Toàn cảnh phương pháp ghép trục

LÍ THUYẾT  Cơ sở phương pháp ghép trục giải toán hàm hợp g  f  u  x   Ta thực theo bước sau đây:  Bước 1: Tìm tập xác định hàm g  f  u  x   Giả sử tập xác định tìm sau: D   a1 ; a2    a3 ; a4     an1 ; an  , a1   ; an    Bước 2: Xét biến thiên hàm u  u  x  hàm y  f  x  Lập bảng biến thiên kép, xét tương quan  x; u  u  x  u; g  f  u   (Bảng biến thiên thường có dòng)  Dòng 1: Xác định điểm đặc biệt hàm u  u  x  , xếp điểm theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giải sử sau: a1  a2   an1  an (xem ý số 1)    Dòng 2: Điền giá trị ui  u   , với i  1, , n     Trên khoảng  ui ; ui1  , với i  1, n  cần bổ sung điểm kì dị b1 , b2 , bk hàm số y  f  x  Trên khoảng  ui ; ui1  , với i  1, n  , xếp điểm ui ; bk theo thứ tự, chẳng hạn: ui  b1  b2   bk  ui1 ui  b1  b2   bk  ui1 (xem ý số 2)  Dòng 3: Xét chiều biến thiên hàm g  f  u  x   dựa vào bảng biến thiên hàm y  f  x  cách hốn đổi u đóng vai trị x ; f  u  đóng vai trị f  x  Sau hoàn thiện bảng biến thiên g  f  u  x   ta thấy hình dạng đồ thị hàm số  Bước 4: Dùng bẳng biến thiên hàm hợp g  f  u  x   để giải yêu cầu toán đưa kết luận  Một số ý quan trọng sử dụng phương pháp ghép trục để giải toán hàm hợp  CHÚ Ý 1:  Các điểm đặc biệt u  u  x  gồm: điểm biên tập xác định D , điểm cực trị hàm số u  u  x   Nếu xét hàm u  u  x  dịng điểm đặc biệt cịn có nghiệm phương trình u  x   ( hoành độ giao điểm hàm số u  u  x  với trục Ox )    Nếu xét hàm u  u x dịng điểm đặc biệt cịn có số ( hoành độ giao điểm u  u  x  trục Oy )  CHÚ Ý 2:  Có thể dùng thêm mũi tên để thể chiều biến thiên u  u  x   Điểm đặc biệt hàm số y  f  x  gồm: điểm f  x  f   x  không xác định, điểm cực trị hàm số y  f  x   Nếu xét hàm g  f  u  x   dịng điểm đặc biệt cịn có nghiệm phương trình f  x      Nếu xét hàm g  f u  x  dịng điểm đặc biệt cịn có số VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau:   5  Số nghiệm thuộc đoạn   ;  hàm số f cos x  cosx   2  A 11 B 10 C D 12   Lời giải Chọn B Tiến hành đặt u  cos2 x  cosx Đạo hàm u  2.cos x.sin x  sin x  sin x   cos x  sin x   x  k  x  0;  ; 2 Giải phương trình: u    cos x   x     k  x    ; 5 ; 7  3 3 Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên ta có phương trình f  u   có tất 10 nghiệm phân biệt VÍ DỤ 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để phương trình f  f  x     nghiệm phân biệt Số phần tử tập S là? A 10 B 32 C m có D 34 Lời giải Chọn D Đặt u  f  x   Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực trị x  x  Sử dụng phương pháp ghép trục:  m  11   2 8  m  26 Từ bảng biến thiên, phương trình có nghiệm phân biệt      m  13  22  m  4  Vậy có 34 giá trị m thỏa mãn VÍ DỤ 3: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ   Hỏi phương trình f x  3x có điểm cực trị thuộc đoạn 2;  ? B 17 A 10 D 15 C 12 Lời giải Chọn B Đặt u  x  3x  x  3x  x  u  x Giải phương trình đạo hàm u  3   3x 3x  x  3x   3x 3x2  x  3x         xx  01   x   Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên, suy hàm số   ;  có 17 điểm cực trị VÍ DỤ 4: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ Hỏi có giá trị nguyên tham số m để phương    f   cos x  3m  10 có ba nghiệm phân biệt thuộc   ;   2  A 10  B D C 15 Lời giải   Phương trình cho tướng tương với f   3cos x  Đặt u    3cos x  u  Giải phương trình đạo hàm u  3sin x  3cos x 3sin x  3cos x 3m  10 0  x 0 Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên, yêu cầu toán  3m  10  2  m   trình BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ  3  Số nghiệm thuộc khoảng   ;3  phương trình f  sin x   f  sin x      A 13 B 12 C 11 D 10 Câu 2: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  dx  ex  f có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  x      là: A Câu 3: B C 10 D Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau:   Hỏi phương trình f x   x   có nghiệm thực? A 12 B C D Câu 4: Cho bảng biến thiên hàm số f   x  hình vẽ Hỏi phương trình f  x  x  3   có nghiệm thực x tương ứng? A Câu 5: B C D Cho bảng biến thiên hàm số f   x  hình vẽ Biết f    3; f    Hỏi có giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x  3x    m  có nhiều nghiệm nhất? A Câu 6: B C D Cho hàm số f  x  liên tục  , thỏa mãn f  1   f   có bảng biến thiên sau: Số nghiệm phương trình f A B    5  cos  x   cos x   cos x  khoảng  0;  là?   C D Câu 7: Cho hàm số f  x  liên tục  có bảng biến thiên hình bên Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f  cos x     m  f  cos x   m  10  có    nghiệm phân biệt thuộc đoạn   ;     A B C Câu 8: D Cho f ( x ) hàm đa thức bậc có đồ thị hàm số y  f ( x ) hình vẽ Hỏi hàm số y  g ( x )  f  x  x   có điểm cực trị? A Câu 9: B C D Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có bảng xét đấu đạo hàm f   x  hình  vẽ bên Hàm số g  x   f   x A  0;1 B  1;   đồng biến trên: C  1;  D  3; 1 Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có bảng xét đấu đạo hàm f   x  hình   vẽ bên Hàm số g  x   f 1   x  x nghịch biến trên: A  5;  B  1;  C  2;  D  3;5  BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.D 3.C 4.D 5.D 6.A 7.B 8.C 9.C 10.D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ  3  Số nghiệm thuộc khoảng   ;3  phương trình f  sin x   f  sin x      A 13 B 12 C 11 D 10 Bài làm: Chọn A f   f  sin x   f Ta giải phương trình: f  sin x   f  sin x        f  sin x   f f  Bảng biến thiên: Kết hợp bảng biến thiên đồ thị tương giao:  sin x    sin x   3  sin x   2  sin x   Ta thấy: Với x   1;1 phương trình ln có nghiệm Với x   0;1 phương trình có nghiệm  3  Vậy số nghiệm phương trình thuộc khoảng   ;3  3.4   13   Câu 2: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  dx  ex  f có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  x      là: A Đặt g  x   x    B  x  5 Giải phương trình g   x   C 10 Bài làm:  x  5   g  x   x  5  x  5  x  5 D 0 x Ta lập bảng biến thiên hàm số g  x  sau: u cầu tốn trở thành: tìm số nghiệm phân biết phương trình f  g  x     Kẻ đường thẳng y  lên đồ thị sau: Từ bảng biến thiên ta thấy, số nghiệm phương trình thuộc  2;   số nghiệm phương trình thuộc  ; 2 Mà  2;   phương trình có nghiệm nên  ; 2 có nghiệm Vậy phương trình có   nghiệm phân biệt Câu 