Khảo sát dòng chảy ngưng tụ bose einstein khi va chạm với tường thế cố định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  LÊ BỈNH HIẾU ĐỀ TÀI KHẢO SÁT DÒNG CHẢY NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN KHI VA CHẠM VỚI TƯỜNG THẾ CỐ ĐỊNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC TP Hồ Chí Minh, 04/2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  LÊ BỈNH HIẾU ĐỀ TÀI KHẢO SÁT DÒNG CHẢY NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN KHI VA CHẠM VỚI TƯỜNG THẾ CỐ ĐỊNH Thuộc tổ môn: Vật lý đại cương KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH TP Hồ Chí Minh, 04/2022 Tp Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 04 năm 2022 Xác nhận Giảng viên hướng dẫn PGS TS Phạm Nguyễn Thành Vinh Tp Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 04 năm 2022 Xác nhận Chủ tịch Hội đồng LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tơi nhận nhiều quan tâm học quý báu từ Thầy Cơ, gia đình bạn bè Do đó, xin gửi đến người lời cảm ơn chân thành thơng qua khóa luận Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô khoa truyền đạt học bổ ích suốt năm qua để tơi hồn thành tốt khóa luận Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy PGS TS Phạm Nguyễn Thành Vinh tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Tôi xin gửi lời cảm ơn đến chị Lê Ngọc Uyên thành viên nhóm nghiên cứu AMO trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh khuyến khích hỗ trợ tơi suốt q trình làm khóa luận q trình học tập trường Tôi vô biết ơn gia đình ln tin tưởng, động viên tạo điều kiện để tơi tập trung học tập hồn thành khóa luận tốt nghiệp trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trân trọng TP.HCM, tháng 04 năm 2022 Lê Bỉnh Hiếu MỤC LỤC Trang MỤC LỤC i DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ii DANH SÁCH HÌNH VẼ iii MỞ ĐẦU CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN CHO KHÍ LÝ TƯỞNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH GROSS – PITAEVSKII MÔ TẢ HỆ BEC 1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH GROSS – PITAEVSKII CHO HỆ THÀNH PHẦN BEC CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỐN 2.1 PHƯƠNG PHÁP THỜI GIAN ẢO 2.2 PHƯƠNG PHÁP TÁCH TOÁN TỬ 10 2.3 THUẬT TOÁN BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH 13 CHƯƠNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 16 3.1 NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN TRONG THẾ ĐIỀU HÒA CHIỀU 16 3.2 KHẢO SÁT DÒNG CHẢY BEC THÀNH PHẦN 17 CHƯƠNG KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 i DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt BEC Bose-Einstein Condensation GP Gross – Pitaevskii Equation FFT Fast Fourier Transform Biến đổi Fourier nhanh DFT Discrete Fourier Transform Biến đổi Fourier rời rạc ii Hiện tượng ngưng tụ BoseEinstein Phương trình Gross - Pitaevskii DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình 2.1: Lưu đồ giải thuật tìm hàm sóng theo thời gian 12 Hình 3.1: Hệ hạt Bose ngưng tụ điều hòa chiều 16 Hình 3.2: Hệ thành phần BEC trượt lên theo thời gian 18 Hình 3.4: Dịng chảy hai thành phần BEC H = 1.0 U = 1.0 20 Hình 3.5: Dịng chảy hai thành phần BEC H = 1.0 U = 2.0 20 Hình 3.6: Dịng chảy hai thành phần BEC H = 1.0 U = 5.0 21 Hình 3.7: Dịng chảy hai thành phần BEC H = 1.5 U = 1.0 22 Hình 3.8: Dịng chảy hai thành phần BEC H = 1.5 U = 2.0 22 Hình 3.9: Dịng chảy hai thành phần BEC H = 1.5 U = 5.0 23 iii MỞ ĐẦU Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) tượng lượng tử vĩ mơ có ảnh hưởng sâu sắc thực nghiệm lẫn lý thuyết, liên kết chặt chẽ với tượng siêu dẫn siêu lỏng nhiệt độ thấp giúp giải toán hệ thống vật chất ngưng tụ phân cực spin hydro, exciton, làm lạnh nguyên tử laser, Ngưng tự Bose-Einstein Albert Einstein dự đoán mặt lý thuyết sở ý tưởng thư từ nhà vật lí người Ấn Độ Satyendra Nath Bose [1] Các hạt tuân theo thống kê Bose giảm xuống mức lượng thấp nhiệt độ hạ xuống mức nhiệt chuyển pha lúc hạt mơ tả hàm Dựa kết dự đoán, nhà khoa học dần để ý đến hiệu ứng lượng tử quan sát tượng xoay quanh tượng ngưng tụ Nhằm quan sát BEC, hệ khí cần đặt trạng thái có mật độ thấp hệ làm lạnh đến gần độ không tuyệt đối Tuy nhiên thời điểm BEC dự đốn lý thuyết, cơng nghệ làm lạnh chưa phát triển nên việc quan sát BEC điều bất khả thi Đến năm 1995, BEC quan sát thực nghiệm cho Rb [2] Na [3] Kể từ nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm BEC công bố rộng rãi, điển giọt lượng tử (quantum drops) hỗn hợp BEC [4 – 7] hay hệ BEC tương tác lưỡng cực [8 – 11] Song song với việc nghiên cứu BEC hệ nguyên tử khác [12 – 16], thí nghiệm với fermion siêu lạnh thực đạt số tượng đáng ý [17 – 19] Ngoài việc nghiên cứu tượng vĩ mô vật chất ngưng tụ lượng tử với số hạt xác định mạng quang học [20, 21], nghiên cứu quan trọng việc mô bất định thông lượng hệ hai thành phần BEC đề cập đến bất định Kelvin – Helmholtz hay bất định Rayleigh – Taylor [22, 23] Trong chất lỏng cổ điển, có chênh lệch tỷ trọng bên chất lỏng, chất lỏng nhẹ di chuyển lên chất lỏng nặng di chuyển xuống ảnh hưởng trọng lực, có sau đạt trạng thái ổn định Trạng thái chất lỏng miêu tả gradient mật độ thay đổi theo phương thẳng đứng, gọi phân tầng mật độ Trong giới tự nhiên, gradient mật độ thay đổi liên tục tùy thuộc vào nhiệt độ khí đại dương, gradient tạo thành lớp có mật độ khơng liên tục giống tính chất để nước dầu tách biệt Người ta biết sóng gọi sóng trọng lực bên chênh lệch mật độ tạo bề mặt phân cách tượng đặc biệt chất lỏng phân tầng mật độ Nhiều tượng chất lỏng tương tự gây khác biệt mật độ quan sát thấy Chẳng hạn như, hai chất lỏng có tỷ trọng khác chảy với mặt phân cách, khác biệt vận tốc dòng chảy gây không ổn định hai chất lỏng bắt đầu trộn vào Biên độ sóng hấp dẫn bên tạo chênh lệch mật độ tăng lên, sau sụp đổ chuyển sang chuyển động xoáy Khi chất lỏng đậm đặc xếp lớp chất lỏng có tỷ trọng thấp xếp lớp dưới, mặt phân cách trạng thái cân không ổn định [22, 23] Sự bất định dòng chảy BEC dẫn đến hình ảnh khác bề mặt tiếp xúc, số tính bất ổn định sóng Lee Trong tự nhiên, tượng sóng Lee quan sát bầu khí chuyển động tiếp xúc với vật cản gió thổi qua vách đá hay đỉnh núi Đặc điểm sóng Lee thay đổi tùy thuộc theo nhiệt độ độ cao dịng khơng khí Trong điều kiện thích hợp, việc mơ sóng Lee hệ BEC quan trọng nhằm mục đích dự đốn hình ảnh bất định giới vi mô Với đánh giá nêu trên, thực đề tài “Khảo sát dòng chảy ngưng tụ Bose – Einstein