Nguyên tắc ghép trục xét sự biến thiên của hàm hợp

Kết nối tri thức với sống NGUYÊN TẮC GHÉP TRỤC XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP g = f (u(x)) Bước Tìm tập xác định hàm g = f (u(x)), giả sử ta tập xác định D = (a1 ; a2 ) ∪ (a3 ; a4 ) ∪ ∪ (an−1 ; an ) Ở a1 ≡ −∞; an ≡ +∞ Bước Xét biến thiên u = u(x) hàm y = f (x)(bước làm gộp bước đơn giản) x u = u(x) a1 u1 b1 b2 · · · bk g(b2 ) · · · g = f (u(x)) a2 ··· an−1 an u2 ··· un−1 un g(u2 ) ··· g(un ) g(b1 ) g(u1 ) g(bk ) Cụ thể thành phần BBT sau ○ Dòng Xác định điểm kỳ dị hàm u = u(x), xếp điểm theo thứ tăng dần từ trái qua phải, giả sử sau: a1 < a2 < < an−1 < an (xem ý 1) ○ Dòng Điền giá trị ui = u(ai ) với (i = 1, n) Trên khoảng (ui ; ui+1 ), i = 1,n − cần bổ xung điểm kỳ dị b1 ; b2 ; ; bk hàm y = f (x) Trên khoảng (ui ; ui+1 ), i = 1,n − cần xếp điểm ui ; bk theo thứ tự chẳng hạn: ui < b1 < b2 < < bk < ui+1 ui > b1 > b2 > > bk > ui+1 (xem ý 2) ○ Dòng Xét chiều biến thiên hàm g = f (u(x)) dựa vào BBT hàm y = f (x) cách hốn đổi: u đóng vai trị x; f (u) đóng vai trị f (x) Sau hoàn thiện BBT hàm hợp g = f (u(x)) ta thấy hình dạng đồ thị hàm Bước Dùng BBT hàm hợp g = f (u(x)) giải yêu cầu đặt toán kết luận Chú ý ○ Các điểm kỳ dị u = u(x) gồm: Điểm biên tập xác định D, điểm cực trị u = u(x) ○ Nếu xét hàm u = |u(x)| dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm phương trình u(x) = (là hồnh độ giao điểm u = u(x) với trục Ox) ○ Nếu xét hàm u = u(|x|) dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số u = u(x) với trục Oy) Chú ý ○ Có thể dùng thêm mũi tên để thể chiều biến thiên u = u(x) ○ Điểm kỳ dị y = f (x) gồm: Các điểm f (x) f (x) không xác định; điểm cực trị hàm số y = f (x) 1/43 Đăng ký học: Ơ 0905.193.688 – h facebook.com/vietgold/ – ¼ Site: Luyenthitracnghiem.vn Nơi đâu có ý chí, có đường Bước Lập bảng biến thiên tổng hợp xét tương quan [x; u = u(x)] [u; g = f (u)] Bảng thường có dịng giả sử sau Kết nối tri thức với sống ○ Nếu xét hàm g = |f (u(x))| dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm phương trình f (x) = (là hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f (x) với trục Ox) Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi ○ Nếu xét hàm g = f (u(|x|)) dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = f (x) với trục Oy) Bài Tập Trắc Nghiệm c Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị cho hình vẽ bên Hỏi phương trình |f (x3 − 3x + 1) − 2| = có tất bao y nhiêu nghiệm thực phân biệt? y = f (x) −1 x O −3 A B C D 11 Ê Lời giải Cách 1: Tự luận truyền thống y y = f (x) 3 b −1O c da x −3 Dựa vào đồ thị hàm số f (x), ta có:  x − 3x + = b(b < −1) (2) ñ  3  f (x − 3x + 1) =  x − 3x + = c(−1 < c < 3) (3) |f (x3 − 3x + 1) − 2| = ⇔ ⇔   x − 3x + = d(d > 3) (4) f (x3 − 3x + 1) = x3 − 3x + = a(a > d) (1) Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 − 3x + (hình vẽ đây) Mua file qua: Ơ 0905.193.688 – h facebook.com/vietgold/ – ¼ Site: Luyenthitracnghiem.vn 2/43 Kết nối tri thức với sống y y = f (x) −1 x Ta suy ra: Phương trình (1), (2), (4) phương trình có nghiệm, phương trình (3) có nghiệm nghiệm phân biệt Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u = x3 − 3x + Ta có u0 (x) = 3x2 − 3; u0 (x) = ⇔ x = ±1 BBT hàm số u(x): −∞ x u0 (x) −1 + +∞ − 0 + +∞ u(x) −∞ −1 đ f (u) = Phương trình |f (x3 − 3x + 1) − 2| = trở thành: |f (u) − 2| = ⇔ f (u) = Từ đồ thị hàm số y = f (x) từ bảng biến thiên hàm số u(x) = x3 − 3x + ta có bảng sau biến thiên hàm hợp f (x3 − 3x + 1) = f (u) sau: x −∞ −1 +∞ +∞ u −1 −1 −∞ +∞ f (u) y=1 −3 −3 −∞ Từ bảng ta thấy phương trình f (u) = có nghiệm phương trình f (u) = có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Chọn đáp án B 3/43 Đăng ký học: Ô 0905.193.688 – h facebook.com/vietgold/ – ¼ Site: Luyenthitracnghiem.vn  Nơi đâu có ý chí, có đường O −1 Kết nối tri thức với sống c Câu Cho hàm số f (x) liên tục R có bảng biến thiên hình bên x −∞ −1 √ −∞ +∞ +∞ Luyện thành tài, miệt mài tất giỏi f (x) 2 −4 Số giá trị nguyên tham số m để phương h π itrình f (cos x) + (3 − m)f (cos x) + 2m − 10 = có nghiệm phân biệt thuộc đoạn − ; π A B C D Ê Lời giải Cách 1: Tự luận truyền thống Ta có f (cos x) + (3 − m)f (cos x) + 2m − 10 = ñ t=2 Đặt t = f (cos x) ta phương trình t + (3 − m)t + 2m − 10 = ⇔ t = m −  π h π i x=± cos x = x ∈ − ; π ⇔ +) Với t = ⇒ f (cos x) = ⇔  x=0 cos x =  +) Với t = m − ⇒ f (cos x) = m − (1) h π i Để phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt thuộc đoạn − ; π phương trình (1) có h π i π π nghiệm đoạn − ; π khác − ; 0; 3 h π i Với x ∈ − ; π ⇒ u = cos x ∈ [−1; 1] Nhận xét:ï ã h π i Nếu u ∈ ; có nghiệm x ∈ − ; π ï ã h π i Nếu u = u ∈ −1; có nghiệm x ∈ − ; π Do u cầu tốn xảy phương ï trình ã (1) thỏa f (cos x) = m − ⇔ f (u) = m − có nghiệm u ∈ −1; Từ bảng biến thiên suy −4 ≤ m − < ⇔ ≤ m < Vì m ∈ Z nên m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6} Cách 2: Phương pháp ghép trục h π i Đặt t = cos x ∈ [−1; 1] x ∈ − ; π đ x = t0 = ⇔ sin x = ⇔ x=π Mua file qua: Ô 0905.193.688 – h facebook.com/vietgold/ – ¼ Site: Luyenthitracnghiem.vn 4/43 Kết nối tri thức với sống Khi phương trình f (cos x) + (3 − m)f ñ (cos x) + 2m − 10 = thành f (t) = f (t) + (3 − m)f (t) + 2m − 10 = ⇔ f (t) = m − − x π π √ √ u 2 −1 f (u) 2 y =m−5 −4 Do phương trình f (t) = có nghiệm nên yêu cầu tốn tương đương với phương trình f (t) = m − có nghiệm −4 ≤ m − < ⇔ ≤ m < Vì m ∈ Z nên m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}  Chọn đáp án B c Câu (CHUYÊN VINH LẦN 1-2020) Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên hình vẽ x −∞ −2 +∞ +∞ +∞ f (x) −2 −3 Xác định số nghiệm phương trình |f (x3 − 3x2 )| = , biết f (−4) = A B C 10 D 11 Ê Lời giải Theo đề ta có Bảng biến thiên tổng hợp 5/43 Đăng ký học: Ơ 0905.193.688 – h facebook.com/vietgold/ – ¼ Site: Luyenthitracnghiem.vn Nơi đâu có ý chí, có đường Kết nối tri thức với sống −∞ x −2 x3 − 3x2 −4 −∞ +∞ −2 −2 +∞ +∞ −4
2 Kết nối tri thức với sống Å ã 3x + 2x + = m có nghiệm Tìm tất giá trị m để phương trình f 2x2 + A −4 ≤ m ≤ −2 B m > −4 C < m < D ≤ m ≤ Ê Lời giải ○ Cách 1: Phương pháp truyền thống Dựa vào đồ thị cho ta có đồ thị hàm y = |f (x)| y 1 x ñ x = −1 3x2 + 2x + −4x2 + 0 Đặt t = ⇒ t = ; t = ⇔ 2x2 + (2x2 + 2)2 x=1 x −∞ −1 y0 − + − y +∞ Dựa vào bảng biến thiên ã ⇔ t ∈ [1; 2] Å 2ta có x ∈ R 3x + 2x + = m có nghiệm phương trình |f (t)| = m có Vậy phương trình