3: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau:   Hỏi phương trình f x   x   có nghiệm thực? A 12 C Lời giải B Chọn C D      f x 1 x 1  Điều kiện xác định: x  Ta có: f x   x      f x   x   1  Đặt u  x   x   u      x  x 1 Sử dụng phương pháp ghép trục:   Từ bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm phân biệt Câu 4: Cho bảng biến thiên hàm số f   x  hình vẽ Hỏi phương trình f  x  x  3   có nghiệm thực x tương ứng? A B C Lời giải D Chọn D Đặt x   2t , đưa bảng biến thiên hàm số f   x  bảng biến thiên hàm số f  x  Ta có bảng biến thiên hàm số f  x  sau:  f u   Đặt u  x  x  , phương trình trở thành f  u       f  u   1 Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình có tất nghiệm thực x Câu 5: Cho bảng biến thiên hàm số f   x  hình vẽ Biết f    3; f    Hỏi có giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x  3x    m  có nhiều nghiệm nhất? A B C Lời giải D Chọn D Đưa bảng biến thiên hàm số f  x  cách đặt x   2t  f  x   f   2t  Bảng biến thiên hàm số f  x  sau:  f u   m  Đặt u  x  x  phương trình trở thành f  u   m     f  u   m  Sử dụng phương pháp ghép trục 3  m   Để phương trình có nhiều nghiệm     m   m  3; 4 0  m   Câu 6: Cho hàm số f  x  liên tục  , thỏa mãn f  1   f   có bảng biến thiên sau: Số nghiệm phương trình f A  B   5  cos  x   cos x   cos x  khoảng  0;  là?   C Lời giải D Chọn A   3cos x  Ta đặt u  2cos3  x   2cos x   2cos x  u '  sin x   2   2cos3  x   2cos x      5   voi x 0;     sin x    x   ; 2 Giải phương trình u   3cos x      vo nghiem   2cos3 x  cos x     Sử dụng phương pháp ghép trục: Từ bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm phân biệt Câu 7: Cho hàm số f  x  liên tục  có bảng biến thiên hình bên Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f  cos x     m  f  cos x   m  10  có    nghiệm phân biệt thuộc đoạn   ;     A B C Lời giải Chọn B x     Đặt u  cos x  u    sin x    ( với x    ;   )   x   D  f u   2 Khi phương trình cho trở thành f  u     m  f u   2m  10     f  u   m  Sử dụng phương pháp ghép trục: Do phương trình f  u   có nghiệm nên yêu cầu toán tương đương với phương trình m f  u   m  có nghiệm 4  m     m    m 1;2;3;4;5;6 Câu 8: Cho f ( x ) hàm đa thức bậc có đồ thị hàm số y  f ( x ) hình vẽ Hỏi hàm số y  g ( x )  f  x  x   có điểm cực trị? A B C Lời giải Chọn C Đặt u  x  x   u   x    x  2 Sử dụng phương pháp ghép trục: D Từ bảng biến thiên, suy hàm số có điểm cực trị Câu 9: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có bảng xét đấu đạo hàm f   x  hình  vẽ bên Hàm số g  x   f   x A  0;1  đồng biến trên: B 1;  C  1;  D  3; 1 Lời giải   Đặt g  x   f   x  f  u  , u    x , với x   2;  Sử dụng phương pháp ghép trục: Suy hàm số đồng biến khoảng  2;  Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có bảng xét đấu đạo hàm f   x  hình   vẽ bên Hàm số g  x   f 1   x  x nghịch biến trên: A  5;6  B  1;   Đặt: g  x   f 1   x  x C  2;  D  3;5  Lời giải Sử dụng phương pháp ghép trục:   f u  với u  1   x  x x   2;      Vậy hàm số nghịch biến khoảng 1;3  3;3  Câu 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  , f  2   có bảng biến thiên   Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f x    m có nghiệm thực phân biệt? A B Câu 2: C D Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị ngun tham số m để phương trình f  x   x  1   log m có năm nghiệm phân biệt? A 990 Câu 3: B 991 C 989 D 913  a  b   Cho hàm số y  f  x   x  ax  bx  3, a, b tham số thực thỏa mãn   24   3a  b   Hỏi phương trình f  x  f ''  x    f '  x   có nghiệm? A Câu 4: B C D Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f  x3  x    A 15 B 14 C 12 D 13 Câu 5: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  ,có đồ thị f '  x  hình vẽ Có giá trị nguyên m   10;10  để hàm số  x3   g  x  f    (2m  1)( x  x  2019) đồng biến khoảng  ;    ?   A B C 11 D 10 Câu 6: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên    tham số m để phương trình f x  x   log m có năm nghiệm phân biệt ? A 990 Câu 7: B 991 C 989 D 913 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  có bảng biến thiên sau   Số điểm cực đại hàm số g  x   f x  8x   x2  A B C D Câu 8:   Cho hàm số y  f  x có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thuộc đoạn 2 ; 3  phương trình  f  sin x  2   A 11 Câu 9: B 15 C Cho hàm sô y  ax  bx3  cx  dx  e  a, b, c, d , e    , biết f 1  D 1 đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Hàm số g  x   f  x   x  x đồng biến khoảng A  2;   B  1;1 C 1;2  D  ;  1 Câu 10: Cho hàm số bậc bốn f  x   ax4  bx3  cx2  dx  e  a, b, c, d , e    , biết f 1   đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ Hàm số g  x   f  x   x2  x đồng biến khoảng A  2;   B  1;1 C 1;2  D  ; 1 Câu 11: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y  f   x  x  hình vẽ Hỏi hàm số y  f  x 1  x  đồng biến khoảng nào? A 3;  2 B 1; 2 C 2; 1 D 1;0 Câu 12: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị đường cong trơn (khơng bị gãy khúc), tham khảo hình vẽ bên Gọi hàm số g  x   f  f  x   Hỏi phương trình g '  x   có nghiệm phân biệt? A 14 B 10 C 12 D Câu 13: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f    Đồ thị hàm số y  f '  x  cho hình vẽ Hàm số g  x   f  x   x có điểm cực tiểu? A Câu 14: Cho hàm số y  f ( x)  B C D 9x   Tìm m để phương trình f  3m  sin x   f (cos x)  có x 3   nghiệm phân biệt thuộc  0;3  Câu 15: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau:  9  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  phương trình f  f  cos x      A B C D Câu 16: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  dx  e với a  có đồ thị hình vẽ Phương trình f  f  x    log m (với m tham số thực dương), có tối đa nghiệm? A 18 B C D Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình Có số nguyên m để phương trình   f 2x3  6x   2m  có nghiệm phân biện thuộc đoạn  1; 2 ? A Câu 18: Cho hàm số B C D y  f  x  , hàm số y  f   x  có đồ thị hình bên Hàm số  5sin x    5sin x  1 g  x  f   có điểm cực trị khoảng  0;2  ?    