va chạm với tường cố định” với mục đích khảo sát tương tác vi mô hệ BEC hai thành phần với tường nhằm dự đoán xuất hình ảnh bất định giới vi mơ đặc biệt hình ảnh sóng Lee xuất phía sau tường cố định Chương Cơ sở lý thuyết Chúng tơi trình bày tượng ngưng tụ Bose – Einstein khí lý tưởng dựa lý thuyết thống kê đưa khái niệm hệ phương trình Gross – Pitaevskii (GP) mơ tả hệ BEC thành phần Chưởng Phương pháp tính tốn Chúng tơi trình bày phương pháp tính tốn giải số hệ phương trình GP mơ hệ BEC thành phần va chạm với tường cố định Chương Kết nghiên cứu Chúng tơi trình bày kết mơ hệ BEC điều hịa hệ BEC thành phần va chạm với tường cố định Chương Kết luận hướng phát triển y − ymin , ∆y = max Ny (2.18) Nhằm sử dụng thuật toán biến đổi Fourier nhanh ta phải chuyển từ không gian tọa độ sang không gian xung lượng ngược lại, không gian xung lượng chia thành mảng có độ dài với độ dài mảng ∆px= 2π 2π , ∆p y= ∆x ∆y Ngoài thời gian chia thành mảng có độ dài ∆t t ∆t =max , Nt (2.19) với N t = 105 2.3 THUẬT TOÁN BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH Trong bước tính tốn tìm hàm sóng nêu trên, việc tác dụng tốn tử xung lượng gặp nhiều khó khăn chứa thành phần đạo hàm Do ta chuyển hàm sóng từ khơng gian tọa độ sang khơng gian xung lượng ngược lại phép biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Transform – DFT) Tuy nhiên việc áp dụng DFT vào tính tốn giải số gặp nhiều khó khăn khối lượng phép tính q lớn khơng thích hợp thực với máy tính cá nhân Với tính chất DFT, để biến đổi Fourier rời rạc N điểm cần phải thực N phép tính Đối với tốn giải phương trình GP số điểm tính tốn lên đến × 105 điểm số lượng phép tính lớn phải cần đến hệ siêu máy tính để thực Thuật tốn biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transform – FFT) thuật toán dùng để tính DFT nhiên số phép tính cịn N log N [28] Giả sử mảng xn có N phần tử, phép biến đổi Fourier xuôi mảng xn = Xk N −1 ∑x n =0 n exp ( −i 2π kn / N ) , (2.20) mảng gồm N phần tử Phép biến đổi Fourier ngược N −1 xn = ∑ X k exp ( i 2π kn / N ) N n =0 13 (2.21) Để thực phép biến đổi Fourier cho mảng xn ta cần thực N lần tổng phép nhân hai ma trận exp ( −i 2π kn / N ) xn để tính N giá trị X k ta cần thực N lần tổng tích hai ma trận Việc thực số lượng phép tính lớn dẫn đến tải tài nguyên máy tính giảm độ xác phép tính đáng kể ảnh hưởng lớn đến kết Có nhiều cách thực thuật toán DFT nhanh cơng bố, nhiên phạm vi khóa luận tơi sử dụng thuật tốn biến đổi Fourier nhanh FFT số công bố vào năm 1942 hai nhà khoa học Danielson Lanczos [29] Nguyên tắc thuật toán FFT tách phép biến đổi Fourier rời rạc N điểm tính thành phép biến đổi Fourier rời rạc nhỏ Danielson Lanczos biến đổi DFT kích thước N thành tổng hai DFT có kích thước N / bao gồm dãy N / phần tử số lẻ N / phần tử số chẵn = Xk = N −1 ∑x n =0 n N /2 −1 ∑ exp ( −i 2π kn / N ) x2 n exp ( −i 2π k ( 2n ) / N ) + N /2 −1 ∑x n 0= n = N /2 −1 ∑x n +1 exp ( −i 2π k ( 2n + 1) / N ) exp ( −i 2π kn / ( N / ) ) + exp ( −i 2π k / N ) N /2 −1 ∑x 2n n 0= n n +1 (2.22) exp ( −i 2π kn / ( N / ) ) =X kc + exp ( −i 2π k / N ) X kl Dễ thấy hàm X kc X kl hàm tuần hoàn với độ dài N / việc tính tốn DFT mảng X k có kích thước N trở thành tính tốn