tập A như sau: “Vx,y c A, x 8é y âx''ye B” thỡ 2 là
Trang 22LUAN VAN TOT NGHIEP ŒVHD: Phan Trường Linh " Định nghĩa: Nhúm con B của nhúm A được gọi là một ước chuẩn tắc của A nếu Vx € A taco: xB = Bx Định lý : B là một ước chuẩn tắc của A khi và chỉ khi ễ là một quan hệ đồng dạng trờn A Chứng minh:
(—) Giả sử a;,ad›,b,,by e A thoả aĂứ bị ; a2 9 b>
Ta c6: (ayaz)' (byb2)= az'a;'b,b, = a5" (az'b, a, (a;'b, )
ma ay; Ob, - a;'b, eB va B là chuẩn tắc của A nờn : a;'(a!b,]u, e B Hon n@a: az Ob, 2> a;'b, cB Do dộ: (a;az)'(b)b2) e B Vay : a;a2 0 b;b>2 (<=) Ta cú: - _B là nhúm con của A (giả thiết ) (1) - VaecA,b e Bta cú: bỡeB=c'b'eB=b' 0e Vậy In = b~èa@&a = (s14) (2) Từ (l)(2) ta suy ra B là ước chuẩn tắc của A (2) Trường hợp vành:
* Giả sử B là một vành con của một vành A, ta định nghĩa quan hệ 8 trong tập A như sau: “V x,y e À,xếy @&x-yeB”
Trang 23LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trumg Linh
Ta cú : X- z = (x-Y) + (y-z) eB >x0: * Dinh nghia:
Một vành con B của một vành A được gọi là một iđờan của A nếu V a c A, Vb ec B thỡ ab , ba e B Một iđờan cũn gọi là
một ước chuẩn tắc trong một vành
Dinh lý:
Với B và A đó cho ở trờn ta cú:
B là một iđờan của A khi và chỉ khi 9 là một quan hệ đồng dang trộn A Chứng mỡnh: (=>) Giả sử Xj, X2 Y), Y2 € A thoả i (*) X,Y, Tit (*) > ‘* —3 S6) x,-y,€B L)Ta chứng mỡnh: (x; + x;) 8(yĂ+ y) Ta cú:
(x; + X2) - (Yi Y¿) = (Xi — yI)+(x¿ —Y¿) € B (do **) nờn: (xị + x;) O(y)+ y;)
ii) Ta chứng mỉinh : x;x; @ y;y2 Ta cú:
XiX¿~— VIY¿ = (XI-YĂ)X¿ + Yi(X2 — Y2)
mà B là iđờan của A nờn:
+ Với x, - yị e B, x; e A ta cú : (xị — yịèx; e B + Với x; - yạ € B, yị €A ta cú :YĂ (Xạ— Y¿) €B
Do đú: x,x; - Yạy¿ € B > x)X2 Oyiy2
Từ (Ù)(ii) ta suy ra é là một quan hệ đụng dạng trờn A
(â) - B là một vành con của vành A (giả thiết) (1)
- VaeA, VbcbB.Tacú:b-0=beB=>b00
aGa ‘ego a
Như vậy: ‘poo > \5a00 * |ba e BO
Từ (1) (2) ta suy ra B là một iđờan của A
Trang 24
LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Truộma Linh
a
(3) Trường hợp mụđun:
Giả sử N là một mụđun con của một mụđun M trờn một vành A ta
định nghĩa quan hệ 8 trong tập M như sau: “V x,y €M,xễy €âx-yeN”
Khi đú: ỉ là một quan hệ đồng dạng trờn tập M
Như vậy:
Mọi mụđun con N của một mụđun M đều là ước chuẩn tắc của M
II CẤU TRÚC THƯƠNG:
1 Định lý :
Cho <A, T> là một cấu trỳc đại số với T là một họ {T;), Ă (L# ỉ) những phộp toỏn nĂ (n, e N) ngụi trong A
Giả sử 9 e 9 (A) thỡ ta cú thể trang bị cho A/ 9 cỏc phộp toỏn để A/9 là
một cấu trỳc cựng loại với <A, T>
Chứ nh:
Với mọi T, e T và a/⁄@ , a, “ 9 đặt:
