Dạy học chuyên đề làm quen với một vài yếu tố của lí thuyết đồ thị qua hoạt động trải nghiệm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thị Kiều Anh DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “Làm quen với vài yếu tố lí thuyết đồ thị” QUA HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thị Kiều Anh DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “Làm quen với vài yếu tố lí thuyết đồ thị” QUA HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM Chuyên ngành: Lí luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 8140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Phan Thị Kiều Anh xin cam đoan kết nghiên cứu trình bày luận văn “Dạy học chuyên đề “Làm quen với vài yếu tố lí thuyết đồ thị” qua hoạt động trải nghiệm” cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Vũ Như Thư Hương Những kết nghiên cứu tác giả khác số liệu sử dụng luận văn trích dẫn đầy đủ TP Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 11 năm 2021 Tác giả Phan Thị Kiều Anh LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến cô Vũ Như Thư Hương, người tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ nhiều trình nghiên cứu luận văn mà sống Tiếp đến, muốn gửi lời cảm ơn đến Cơ Lê Thị Hồi Châu, Thầy Lê Văn Tiến, Thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, Cô Nguyễn Thị Nga, Thầy Tăng Minh Dũng quý thầy cô giảng dạy lớp cao học chuyên ngành Lí luận Phương pháp dạy học mơn Tốn khóa 30.2 bỏ nhiều thời gian công sức giảng dạy, truyền thụ cho tri thức quý báu thời gian học tập nghiên cứu trường Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho q trình theo học Tơi xin cảm ơn đến ban giám hiệu Trường TiH – THCS – THPT Ngô Thời Nhiệm TP Thủ Đức tạo điều kiện giúp đỡ suốt quãng thời gian học cao học Tơi xin bảy tỏ lịng biết ơn đến ban lãnh đạo, thầy cô em học sinh Trường Trung học phổ thông Vĩnh Đĩnh – Quảng Trị tạo điều kiện cho thực nghiệm luận văn Cảm ơn bạn lớp cao học Lí luận Phương pháp dạy học mơn Tốn 30.2 giúp đỡ học tập, cảm ơn em Nguyễn Thị Phương đồng hành, phấn đấu suốt trình học Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình động viên ủng hộ tơi, chồng tơi Tạ Nguyễn Đình Đăng bên cạnh giúp đỡ, chia với tơi lúc tơi khó khăn Phan Thị Kiều Anh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục t viết tắt MỞ ĐẦU Chương LÍ THUYẾT ĐỒ THỊ 1.1 Yêu cầu chương trình GDPT 2018 chuyên đề “Làm quen với vài yếu tố lí thuyết đồ thị” 1.2 Lí thuyết đồ thị bậc đại học 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Đường Euler 13 1.1.3 Đường Hamilton 15 1.1.4 Thuật tốn tìm đường ngắn 16 1.3 Xây dựng nội dung chuyên đề “Làm quen với vài yếu tố lí thuyết đồ thị” 22 Chương THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ LÍ THUYẾT ĐỒ THỊ 24 2.1 Hoạt động trải nghiệm 24 2.1.1 Hoạt động trải nghiệm dạy học mơn Tốn 24 2.1.2 Các mơ hình hoạt động trải nghiệm giới 25 2.1.3 Vận dụng mơ hình học tập trải nghiệm Kolb để thiết kế hoạt động trải nghiệm dạy học toán 29 2.2 Thiết kế hoạt động trải nghiệm dạy học chuyên đề lí thuyết đồ thị 30 2.2.1 Tiết – 2: KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ 30 2.2.2 Tiết – 4: ĐƯỜNG ĐI EULER 37 Chương MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 54 3.1 Mục đích thực nghiệm 54 3.2 Nội dung thực nghiệm 54 3.2.1 Hình thức đối tượng thực nghiệm 54 3.2.2 Tình thực nghiệm 54 3.3 Phân tích tiên nghiệm 57 3.3.1 Các chiến lược 57 3.3.2 Biến giá trị biến 63 3.4 Phân tích hậu nghiệm 65 3.4.1 Kịch thực nghiệm 65 3.4.2 Kịch thực nghiệm 68 KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Giáo viên GV Giáo dục phổ thông GDPT Hoạt động trải nghiệm HĐTN Học sinh HS Phiếu học tập PHT MỞ ĐẦU Đặt vấn đề 1.1 Ghi nhận câu hỏi khởi đầu Chương trình GDPT mơn Tốn 2018 có nhiều điểm so với chương trình GDPT hành mục tiêu mà chương trình hướng tới giúp HS làm chủ kiến thức, biết vận dụng hiệu kiến thức, kĩ học vào đời sống tự học suốt đời, có định hướng lựa chọn nghề nghiệp phù hợp Nội dung giáo dục toán phân chia theo hai giai đoạn giai đoạn giáo dục giao đoạn giáo dục nghề nghiệp Trong giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp, mơn tốn giúp HS hiểu vài trị ứng dụng toán thực tiễn, ngành nghề có liên quan đến tốn học để HS có sở định hướng nghề nghiệp Trong lớp thuộc giai đoạn này, cụ thể lớp 10, 11 12, HS có định hướng khoa học tự nhiên công nghệ chọn học số chuyên đề học tập nhằm cung cấp thêm số kiến thức kĩ toán học đáp ứng yêu cầu phân hoá sâu, giúp HS hiểu biết ngành nghề gắn với mơn Tốn giá trị làm sở cho định hướng nghề nghiệp sau trung học phổ thông Bên cạnh nội dung giáo dục cốt lõi, năm học, HS (đặc biệt HS có định hướng khoa học tự nhiên công nghệ) chọn học số chuyên đề học tập Các chuyên đề nhằm tăng cường kiến thức toán học, kĩ vận dụng kiến thức toán vào thực tiễn, đáp ứng sở thích, nhu cầu định hướng nghề nghiệp HS (Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn, 2018, tr.3) Lí thuyết đồ thị kiến thức mà chương trình muốn hướng tới chuyên đề nằm chuyên đề lớp 11 Khái niệm lí thuyết đồ thị nhà tốn học Leonhard Euler phát biểu t năm 1736, ông sử dụng khái niệm để đưa đáp số cho tốn tìm đường qua bảy cầu thành phố Konigsberg Kể t đó, việc dùng lí thuyết đồ thị phổ biến hơn, giúp cho nhiều nhà tốn học mơ giải nhiều toán lớn giới Việc tiếp cận sớm kiến thức giúp HS dễ dàng giải số vấn đề đơn giản thực tiễn tìm đường qua tất quận thành phố, tìm đường gom rác xe rác quận cho đường xe ngắn nhất,… HS biết ứng dụng lí thuyết đồ thị lĩnh vực khoa học, kĩ thuật, tin học, Điều tạo hứng thú cho HS tiết học tốn khơ khan khó học Ngồi ra, hoạt động trải nghiệm nội dung trọng chương trình GDPT 2018: Hoạt động trải nghiệm Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp hình thành, phát triển HS lực thích ứng với sống, lực thiết kế tổ chức hoạt động, lực định hướng nghề nghiệp; đồng thời góp phần hình thành, phát triển phẩm chất chủ yếu lực định Chương trình tổng thể (Chương trình giáo dục phổ thơng hoạt động trải nghiệm hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp, 2018, tr.4) Đối với cấp trung học phổ thơng chương trình hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp giúp HS phát triển phẩm chất, lực, có