DFT cho hai hàm có kích thước N / Với việc tiếp tục tính tốn cho hàm có kích thước N / liên tục mảng có kích thước 1, ta thu mảng biến đổi Fourier với N log N phép tính Trong trường hợp sử dụng thuật tốn FFT cho mảng nhiều chiều, ta tính tốn FFT cho chiều cố định chiều lại thực cho chiều khác Với việc sử dụng phương pháp tách toán tử kết hợp với thuật tốn biến đổi Fourier nhanh FFT, chúng tơi phát triển chương trình giải số phương trình 14 GP cho hệ hai thành phần BEC tường khác nhằm khảo sát tượng xảy mặt phân cách hai thành phần BEC 15 CHƯƠNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1 NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN TRONG THẾ ĐIỀU HÒA CHIỀU Đối với trường hợp mơ phịng thành phần BEC điều hòa chiều, ta đặt giải phương trình GP thành phần với việc đặt vào hàm sóng thử có dạng ψ ( x, y= )   exp  − ( x + y )  , π   (3.1) hàm điều hịa chiều có dạng V ( x= , y) x + y2 ) ( (3.2) Hình 3.1: Hệ hạt Bose ngưng tụ điều hòa chiều Kết mô cho thấy sau khoảng thời gian đủ dài, hệ hạt Bose trạng thái ổn định tập trung gần toàn tâm hệ Khi ta nhận thấy phân bố hạt có dạng trùng khớp với dự đốn xấp xỉ phân bố Thomas – Fermi, phân bố động chuyển động hỗn loạn hạt xem khơng đáng kể 16 3.2 KHẢO SÁT DỊNG CHẢY BEC THÀNH PHẦN 3.2.1 Bất định Kelvin – Helmholtz Ta giải hệ phương trình GP cho hệ BEC thành phần (1.16) (1.17) với thời gian ảo khơng gian chiều thu hàm sóng trạng thái ψ ( x, y ) ψ ( x, y ) Ngoài để khảo sát tính chất động học, ta tác dụng tốn tử động lượng vào hàm sóng ψ ( x, y ) ψ ( x, y ) trạng thái nhằm cung cấp vận tốc cho dịng chảy BEC Tốn tử động lượng tác dụng vào hàm sóng trạng thái nhằm cung cấp vận tốc theo phương Ox cho dòng chảy BEC có dạng p = exp ( ikx ) , với k = (3.3) 2π U Tham số U đặc trưng cho độ lớn vận tốc dòng chảy BEC, ta ∆x xét trường hợp vận tốc hai thành phần Ta xét trường hợp hai thành phần BEC trượt lên với hai chiều khác nhằm mục đích khảo sát tượng bất định Kelvin – Helmholtz mặt phân cách hai thành phần, hệ số tương tác thành phần g phải thỏa điều kiện (1.19) Trong trường hợp ta chọn g= 1100, g= g= 1000 12 11 22 Ngồi tốn tử động lượng tác dụng lên hàm sóng thành phần ψ ( x, y ) phải ngược dấu với tốn tử động lượng tác dụng lên hàm sóng thành phần ψ ( x, y )  = p1 exp ( −ikx ) , (3.4)  p2 = exp ( ikx ) (3.5) 17 Hình 3.2: Hệ thành phần BEC trượt lên theo thời gian Ta nhìn thấy hình cưa xuất bề mặt tiếp xúc hai thành phần BEC va vào trượt lên hai thành phần Điều hoàn toàn tương tự với tượng tự nhiên bất định Kelvin-Helmholtz diễn sống ngày Khi BEC ngưng tụ nhiệt độ thấp, biểu tính chất BEC tương tự chất lỏng, ta giải thích hình cưa xuất hai dòng chảy di chuyển song song ngược chiều Tại thời điểm t = 1s hệ trạng thái đặt vào vận tốc, thời điểm t = 3s xuất chồng lấp hai thành phần mặt phân cách chênh lệch hệ số tương tác thành phần với thành phần g12 với hệ số tương tác thành phần g1 , g kết hợp với vận tốc đặt vào tạo thành hình ảnh cưa 18 3.2.2 HỆ BEC THÀNH PHẦN VA CHẠM VỚI TƯỜNG THẾ Mơ hình tốn Tương tự mơ hệ BEC thành phần trượt lên theo hai hướng ngược nhau, ta điều chỉnh hướng vận tốc đặt vào hai thành phần BEC theo phương Ox cách tác dụng toán tử động lượng, ta chọn