Toán rời rạc lý thuyết pgs ts nguyễn địch ths lê thị thanh thùy đại học mở hà nội

TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết VIỆN ĐẠI HỌC MỞ HÀ NỘI KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN TỐN RỜI RẠC (Lý thuyết) PGS.TS NGUYỄN ĐỊCH ThS LÊ THỊ THANH THÙY HÀ NỘI 2018 TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết LỜI NĨI ĐẦU Tốn học rời rạc - discrete mathematics - tên gọi chung nhiều mơn tốn học có đối tượng nghiên cứu tập hợp rời rạc Một số mơn Tốn học rời rạc xuất sớm đóng góp cho phát triển Tốn học nói chung Cuối kỷ XXI ảnh hưởng trực tiếp sâu sắc Tốn rời rạc Cơng nghệ thơng tin mà vai trị mơn học ngày trở nên quan trọng Viện Hàn lâm khoa học Nauy trao giải thưởng Toán học quốc tế Abel năm 2012 (giải thưởng Toán học xem tương đương với giải Nobel lĩnh vực khác) cho nhà tốn học Hungari Endré Czemerédi đóng góp lâu dài có giá trị to lớn ơng lĩnh vực Toán rời rạc Lý thuyết Máy tính Nhận thức rõ vai trị Tốn rời rạc nhiều lĩnh vực Công nghệ thông tin – từ vấn đề đến vấn đề lĩnh vực trí tuệ nhân tạo ngơn ngữ máy v v , năm 2005 Hội đồng Khoa học đào tạo Khoa Công nghệ thông tin (CNTT) – Viện Đại học Mở Hà Nội đề nghị Hội đồng khoa học đào tạo Viện Đại học Mở Bộ Giáo dục & Đào tạo sử dụng mơn “Tốn rời rạc” làm môn thi Lý thuyết kỳ thi tốt nghiệp bậc đại học thi tuyển đầu vào bậc Cao học Khoa CNTT- ĐHMHN Và từ năm 2006 đề nghị thực Bộ sách biên soạn theo đề cương thức Hội đồng khoa học đào tạo Khoa Công nghệ thông tin – Viện Đại học Mở Hà Nội thông qua, nhằm cung cấp kiến thức toán rời rạc làm sở cho việc học tập nghiên cứu môn chuyên ngành cho sinh viên thuộc ngành Cơng nghệ thơng tin sử dụng – phần – cho sinh viên học viên Cao học số ngành khác TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết Nội dung sách bao gồm kiến thức chủ yếu phân mơn tốn học có đặc trưng chung là: đối tượng nghiên cứu chúng tập rời rạc Đó là: Lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị hữu hạn, logic tốn, lý thuyết tơ mát hữu hạn ngơn ngữ hình thức Bộ sách biên soạn dựa kinh nghiệm sau nhiều năm giảng dạy tập thể giảng viên Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Khoa Công nghệ thông tin Viện Đại học Mở Hà Nội, có tham khảo tư liệu quốc tế gần ý kiến trao đổi với nhiều đồng nghiệp Bộ sách gồm tập: Tập 1: Lý thuyết Gồm 10 chương, bao gồm đủ nội dung Toán rời rạc nói với mức tương đối hồn chỉnh Tập 2: Bài tập lời giải.Bao gồm lời giải tập đưa tập Đó sưu tập phong phú, nhiều lớp tập chưa có sách Tốn rời rạc xuất Trong dịp kỷ niệm 25 năm ngày thành lập Khoa Công nghệ thông tin Viện Đại học Mở Hà Nội, tác giả tuyển chọn 25 tập tổng hợp sử dụng làm đề thi năm qua hệ đào tạo Khoa CNTT – ĐH Mở Hà Nội để làm tài liệu tham khảo tổng hợp Toán rời rạc cho sinh viên người tự học Sách trình bày theo dạng giáo trình sử dụng cho người học có phần viết sâu rộng nhằm cung cấp kiến thức tham khảo cho giảng viên, người làm cơng tác nghiên cứu chung có nhu cầu nghiên cứu sâu thêm toán rời rạc Qua năm thử nghiệm giảng dạy theo đề cương tài liệu chúng tơi thấy có thời lượng tín (75 tiết) hồn tồn chuyển tải đầy đủ toàn nội dung 10 chương cho sinh viên Với thời lượng tín (60 tiết) chương 5, chương 