Toan tap ve phuong phap ghep truc phan nhat linh

Tài liệu luyện thi THPT năm 2024 Toàn tập phương pháp ghép trục TOÀN TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Cơ sở phương pháp ghép trục hay gọi với tên gọi khác ghép bảng biến thiên Phương pháp giúp ta giải toán hàm hợp g = f ( u ( x ) ) Ta thực theo bước sau đây: Bước 1: Tìm tập xác định hàm g = f ( u ( x ) ) Giả sử tập xác định tìm sau: D = ( a1; a2 )  ( a3 ; a4 )   ( an −1; an ) , a1  −; an  + Bước 2: Xét biến thiên hàm u = u ( x ) hàm y = f ( x ) Lập bảng biến thiên kép, xét tương quan  x; u = u ( x )  u; g = f ( u )  (Bảng biến thiên thường có dịng) Dịng 1: Xác định điểm đặc biệt hàm u = u ( x ) , xếp điểm theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giải sử sau: a1  a2   an −1  an (xem ý số 1) ( ) Dòng 2: Điền giá trị ui = u ( ) , với i = 1, , n • ( ) ( ) Trên khoảng ( ui ; ui +1 ) , với i = 1, n − cần bổ sung điểm kì dị b1, b2 , bk hàm số y = f ( x ) • Trên khoảng ( ui ; ui +1 ) , với i = 1, n − , xếp điểm ui ; bk theo thứ tự, chẳng hạn: ui  b1  b2   bk  ui +1 ui  b1  b2   bk  ui +1 (xem ý số 2) Dòng 3: Xét chiều biến thiên hàm g = f ( u ( x ) ) dựa vào bảng biến thiên hàm y = f ( x ) cách hốn đổi u đóng vai trị x ; f ( u ) đóng vai trị f ( x ) Sau hoàn thiện bảng biến thiên g = f ( u ( x ) ) ta thấy hình dạng đồ thị hàm số Bước 3: Dùng bẳng biến thiên hàm hợp g = f ( u ( x ) ) để giải yêu cầu toán đưa kết luận GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Phiên năm 2024 Siêu hay siêu chất lượng Một số ý quan trọng sử dụng phương pháp ghép trục để giải toán hàm hợp: Chú ý 1: ▪ Các điểm đặc biệt u = u ( x ) gồm: điểm biên tập xác định D , điểm cực trị hàm số u = u ( x ) ▪ Nếu xét hàm u = u ( x ) dịng điểm đặc biệt cịn có nghiệm phương trình u ( x ) = ( hoành độ giao điểm hàm số u = u ( x ) với trục Ox ) ▪ Nếu xét hàm u = u ( x ) dịng điểm đặc biệt cịn có số ( hoành độ giao điểm u = u ( x ) trục Oy ) Chú ý 2: ▪ Có thể dùng thêm mũi tên để thể chiều biến thiên u = u ( x ) ▪ Điểm đặc biệt hàm số y = f ( x ) gồm: điểm f ( x ) f  ( x ) không xác định, điểm cực trị hàm số y = f ( x ) ▪ Nếu xét hàm g = f ( u ( x ) ) dịng điểm đặc biệt cịn có nghiệm phương trình f ( x) = ▪ ( ) Nếu xét hàm g = f u ( x ) dịng điểm đặc biệt cịn có số Trong tốn sử dụng phương pháp ghép trục, đề cho thông tin đồ thị bảng biến thiên hàm hợp f ( u ( x ) ) biết thông tin từ hàm số f ( x ) u ( x ) Từ ta hình thành sơ đồ tư bắt buộc sau: x → u ( x ) → f ( u ( x ) ) Sau số ví dụ minh họa: VÍ DỤ [Đề thức THPT năm 2023] Cho hàm số y = x − 32 x + Có giá trị nguyên tham số m cho ứng với m tổng nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −3;2 ) phương trình f ( x + x + 3) = m −4 ? A 145 B 142 C 144 D 143  LỜI GIẢI Chọn D Nhận xét: Phương trình x + x + = a ( a  ) có hai nghiệm x1 , x2 ta ln có x1 + x2 = −2 Phương trình f ( x + x + 3) = m (*) có tổng nghiệm phân biệt −4 phương trình (*) có nghiệm xảy trường hợp có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 tức phương trình f ( x + x + 3) = m phải có nghiệm phân biệt x = Ta có: f  ( x ) = x − 64 x Giải phương trình f  ( x ) =  x − 64 x =   x =   Đặt u ( x ) = x + x +  u ( x ) = x + Giải phương trình u ( x ) =  x + =  x = −1 Ta áp dụng phương pháp ghép trục để vẽ bảng biến thiên hàm số f ( u ( x ) ) sau: Theo đề ta xét khoảng từ ( −3;2 ) nên dòng x ta điền giá trị GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Tài liệu luyện thi THPT năm 2024 Toàn tập