vận tốc theo chiều dương Ox Hình 3.3: Mơ hình dịng chảy BEC thành phần va chạm với tường cố định Hàm đặt vào có dạng Gaussian nhằm mơ lại tượng sóng Lee tự nhiên, hàm có dạng  − ( x − x0 )2  V ( x ) = H exp    2σ  () H chiều cao thế, x0 vị trí đỉnh thế, σ đặc trưng cho độ rộng Trong phạm vi khóa luận, độ cao H tham số U thay đổi nhằm khảo sát phụ thuộc vận tốc dòng chảy độ cao đến hình ảnh bất định mặt phân cách hai thành phần BEC Ngoài ra, nhằm mô tương tự hai luồng khơng khí qua vách núi, luồng khơng khí thấp có mật độ vật chất cao luồng khơng khí phía ta chọn hệ số tương tác g= g= 1400, g= 1000 Chọn x0 = 10 để đỉnh nằm hệ mơ 12 11 22 σ = 0.6 19 Hình 3.4: Dòng chảy hai thành phần BEC H = 1.0 U = 1.0 Hình 3.5: Dịng chảy hai thành phần BEC H = 1.0 U = 2.0 Kết mơ cho thấy dịng chảy BEC thể rõ tính chất chất lỏng cổ điển, tượng dòng chất lỏng va chạm vào vách núi bị dội ngược lại 20 diễn tương tự BEC Về phía bên trái tường xuất gợn sóng có biên độ giảm dần, nguyên nhân dòng chất lỏng tới dòng phản xạ đập giao thoa với làm thay đổi biên độ sóng bề mặt Khi tăng vận tốc tượng xảy rõ rệt phía trước tường thế, biên độ sóng bề mặt phía trước tường tỉ lệ thuận với vận tốc dịng chảy Các gợn sóng bề mặt hình thành theo chu kỳ xuất phía sau tường thế, điều coi tương tự bất định sóng Lee chất lỏng cổ điển chứng tỏ tính động lực học sóng bề mặt tồn sau va chạm với tường Tuy nhiên vận tốc dịch chuyển theo thời gian dịng chảy khơng đủ lớn làm cho thành phần sóng phản xạ vượt qua tường dẫn đến tăng giảm theo chu kỳ biên độ sóng bề mặt phía trước tường Hiện tượng xem tự kích thích dao động phía trước tường dịch chuyển dòng chảy kết hợp với dòng phản xạ lại va chạm với tường Hình 3.6: Dịng chảy hai thành phần BEC H = 1.0 U = 5.0 Khi tăng vận tốc dòng chảy lên q lớn, sóng bề mặt hình thành giật lùi va chạm với tường bị dòng chảy đẩy ngược lại theo hướng di chuyển dòng chảy vượt qua tường Do tượng dòng chảy bị cản lại thể 21 không rõ ràng hình 3.5 hình 3.6 xuất gợn sóng theo chu kì tiếp tục dịch chuyển dọc theo chiều dịng chảy Hình 3.7: Dịng chảy hai thành phần BEC H = 1.5 U =1.0 Hình 3.8: Dịng chảy hai thành phần BEC H = 1.5 U =2.0 22 Khi tăng chiều cao tường , tượng xuất tương tự hình 3.4 hình 3.5 Ta dễ dàng nhận thấy tăng chiều cao tường biên độ sóng bề mặt tăng lên đáng kể đồng thời gợn sóng Lee phía sau tường xuất rõ ràng biên độ bước sóng tăng lên Điều khẳng dịnh lần xuất sóng Lee tương tự chất lỏng cổ điển Hình 3.9: Dịng chảy hai thành phần BEC H = 1.5 U =5.0 Kết cho thấy tương tự hình 3.6, ta khẳng định vận tốc dịng đạt tới ngưỡng định tượng xảy khơng q rõ rệt dịng chảy dịch chuyển nhanh tốc độ dòng chảy bị dội ngược lại va chạm với tường Độ cao tường không gây ảnh hưởng rõ rệt lên biên độ sóng bề mặt, tượng tự kích thích dao động xảy trường hợp H = 1.0 nhiên khơng có thay đổi rõ rệt biên độ hình ảnh sóng phía sau tường 23 CHƯƠNG KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Trong nghiên cứu này, sử dụng phương pháp thời gian ảo kết hợp với phương pháp tách toán tử thuật toán biến đổi Fourier nhanh để xây dựng chương trình giải số phương trình GP mơ BEC trường điều hòa chiều chương trình giải số hệ phương trình GP hai