10 khơng giảng mà xem tài liệu để TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết sinh viên tham khảo thêm Tuy nhiên muốn sâu vấn đề nêu chương cần nghiên cứu theo chuyên đề riêng Chúng chân thành cảm ơn Viện Đại học Mở Khoa Công nghệ Thông tin – ĐHM HN tạo điều kiện thuận lợi để sách sớm đến tay độc giả Cũng xin tỏ lời cảm ơn bạn đồng nghiệp Khoa CNTT-ĐHMHN đóng góp nhiều ý kiến q trình biên soạn Đặc biệt tác giả chân thành cảm ơn GS Thái Thanh Sơn giúp đỡ hiệu chỉnh góp thêm nhiều ý kiến cho việc biên soạn tập sách Xin trân trọng giới thiệu sách với độc giả mong nhận ý kiến đóng góp để lần tái sách hoàn thiện Những ý kiến đóng góp độc giả xin gửi địa nguyendich@hn.vnn.vn gọi đến số điện thoại 024 38532966 Hà Nội, ngày… tháng….năm 2018 Nhóm tác giả PGS.TS Nguyễn Địch ThS Lê Thị Thanh Thùy TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết Chương TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.1 TẬP HỢP VÀ PHẦN TỬ Tập hợp phần tử tập hợp khái niệm tốn học ngun thủy (Primitive notion), khơng thể định nghĩa mà ta mơ tả chúng đưa thuộc tính đặc trưng chúng thơng qua hệ tiên đề Trong tài liệu từ khơng gây nhầm lẫn gì, ta thường gọi thay thuật ngữ tập hợp thuật ngữ vắn tắt “tập” Một cách trực quan, ta hình dung tập hợp tạo thành nhiều đối tượng gọi phần tử tập hợp Nếu x đối tượng tập A, ta gọi x phần tử A x thuộc A ký hiệu: x Ỵ A ; x phần tử A – x khơng thuộc A –thì ta ký hiệu: x Ï A Có nhiều phương pháp để tập hợp cụ thể mà cần nghiên cứu Sau ta nói đến hai phương pháp thường dùng nhất: Phương pháp liệt kê: Để mô tả tập hợp, đơn giản trực quan liệt kê – đưa danh sách toàn thể - tất “thành phần” tạo thành tập hợp Thí dụ 1.Gọi B tập hợp gồm “phần tử” số: 2, 4, 5, 6, Ký hiệu : B {2, 4, 5, 6, 8} Trong phương pháp này, thủ tục nhận biết đối tượng có phải phần tử tập cho hay khơng trở nên hồn tồn đơn giản: đối tượng khơng có mặt bảng liệt kê – tức “danh sách” phần tử A đối tượng khơng phải phần tử A Chẳng hạn thí dụ trên: Ï B, Ï Bcịn Ỵ B , … Có thể ý thêm sử dụng phương pháp liệt kê đối tượng có mặt danh sách liệt kê khơng địi hỏi phải có tính chất giống Thí dụ C tập gồm phần tử ký hiệu: 0; a; Hà Nội; * C = {0, a, Hà Nội, *} TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết Phương pháp mơ tả: Trong nhiều trường hợp, khó liệt kể đầy đủ phần tử tập hợp , muốn rõ cụ thể tập hợp xác định đó, ta phải nêu tính chất đặc trưng S đối tượng tập hợp - đối tượng thuộc tập hợp phải có tính chất đặc trưng đối tượng có tính chất đặc trưng phần tử tập hợp Ký hiệu : C = {x: x có thuộc tính S} : Tập C gồm đối tượng x có thuộc tính S Thí dụ 1: A = {x: x2 =1} có nghĩa là: “A tập hợp gồm phần tử x cho bình phương x 1” Thí dụ Tập hợp số nguyên dương N+ N + = {1, 2, 3, , n, } Khi số 1, 2, 3, … phần tử N+ Các phần tử N+ có tính chất chung: số nguyên dương Thí dụ A = {1, 3, 5, 7, }là tập hợp số nguyên dương lẻ Các phần tử A có tính chất chung nguyên, dương lẻ Nếu x đối tượng tập A, ta gọi x phần tử A x thuộc Avà ký hiệu: x Î A ; x phần tử A – x khơng thuộc A –thì ta ký hiệu: x Ï A Phương pháp mô tả tập hợp phải đạt yêu cầu sau đây: Khi đưa đối tượng tính chất đặc trưng mà nêu lên điều kiện có đủ để khẳng định đối