khả thích ứng với điều kiện sống, khả phát triển hứng thú nghề nghiệp định lựa chọn nghề nghiệp tương lai T đó, chúng tơi nhận thấy GV cần phải nắm kiến thức trải nghiệm, biết thiết kế tình Hoạt động trải nghiệm sáng tạo mơn Tốn cách khoa học, phong phú, phù hợp với mục tiêu đề Những kiến thức liên quan đến lí thuyết đồ thị sử dụng nhiều thực tế, HS tiếp nhận kiến thức cách tự tìm phát biểu khái niệm, định lí liên quan t trải nghiệm thực tế HS nắm kĩ vận dụng tốt Tuy nhiên, kiến thức lí thuyết đồ thị kiến thức hoàn toàn chương trình Tốn phổ thơng hành, Việt Nam xuất chương trình đại học, để dạy HS kiến thức cần phải xây dựng hệ thống tiết dạy với nội dung phù hợp với yêu cầu mà chương trình GDPT 2018 đề T ghi nhận trên, đặt số câu hỏi khởi đầu liên quan đến đề tài nghiên cứu sau: - Chương trình GDPT 2018 yêu cầu hoạt động trải nghiệm lí thuyết đồ thị? - Lí thuyết đồ thị trình bày bậc đại học chương trình sách giáo khoa nước ngồi? - Cần xây dựng tình dạy học lí thuyết đồ thị để phù hợp với yêu cầu chương trình GDPT 2018? Cơng việc đầu tiên, chúng tơi tìm kiếm xem xét cơng trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài để định hướng cho nghiên cứu 1.2 Tổng quan cơng trình nghiên cứu Trong khuôn khổ luận văn t đề tài chọn chúng tơi tham khảo cơng trình nghiên cứu dạy học lí thuyết đồ thị qua hoạt động trải nghiệm sau:  Hoạt động trải nghiệm: Trong luận văn cao học có tên đề tài “Xây dựng hoạt động trải nghiệm: Trường hợp tính đơn điệu hàm số”, tác giả Phạm Thị Hoàng Yến (2018) trình bày Các khái niệm Hoạt động trải nghiệm Chương I - Cơ sở lí luận như: hoạt động, trải nghiệm, hoạt động trải nghiệm, hoạt động trải nghiệm mơn Tốn, mơ hình tổ chức hoạt động trải nghiệm Phần nghiên cứu thực nghiệm, tác giả chọn mơ hình học tập Kolb để xây dựng HĐTN gồm nhiều tình thực hành nhằm giúp HS hiểu ý nghĩa khái niệm hàm số, tính đơn điệu hàm số, ý nghĩa đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai Trong luận văn cao học Đinh Thanh Hà với đề tài “Thiết kế hoạt động trải nghiệm dạy học chủ đề hình khối trường trung học sở”, tác giả nêu rõ khái niệm hoạt động, trải nghiệm, đặc điểm hoạt động trải nghiệm mơ hình học tập trải nghiệm giới, tác giả chọn mơ hình học tập trải nghiệm để thiết kế HĐTN đề tài Ngoài ra, báo tác giả Nguyễn Thị Nga, Đào Thúy Vinh Nguyễn Xuân Tùng với đề tài “Dạy học khái niệm xác xuất lớp 11 thông qua hoạt PL16 PL17 PL18 PL19 PHỤ LỤC 3: LÍ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG STK1, STK2, STK3 Khái niệm đồ thị Định nghĩa - Một đồ thị tập hợp hữu hạn điểm (gọi đỉnh đồ thị) với tập hợp đoạn đường cong hay thẳng (gọi cạnh đồ thị) có đầu mút đỉnh đồ thị Các đỉnh đồ thị kí hiệu chữ đỉnh (cạnh nối hai đỉnh cạnh trùng đỉnh ; cạnh có đầu mút ) kí hiệu hay ; hai đầu mút ta gọi cạnh khuyên, kí hiệu (STK1, tr.9) Hình 1.1 Hình 1.1a cho ta đồ thị có đỉnh cạnh Theo định nghĩa đồ thị, cạnh đồ thị thẳng hay cong, dài hay ngắn, đỉnh vị trí khơng phải điều quan trọng, mà điều chất đồ thị có đỉnh, cạnh đỉnh nối với đỉnh Vì vậy, đồ thị hình 1.1a biểu diễn cách khác hình 1.1b 1.1c Ta nói: ba hình 