thành phần mơ dịng chảy thành phần BEC va chạm với tường cố định Chúng đạt kết cụ thể sau: • Mơ hệ hạt Bose điều hòa chiều, thể rõ tính chất phân bố hệ hạt ngưng tụ nhiệt độ gần độ không tuyệt đối Nêu tính chất phân bố tương tự phân bố Thomas – Fermi • Khảo sát tượng bất định Kelvin – Helmholtz giới vi mô thơng qua mơ dịng chảy BEC thành phần trượt lên nhau, hình ảnh mơ thể rõ ràng bất định bề mặt hai thành phần • Mơ dịng chảy BEC thành phần va chạm với tường cố định, so sánh dòng chảy BEC với dòng chất lỏng cổ điển ảnh hưởng vận tốc dòng với chiều cao tường đến biên độ sóng bề mặt • Mơ thành cơng lan truyền sóng bề mặt vượt qua tường tiếp tục dao động tương tự sóng Lee chất lỏng cổ điển Khẳng định tồn tượng bất định sóng Lee giới vi mô đặc biệt dòng chảy BEC Từ kết trên, chúng tơi nhận thấy cần phải cải thiện chương trình tính tốn giải số nhằm giảm nhiễu hệ, hình ảnh mơ chưa thật rõ ràng phạm vi mơ khơng gian cịn nhỏ nên chưa thể nhìn rõ tính chu kỳ sóng bề mặt Trong đề tài hệ BEC mơ khơng gian chiều nhiên dịng chảy BEC mơ khơng gian chiều dự đốn tính chất tương tự xảy Việc xử lý tốn máy tính cá nhân tốn lượng tài nguyên máy tính thời gian tính tốn lớn, chúng tơi phát triển đề tài cách cải thiện chương trình giải số phương trình GP cho không gian chiều cải thiện thời gian tính tốn 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Einstein “Quantentheorie des einatomigen idealen gases Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften”, page 261-267, 1924 [2] M H Anderson, J R Ensher, M R Matthews, C E Wieman, and E A Cornell “Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor” Science, 269(5221):198-01, 1995 [3] K B Davis, M O Mewes, M R Andrews, N J van Druten, D S Durfee, D M Kurn, and W Ketterle “Bose-Einstein condensation in a gas of sodium atoms” Physical Review Letters, 75:3969-3973, 1995 [4] D S Petrov “Quantum mechanical stabilization of a collapsing Bose-Bose mixture” Physical Review Letters, 115:155302, 2015 [5] C R Cabrera, L Tanzi, J Sanz, B Naylor, P Thomas, P Cheiney, and L Tarruell “Quantum liquid droplets in a mixture of Bose-Einstein condensates” Science, 359(6373):301, 2018 [6] G Semeghini, G Ferioli, L Masi, C Mazzinghi, L Wolswijk, F Minardi, M Modugno, G Modugno, M Inguscio, and M Fattori “Self-bound quantum droplets of atomic mixtures in free space.” Physical Review Letters, 120:235301, 2018 [7] G Ferioli, G Semeghini, L Masi, G Giusti, G Modugno, M Inguscio, A Gallem, A Recati, and M Fattori “Collisions of self-bound quantum droplets.” Physical Review Letters, 122:090401, 2019 [8] H Kadau, M Schmitt, M Wenzel, C Wink, T Maier, I Ferrier-Barbut, and T Pfau “Observing the Rosensweig instability of a quantum ferrouid.” Nature, 530(7589):194, 2016 [9] M Schmitt, M Wenzel, F Bottcher, I Ferrier-Barbut, and T Pfau “Self-bound droplets of a dilute magnetic quantum liquid”, Nature (London), 539:259, 2016 [10] I Ferrier-Barbut, H Kadau, M Schmitt, M Wenzel, and T Pfau “Observation of quantum droplets in a strongly dipolar Bose gas.” Physical Review Letters, 116:215301, 2016 [11] L Chomaz, S Baier, D Petter, M J Mark, F Wachtler, L Santos, and F Ferlaino “Quantum-fluctuation-driven crossover from a dilute Bose- Einstein condensate to a macrodroplet in a dipolar quantum fluid.” Physical Review X, 6:041039, 2016 25 [12] D G Fried, T C Killian, L Willmann, D Landhuis, S C Moss, D Kleppner, and T J Greytak, “Bose-Einstein condensation of atomic hydrogen”, Physical Review Letters 81, 3811 1998 [13] K B Davis, M.