A B C D Câu 19: Cho f  x  hàm số bậc bốn thỏa mãn f    Hàm số f   x  có bảng biến thiên sau: Hàm số g  x   f  x3   x có điểm cực trị A B C D Câu 20: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  f  x    x A B C D Câu 21: Cho hàm số f  x  bậc bốn có đồ thị hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số g  x    , biết g   x   x  f x   A B C D 10 Câu 22: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  20; 20 để hàm số g  x   f 1  x   m có điểm cực trị? A 14 B 15 C 16 D 17 Câu 23: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ   Hàm số g  x   f x  x  có điểm cực đại? A B C D Câu 24: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình bên Số giá trị nguyên tham số m cho phương trình f  2sin x   f  m  có nghiệm phân  3  biệt thuộc đoạn  0;    A B C D Câu 25: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  20;20 để hàm số g  x   f 1  x   m có điểm cực trị A 14 B 13 C 11 D 12 Câu 26: Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x Số điểm cực tiểu hàm số f  sin x  (sin x  cos x )      13    ; là?  6  A D B C Câu 27: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục  , f (2)  có bảng biến thiên hình   Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f x2    m có nghiệm thực phân biệt? A B C D Câu 28: Cho hàm số bậc ba y  f  x  hàm số bậc y  g  x  có đồ thị hình Hàm số h  x   f  x  g  t  dt nghịch biến khoảng đây? A  3; 2  B  2; 1 C  1;1 D 1;3  Câu 1: Đặt u  x    u '  2 x  x  1 x2  với x  1 x  Ta có: u '    x    x  1 Ghép trục ta được:   Để phương trình f x    m có nghiệm thực phân biệt 1  m  Suy m  0;1; 2;3; 4;5;6 Câu 2: Ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  Đặt u  x   x  1   x  3  x  1  x  3 x   x3  u'   x  1   x  3  2  x  3  x  3 Ta có bảng biến thiên hàm số u  u  x  Ghép trục ta được:  4  log m  f  u   log m có nghiệm phân biệt   1  log m  10 4  m  m    m  1;10;11; ;999  10  m  10 Câu 3:  lim f  x     x   f 1  a  b   Ta có   f    9a  3b  24  24   3a  b    lim f x    x    Suy f  x   có nghiệm phân biệt x1   x2   x3 Mặt khác: f  x  f ''  x    f '  x   f  x  f ''  x    f '  x   Xét g  x   f  x  f ''  x    f '  x  2  g '  x   f '  x  f ''  x   f  x  f '''  x   f '  x  f ''  x   f  x  f '''  x   12 f  x   x  x1   ;1  Khi g '  x    12 f  x    f  x     x  x2  1;3  x  x  3;     Bảng biến thiên Do g  x2   f  x2  f ''  x2    f '  x2      f '  x2    nên g  x   có hai nghiệm phân biệt 2 Câu 4:  f  x  x    f  x  x  2   Ta có: f  x  x      3  f  x  x    2 f  x  x    Theo đồ thị: f  2   1 f  a     a  3   f  b     b    3 f c   c  6  4 Với 1 x3  x   2  x  x    x  2; x  (2 nghiệm) Với   x  x   a  x3  x   a  (3 nghiệm) Với  3 x3  x   b  x3  x   b  (3 nghiệm) Với   x  x   c (1 nghiệm) Vậy f  x  x    có 2+3+3+1 = nghiệm Với f  x  x    2 có trường hợp f  d   2 với d  2 ; f  e   2 với  e  f  f   2 với f  Với d  2 x3  x   d có nghiệm Với  e  x3  x   e có nghiệm Với f  x3  x   f có nghiệm Trường hợp f  x  x    2 có 1+3+1 = nghiệm Vậy tổng cộng f  x3  x    có + = 14 nghiệm Câu 5: Chọn C Ta có g '  x   x f  x3   '   (2m  1)(4 x  x)   Hàm số đồng biến  ;    g '  x   0, x   0;     x3   '   (2m  1)(4 x  x)  0, x   ;       x3   3x  2m   f '  , x   0;    8x     x f Với x   x3   x3    f '   2   Đẳng thức xảy x3  3x 3   x  Mặt khác,    x  8( x  ) 16 x  x3    x   3 3x    f ' ( 2) '    16 8x2      3 Đẳng thức xảy x  