tượng có phải phần tử tập hợp hay khơng Trong thí dụ 2: số 15 Ỵ A ; số 16 Ï A 16 khơng có tính chất lẻ 1.1.1 Tập hữu hạn tập vô hạn Nếu A tập có số hữu hạn phần tử số lượng phần tử tập A gọi số hay lực lượng tập A; ký hiệu |A| hay N(A); số nguyên dương Khi |A| số hữu hạn tập A gọi là tập hữu hạn Nếu A khơng phải tập hữu hạn ta gọi A tập vơ hạn Trong tốn ứng dụng thuộc lĩnh vực toán rời rạc ta xem xét tập hữu hạn Thí dụ A = {2, 4, 6, 8}là tập hữu hạn N = {0, 1, 2, ,n, }: tập số tự nhiên tập vô hạn Z = {0, ± 1, ± 2, , ± n, }: tập số nguyên tập vô hạn TỐN RỜI RẠC – Lý thuyết ìn ü Q = : m 0, m ẻ Z, n Î Z ý : tập số hữu tỉ vụ hn ợm ỵ R = { Cỏc s thực} tập vô hạn 1.1.2 Tập rỗng Trong trình tính tốn sau, ta đưa vào khái niệm tập rỗng Định nghĩa 1:Nếu | A | = A gọi tập rỗng, tập không chứa phần tử nào.Ta ký hiệu tập rỗng Ỉ Thí dụ A tập nghiệm số thực phương trình x - 3x + = A = {1, 2} |A| = Cịn tập nghiệm thực phương trình x + x + = tập rỗng phương trình khơng có nghiệm thực 1.1.3 Sự bao hàm tập Định nghĩa 2: Nếu với mi phn t x ẻ A ị x ẻ B sử dụng mệnh đề tương đương: Với x ẽ B ị x ẽ A thỡ ta núi: ã A bao hàm B A chứa B • B bao hàm A hay B chứa A • A tập B Để diễn đạt điều ta viết A Ì B hay B É A 1.1.4 Tập hợp Định nghĩa 3: Hai tập A B gọi (ta viết A = B) chúng bao gồm phần tử nhau, nghĩa phần tử thuộc A thuộc B ngược lại: xỴA Û xỴB Thí dụ A = {x, 2, 5, 4}và B = {5, x, 4, 2} hai tập Thứ tự hay vị trí phần tử khơng quan trọng Thí dụ A tập gồm phần tử {-1; +1} B tập {nghiệm số thực phương trình bậc 2: x2 – =0} A = B Từ định nghĩa suy mệnh đề sau đây: • A = B A Ì B B Ì A TỐN RỜI RẠC – Lý thuyết • A chứa phn t ca nú ã Ta xem rng ặ tập tập A.(sẽ chứng minh sau) Để hình dung mối liên hệ tập (trong trình nghiên cứu) người ta dùng cách biểu diễn hình học gọi sơ đồ Venn Trong sơ đồ Venn, tập biểu diễn miền kín mặt phẳng, điểm bên miền kín biểu thị cho phần tử tập Khi quan hệ A Ì B biểu thị hình – Miền A nằm miền B A B Hình 1.1.5 Tập vũ trụ Định nghĩa 4:Ta gọi tập vũ trụ ký hiệu U – vấn đề khảo sát – tập bao hàm tập có vấn đề xem xét Trong sơ đồ Venn, người ta biểu diễn tập U hình vng hình chữ nhật.Mọi tập khác xem xét miền nằm hình vng hình chữ nhật (Hình 2) C A B Hình 1.1.6 Tập lũy thừa Định nghĩa 5:Cho tập A, ta gọi tập lũy thừa A ký hiệu P(A) hay 2A tập tập A (bao gồm tập rỗng thân tập A) Chú ý:Phần tử tập lũy thừa tập A, bao gồm phần tử A xem tập có phần tử Thí dụ: A = {1, 2, 3} P(A) = {Ỉ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Tập lũy thừa A thường liên quan đến việc trắc nghiệm tập A để xem chúng có thỏa mãn tính chất hay không A n Sau ta chứng minh: Nếu | A | = n | P(A) | = | | = TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết 1.2 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Từ hai tập A B cho trước – U – ta định nghĩa số qui tắc tạo tập theo cách đó, gọi luật hợp thành Mỗi luật hợp thành gọi phép toán tập hợp 1.2.1 Phép hợp Định nghĩa: Hợp tập A B, ký hiệu A È B , tập chứa tất phần tử thuộc A thuộc B, nghĩa là: x Ỵ A È B Û {x Ỵ A x Ỵ B} A È B biểu diễn sơ đồ Venn hình A B ẰB Hình Thí dụ A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3} Þ A È B = {1, 2, 3, 5} 1.2.2 Phép giao Định nghĩa: Giao hai tập A B, ký hiệu A Ç B , tập chứa tất phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, nghĩa l x ẻ A ầ B {x ẻ A v x ẻ B} Biu din ca A ầ B sơ đồ Ven có dạng hình B A B Hình Thí dụ.Cũng thí dụ A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3} A Ç B = {1, 3} Nếu A Ç B = Ỉ ta nói A B hai tập rời Thí dụ: A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8} hai tập rời A Ç B = Æ TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết 1.2.3 Phép trừ Định nghĩa: Hiệu hai tập A B ký hiệu A\B, tập chứa phần tử thuộc A mà không thuộc B Biểu diễn A\B sơ đồ Venn có dạng hình B A A\B Hình Thí dụ A = {1, 2, 5}, B = {1, 2, 3} Þ A\B = {5} 1.2.4 Tập bù Định nghĩa: Nếu A Ì E E\A tập bù A E Trường hợp đặc biệt E = U U\A gọi ngắn gọn tập bù hay tập đối lập Avà ký hiệu A Dễ dàng nhận thấy A = A A A Hình 1.2.5 Tính chất phép toán tập hợp Các phép toán tập hợp nêu thỏa mãn đẳng thức mà ta gọi luật Có thể dễ dàng kiểm tra lại từ định nghĩa phép toán sử dụng sơ đồ Venn 10 TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết b) Xâu ký tự Xâu ký tự gọi từ, gồm dãy hữu hạn ký tự bảng chữ viết liền Thí dụ morning xâu ký tự bảng chữ X = {a, b, c, , z} Mỗi xâu ký tự thường ký hiệu chữ w , độ dài xâu ký tự số ký tự xâu Độ dài xâu w ký hiệu | w | hay !(w) Thí dụ 0101101 xâu bảng chữ X = {0, 1} có độ dài 7; w = morning | w | = Quy ước xâu rỗng có độ dài ký hiệu ^ c) Ngôn ngữ Cho bảng chữ X; ta ký hiệu X * tập xâu bảng chữ cái, kể xâu rỗng ^; X + = X * \{^} tập tất xâu có độ dài dương Tập L Í X + gọi ngơn ngữ Như tập xâu có độ dài dương ngơn ngữ Từ suy ra: - ký tự ngôn ngữ - từ ngơn ngữ Có hai vấn đề đặt ra: 1) Cho w Ỵ X + ngơn ngữ L; hỏi w Ỵ L hay khơng? Đó vấn đề đốn nhận 2) Cho w Ỵ L ; làm để sinh w ? Đó vấn đề sinh Hai vấn đề liên quan đến việc biểu diễn ngôn ngữ Người ta thường biểu diễn ngôn ngữ “máy hình thức” (vấn đề đốn nhận) văn phạm (vấn đề sinh) 10.2.2 Văn phạm ngơn ngữ sinh văn phạm Ta hình dung văn phạm ơtơmát hay “thiết bị tự động” có khả từ bảng chữ cho trước sinh tập hợp từ Với từ ngôn ngữ, người ta chọn quy cách hoạt động ôtômát để sau số hữu hạn bước hoạt động, dừng sinh từ Với quan niệm văn phạm ta đưa định nghĩa văn phạm sau: Định nghĩa Văn phạm G gồm thành phần sau G = {X, D, I, R} đó: a) X, D tập hữu hạn, khơng rỗng, không giao X gọi từ điển bản, phần tử ký hiệu (hoặc ký hiệu terminal); D 205 TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết từ điển hỗ trợ, phần tử ký hiệu hỗ trợ (cịn gọi ký hiệu nonterminal) Khi V = X È D gọi từ điển đầy đủ b) I Ỵ D ký hiệu ban đầu c) R tập quy tắc mà phần từ có dạng a ® b , a, b phần tử V Định nghĩa Văn phạm G = {X, D, I, R} gọi văn phạm quy R gồm quy tắc có dạng A ® aB , A ® a A ® Ba , A ® a A, B Ỵ D X Thí dụ Cho văn phạm G = {X, D, I, R} sau: X = {a1 , a , , a n } bảng ký hiệu (chữ cái) D = {I, A1, A , , A n - 1} bảng ký hiệu hỗ trợ I Ỵ D ký hiệu ban đầu R = {I ® a1A1,A1 ® a 2A ,A ® a 3A3 , ,A n - ® a n - 1A n - 1,A n - ® a n } (n ³ 2) tập quy tắc Theo định nghĩa 2, văn phạm quy Văn phạm sinh ngôn ngữ L(G) = {w = a1a a n } Thật vậy, với từ w , ta có dẫn xuất đầy đủ G là: D = {I, a1A1, a1a 2A , , a1a a n - 1A n - 1, a1a a n } Thí dụ Cho G = {X, D, I, R} sau: X = {a}; D = {I}, R = {I ® aI} Văn phạm làm việc không dừng tức không tồn xâu w ẻ X + v w ^ m G sinh Ngôn ngữ G sinh L(G) = Ỉ Các ngơn ngữ sinh văn phạm quy gọi ngơn ngữ quy mà ta nghiên cứu 10.3 NGƠN NGỮ CHÍNH QUY VÀ BIỂU THỨC CHÍNH QUY 10.3.1 Ngơn ngữ quy Cho X tập hữu hạn không rỗng chữ cái, X* tập tất xâu ký tự (dãy liên tiếp ký tự) kể xâu rỗng mà ta ký hiệu {^} X + = X* \ {^} tập xâu không rỗng Khi E Í X + gọi ngơn ngữ bảng X Trên tập tất ngôn ngữ ta thực phép tốn sau: 206 TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết a) Phép hợp Cho E1 E ngôn ngữ tập X Ta định nghĩa: E1 È E = {w : w Ỵ E1 w Ỵ E } b) Phép nhân Ta định nghĩa phép nhân: E1.E = {w1w2 : w1 Ỵ E1; w2 Ỵ E } c) Phép lặp Cho ngôn ngữ E tập X; Ký hiệu E n = E.E E (n lần) Ta định nghĩa phép lặp E + E = E È E È E È = ¥ !E n n =1 Định nghĩa Giả sử X = {x1 , x , , x n } Ngôn ngữ {x i } ngơn ngữ {Ỉ} gọi ngơn ngữ sơ cấp X Ta có định nghĩa ngơn ngữ quy sau: a) Các ngôn ngữ sơ cấp X gọi ngơn ngữ quy X + b) Nếu E F ngôn ngữ sơ cấp X E È F, E.F , E ngơn ngữ quy X c) Khơng có ngơn ngữ quy khác X ngồi ngơn ngữ quy định nghĩa a) b) nêu Để diễn đạt ngôn ngữ quy ta đưa vào biểu thức quy định nghĩa đây: 10.3.2 Biểu thức quy Trên tập X ta định nghĩa biểu thức quy theo bước sau đây: a) Ỉ biểu thức quy biểu diễn ngơn ngữ rỗng b) Nếu x Ỵ X x biểu thức quy biểu diễn ngôn ngữ {x} c) Nếu r, s biểu thức quy biểu diễn ngơn ngữ R S thì: - (r) È (s) biểu thức quy biểu diễn ngơn ngữ R È S - (r).(s) biểu thức quy biểu diễn ngơn ngữ R.S + - (r) + biểu thức quy biểu diễn ngôn ngữ R Từ định nghĩa ngơn ngữ quy biểu thức quy, ta có định lý sau đây: (thừa nhận khơng chứng minh) Định lý a) Mọi ngơn ngữ quy tập X nhận từ ngôn ngữ hữu hạn cách áp dụng số hữu hạn lần phép tốn hợp, nhân lặp b) Một ngơn ngữ X quy biểu diễn biểu thức quy 207 TỐN RỜI RẠC – Lý thuyết 10.3.3 Tính chất ngơn ngữ quy Định lý Lớp tất ngơn ngữ quy X đóng với phép toán: hợp, nhân, hiệu, lấy phần bù, nhân ghép lặp Chứng minh Tính đóng phép toán: hợp, nhân, ghép lặp chứng minh theo định nghĩa biểu thức quy Chỉ cịn phải chứng minh tính đóng hiệu lấy phần bù a) Phép hiệu R = R1 \ R ngơn ngữ quy X Giả sử R1 = L(M1 ) R = L(M ) M1 , M ơtơmát đốn nhận R R đó: M1 = {X, Q1, f1, q1, Y1} ; M = {X, Q , f , q , Y2} Ta xây dựng ơtơmát M đốn nhận R sau: M = {X, Q, f , q , Y} với Q = Q1 ´ Q q = (q1 , q ) Ỵ Q , Y = Y1 ´ (Q \ Y2 ) Còn f : Q ´ X ® Q xác định sau: F((q, q), x) = {f1 (q, x), f (q, x)} với q Ỵ Q1; q Ỵ Q , x Ỵ X Dễ dàng kiểm tra lại L(M) = R Vậy R ngơn ngữ quy X b) Phép lấy phần bù: Nếu R ngơn ngữ quy X R ngơn ngữ quy X Thật M = {X, Q, f , q , Y} ơtơmát đốn nhận R Khi M ' = {X, Q, f , q , Y¢} với Y¢ = Q \ Y ơtơmát đốn nhận ngơn ngữ R Vậy R ngơn ngữ quy 10.4 QUAN HỆ GIỮA ƠTƠMÁT HỮU HẠNVÀ NGƠN NGỮ CHÍNH QUY Định nghĩa Văn phạm G = {X, D, I, R} gọi văn phạm quy suy rộng quy tắc R có dạng A ® aB , A ® a A ® ^ ; A, B Ỵ D; a Ỵ X ^ ký hiệu xâu rỗng Định lý Với văn phạm quy suy rộng G, xây dựng văn phạm quy G ¢ cho L(G¢) = L(G) \ {^} 208 TỐN RỜI RẠC – Lý thuyết Định nghĩa Văn phạm quy suy rộng gọi văn phạm quy mẫu khơng có quy tắc A ® a Định lý Với văn phạm quy suy rộng, xây dựng văn phạm quy mẫu tương ứng với