-O Mewes, M R Andrews, N J van Druten, D S Durfee, D Kurn, and W Ketterle, “Bose-Einstein condensation in a gas of sodium atoms”, Physical Review Letters 75, 3969 1995 [14] C C Bradley, C Sackett, and R Hulet, “Bose-Einstein condensation of lithium: Observation of limited condensate number”, Physical Review Letters 78, 985, 1997 [15] S L Cornish, N R Claussen, J L Roberts, E A Cornell, and C E Wieman, “Stable 85 Rb Bose-Einstein condensates with widely tunable interactions”, Physical Review Letters 85, 1795, 2000 [16] M W Zwierlein, C A Stan, C H Schunck, S M Raupach, S Gupta, Z Hadzibabic, and W Ketterle, “Observation of Bose-Einstein condensation of molecules”, Physical Review Letters 91, 250401, 2003 [17] B DeMarco and D S Jin, “Onset of Fermi degeneracy in a trapped atomic gas”, Science 285, 1703–1706, 1999 [18] A G Truscott, K E Strecker, W I McAlexander, G B Partridge, and R G Hulet, “Observation of Fermi pressure in a gas of trapped atoms”, Science 291, 2570–2572, 2001 [19] K O’hara, S Hemmer, M Gehm, S Granade, and J Thomas, “Observation of a strongly interacting degenerate Fermi gas of atoms”, Science 298, 2179–2182, 2002 [20] C J Pethick and H Smith, “Bose–Einstein condensation in dilute gases”, Cambridge University Press, 2008 [21] M Lewenstein, A Sanpera, and V Ahufinger, “Ultracold Atoms in Optical Lattices: Simulating quantum many-body systems”, Oxford University Press, 2012 [22] Takeuchi, H., Suzuki, N., Kasamatsu, K., Saito, H., & Tsubota, M “Quantum KelvinHelmholtz instability in phase-separated two-component Bose-Einstein condensates” Physical Review B, 81(9), 094517, 2010 [23] Sasaki, K., Suzuki, N., Akamatsu, D., & Saito, H “Rayleigh-Taylor instability and mushroom-pattern formation in a two-component Bose-Einstein Condensate” Physical Review A, 80(6), 063611, 2009 26 [24] Kosloff R., Tal-Ezer H., “A direct relaxation method for calculating eigenfunctions and eigenvalues of the Schrodinger equation on a grid”,Chemical Physics Letters 127, 223-230, 1986 [25] Feit M D., Fleck J A., and A Steiger, “Solution of the Schrodinger equation by a spectral method”, Journal of Computational Physics 47, 412–433, 1982 [26] Bandrauk A D and Hai Shen, “High-order split-step exponential methods for solving coupled nonlinear Schrodinger equations”, Journal of Physics A: Mathematical and General 27, 7147-7155, 1994 [27] William H P., Saul A T., William T V., and Brian P F., “Numerical Recipes in Fortran: The Art of Scientific Computing”, Cambridge University Press, 1982 [28] Cooley J W and Tukey J W., “An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series”,Mathematics of Computation, 19, 297-301, 1965 [29] Danielson G C and Lanczos Some C., “Improvements in practical Fourier analysis and their application to x-ray scattering from liquids”, Journal of The Franklin Institute, 233, 365-380, 1942 27