T; (a,/O, aJSđ, An A) = Thaj,2, An WO
Ta cú:
Gid sit (a)/O, aƠ@, ,a, /0 )= (b/ObY8, , by / A) = a,/0 = b/0; a⁄8 = b0 a„ /0 = b, /0 => a; Ob;, az Ob3, ., An A by
=> T; (4},2, , dạ ) ỉTị(b,,b;, ,bạ, ) => T,(di,d;›, , a, VO= Ti(bị,b;, bạ )/8
Vậy định nghĩa trờn là định nghĩa tốt
2 Định nghĩa
Cấu trỳc đại số <A/6 , T> xõy dựng như trờn được gọi là cấu trỳc
thương, thương của <A, T> bởi 9 Cỏc vớ dụ:
a) Cho B là nhúm con chuẩn tắc của nhúm A Ta thấy rằng:
B=C((e) tức là Vb B:b 0e Khi đú: A/ễ được ký hiệu là A/B là một
nhúm (thương)
Trang 25LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD; Phan Truộng Linh b) Cho B là một iđờan của một vành A Ta thấy rằng: B = C(0) tức
la Vb <B:b 00 Khi đú: A/0 được ký hiệu là A/B là một vành (thương)
c) Cho N la một mộdun con của một mụđun M trờn vành A.Ta thấy
N= C(0) tức la Vn eN:n900 Khi đú : M/ễ0 được ký hiệu là M/N là một mụ đun thương của mộdun M trờn mụđun con N
Trang 26
LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Tưường Linh
occ LLL EELS EE —————— — ———
E TRUC TIEP NHUNG CAU TRUC CUNG
LOẠI: I ĐỊNH NGHĨA:
Cho một họ (<A„.T> /œ e A, A # ỉ| cỏc cấu trỳc cựng loại, T là
một họ {T;};, -Ă (I # ỉ) những phộp toỏn n, ngụi trong A„
Ta định nghĩa trờn tớch Descarter H A„ một cấu trỳc cựng loại như
những cấu trỳc <A„, T> như sau:
Với mọi phộp toỏn n ngụi T € T va a), a2, a, â i A VỚIa,=(Ai_)„, 8z=(4; )„ õg=(As, )„ Ta định nghĩa: T(ay, a¿, aa) = (T(ay, a2, pa, a Khi đú: Cấu trỳc đại số <]] A„, T> gọi là tớch trực tiếp của những <A„, T>, œ A đằ Nhõn xột:
- Với mọi œ € A ta hiển nhiờn cú một quan hệ đồng dang 6, e 8 (A) được định nghĩa như sau: “Wx,y € A, x 8, y nếu X„ = yo “
Họ (ễ„, œcA } gọi là họ những quan hệ đồng dạng liờn hợp với tớch
trực tiếp những cấu trỳc đại số <A„ ,T>
- Nếu (T,}„„ A là một họ cỏc phộp toỏn 0 -ngụi thỡ ta xỏc định phộp
toỏn 0 -ngụi trờn i A.=Ala 1T,=(IT,)
II CÁC VÍDỤ:
(1) Cho một họ những nhúm (X,)„ ;Ă mà cỏc phộp toỏn đều ký hiệu
Trang 27LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD) Phan Trường Linh (2) Giả sử(A,},: Ă là một họ vành và giả sử A =[] A là tớch của
i
chỳng xem như cỏc nhúm cộng Aben Phộp nhan trong A dude xac dinh
như sau: (X,), al (Vidic j= (X,Y,), ôI
Khi đú A với phộp toỏn xỏc định như trờn là một vành (3) Giả sử {A,},.Ă, l #Ê @ỉ là một họ trường
Trờn tớch Descarter I] A; ta dinh nghia: “ Vx=(xb.y=(wje: L4, iel X+Y = (X+Y,) X.Y = (XV) * Phan ti đơn vị đối với phộp nhõn là phần tử của tớch mà thành phần thứ Ă là phần tử đơn vị của A,