Chứng minh Giả sử G = {X, D, I, R} văn phạm quy suy rộng Thêm vào D ký hiệu K đặt D¢ = D È {K} Đối với quy tc A đ a ẻ R ta thay bi cp quy tắc A ® aK , K ® ^ ta R ¢ Rõ ràng văn phạm G¢ = {X, D¢, I, R ¢} văn phạm quy mẫu L(G) = L(G¢) Định nghĩa Đồ hình văn phạm Cho văn phạm quy mẫu G = {X, D, I, R} Ta lập đa đồ thị có hướng theo quy tắc sau: Mỗi ký hiệu hỗ trợ Ỵ D đỉnh, nghĩa D tập đỉnh Với cặp đỉnh A, B Ỵ D , số cung từ A đến B số quy tắc có dạng A ® aB G, cung đánh dấu ký hiệu a Ỵ X quy tắc tương ứng với cung Đỉnh I ứng với ký hiệu ban đầu gọi đỉnh ban đầu; đỉnh A ứng với quy tắc A ® ^ gọi đỉnh kết thúc Đa đồ thị có hướng thiết lập gọi đồ hình văn phạm Thí dụ Cho văn phạm quy mẫu: G = {X, D, I, R} đó: X = {a, b, c, d, e} D = {I, A, B, C} R = {I ® aA, I ® bA, A ® dA, A ® bC, C ® CB, B ® BA, B ® eI, I ® ^, B ® ^} Đồ thị văn phạm G có dạng đây: I b d a C A b c b e 209 B TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết Đỉnh đầu I; đỉnh kết thúc I B Đường hình A A1 A n sinh xâu a1 a a n a i dấu hiệu cung nối A i -1A i Thí dụ: Đường IACB sinh xâu abc bbc Đường A A1 A n gọi đường đầy đủ A º I A n đỉnh kết thúc, nghĩa A n ® ^ quy tắc R G Trong đồ hình đường IACB đường đầy đủ Tập đường đầy đủ đồ hình G gọi tập dẫn xuất đầy đủ văn phạm G Tập có tương ứng – với xâu x Î L(G) x sinh đường đầy đủ đồ hình G Chú ý Đối với văn phạm quy suy rộng khơng phải mẫu ta xây dựng đồ hình cách tương tự Thí dụ Cho văn phạm quy suy rộng G = {X, D, I, R} X = {a, b}; D = {I, A}; R = {I ® aI, I ® aA, A ® bA, A ® b} Đồ hình G xây dựng sau: Đưa G văn phạm quy mẫu G’ cách thay quy tắc A ® b quy tắc A ® bK K ® ^ Đồ hình văn phạm quy mẫu G ¢ đồ hình có dạng đây: a I b a A b K Trong I đỉnh xuất phát K đỉnh kết thúc Định nghĩa Đồ hình ôtômát hữu hạn M = {X, Q, f , q , Y} Tương tự xây dựng đồ hình văn phạm quy suy rộng, ta định nghĩa đồ thị ôtômát hữu hạn sau: Đó đồ thị có hướng mà: 210 TỐN RỜI RẠC – Lý thuyết - Mỗi đỉnh trạng thái Ỵ Q ; Q tập đỉnh; q Ỵ Q đỉnh ban đầu - Nếu f (q, a) = q vi q ẻ Q; a Ỵ X có cung nối từ q đến q¢ cung gán mã a - Các đỉnh gán mã trạng thái kết thúc đỉnh kết thúc Các khái niệm đường đi, đường đầy đủ xâu sinh đường định nghĩa hồn tồn đồ hình văn phạm quy suy rộng Từ định nghĩa ta suy ra: a) Một xâu sinh đường đầy đủ đồ hình ơtơmát xâu đốn nhận ơtơmát b) Ơtơmát đốn nhận xâu rỗng giao tập đỉnh ban đầu tập đỉnh kết thúc tập không rỗng Chú ý đỉnh ban đầu ngồi q cịn có đỉnh q có tính chất sau q = f (q , #) # ký hiệu biên bên trái Từ khái niệm đồ hình ôtômát ta suy định lý sau: Định lý a) Với văn phạm quy suy rộng bất kỳ, xây dựng ơtơmát hữu hạn tương ứng b) Với ôtômát hữu hạn bất kỳ, xây dựng văn phạm quy suy rộng tương ứng Từ kết ta có định lý quan trọng sau đây: Định lý a) Lớp ngơn ngữ quy trùng với lớp ngơn ngữ văn phạm quy sinh b) Ngơn ngữ bảng X đốn nhận ôtômát hữu hạn ngôn ngữ ngơn ngữ quy 211 TỐN RỜI RẠC – Lý thuyết BÀI TẬP CHƯƠNG 10 10.1 Ơtơmát M có bảng chuyển sau: Trạng thái q0 q1 q2 q3 q4 Ký hiệu vào q2 q1 q3 q0 q0 q3 q4 q2 q1 q4 Với trạng thái ban đầu q0 trạng thái kết thúc q0 a) Viết đầy đủ thành phần M b) M ô tô mát đơn định hay không đơn định? Vì sao? c) Đưa tơ mát M dạng đồ thị chuyển d) Kiểm tra đoán nhận