1.1a, b, c biểu diễn đồ thị Hình 1.2a cho ta đồ thị có đỉnh cạnh Đồ thị biểu diễn cách khác hình 1.2b, c, d Bốn hình 1.2a, b, c, d biểu diễn đồ thị PL20 Hình 1.2 (STK1, tr.9-10) Hai hình 1.3a b cho hai đồ thị khác nhau: đồ thị có đỉnh đồ thị có đỉnh (giao điểm hai cạnh và hình 1.3b khơng phải đỉnh đồ thị) Hai đỉnh đồ thị kề chúng hai đầu mút cạnh Một đỉnh không đầu mút cạnh gọi đỉnh lập Hình 1.3 Trong hình 1.3b hai đỉnh với Trong hình 1.4, đỉnh Hình 1.4 kề nhau, cịn hình 1.3a kề với đỉnh , khơng kề không kề với đỉnh , đỉnh cô lập (không đầu mút cạnh cả) (STK1, tr.9-10) Đơn đồ thị, đa đồ thị Định nghĩa - Một đồ thị khơng có khun, hai đỉnh nối cạnh nhiều (khơng có hai cạnh nối cặp đỉnh) gọi đơn đồ thị Một đồ thị khơng có khun, hai đỉnh nối nhiều cạnh, gọi đa đồ thị PL21 Hình 1.5 Các hình 1.2, 1.3, 1.4 biễu diễn đơn đồ thị Hình 1.5 cho thí dụ đa đồ thị có hai cạnh nối hai đỉnh Đồ thị đầy đủ Định nghĩa - Một đồ thị đầy đủ cặp đỉnh nối với cạnh Hình 1.6 cho ta số đồ thị đầy đủ: với đỉnh, đỉnh đỉnh Hình 1.6 Một đồ thị khơng đầy đủ trở thành đầy đủ cách bổ sung cạnh thiếu Các đỉnh đồ thị với cạnh bổ sung lập thành đồ thị, gọi đồ thị bù (STK1, tr.11-12) Đồ thị bù đồ thị đồ thị cạnh mà ta phải bổ sung vào có đỉnh với có cạnh để đồ thị đầy đủ (STK1, tr.13)  Bậc đỉnh Định nghĩa - Một đỉnh đồ thị gọi đỉnh bậc cạnh đầu mút PL22 Trong hình , , đỉnh đỉnh bậc đỉnh bậc , đỉnh có bậc , đỉnh (cơ lập) Đỉnh có bậc có bậc ; hình có bậc ; hình , (mà đầu mút khuyên) gọi đỉnh treo; cạnh có đầu mút đỉnh treo gọi cạnh treo Trong hình , đỉnh treo, cịn cạnh treo Hình 1.8 (STK1, tr.13-14) Định lí - Trong đồ thị , tổng tất bậc đỉnh số chẵn, hai lần tổng tất cạnh Hệ - Số đỉnh bậc lẻ đồ thị số chẵn Định lí – Trong đồ thị có đỉnh ( ) có hai đỉnh có bậc Định lí – Nếu đồ thị phải có đỉnh bậc với đỉnh ( ) có hai đỉnh bậc đỉnh bậc (STK1, tr.15)  Đường đi, chu trình Định nghĩa - Trong đồ thị , dãy cạnh nối tiếp (hai cạnh nối tiếp hai cạnh có chung đầu mút) , kí hiệu gọi đường nối với PL23 Hình 1.9 đường nối Trong hình 1.9, khác nối đường nối với , Đường nối đường ; với đường hai chiều: đường từ với đường từ với đến Khi coi đường t đến đến đầu đường, cuối đường Một đường khép kín (đầu đường trùng với cuối đường) gọi chu trình Trong hình 1.9 chu trình , Một đường (chu trình) sơ cấp khơng qua đỉnh hai lần trở lên Một đường (chu trình) đơn giản khơng qua cạnh hai lần trở lên Một đường (chu trình) qua cạnh gọi đường (chu trình) có độ dài (STK1, tr.16-17)  Tính liên thông Định nghĩa - Hai đỉnh đường nối Một đồ thị Trong hình đồ thị gọi liên thơng có với gọi liên thông cặp đỉnh , ta có đồ thị ta có đồ thị liên thơng (hình đồ thị khơng cịn liên thơng (hình hình khơng có đường nối liên thông Nếu liên thông ta bỏ cạnh ) Nhưng bỏ cạnh khơng có đường nối với đỉnh khác) hay với ; PL24 Hình 1.10 gọi cầu Các cạnh Một cạnh đồ thị hai đỉnh gọi cầu sau bỏ cạnh khơng cịn liên thơng Mỗi đồ thị khơng liên thông chia thành số đồ thị (gọi đồ thị ) liên thông, rời nhau, đồ thị gọi thành phần liên thông (STK1, tr.16-17)  Cây Định nghĩa – Một đồ thị liên thơng, khơng có chu trình có