Khi đú : I] A, cựng với cỏc phộp toỏn xỏc định như trờn là trường (4) Giả sử (M,) là một họ mụđun trờn vành A
Trờn tớch Descarter I] M, ta định nghĩa:
Trang 28LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trugng Linh
———eeee
F CAU TRUC DONG CAU I DINH NGHIA 1:
Cho hai cấu trỳc đại số cựng loại <A,T> và <B,T>, với T là một họ
Đ Ty hier (Ixỉ) những phộp toỏn n, ngụi xỏc định trong A và B
Một ỏnh xạ f: A -> B gọi là đồng cấu đại số nếu f bảo toàn mọi
n
phộp toỏn T, Tức là VT;(iel), V(a,a;, a„ ) EA ! Ta cú:
f (Ti(ai,82, aa,)) = T, (f(aĂ), f(a2), faq, ))
Ta gọi f(A) là ảnh đồng cấu của A Cỏc vớ dụ: 1 Vớ dụ 1: Một ỏnh xạ f từ nhúm A đến nhúm B sao cho f(ab)=f(a).f(b) (Va,beA) là một đồng cấu (nhúm) Giả sử a,b là hai phần từ tuỳ ý của A Ta cú: i) fler).fla) = fles.a) = fla) = enfla) => fler) = es ii) fla”) fla) = fla’.a)=fle,)= en = [fla)]" fla) = fla") = [fla]
Trang 29LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Truimg Linh ee EEE Giả sử a,b là hai phần từ bất kỳ của A ta cú: |) — Wfa+b)=ƒf{a)+ƒ(b) flab)=fla).f(b) i) = fla)+f(O,)=f(a+0,)=fla) fi 0,)=05 lit) f(a)+ff-a)=ffa-a)=ƒff04)=0s=f{a) + (- fla)) => fl-a)=-fla) Tit i),ii),iii) ta thay f bdo todn moi phộp toỏn trong A Do đú, f la một đồng cấu (vành)
2 Vớ dụ 3: Cho M,N là hai mụđun trờn vanh A, f:M > N Ia một anh xa sao cho trộn A: Vx,y eM, Va eA: f(x+y)=f(x)+f(y) f(ax)=af(x) là một đồng cấu (mụ đun) Chứng minh Giả sử x,y là hai phần tử bất kỳ của M ta cú: I ƒ[{xty)=f[x)+ffy) Va eA: f(ax)=affx) ii) — ffx)+ƒf{Ow)=f{x+0u)=ƒffx) => f(Ou)=0n tii) ffx)+ff-x)=f{x-x)=f(Ou)=0x=ffx)+(-ffx)) => fl-x)=f()
Tix i), ii), iii), ta thd’y ƒ bảo toàn cỏc phộp toỏn trong M, do đú ƒ là một đụng
cấu mụ đun trờn A
H ĐỊNH NGHĨA 2:
Trang 30LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh ee OO 2) Cho A là một cấu trỏc đại số và 8 là một quan hệ đụng dang trong A Ta cú: p: A> Af a -> 4⁄8
là một toàn cấu gọi là toàn cấu chớnh tắc
3) Xột song ỏnh từ nhúm nhõn cỏc số thực dương R` đến nhúm cộng cỏc số thực R sau: le: R" +ằ R x >Ígx Khi đú: lg là một đẳng cấu 4) Phộp nhỳng: (A„è ve J, :A, >? [l4.: ae! dạ k>( dạ)„ với ag= 0, Vzœ là một đơn cấu là một họ cỏc nhúm Š$) Phộp chiếu: Pi: HA; ~>A, — là một toàn cấu i (XJier > X Thật vậy: - Rừ ràng p, là một toàn ỏnh (]) - Matkhdc: V(a),a>, a,) € (H A," ,với aĂ=(qt,)¿„ dạ={(đ,, )Ă I Ta cú pĂ (T(aĂ,a;, a„))=pĂ [(T{a,, a; ,a„ ))} = T(a,, @y 54, ) T(p(aĂ).pÁa›) pÁaa)) = T{a,, 4; 4„ )
Trang 31L UAN VAN T OT NGHIE RP GVHD, Phan Trudng Linh
a
Chứng mỡnh:
Giả sử ta cú: <A,T>, <B,T> <C.,T> là cỏc cấu trỳc đại số cựng loại
va f: A > Bcine vdi g: B > C là cỏc đồng cấu
Ta chitng minh: gof la một dộng cdu Thật vậy: V†eT, T là phộp toỏn n ngụi (neN), V{aĂ,da›, d„) 6A” Ta cú: Gof (T(a;,a›, a„))=e(T(fa;).fa›) fa„))) (vif: dong cấu) = T(gfta,).efta›) e@fta„)) (vỡ ạ: đồng cấu) Vậy gof la một đồng cấu 2 Định lý 2:
Cho hai cấu trỳc đại số cựng loại <A,T> và <B,T>
Nếu f: A đ B là một đẳng cấu thỡ f':B A là một đẳng cấu Chil in} Ta cú:
* Êlà song ỏnh nờn ƒ ` la song dnh (1)
* Với mọi phộp toỏn T thuộc T và với mọi (Y,Va Y„) e 8", ta cú: Do ƒ là song ỏnh nờn 3!'x, (i=è,n ): f Í(y,)=x, Mặt khỏc do ƒ là đẳng cấu nờn: f[T(xĂ,x¿, x„)) = T(f(x:)/%a) (Ÿx„)) = Theol "(Sab (ya) (uf nd) = T(y,Y¿, Yad > T(X 1X2, Xn) =f "(Nyy + Yn)) = TỰ (vif “(ya), f Od =f (TO 2 Ynd) => f" la dộng cau (2) Tit (1)(2) ta suy raf 'Í là đẳng cấu Hộ qua Đồng cấu đại số f là một đẳng cấu khi và chỉ khi tổn tại một đồng ciug:B > Asaocho: gf=l„ va fg=1, Chit nh
Theo định lý trờn: ƒ là đẳng cấu â ƒ è là đẳng cấu
Do đú: ƒ là đẳng cấu â 3g = ƒ ”: B â A là một đẳng cấu sao
cho: — gof = fa'f = lạ và fog = fƒ ” = lạ
Trang 32LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh 3 Dinh ly 3: Cho một đồng cấu từ một cấu trỳc đại số <A,T> sang một cấu trỳc đại số cựng loại <B,T> Ta cú: ) — Nếu H là một cấu trỳc con của A thỡ f(H) cũng là một cấu trỳc con của B ii) Nộu K là một cấu trỳc con của B thỡ f ”(K) là một cấu trỳc con của Á Chứng mỡnh i) Ta cú : -H)z(vỡiHz(@í (1) -Với mọi phộp toỏn n ngụi T của T và với mọi bị, ,b„ của ƒ(H) Ta cú:
3ay :ffa,)=b,, I<kx<n
Trang 33LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trudng Linh
ee os
% Định nghĩa 3:
Cho f: <A,T> => <B,T> là một đồng cấu giữa những cấu trỳc đại số cựng loại Tập hợp sau đõy của A': {(x,y)e A?/f(x)=f(y)! gọi là “ hạt nhõn của f“ và được ký hiệu là kerf 4 Định lý 4: Hạt nhõn của một đồng cấu là một quan hệ đồng dạng Chứng mỡnh:
s kerƒf là một quan hệ tương đương trờn A( l) thật vậy:
i) — Đối xứng: V{(x,y)e kerƒf: f(x)=f(y)
= fy)=f(x) =Xy,x) e kerf li) — Phản xạ: ƒ(x)=ƒíx) =Xx,x) ckerƒf iii) Bắc cầu: Vf{x,y)ekerf, (y,z) ekerf Ta cú: Kọ dọ (097 f)3(xz)ekef % Hơn nữa: VTeT, T là phộp toỏn n ngụi và (a;,b;): (a;,bạ); :(a„b„)ckerf, (*) Tacú: ƒfa;)=ƒ(b;): :Í(a„,)=ƒf(b,) do (*) Do đú: ƒf{T(ai,a›, a„))=T(f(a,)fa›) /Va„)) (do ƒ là đụng cấu) =T (f(b.)#fb;) (b„)) =f(T(b,,b; b„)) (2) (do ƒ là đẳng cấu) Từ (1)(2) ta suy ra kerƒ là quan hệ đẳng dạng trờn A Š Vớ dụ:
Cho cấu trỳc đại số <A,T> và quan hệ đồng dạng 9
Trang 34LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh
6 é : lý cơ bản của đồng cấu đại
Cho ba cấu trỳc đại số cựng loại <A,T>,<B,T> và <C,T>.Cho đồng cấu f: A > B va toanc&ộug: A > C sao cho kerg G kerf
thỡ tần tại duy nhất một đồng cấu h: C > B sao cho f=hg Chứng mini ; Ta cú biểu đồ À::————yš'H e Xõydựưngh:C > B
Ta cú Vc eC, do ứ là toàn ỏnh nờn 3i 6A: g(a) = c Đặt h(c)=ƒ(a); h được xõy dựng hợp lý vỡ:
Giả sử 3u,a`: g(a)=g(a`)=c
=>(a,a') e kerg mà kergc kerƒ nờn (a,a`) ekerf
= fta)=fta'`)
Do đú: h(c)được xỏc định duy nhất
s ƒ=hc: A âB
ta 6A : (hg)(a)=h(g(a)) mà gớ(a) = c nờn:
h(g(a))=f[a) (theo định nghĩa)
Vậy hg = ƒ
â hla dong cấu:
VT eT, T la phộp toỏn n ngụi, Vc,,cs, c„) € C’ thi Fa},a2, , Ay sao cho: g(dĂ) = cĂ, g(đ;) = C¿, 8(đn) = Ca Do đú: h(T(cĂ,c¿, C„) = h(T{g(aĂ).g(4›) g(d,))) h(g(T{a,a›, a„)))_ (do ứ là đồng cấu) hg(T(a,a; a„))
ƒ[T(aĂ,a;, a„)) (do định nghĩa của h)
Trang 35LUAN VAN TOT NGHIEP CŒVHD Than Trường Linh
“=——ễỄễễễễễ —— -
se h là duy nhất
Giả sử cú ỏnh xạ h` thỏa cỏc điều kiện đó nờu
ve EC; Ja’ EA: gfa)=ec Ta co: h'(c) = h'(g(a)) = fla) = (hg a) = h(g(a)) = h(c) Vậy h là duy nhất Hệ quả 1:
Cho 6 la một quan hệ đồng dạng trong cấu trỳc đại số <A,T> Lỳc đú, với mọi đồng cấu f:A > B sao cho 6 C kerf thỡ tồn tại duy nhất một đồng cấu h: A/0 >3 B sao cho f = hp, trong đú p: A -> A/2 là toàn cấu tự
nhiờn
Chứng mỡnh:
Ta cú:
p là toàn cấu tự nhiờn nờn kerp = 0
mà kerf >9 => kerp C kerƒf
Ấp dụng định lý trờn với C = A/ễ g = p, kerp Œ kerƒ Ta sẽ cú duy
nhất đồng cấu h: A/@ > B sao cho ƒ = hp
Hệ quả 2:
Cho hai cấu trỳc đại số cựng loại <A,T> và <B,T> Nếu f: A > B là
một toàn cấu thỡ tổn tại duy nhất một đẳng cfu h: A/kerf > B sao cho f = hp, trong đú p là một toàn cấu tự nhiờn h mỡnh: Ta cú: f A >B +
p đúng vai trũ cua g trong định lý trờn
Do đú: tụn tại duy nhất đồng cấu h sao cho ƒ = hp (1)
Hơn nữa :
+ ƒlà toàn ỏnh =2 h là toàn ỏnh (2)
+ Giả sử với c, c° c kerƒ thoả: h'(c) = h(c)
SVTIH: Nguyễn Thị Mỹ Dun guy Y g i A rang 34
Trang 36
LUAN VAN TOT NGHIEP ŒVHD Phan Trường Linh ———— Thế thỡ: 3a, a': p{(a) = c, p(a') = c'ˆ Ta cú: h(c') =hớc) => h(p(a)) = h(p(a`)) =ffa) = fla’) mà kerƒ = kerp nờn: p(a) = p(a`) >c = c' Vậy h là đơn ỏnh (3) Từ (1) (2) và (3) ta suy ra: h là đẳng cấu và ƒ = hp 7 Dinh ly 6
Cho hai cấu trỳc đại số cựng loại <A,T> và <B,T> cựng với đồng cấu f: A đ>B;A; là cấu trỳc đại số con của A, A¿` là tạo ảnh toàn phần của
f(A Ă) bởi f; ngoài ra f, = f/A, va fy =f/Ay’
Trang 37LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh
TAF LIEU THAM KHAO
Te
Đại số đại cương của Hồng Xũn Sinh -_ Đại số của Serge Lang