M với xâu sau: w1 = 001110111000 w2 = 110111101111 10.2 Ơtơmát M cho bảng chuyển sau: Trạng thái q0 q1 q2 q3 q4 q5 Ký hiệu vào a b {q0, q3} {q0, q1} q2 Ỉ q2 Ỉ q4 Ỉ q5 Ỉ q5 Ỉ Với trạng thái ban đầu q0 trạng thái kết thúc q2 q5 a) Viết đầy đủ thành phần M b) M ô tô mát đơn định hay khơng đơn định? Vì sao? c) Viết M dạng đồ thị chuyển 212 TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết d) Mơ tả đốn nhận M với xâu w theo cách xây dựng đoán nhận với w1 = a n ba n (với n ³ ) w2 = a n b m (n ³ 1, m ³ 2) w3 = b n a m (n ³ 1, m ³ 3) 10.3 Cho ôtômát M1 M2 dạng đồ thị chuyển M1 1 q0 q1 0,1 q2 M2 s0 1 s1 s2 s3 0 a) Viết đầy đủ theo định nghĩa ô tô mát M1, M2 dạng bảng chuyển b) Mô tả ngơn ngữ đốn nhận M1 M2 10.4 Cho ôtômát hữu hạn Mi (i = 1, 2, 3, 4) dạng đồ thị chuyển M1 a b q0 q1 M2 a b q1 q0 a M3 213 TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết a s0 b s1 s2 M4 0,1 s0 s1 s2 Tìm L(Mi) (i = 1, 2, 3, 4) 10.5 Tìm tơ mát hữu hạn đốn nhận ngơn ngữ sau: { } L = {w11| wỴ {0, 1} } L = {11w | wỴ {0, 1} } L = {a b a , m,n,p ³ 1} a) L = w00 | w Ỵ {0, 1}* b) c) d) * * m n p 10.6 Xây dựng ô tô mát đơn định tương đương với ô tô mát không đơn định cho đây: a) M1 Trạng thái Ký hiệu vào a b s0 {s0, s1} s1 s1 f {s0, s1} Với s0 trạng thái đầu s1 trạng thái kết thúc b) M Trạng thái Ký hiệu vào a b s0 {s0, s1} s1 s1 f s2 s2 f f Trạng thái vào s0 , trạng thái kết thúc s2 214 TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết c) M3 có đồ thị chuyển đây: a, b a, b b s0 a, b b s1 s2 d) M4 có đồ thị chuyển đây: 0,1 p q 0,1 0,1 s r 10.7 Cho văn phạm quy sau đây: G1 = {X1 , D1 , I1 , R1} với R1 = {I1 ® a I1, I1 ® aB, B ® bB, B ® b} G = {X , D , I , R 2} với R = {I ® c I , I ® d} a) Tìm L(G1 ) L(G ) ? b) Xây dựng ô tô mát M1 M2 đoán nhận M1 M2 tương ứng 10.8 Cho ô tô mát hữu hạn M1 , M , M , M tập 10.4 Hãy xây dựng văn phạm quy Gi (i = 1, 4) cho L(G i ) = L(M i ) (i = 1, 2, 3, 4) 10.9 Cho ô tô mát M1 M a M1 q0 M2 b a s0 q1 a a) Tìm L(G1 ) L(G ) ? b) Xây dựng ô tô mát M N cho 215 a s1 b s2 TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết L(M) = L(M1 ) È L(M ) L(N) = L(M1 ) L(M ) 10.10 Cho ô tơ mát M1 M có đồ thị chuyển M1 M2 q0 s0 b c a a q1 c s1 a) Tìm L(M1 ) L(M ) ? b) Xây dựng văn phạm G1 , G cho L(G1 ) = L(M1 ) L(G ) = L(M ) c) Xây dựng ô tô mát M N cho L(M) = L(M1 ) È L(M ) L(N) = L(M1 ) L(M ) 216 q2 TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Berge C Theorie des Graphes et ses applications Dunod Paris 1968 Bản dịch tiếng Việt [2] Iablonski S V.Introduction to Discrete Mathematics NXB Nauka Moscow, 1979 [3] Keneth H.Rosen.Discrete Mathematics and its applications Mc Graw Hill 1994 Bản dịch tiếng Việt năm 2000 [4] Liu.C.L.Elements of Discrete Mathematics Mc.Graw Hill, 1985 [5] Steiglitz K.Combinatorial Optimization Prentice Hall New Jersey 1982 [6] Nguyễn Hữu Anh Toán rời rạc NXB Giáo dục, 1999 [7] Phan Đình Diệu Lý thuyết tơ mát hữu hạn thuật toán NXB ĐHTHCN Hà Nội, 1977 [8] Phan Đình Diệu Logic tốn sở tốn học NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [9] Nguyễn Địch Lý thuyết tối ưu hóa QHTT QH rời rạc NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [10] Nguyễn Địch Toán rời rạc Tủ sách Đào tạo từ xa, Đại học Mở Hà Nội, 2002 [11] Nguyễn Địch, Nguyễn Thị Thu Thủy Toán rời rạc NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội, 2010 [12] Đỗ Đức Giáo Toán rời rạc NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2000 [13] Nguyễn Văn Mậu Tổ hợp Toán rời rạc NXB Giáo dục Hà Nội, 2008 [14] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tơ Thành.Tốn rời rạc NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008 [15] Thái Thanh Sơn Đại số NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 217 TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.1 TẬP HỢP VÀ PHẦN TỬ 1.2 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 1.3 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ 12 1.4 ÁNH XẠ 19 BÀI TẬP CHƯƠNG 22 Chương BÀI TOÁN ĐẾM 28 2.1 PHÁT BIỂU BÀI TOÁN 28 2.2 KHÁI NIỆM THUẬT TOÁN 29 2.3 CÁC TỔ HỢP KHÔNG LẶP 34 2.4 CÁC TỔ HỢP CÓ LẶP 37 2.5 CÁC NGUYÊN LÝ ĐẾM 41 BÀI TẬP CHƯƠNG 56 Chương BÀI TOÁN LIỆT KÊ 71 3.1 PHÁT BIỂU BÀI TOÁN 71 3.2 THUẬT TOÁN SINH 71 3.3 THUẬT TOÁN QUAY LUI 73 BÀI TẬP CHƯƠNG 79 Chương BÀI TOÁN TỒN TẠI 81 4.1 PHÁT BIỂU BÀI TOÁN 81 4.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỒN TẠI 84 BÀI TẬP CHƯƠNG 96 Chương BÀI TOÁN TỔ HỢP TỐI ƯU 102 5.1 PHÁT BIỂU BÀI TOÁN 102 5.2 THUẬT TOÁN DUYỆT TOÀN BỘ 103 5.3 THUẬT TOÁN NHÁNH CẬN 104 5.4 THUẬT TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG RỜI RẠC 119 BÀI TẬP CHƯƠNG 123 Chương ĐỒ THỊ HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG 124 6.1 ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG 124 6.2 ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG 129 6.3 ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON 130 6.4 CÂY VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ CÂY 136 6.5 CÁC BÀI TỐN TÌM KIẾM TRÊN ĐỒ THỊ 141 BÀI TẬP CHƯƠNG 143 Chương 7: CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ 146 7.1 BÀI TOÁN CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT 146 7.2 BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 150 7.3 BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI 156 218 TOÁN RỜI RẠC – Lý thuyết 7.4 BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI VỚI NHIỀU ĐỈNH VÀO VÀ NHIỀU ĐỈNH RA 160 Chương HÀM ĐẠI SỐ LOGIC 164 8.1 HÀM ĐẠI SỐ LOGIC 164 8.2 DẠNG CHUẨN TẮC CỦA HÀM ĐẠI SỐ LOGIC 166 8.3 TÌM DẠNG CHUẨN TẮC CỦA CÁC HÀM ĐẠI SỐ LOGIC 167 8.4 BIỂU DIỄN CÁC HÀM ĐẠI SỐ LOGIC BỞI PHÉP TOÁN 169 8.5 HỆ HÀM ĐỦ 170 8.6 CỔNG LOGIC VÀ TỔNG HỢP CÁC MẠCH LOGIC 171 BÀI TẬP CHƯƠNG 174 Chương 9: MỆNH ĐỀ VÀ CÁC PHÉP TOÁN MỆNH ĐỀ 175 9.1 MỆNH ĐỀ NGÔN NGỮ VÀ MỆNH ĐỀ LOGIC 175 9.2 CÁC PHÉP TOÁN MỆNH ĐỀ 176 9.3 BIẾN MỆNH ĐỀ VÀ BIỂU THỨC LOGIC 179 9.4 VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ 180 9.5 CÁC QUY TẮC THAY THẾ VÀ SUY DIỄN LOGIC 181 BÀI TẬP CHƯƠNG 189 Chương 10 ÔTÔMÁT HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG 197 10.1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ÔTÔMÁT HỮU HẠN 197 10.2 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NGÔN NGỮ HÌNH THỨC 204 10.3 NGÔN NGỮ CHÍNH QUY VÀ BIỂU THỨC CHÍNH QUY 206 10.4 QUAN HỆ GIỮA ƠTƠMÁT HỮU HẠNVÀ NGƠN NGỮ CHÍNH QUY 208 BÀI TẬP CHƯƠNG 10 212 TÀI LIỆU THAM KHẢO 217 219