phương pháp ghép trục Với x =  u ( −1) = ; x = −3  u ( −3) = −6 ; x =  u ( ) = 11 ta điền giá trị u vào dòng Bây xét khoảng u ( x ) thuận chiều ngược chiều theo mũi tên Xét khoảng ( 2;6 ) có điểm cực trị x = ta điền vào dịng Tương tự khoảng ( 2;11) có điểm cực trị ta tiếp tục điền vào dòng Bây coi biến u tương tự biến x điền giá trị tương ứng vào bảng, ta bảng biến thiên hàm số f ( u ) sau: Từ bảng biến thiên, hàm số có nghiệm phân biệt −252  m  −108 Vậy có tất 143 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán VÍ DỤ [Đề thức THPT năm 2020 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x − x ) = m có nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng ( 0;+  ) ? A 25 B 30 C 29 D 34  LỜI GIẢI Chọn D Đặt u = x − x  u = x − =  x = Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên, hàm số có nghiệm phân biệt −3  GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 m   −18  m  12 Phiên năm 2024 Siêu hay siêu chất lượng VÍ DỤ Cho hàm số đa thức y = f ( x ) Hàm số y = f  ( x ) có đồ thị hình vẽ đây: Có tất giá trị tham số m   0;6 với 2m  có điểm cực trị? A B để hàm số y = f ( x − x − − x + m ) C D  LỜI GIẢI Chọn D Bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau:  x − x + − x + m x   x − x + m + x  Đặt u = x − x − − x + m =  = x   x − + x − x + m x   x + m − 2 2 x − x  x = Đạo hàm: u =  có đạo hàm không xác định x = , phương trình u =   x  x = 2 Sử dụng phương pháp ghép trục kết hợp với công thức đếm nhanh số điểm cực trị:   SĐCT f ( u ( x ) ) u ( x ) = a  = SĐCT u ( x ) +SNBL  u ( x ) = b   u ( x ) =   u ( x ) =        Hàm số u ( x ) có ba điểm cực trị  = + SNBL  u ( x ) =    u ( x ) =  =      u ( x ) =   u ( x ) =   u ( x ) =     Tức phương trình  u ( x ) =  có nghiệm bội lẻ (nghiệm đơn)    u ( x ) =  GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Tài liệu luyện thi THPT năm 2024 Toàn tập phương pháp ghép trục Bảng ghép trục sau: Để có nghiệm bội lẻ có hai trường hợp xảy ra: m −  m    7  m Trường hợp 1: m −   m −  3  m    m  ⎯⎯⎯ →m   2 m −  m    m −  m      m 0;6; m Trường hợp 2: m −   m   m  ⎯⎯⎯⎯⎯ → m  0; ;1; ;2   2  m −  m    Từ hai trường hợp suy có tất giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu tốn VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = ( x − 2024 ) ( x − 16 ) với x  ( Có ) giá trị nguyên tham số m để hàm số g ( x ) = f x − 12 x + 4m có 11 điểm cực trị? B A C  LỜI GIẢI Chọn C  x = 2024 Ta có: f  ( x ) = ( x − 2024 ) ( x − 16 ) =   x =   x = −4 Đặt u = x ( 3x − 12 x + 4m  u = − 12 )( x3 − 12 x ) x3 − 12 x  x = 2  =  x =  x = 2  Sử dụng phương pháp ghép trục: GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 D Phiên năm 2024 Siêu hay siêu chất lượng Sử dụng công thức đếm nhanh số điểm cực trị:   SĐCT f ( u ( x ) ) u ( x ) = a  = SĐCT u ( x ) +SNBL  u ( x ) = b   u ( x ) =   u ( x ) =        Hàm số u ( x ) có điểm cực trị  11 = + SNBL  u ( x ) = −4    u ( x ) = −4  =      u ( x ) = 2024  u ( x ) = 2024 u ( x ) =  Từ bảng biến thiên, yêu cầu toán suy u ( x ) = −4 có nghiệm phân biệt u x = 2024  ( )  4m  m    Yêu cầu toán  4m  −4  m  −1  502  m  506 4m  2024  16 + 4m 4m  2024  16 + 4m   Vậy có tất giá trị nguyên tham số m thỏa mãn u cầu tốn VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ đây: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x ) − 12 f ( x ) − m = có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( − ;1) ? A B C D  LỜI GIẢI Chọn A Đặt u = f ( x ) ta có g ( u ) = f ( x ) − 12 f ( x ) − m  g ( x ) = 3x − 12 x − m Bảng biến thiên hàm số g ( x ) sau: GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Tài liệu luyện thi THPT năm 2024 Toàn tập phương pháp ghép trục Sử dụng phương pháp ghép trục: −9 − m  m  −10 Để phương trình có nghiệm phân biệt     −11  m  −10 −12 − m  −1 m  −11 Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu tốn VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Có số ngun m để phương trình log ( f ( x ) + m ) = log ( f ( x ) ) có nghiệm phân biệt? A C B D  LỜI GIẢI Chọn D Đặt u = log ( f ( x ) + m ) = log ( f ( x ) )  f ( x ) + m = 6u f ( x ) = 4u  f ( x ) = 2.4u Từ ta suy ra: 6u − 2.4u = m  log f ( x ) − f ( x) = m u   2.ln Xét hàm số g ( u ) = − 2.4  g  ( u ) = ln − 2.4 ln =  ln = 2.4 ln    = ln 2 u u u u u u  2.ln  Khi đó: u = log   = 1,07 Do số không đẹp nên ta đặt u = a với a  1,07  ln  Sử dụng phương pháp ghép trục: GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Phiên năm 2024 Siêu hay siêu chất lượng Từ bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm phân biệt −2  m  Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán f ( x ) = + lim f ( x ) = + VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Biết xlim →+ x →− Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f (1 − x ) − f (1 − x ) + là: A 13 B 11 C 17 D 15  LỜI GIẢI Chọn D Xét hàm số h ( x ) = f ( x ) − f ( x ) + g ( x ) = h (1 − x ) Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số f ( x ) số điểm cực trị hàm số f ( ax + b ) với a  Xét hàm số k ( x ) = f ( x ) − f ( x ) + Đặt u = f ( x ) suy u ( f ( x ) ) = f ( x ) − f ( x ) + Sử dụng phương pháp ghép trục kết hợp với công thức đếm nhanh số điểm cực trị: Khi hàm số có dạng: u = x − x +  u = − x =  x = GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Tài liệu luyện thi THPT năm 2024 Tồn tập phương pháp ghép trục Sử dụng cơng thức: SĐCT f ( x ) = SĐCT  f ( x ) + SNBL  f ( x ) = 0 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số f ( x ) có điểm cực trị Phương trình f ( x ) = có nghiệm bội lẻ nên hàm số có tất 13 điểm cực trị VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có bảng biến thiên sau: Hỏi hàm số y = f ( x ) − f ( x ) nghịch biến khoảng đây? A (1;2 ) B ( 3;4 ) C ( − ;1)  LỜI GIẢI Chọn D Đặt u = f ( x )  g ( u ) = u − 3u Xét hàm số g ( x ) = x − 3x có bảng biến thiên sau: Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên, hàm số nghịch biến khoảng ( 2;3) GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 D ( 2;3) Phiên năm 2024 Siêu hay siêu chất lượng Đặt u = x + 1 ( x + 1)( x − 1)  u = − = x  x x x2 x = nên u =    x = −1 Sử dụng phương pháp ghép trục:  m  −12 1  Từ bảng biến thiên, phương trình f  x +  = m có bốn nghiệm   x   m = −16 Vậy m  −16; − 11; − 10; ; −1 nên có tất 11 giá trị thỏa mãn Câu 13: Cho hàm số f ( x ) = hai nghiệm? A x Có giá trị nguyên m để phương trình f ( x − 1) = m có x +1 B C Lời giải: D Chọn D (1 − x )(1 + x ) =   x = x − x2  Ta có: f ( x ) =  f ( x) = = 2  x = −1 x +1  ( x + 1) ( x2 + 1) 1 Khi đó: f ( −1) = − ; f (1) = 2 Đặt u = x −  u = x =  x = Sử dụng phương pháp ghép trục:  −  m  Từ bảng biến thiên, phương trình f ( x − 1) = m có hai nghiệm   m =  Vậy m = nên có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 28 Tài liệu luyện thi THPT năm 2024 Toàn tập phương pháp ghép trục Câu 14: Cho hàm số f ( x ) = x − 3x Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x + 3x ) = m có ba nghiệm? A 49 B 50 C 48 Lời giải: D 47 Chọn A  x = −1 Ta có: f ( x ) = x3 − 3x  f  ( x ) = 3x − =   Khi đó: f ( −1) = 2; f (1) = −2 x =  x = −2 Đặt u = x3 + 3x  u = 3x + x =   x = Sử dụng phương pháp ghép trục: Do đó, phương trình f ( x + 3x ) = m có ba nghiệm phân biệt   m  52 Vậy có tất 49 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn Câu 15: Cho hàm số f ( x ) = x3 + x Có tất giá trị nguyên âm tham số m để phương trình f ( x − ) = m có hai nghiệm? A B C Lời giải: D Chọn A  x3 + 3x x  3x + x  Ta có: f ( x ) =  nên từ ta suy hàm số  f ( x) =   x − 3x x  3x − x  khơng có đạo hàm x = , đồng thời f  ( x ) =  x = −1 Khi bảng biến thiên hàm số f ( x ) sau: Đặt u = x −  u = x = −  x = Sử dụng phương pháp ghép trục: 29 GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Phiên năm 2024 Siêu hay siêu chất lượng m  Từ bảng biến thiên, phương trình f ( x − ) = m có hai nghiệm    −52  m  Vậy có tất 51 giá trị nguyên âm m thỏa mãn yêu cầu Câu 16: Cho hàm số f ( x ) = x + 3x Số điểm cực trị hàm số y = f ( x + x − ) là: A B C Lời giải: D Chọn B  x = −2 Ta có: f ( x ) = x3 + 3x  f  ( x ) = 3x + x =   Khi đó: f ( −2 ) = 4; f ( ) = x = 2 x − x   Đặt u = x + x − , ta có: u = 2  x  Đồ thị hàm số y = u ( x ) sau: −2 x − x   Sử dụng phương pháp ghép trục: Vậy hàm số y = f ( x + x − ) khơng có điểm cực trị GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 30 Tài liệu luyện thi THPT năm 2024 Toàn tập phương pháp ghép trục Câu 17: Cho hàm số f ( x ) = x − x Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x + x − ) = m có bốn nghiệm? A 16 B 18 C 14 Lời giải: D 17 Chọn D x = Ta có: f ( x ) = x3 − x  f  ( x ) = 3x − 12 x =   Khi đó: f ( ) = 0; f ( ) = −32 x = 2 x − x   Đặt u = x + x − , ta có: u = 2  x  Đồ thị hàm số y = u ( x ) sau: −2 x − x   Sử dụng phương pháp ghép trục: Vậy phương trình f ( x + x − ) = m có bốn nghiệm  −32  m  −16 Vậy có tất 17 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 18: Cho hàm số f ( x ) = x3 − x Biết m   a ; b ) hàm số y = f  f ( f ( x ) ) + m  có 12 điểm cực trị Giá trị biểu thức M = a + b bằng: A 13 B 16 C 20 D 25 Lời giải: Chọn A  x3 − 3x x  3x − x  Ta có: f ( x ) =  nên từ ta suy hàm số  f ( x) =   x + 3x x  3x + x  đạo hàm x = , đồng thời f  ( x ) =  x = Khi bảng biến thiên hàm số f ( x ) sau: 31 GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Phiên năm 2024 Siêu hay siêu chất lượng Đặt u = f ( f ( x ) ) t = f ( x ) Sử dụng phương pháp ghép trục: Kết hợp sử dụng công thức đếm nhanh số điểm cực trị hàm số f ( u ( x ) + m )  u ( x ) + m = a  SĐCT f ( u ( x ) ) = SĐCT u ( x ) + SBBL     u ( x ) + m = b    Áp dụng vào toán: Từ biến thiên ta thấy u ( x ) có điểm cực trị nên suy ra:  u ( x ) + m =  12 = + SBBL     SBBL u x + m = ( )     u ( x ) = − m   =8 u x − = − m ( )    Phác họa đồ thị hai hàm số y = u ( x ) y = u ( x ) − hệ trục tọa độ Đường thẳng y = −m cắt hệ đồ thị điểm phân biệt  −3  − m  −2   m   m   2;3) Khi đó: a = 2; b = nên M = a + b = 22 + 32 = 13 GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 32 Tài liệu luyện thi THPT năm 2024 Toàn tập phương pháp ghép trục Câu 19: Cho hàm số f ( x ) = x + x + Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x + m + m + 1) đồng biến khoảng ( 4;+  ) ? A C Lời giải: B D Chọn C Ta có: f ( x ) = x + x +  f  ( x ) = x + x Do hàm số f ( x ) đồng biến ( 0;+  ) Đặt u = x + m + m + , hàm số u ( x ) có điểm cực trị x = −m có bảng biến thiên sau: Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên, để hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 4;+  ) ( 4; +  )  ( − m ; +  ) nên − m   m  −4 Vậy có giá trị nguyên âm tham số m thỏa mãn Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm có bảng biến thiên sau: ( ) Số điểm cực đại hàm số g ( x ) = f x − x − + x − 13 là: A B 10 C Lời giải: D Chọn A Đặt u ( x ) = x − x − + x − 13 Nhận xét: x − x − = ( x − x − ) = ( x + 1)( x − ) nên ta có bảng xét dấu: 2 x − x − + x − 13 x  ( − ; − 1)  ( 4; +  ) Ta có: u ( x ) =  2 −2 x + x + + x − 13 x   −1;4 6 ( x − 1) x  ( − ; − 1)  ( 4; +  ) Khi đó: u ( x ) =  −2 ( x − 3) x   −1;4 Bảng biến thiên hàm số u ( x ) sau: 33 GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Phiên năm 2024 Siêu hay siêu chất lượng ( ) Xét hàm số g ( x ) = f x − x − + x − 13 = f ( u ( x ) ) có số điểm cực trị a + b a số điểm cực trị hàm số f ( u ( x ) ) b số nghiệm đơn nghiệm bội lẻ phương trình f ( u ( x ) ) = Sử dụng phương pháp ghép trục: Dựa vào bảng biến thiên hàm số f ( u ( x ) ) ta thấy a = b = Suy hàm số g ( x ) có 17 điểm cực trị g ( x ) = + nên số điểm cực tiểu nhiều số điểm cực đại nên hàm số g ( x ) Vì xlim →+ có điểm cực tiểu điểm cực đại Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Số nghiệm phương trình f ( sin x + cos x ) + = đoạn  0;4  là: A C Lời giải: B D Chọn B       Đặt u = sin x + cos x = sin  x +   u = cos  x +  =  cos  x +  = 4 4 4      = + k ( k  ) x=  + k ( k  )   5 9 13  Xét đoạn  0;4   x   ; ; ;  4 4  Sử dụng phương pháp ghép trục:  x+ GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 34 Toàn tập phương pháp ghép trục Tài liệu luyện thi THPT năm 2024 Từ bảng biến thiên, đoạn  0;4  hàm số có nghiệm phân biệt Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m để phương trình  f ( x )  −  f ( x )  = m có số nghiệm nhiều nhất? A 11 B 12 C 13 D 14 Lời giải: Chọn B Đặt u = f ( x ) phương trình trở thành 2u − 9u = m u = Xét hàm số g ( u ) = 2u − 9u  g  ( u ) = 6u − 18u =   u = Sử dụng phương pháp ghép trục: Phương trình có nhiều nghiệm −20  m  −7 nên có 12 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán 35 GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Phiên năm 2024 Siêu hay siêu chất lượng Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ đây: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x ) − 12 f ( x ) − m = có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( − ;1) ? A B C Lời giải: D Chọn C Ta có: 3 f ( x ) − 12 f ( x ) − m = 3 f ( x ) − 12 f ( x ) − = m f ( x ) − 12 f ( x ) − m =    3 f ( x ) − 12 f ( x ) − m = −1 3 f ( x ) − 12 f ( x ) + = m Đặt u = f ( x ) , xét hàm số g ( u ) = 3u − 12u −  g  ( u ) = 6u − 12 =  u = Sử dụng phương pháp ghép trục:  g (u ) = m Ta cần tìm m để hệ  có nghiệm phân biệt Ta phác họa đồ thị hai hàm  g ( u ) + = m số hệ trục tọa độ sau: Để hệ có nghiệm phân biệt −11  m  −10 nên m  −10 GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 36 Tài liệu luyện thi THPT năm 2024 Toàn tập phương pháp ghép trục Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ đây: Hàm số y = f ( x + ( x − ) ) có điểm cực tiểu? B A D C Lời giải: Chọn B Đặt u = x + ( x − ) = Ta có đạo hàm: u = Khi đó: f ( −2 ) = ( x + 2) ( x − 2) x+2 ( x − 2) + ( x + 2) ( x + 2) f ( ) = −4 2 = 2x ( x + 2) ( x + 2) x   x = −2 \ 2 =   x = Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số cho có điểm cực tiểu Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số giá trị nguyên tham số m   −10;10 để phương trình  f ( x )  = m  f ( x ) + 1 có nghiệm là: A 16 B 15 C 14 D 13 Lời giải: Chọn D f ( x) u2 Phương trình cho tương đương với = m = m Đặt u = f ( x ) ta u +1 f ( x) + 37 GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Phiên năm 2024 Siêu hay siêu chất lượng Khi phương trình trở thành g ( f ( x ) ) = m Xét hàm số g ( u ) = 2u ( u + 1) − u u ( u + ) u = u2  g(u ) = = =0 2 u +1 ( u + 1) ( u + 1) u = −2 Sử dụng phương pháp ghép trục:  m  −4 Từ bảng biến thiên, phương trình cho có nghiệm phân biệt   kết hợp với   m  64  m  điều kiện  nên suy m  −10; − 9; − 8; ; − 5  1;2; ;7 m   −10;10 Vậy có tất 13 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm , hàm số y = f  ( x ) có đồ thị hình vẽ (biết đường thẳng y = đường tiệm cận ngang đồ thị) Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( x − x ) − x là: A B C D Lời giải: Chọn B Xét đạo hàm: g  ( x ) = ( x − ) f  ( x − x ) − 3x = ( x − 1) f  ( x − x ) − x  x2 2    Ta có: g ( x ) =  ( x − 1) f ( x − x ) = x  f ( x − x ) = x −1 Đặt u = x − x  u = x − =  x = Sử dụng phương pháp ghép trục: GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 38 Tài liệu luyện thi THPT năm 2024 Toàn tập phương pháp ghép trục x2 Đồ thị hàm số y = phác họa hình vẽ sau: x −1 Do phương trình f  ( x − x ) = x2 có hai nghiệm phân biệt nên hàm số cho có x −1 hai điểm cực trị Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm , hàm số y = f  ( x ) có đồ thị hình vẽ đây: Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( x − x ) − 2ln ( x + 1) là: A B C Lời giải: D Chọn C Hàm số g ( x ) có tập xác định ( −1; +  ) Ta có: g  ( x ) = ( x − ) f  ( x − x ) −  g( x ) =  f ( x2 − 2x ) = x +1 x −1 Đặt u = x − x  u = x − =  x = Sử dụng phương pháp ghép trục: 39 GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Phiên năm 2024 Siêu hay siêu chất lượng , xét tương giao hai hàm số y = h ( x ) y = f  ( x − x ) x −1 hệ trục tọa độ sau: Xét hàm số h ( x ) = Chú ý tập xác định hàm số g ( x ) D = ( −1; + ) nên ta xét miền xác định Một số trường hợp xét toàn sai Từ đồ thị ta thấy phương trình g  ( x ) = có nghiệm phân biệt nên hàm số cho có điểm cực trị Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm , hàm số y = f  ( x ) có đồ thị hình vẽ (biết f  ( x ) có ba điểm cực trị −4; − ) Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x + x ) − x có điểm cực trị? A B C Lời giải: D Chọn B Xét đạo hàm g  ( x ) = ( x + ) f  ( x + x ) − x  g  ( x ) =  f  ( x + x ) = x x +1 Đặt u = x + x  u = x + =  x = −1 Sử dụng phương pháp ghép trục: GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 40 Tài liệu luyện thi THPT năm 2024 Toàn tập phương pháp ghép trục x , xét tương giao hai hàm số y = h ( x ) y = f  ( x + x ) x +1 hệ trục tọa độ sau: Xét hàm số h ( x ) = Từ đồ thị ta thấy phương trình g  ( x ) = có nghiệm phân biệt nên hàm số cho có điểm cực trị Câu 29: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ đây: Biết f ( −2 ) = −3 ; f ( 3) = 4; f ( ) = f ( −5 ) = 16 Hỏi có tất giá trị nguyên ( ) tham số m để phương trình f − x − x = m + 2024 có nghiệm phân biệt? A B Chọn B 41 GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 C Lời giải: D Phiên năm 2024 Siêu hay siêu chất lượng Đặt u = − x − x  u = − ( 2x − 6) ( x − 6x ) x2 − x x = =   x =  x = Sử dụng phương pháp ghép trục: Vậy phương trình có nghiêm phân biệt   m + 2024  16  −2020  m  −2008 Vậy có tất 11 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán GV Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 42