Như vậy: 2m   m 16 Vì m  m   10;10  nên m  10; 9; 8;  1; 0 Có 11 giá trị Suy Câu 6: 3x f 8x2  Đặt u  x   x   x  1   x  3 x  1  x    x  3 x  1   x  3 u ' x     2  x  3  x  3   x  3 2x+2   x  3  x  3 u'  x      x  1 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình cho có năm nghiệm :  104  m   m   4  log m       m  log 10  m  10   m  10,11,12, ,999  Vậy có 991 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 7: Xét hàm số y  x  x   x  Tập xác định hàm số  2 x  8x  4, x   x  Ta có y  x  x   x    1 x  8 x  10,  x  3  x  1 4 x  8, x   x  y'   , 1 x  8 Đặt t  x  x   x  Khi bảng biến thiên hàm số y  f  t  Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số y  f  t  cho có điểm cực đại Câu 8: Đặt t  sin x  2,1  t  Phương trình f  sin x  2   trở thành: t  t1   0;1  PTVN  t  t2  1;2 f t     t  t3   2;3 t  t4   3;4   PTVN  BBT: Dựa vào bảng biến thiên ta có: 3 + t  t2 có nghiệm phân biệt x thuộc 2 ;  2  3 + t  t3 có nghiệm phân biệt x thuộc 2 ;  2  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu 9: Xét hàm số h  x   f  x   x  x  h  x   f   x   x  h  x    f   x   x  1 Vẽ đường thẳng y  x  Từ đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y  x  cắt đồ thị hàm số  x  1 y  f   x  ba điểm Khi phương trình 1   x    x  h 1  f 1  x  x  Ta có bảng biến thiên hàm số h  x  sau: Khi ta có bảng biến thiên hàm số g  x   h  x  Câu 10: Xét h  x   f  x   x  x  h ' x  f ' x  2x  h ' x   f ' x  2x    f ' x  x 1 Dựa vào đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số y  f '  x  đường thẳng y  x  cắt điểm có hồnh độ x  1; x  1; x   x  1 Do phương trình f '  x   x    x   x  Bảng biến thiên Bảng biến thiên hàm số g  x   h  x  Vậy hàm số g  x   f  x   x2  x đồng biến khoảng 1;  Câu 11: Xét hàm số g  x   f  x 1  x3  Ta có: g ' x  x f ' x 1  x  x  f '  x 1  x    x0 g '  x      f ' x 1  x 1 Xét 1 : Đặt x  t 1  t  1   t  a a  0;1 Khi ta có: f 't  2t   t    t   t  b b  2;3  x  2   x  a 1  a 1  1; 0 1    x 1   x  b 1 b 1  1; 2 Ta có: Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số g  x đồng biến khoảng 2; 1  x  a   2; 1  x0 Câu 12: Ta có f '  x      x  b  1;    x  Từ đồ thị ta có f  a   M , M  f  b   m, m   0;1 Đặt u  f  x  , ta có hàm số g  x   f  u  Số nghiệm phân biệt phương trình g '  x   số cực trị hàm số g  x   f  u  Dựa vào đồ thi hàm số y  f  x  ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số g  x   f  u  có 12 cực trị Vậy phương trình g '  x   có 12 nghiệm phân biệt Câu 13: Đặt: h  x   f  x   x  h '  x   f '  x    3 Từ đồ thị hàm y  f '  x  ta có BBT: Số điểm cực trị dương hàm h  x  Do số điểm cực tiểu g  x  là: 2.2   Câu 14: Ta có f ( x)  f (1  x)  9x 91 x 9x    x  x x 1 x x 3 3 3 3 Do   f  3m  sin x   f (cos x)    1  3m  sin x  cos x   3m  sin x  sin x 4 Kết luận: 1 1  3m    m  64 192 Câu 15: Đặt u  cos x , t  f  u  Phương trình trở thành: f (t )  Ta có bảng biến thiên hàm số y  f (t ) Số nghiệm phương trình f  f  cos x    số giao điểm đường thẳng y  đồ thị hàm số y  f (t ) , từ bảng biến thiên  phương trình f (t )  có nghiệm Vậy phương trình f  f  cos x    có nghiệm Câu 16: Đặt t  f  x  