PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THAN UYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017-2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) a) Thực phép tính: 193 33 11 1931 A = − + : + + ÷ ÷ 193 386 17 34 1931 3862 25 2 B = ( −5 ) + ( −5 ) + ( −5 ) + ( −5 ) + + ( −5 ) b) Rút gọn : Câu (4,0 điểm) a) Tìm a , b, c biết 12a − 15b 20c − 12a 15b − 20c = = 11 2016 + ( −5 ) 2017 a + b + c = 48 7;6;5 tỉ lệ với 6;5;4 Nhưng sau số người đội thay đổi nên chia lại tỉ lệ Như 6m có đội làm nhiều so với dự định Tính tổng số đất phân chia cho đội Câu (4,5 điểm) x − 2017 + 2018 C= x − 2017 + 2019 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 15 n2 − S = + + + + 16 n b) Chứng tỏ không số tự nhiên với n∈¥,n > b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội x, y c) Tìm tất cặp số nguyên I , II , III x − xy + y = cho ABC , AB = AC D, BC Câu (5,5 điểm) Cho tam giác cân Trên cạnh lấy điểm CB BD = CE E tia đối lấy điểm cho Các đường thẳng vng góc với AB, AC M , N BC D E kẻ từ cắt Chứng minh rằng: DM = EN a) BC MN MN I b) Đường thẳng cắt điểm trung điểm c) Đường thẳng vng góc với D thay đổi cạnh BC Câu (2,0 điểm) OA Trong hình bên, đường thẳng y = f ( x) = ax đồ thị hàm số y0 − x0 − a) Tính tỉ số x0 = b) Giả sử Tính diện tích OBC tam giác MN I luôn qua điểm cố định O ĐÁP ÁN Câu 193 33 193 193 33 2 33 a ) − + = − + = − + =1 ÷ 193 386 17 34 193 17 386 17 34 17 34 34 11 1931 1931 11 1931 11 + + = 1931 3862 ÷ 25 1931 25 + 3862 25 + = 25 + 50 + = ⇒ A = 1: = b) ( −5 ) B = ( −5 ) + ( −5 ) + ( −5 ) + + ( −5 ) 2016 B = ( −5 ) + ( −5 ) + ( −5 ) + ( −5 ) + + ( −5 ) ( −5 ) B − B = − B = ( − ) 2018 + ( −5 ) 2016 2017 + ( −5 ) − 52018 −1⇒ B = + ( −5 ) 2018 2017 Do đó: Câu a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 12a − 15b 20c − 12a 15b − 20c 12a − 15b + 20c − 12a + 15b − 20c = = = =0 11 27 12a − 15b = ⇒ 12a = 15b a b c ⇒ 12a = 15b = 20c ⇒ = = 20c − 12a = ⇒ 20c = 12a 12 15 20 Và a + b + c = 48 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a+b+c 48 = = = = = 24 1 1 1 + + 12 15 60 12 15 20 ⇒ a = 20, b = 16, c = 12 b) Gọi tổng số đất phân chia cho đội I , II , III x ( m ) , DK : x > a, b, c ( m3 ) , DK : a, b, c > Số đất dự định chia cho đội a b c a+b+c x 7x 6x 5x = = = = ⇒ a = ;b = ; c = (1) 18 18 18 18 18 Ta có a ', b ', c ' ( m3 ) I , II , III a ', b ', c ' > Số đất sau chia cho đội ĐK: a ' b ' c ' a '+ b '+ c ' x 6x 5x 4x = = = = ⇒ a ' = ; b ' = ; c ' = (2) 15 15 15 15 15 Ta có a < a ', b = b ', c > c ' So sánh (1) (2) ta có: nên đội I nhận nhiều lúc đầu 7x 6x x − =6⇒ = ⇒ x = 360 18 15 90 a − a' = Vì hay 360m3 Vậy tổng số đất phân chia cho đội đất Câu a)C = x − 2017 + 2018 ( x − 2017 + 2019 ) − 1 = =1− x − 2017 + 2019 x − 2017 + 2019 x − 2017 + 2019 Biểu thức C x − 2017 + 2019 đạt giá tri nhỏ x − 2017 ≥ Mà Dấu có giá trị nhỏ x − 2017 + 2019 ≥ 2019 nên "=" x = 2017 ⇒ C = xảy 2018 2019 Vậy giá trị nhỏ C 2018 2019 x = 2017 15 n − 22 − 32 − 42 − n2 − + + + + = + + + + 16 n n 1 1 1 1 = − + − + − + + − = ( + + + + 1) − + + + + ÷ n n 2 ⇒ S < n − (1) b) S = Nhận xét: ⇒ 1 1 1 1 < ; 2< ; 2< ; ; < 2 1.2 2.3 3.4 n ( n − 1) n 1 1 1 1 + + + + < + + + + = − −1 ⇒ ( n − 1) − + + + + ÷> ( n − 1) − = n − n n 2 2 ⇒ S > n − 2(2) Từ (1) (2) suy n − < S < n −1 hay S không số nguyên c) Ta có: x − xy + y = ⇒ x(1− y) + y = ⇒ (1− y) − x(1− y) =1 ⇔ ( − x ) ( − y ) = = 1.1 = −1 − 1-x 1-y X y ( x; y ) = { ( 0;0 ) ; ( 2;2 ) } Vậy Câu 1 0 -1 -1 2 a) ∆MDB = ∆NEC ( g.c.g ) ⇒ DM = EN ⇒ MB = NC b) Ta có: ∆MDI (cặp cạnh tương ứng) (cặp cạnh tương ứng) · · DMI + MID = 900 vuông D: (tổng hai góc nhọn tam giác vng) · · ∆NEI ENI + NIE = 900 vuông E: (tổng hai góc nhọn tam giác vng) ·MID = NIE · ·DMI = ENI · Mà (đối đỉnh) nên ⇒ ∆MDI = ∆NEI ( g c.g ) ⇒ IM = IN (cặp cạnh tương ứng) BC MN MN I Vậy cắt điểm trung điểm BC H A c) Gọi chân đường vng góc kẻ từ xuống · · ∆AHB = ∆AHC ⇒ HAB = HAC (cạnh huyền – cạnh góc vng) (cặp góc tương ứng) O MN AH Gọi giao điểm với đường thẳng vng góc với kẻ từ I · · ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) ⇒ OBA = OCA ⇒ OC = OB (cặp cạnh tương ứng) ∆OIM = ∆OIN (c.g.c) ⇒ OM = ON (cặp góc tương ứng) (1) (cặp cạnh tương ứng ) · · ∆OBM = ∆OCN (c.c.c) ⇒ OBM = OCN (cặp góc tương ứng ) (2) · · OCA = OCN = 900 , OC ⊥ AC Từ (1) (2) suy O Vậy điểm cố định Câu y = ax ( 2;1) A A a) Điểm thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ phải thỏa mãn hàm y = ax số 1 = a.2 ⇒ a = y= x 2 Do đó, Vậy hàm số cho công thức A Hai điểm B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ tung độ chúng tỉ lệ thuận với y y −2 ⇒ 0= = = x0 x0 − (tính chất dãy tỉ số nhau) y0 − = x0 − Vậy y0 = x0 = = 2,5 x0 = 2 b) Nếu S = a.h OBC Diện tích tam giác là: Áp dụng cơng thức ta có SOBC = 5.2,5 = 6,25 ... 7x 6x x − =6⇒ = ⇒ x = 360 18 15 90 a − a' = Vì hay 360m3 Vậy tổng số đất phân chia cho đội đất Câu a)C = x − 20 17 + 2018 ( x − 20 17 + 2019 ) − 1 = =1− x − 20 17 + 2019 x − 20 17 + 2019 x − 20 17. .. 2019 Biểu thức C x − 20 17 + 2019 đạt giá tri nhỏ x − 20 17 ≥ Mà Dấu có giá trị nhỏ x − 20 17 + 2019 ≥ 2019 nên "=" x = 20 17 ⇒ C = xảy 2018 2019 Vậy giá trị nhỏ C 2018 2019 x = 20 17 15 n − 22 − 32 −... −5 ) + ( −5 ) + ( −5 ) + + ( −5 ) ( −5 ) B − B = − B = ( − ) 2018 + ( −5 ) 2016 20 17 + ( −5 ) − 52018 −1⇒ B = + ( −5 ) 2018 20 17 Do đó: Câu a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 12a −