đỉnh gọi Trong hình ta có cạnh (số cạnh số đỉnh đơn vị; cạnh treo tương ứng; cạnh liên thông); hai đỉnh (thí dụ: t đến có đỉnh Dễ dàng nhận thấy rằng: có số đỉnh treo ( có ) cầu (bỏ cạnh hết nối đường sơ cấp có đường sơ cấp ); thêm cạnh nối hai đỉnh khơng kề phát sinh chu trình sơ cấp (thí dụ: thêm cạnh có chu trình sơ cấp ) Những tính chất chung cho (STK1, tr.21) PL25 Hình 1.13 Định lí – Một có hai đỉnh treo Định lí – Một có đỉnh có Định lí – Cho trước đồ thị thể bỏ số cạnh cạnh liên thơng có đỉnh, ta có để chưa tất đỉnh (cây có đỉnh) Hệ - Một đồ thị liên thơng, có đỉnh cạnh, cạnh (STK1, tr.21-22-23)  Biểu diễn đồ thị Điều kiện cần đủ để hai hình biểu diễn đồ thị tồn tương ứng đỉnh hai hình cho hai đỉnh hình nối với cạnh hai đỉnh tương ứng hình nối với cạnh ngược lại (STK1, tr.28) Ngoài ra, đồ thị khơng biểu diễn hình dạng hình học gồm đỉnh cạnh mà cịn biểu diễn bảng, ma trận kề, ma trận liên thuộc (ma trận liên tiếp)  Đồ thị có hướng Một đồ thị có hướng tập hợp hữu hạn điểm (gọi đỉnh đồ thị) với tập hợp đoạn đường cong hay thẳng (gọi cung đồ thị) có đầu mút đỉnh đồ thị, đầu mút gọi gốc (hay đầu) cung, đầu mút gọi (hay cuối) cung PL26 Cung có điểm đầu điểm cuối kí hiệu ( đường cong (thẳng) có mũi tên t khỏi tới Nếu Bậc đỉnh đến ) biểu thị T nói: cung ( ) cung gọi khuyên số cung có điểm đầu ; bậc tới cung có Trong đồ thị hình , đỉnh số có … Một đỉnh lập đỉnh có bậc bậc tới Một dãy cung nối tiếp ( )( ) ( ) (điểm cuối cung điểm đầu cung nối tiếp) gọi đường t [ đến , kí hiệu ] … Một đường khép kín gọi mạch đóng … Trong đồ thị có hướng , thay cung cạnh ta có đồ thị đối xứng Đồ thị gọi liên thông đồ thị đối xứng liên thơng … Một đồ thị có hướng đầy đủ khơng có khun cặp đỉnh nối với chủ cung (STK1, tr.79 - 80) Đồ thị phẳng  Định nghĩa Một đồ thị gọi phẳng biểu diễn mặt phẳng cho hai cạnh khơng có điểm chung khác với điểm mút chúng (nói gọn: hai cạnh không cắt nhau) Trong đồ thị phẳng , phần mặt phẳng giới hạn chu trình đơn giản khơng chứa bên chu trình khác, gọi diện đồ thị Chu trình giới hạn diện biên diện Mỗi đồ thị phẳng liên thơng có diện vơ hạn nhất, diện khác diện hữu hạn  Định lí Euler PL27 Trong đa đồ thị liên thông, số đỉnh , số cạnh số diện có hệ thức: Hệ quả: Trong đơn đồ thị phẳng có đỉnh có bậc khơng lớn  Bài toán “ba nhà ba giếng” đồ thị khơng phẳng Bài tốn – Ngày xưa, có ba nhà gần ba giếng, t nhà có đường thẳng đến giếng (hình ) Có lần, bất hịa với nhau, họ tìm cách làm đường khác đến giếng cho đường không cắt nhau, họ thực ý định Vì sao? Bài tốn – Chứng minh đồ thị đầy đủ có đỉnh đồ thị phẳng (STK1, tr.21-22-23) Đường Euler – chu trình Euler Cho đa đồ thị Định nghĩa - Một đường đơn giản t đỉnh đến đỉnh chứa cạnh (tức đường chứa cạnh , cạnh lần) gọi đường Euler t Khi đến trùng với ta có chu trình Euler Một chu trình đơn giản chứa cạnh gọi chu trình Euler (STK1, tr.44) Ngoài sách Lý thuyết đồ thị Trần Đan Thư – Dương Anh Đức tác giả giới thiệu định nghĩa sau: Xét đồ thị ( )3 Đường Euler đường qua tất cạnh đồ thị cạnh qua lần (nếu đồ thị có hướng phải tơn trọng hướng cạnh) (STK3, tr.97) Trong sách Lý thuyết đồ thị tác giả giới thiệu định nghĩa đồ thị vô hướng đỉnh, tập hợp cạnh đồ thị ( ) tập hợp PL28 Trong định nghĩa tác giả không yêu cầu phải đa đồ thị Điều kiện để có đồ thị có đường Euler hay chu trình Euler khơng trình bày định lí sau: Định lí - Một đa đồ thị có chu trình Euler liên thơng đỉnh có bậc chẵn Định lí - Một đa đồ thị có đường Euler t liên thơng đỉnh có bậc chẵn, tr đến và có bậc lẻ (STK1, tr.44) Định lí 1: Cho ) đồ thị vô hướng Khi đó: ( đồ thị Euler liên thơng ( )4 chẵn Định lí Cho ) đồ thị vơ hướng Khi G có chứa dây chuyền 5Euler ( khơng chứa chu trình Euler khi: liên thơng có chứa hai đỉnh bậc lẻ (STK3, tr.44) Đường Hamilton – chu trình Hamilton Định nghĩa: Dây chuyền Hamilton dây chuyền qua tất đỉnh đồ thị qua đỉnh lần Chu trình Hamilton dây chuyền Hamilton xuất phát t đỉnh, qua tất đỉnh khác đồ thị, đỉnh qua lần quay trở nơi xuất phát (STK3, tr.100) Định lí: Một đồ thị khơng nhỏ có đỉnh hai đỉnh có tổng bậc đồ thị có chu trình Hamilton … Trong sách Lý thuyết đồ thị bậc đỉnh kí hiệu ( ) Dây chuyền đồng nghĩa với đường sách Graph giải tốn phổ thơng Hồng Chúng PL29 Trong số trường hợp đơn giản, ta tìm đường (chu trình) Hamilton , chứng minh khơng có đường (chu trình) Hamilton, dựa vào nhận xét sau: a) Đường (chu trình) Hamilton phải qua cạnh có đầu mút đỉnh có bậc b) Nếu đường (chu trình) Hamilton phải qua hai cạnh có đầu mút đỉnh có bậc lơn khơng thể qua cạnh khác có đầu mút đỉnh (STK1, tr.52) Thuật tốn tìm đường ngắn Nếu đồ thị biểu diễn mạng lưới giao thơng, người ta khơng quan tâm tới việc có tồn đường t đỉnh tới đỉnh khác hay không, mà người ta quan tâm tới đường tối ưu hay thời gian ngắn Trong lí thuyết đồ thị, toán đường ngắn hai đỉnh cho trước tốn tìm đường chúng cho tổng trọng số cạnh tạo nên đường nhỏ Trong phần tham khảo sách Lý thuyết đồ thị Trần Đan Thư – Dương Anh Đức Discrete mathematics and its applications Kneneth H.Rosen để nêu số định nghĩa thuật toán tìm đường ngắn Bài tốn đường ngắn phát biểu sau: Cho ) đồ thị Ta định nghĩa ánh xạ trọng số sau: ( Mỗi cạnh tương ứng với trọng số ( ) (số ( ) gọi độ dài hay trọng lượng cạnh ) Xét hai đỉnh dài đường , gọi đường t đỉnh đến đỉnh , độ định nghĩa là: ( ) ∑ ( ) Mục đích tốn đường ngắn tìm đường mà có độ dài nhỏ so với tất đường có t t đến đến (STK3, tr.75) PL30 Graphs that have a number assigned to each edge are called weighted graphs (STK2, tr.708) Tạm dịch: Đồ thị có số gán cho cạnh gọi đồ thị có trọng số Các thuật toán thường dùng để giải tốn gồm có: - Thuật tốn Dijkstra – giải toán đường ngắn hai đỉnh cho trước tất trọng số không âm Thuật tốn tính tốn tất đường ngắn t đỉnh xuất phát cho trước tới đỉnh khác mà không làm tăng thời gian chạy - Thuật toán Bellman – Ford – giải tốn tốn tìm đường ngắn hai đỉnh cho trước trường hợp trọng số có giá trị âm - Thuật tốn Floy – Warshall – giải toán đường ngắn cho cặp đỉnh - Thuật toán Johnson – giải tốn đường ngắn cho cặp đỉnh, nhanh thuật toán Floy – Warshall đồ thị thưa - Lí thuyết nhiễu (Perturbation theory) – tìm đường ngắn địa phương (trong trường hợp xấu nhất) Thuật toán Dijkstra: (STK2, trang 712)