Phương trình trở thành: f  t   log m Số nghiệm phương trình f  f  x    log m số giao điểm đường thẳng y  log m đồ thị hàm số y  f (t ) , từ bảng biến thiên  phương trình có tối đa 18 nghiệm Câu 17: Đặt t  2x3  6x  x  Khi t   x2  , t      x  1    m 2 Lại có m    m  Vậy có số nguyên m thoả mãn toán f 2x3  6x   2m  có nghiệm phân biệt   2m    5sin x  Suy g  t   f  t   t  Ta có g   t   f   t   2t   f   t   t Câu 18: Đặt t   t  1    t    t  3  Bảng biến thiên: Suy ra: Câu 19: Đặt t  x  x  t Ta có h  x   f  x3   x  h  t   f  t   3 t Dựa vào bảng biến thiên ta suy ta x a  h  x   f   t   t2 0t a Suy hàm số g ( x )  h  x  có cực trị Câu 20: Xét phương trình f  f  x    x 1 Nhận xét: x   f  x   x   f  f  x    f  x   x  1 khơng có nghiệm x  x  2  f  x   x  2  f  f  x    f  x   x  1 khơng có nghiệm x  2 Ta xét bảng biến thiên f  f  x   với 2  x  sau: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình f  f  x    x có nghiệm  x2  Câu 21: g   x     x   x  (nghiệm kép, loại)  f  x  1   x   1  l  x   a 1   x   a   a     f  x  1      x   b  Vậy g  x  có cực trị   x   b   b  1  x    x2    Câu 22: f  x  có hai cực trị x  0, x   f   x   ax  x    f  x   a x  ax  C f    2, f 1  4  a  3, c  2  f  x   x  x   f 1  x  , x   x  x  4, x  f 1  x     f 1  x     x  x  4, x   f 1  x  , x  Ta có đồ thị f 1  x  sau: Đặt h  x   f 1  x   m Ta có g  x   h  x  g  x  có cực trị  phương trình h  x   có nghiệm đơn  m  Vậy có 17 giá trị m thỏa yêu cầu toán Câu 23: Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y  f  x  có điểm cực trị x  1; x  1; x   x2  x 1, x    x  x  1,  x  Đặt u  x   x  x2 1   ; u ' x   x x x    1,      x2  x 1, x  1  Bảng biến thiên ghép trục  x   x    Hàm số g  x   f  u  x   có điểm cực đại điểm cực tiểu Câu 24: Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta thấy hàm số có cực trị x  1; x  Đặt t  sin x  t '  cos x ; t '   x  Ta có bảng ghép trục   k , k   Phương trình  3  f  2sin x   f  m  có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;    3  f  m   f   Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta thấy  m  a   2; 1  3  f  m   f     m  b   0;1 Vì m  nên m    m  c  1;  Câu 25: Đặt t   x  f 1  x   f  t  Bảng ghép trục: Phương trình g  x  trở thành g  t   f  t   m YCBT trở thành: f  t   m  có nghiệm phân biệt m Để f  t   m  có nghiệm phân biệt thì:  m  8  m    có 13 giá trị m m   20;20            Câu 26: Ta có: y  f   sin(3 x   )  3sin  x     f  4sin  x    sin  x     3       Vậy hàm số có điểm cực tiểu Câu 27: Đặt u  x    u '    x x2  x2  Ta có bảng biến thiên sau x -1 -∞ +∞ +∞ -1 1 u +∞ -1 -1 -2 -2 +∞ +∞ f(-2)=7 f(-2)=7 f(u) f(0)=-1 f(0)=-1 f(1)=-2 f(-1)=-2 f(-1)=-2 f(-1)=-2 f(1)=-2 Từ bảng biến thiên để phương trình có nghiệm thực phân biệt 1  m  Suy m0,1,2,3,4,5,6 Câu 28: Đặt g  x   k. x  2 , k   h  x   f  x  f  x  x2  g  t  dt  k   x   0  f  x   k   f  x     f  h '  x   k f '  x   f  x     h '  x      f  x  x1   2;   '  x    x  x2   0;    x    x  x3   2; x1   x  x   x ; 2  Bảng biến thiên x - h'(x) -2 _ x3 x1 + x2 _ + x4 _ - + h(x) Dưạ vào bảng biến thiên suy hàm số h(x) nghịch biến khoảng  3; 2 