PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút 104.81 16.152 A 44.675 Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: x y z 2 Câu (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn x y 3z 100 Câu (2,0 điểm) Cho số x, y thỏa mãn x y 1 2018 0 2 Tính giá trị biểu thức M 11x y xy Câu (2,0 điểm) Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d Tính giá trị biểu thức M a b b c c d d a c d d a a b b c Câu (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai f x ax bx c ( x ẩn, a, b, c : hệ số) Biết : f 2018, f 1 2019, f 1 2017 Tính f 2019 Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức Q 27 x 12 x (với x ) b Câu (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a 3a 5 a 5c Câu (2,0 điểm) Cho góc xOy 60 Tia Oz phân giác xOy Từ điểm B tia Ox kẻ BH , BK vng góc với Oy , Oz H K Qua B kẻ đường song song với Oy cắt Oz M Chứng minh BH MK Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M nằm bên tam giác cho MA 2cm, MB 3cm, AMC 135 Tính MC Câu 10 (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1;2;3; ;200, ta lấy k số cho số vừa lấy ln tìm số mà số bội số Tìm giá trị nhỏ k ĐÁP ÁN Câu 104.81 16.152 4.54.34 4.32.52 A 44.675 28.33.52 24.32.52. 52.32 1 225 224 14 28.33.52 3 Câu x y z x y z 2 x 2 y 3z 2 x y 3z 100 4 16 25 18 32 75 25 25 Từ Suy Vậy x 6 y 8 x 36 z 10 y 64 z 100 x y z 10 (Vì x, y, z dấu) x; y; z 6;8;10 ; 6; 8; 10 Câu Vì x 0; y 1 Mà theo đề x 2018 0 với x, y nên: x y 1 y 1 2014 2014 0 , suy x y 1 x 2; y M 24 Câu 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d Từ 0 ( x, y ) 2014 0 Suy 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d (*) a d c d Nếu a b c d 0 a b c d ; b c a d M a b bc c d d a c d d a a b b c Nếu a b c d 0 từ * a b c d M a b bc c d d a 4 c d d a a b b c Câu Xét x 0 : f 2018 c 2018 Xét x 1: f 1 2019 a b c 2018 a b 1(1) Xét x 1: f 1 2017 a b c 2017 a b (2) Cộng (1) (2) vế theo vế a 0 b 1 Từ tìm f x x 2018 Suy f 2019 Câu Ta có: Q 27 x 3 2 12 x 12 x , suy Q lớn 12 x lớn *Nếu x 12 12 x 0 12 x *Nếu x 12 12 x 0 12 x Từ trường hợp suy 12 x lớn 12 x Vì phân số 12 x có tử mẫu số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có giá trị lớn mẫu số nguyên dương nhỏ Hay 12 x 1 x 11 Suy A có giá trị lớn x 11 Câu b c Do a a 3a a 5 b c b c Vậy b c 5 a Hay 3a a 3 a a 3 5a Mà a a 3 a 3 5 a 3 a U (5) Hay a 1; 5 , a a 4 Từ (1) (2) suy a 5 a 2 b 2 Từ tính 2 3.2 25 5 b 2 c Và a 2 5 c 1 Vậy a 2, b 2, c 1 Câu x z B M K O H y Chứng minh tam giác BOM cân B BOM BMO 30 BK đường cao tam giác cân BMO nên K trung điểm OM KM KO (1) Chứng minh BKO OHB ch gn BH OK (2) Từ (1) (2) suy BH MK (dfcm) Câu D A M C B Dựng tam giác ADM vuông cân A, (D, B khác phía AM ) Chứng minh ABM ACD (c.g.c) vì: AD AM (AMD vuông cân A) MAB CAD ( phụ với CAM ) ; AB AC ( gt ) Suy CD BM 3cm 2 Tính MD AD AM 8 Chỉ tam giác DMC vuông M 2 Suy MC CD MD 9 1 CD 1(cm) Câu 10 Xét 100 số 101;102;103; ;200 Trong 100 số rõ ràng khơng có số bội (1) số (vì 101.2 200) Do k 101 Xét 101 số lấy từ 200 số cho: a1 a2 a3 a101 200 Ta viết 101 số vừa lấy dạng: a1 2n1.b1 a2 2n2 b2 a3 2n3.b3 a101 2n101.b101 i 1;101 Với ni số tự nhiên, bi số lẻ Suy bi phần tử tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: 1;3;5; ;199 Vì có 101 số bi mà có 100 giá trị nên tồn số bi b j n ni a j 2 j b j a b i i Suy hai số có số bội số lại Như lấy 101 số 200 số cho ln có số mà số bội số (2) Từ (1) (2) suy giá trị nhỏ k 101