Bài giảng toán ứng dụng trong kinh tế chương 7 ts lê minh hiếu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA KINH TẾ - BỘ MƠN KINH TẾ HỌC TỐN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chương 7: Phương trình vi phân cấp TS Lê Minh Hiếu Năm 2021 Nội dung MỘT SỐ KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH CĨ BIẾN SỐ PHÂN LY PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP PHƯƠNG TRÌNH BECNULI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TỒN PHẦN 5.1 Phương pháp thừa số tích phân TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 25 Một số khái niệm Một số khái niệm Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng F (x, y, y ) = 0, đó: x biến số độc lập, y hàm số theo biến x (là hàm cần tìm), y đạo hàm y theo biến x; Nghiệm tổng quát có dạng y = ϕ(x, c), c số bất kỳ, thỏa mãn phương trình cho Có thể biểu diễn dạng ẩn Φ(x, y, c) = gọi tích phân tổng quát phương trình vi phân cấp 1; Nghiệm riêng có dạng y = ϕ(x, c0 ), c0 số cụ thể, suy từ nghiệm tổng quát Có thể biểu diễn dạng ẩn Φ(x, y, c0 ) = gọi tích phân riêng; Nghiệm kỳ dị nghiệm suy từ nghiệm tổng qt (tức khơng phải nghiệm riêng) TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 25 Một số khái niệm Ví dụ phương trình vi phân cấp Các phương trình sau phương trình vi phân cấp 1:   x2 − y + 2xy = (1) q y + 1dx = xydy (2) Chú ý: Trong phương trình (2) khơng xuất y , thay dx dy: (xem lại phần vi phân hàm số biến) dy = y dx ⇔ y = TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG dy dx Năm 2021 / 25 Phương trình có biến số phân ly Phương trình có biến số phân ly Dạng: f (y)dy = g(x)dx Giải: Tích phân hai vế phương trình cho Z Z f (y)dy = g(x)dx + C, C số Ví dụ 2.1 a) b) xydx + (x + 1)dy = y = ex+y TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 25 Phương trình có biến số phân ly a) xydx + (x + 1)dy = Giải Viết lại phương trình dạng x dy =− dx y x+1 Tích phân hai vế ta được: dy =− y Z Z x dx + ln C = − x+1 Z Z dx + dx + ln C x+1 ln y = −x + ln(x + 1) + ln C Do đó: y = e−x+ln(x+1)+ln C = e−x eln(x+1) eln C = C(x + 1)e−x Vậy hàm cần tìm là: y(x) = C(x + 1)e−x , TS Lê Minh Hiếu C số TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 25 Phương trình có biến số phân ly b) y = ex+y Giải Viết lại phương trình dạng dy dy = ex ey ⇔ y = ex dx dx e Tích phân hai vế phương trình sau Z dy +C = ey Z ex dx Ta nhận được: −e−y + C = ex ⇔ e−y = C − ex Tức là: −y = ln (C − ex ) ⇔ y(x) = − ln (C − ex ) C số TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 25 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Phương trình vi phân tuyến tính cấp Dạng: y + p(x)y = q(x) (3) đó, p(x), q(x) liên tục [a, b] - Nếu q(x) = phương trình (3) gọi nhất; - Nếu q(x) , phương trình (3) gọi khơng Cơng thức nghiệm: a) Trường hợp phương trình nhất: y + p(x)y = Nghiệm tổng quát có dạng: y(x) = Ce− TS Lê Minh Hiếu R p(x)dx , C = const TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 25 Phương trình vi phân tuyến tính cấp y + p(x)y = 0, y(x) = Ce− R p(x)dx , C = const Ví dụ 3.1 Tìm nghiệm tổng quát nghiệm riêng phương trình vi phân tuyến tính cấp sau: a) y + 3x2 y = 0, y(0) = 5, y + ytan x = 0, b) y(π) = Giải: a) Ta có: p(x) = 3x2 Nghiệm tổng quát phương trình là: − y(x) = Ce R 3x2 dx = Ce−x , C = const y(0) = ⇒ C = Vậy nghiệm riêng là: y(x) = 5e−x TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 25 Phương trình vi phân tuyến tính cấp y + p(x)y = 0, y(x) = Ce− R p(x)dx , C = const b) y + ytan x = 0, y(π) = Giải: Ta có: p(x) = tan x Nghiệm tổng quát phương trình là: y(x) = Ce− R tan xdx = C cos x, C = const y(π) = ⇒ C = −2 Vậy nghiệm riêng là: y(x) = −2 cos x TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 10 / 25 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Cơng thức nghiệm: b) Trường hợp phương trình khơng nhất: y + p(x)y = q(x), q(x) , (∗) Cách 1: Tìm nghiệm riêng phương trình khơng (*), giả sử y0 (x), suy nghiệm tổng quát có dạng: y(x) = y0 (x) + Ce− R p(x)dx , C = const Cách 2: Sử dụng phương pháp biến thiên số (xem thêm giáo trình), cơng thức nghiệm tổng qt có dạng: Z R q(x)e y(x) = p(x)dx  dx + K e− R p(x)dx , K = const Ví dụ 3.2 Tìm nghiệm tổng quát: TS Lê Minh Hiếu a) y + y = x + 1, TOÁN ỨNG DỤNG b) y + 2y = 4e2x Năm 2021 11 / 25 Phương trình vi phân tuyến tính cấp a) Tìm nghiệm tổng quát: y0 + y = x + Cách 1: Ta thấy rằng: y(x) = x nghiệm riêng (vì thay vào phương trình ta đẳng thức đúng) Với p(x) = 1, ta có nghiệm tổng quát là: y(x) = y0 (x) + Ce− R p(x)dx = x + Ce− R dx = x + Ce−x , C = const Cách 2: Ta có: p(x) = 1, q(x) = x + Áp dụng công thức nghiệm tổng quát: Z y(x) = Z = R q(x)e p(x)dx  dx + K e − R p(x)dx Z = (x + 1)e R dx TS Lê Minh Hiếu dx + K e− R dx  (x + 1)e dx + K e−x = (xex + K) e−x = x + Ke−x , x  TOÁN ỨNG DỤNG K = const Năm 2021 12 / 25 Phương trình vi phân tuyến tính cấp b) y + 2y = 4e2x Tìm nghiệm tổng quát: Cách 1: Ta thấy rằng: y(x) = e2x nghiệm riêng (vì thay vào phương trình ta đẳng thức đúng) Với p(x) = 2, ta có nghiệm tổng quát là: y(x) = y0 (x) + Ce− R p(x)dx = e2x + Ce− R 2dx = e2x + Ce−2x , C = const Cách 2: Ta có: p(x) = 2, q(x) = 4e2x Áp dụng công thức nghiệm tổng quát: Z y(x) =  Z = q(x)e R p(x)dx   − dx + K e  R p(x)dx Z =  2x 4e e R 2dx dx + K e− e dx + K e−2x = e4x + K e−2x = e2x + Ke−2x , 4x TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG  R 2dx K = const Năm 2021 13 / 25 Phương trình Becnuli Phương trình Becnuli y + p(x)y = q(x)y α , α ∈ R \ {0, 1}, (4) đó, p(x), q(x) liên tục [a, b] - Nếu α = hay α = 1, phương trình (4) trở thành phương trình vi phân tuyến tính cấp Phương pháp giải: Chia vế phương trình (4) cho y α , y , y y −α + p(x)y 1−α = q(x) (5) Đặt z = y 1−α , suy z = (1 − α)y −α y Thay vào phương trình (5), ta có: z + (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x) (6) Phương trình (6) phương trình vi phân tuyến tính cấp TS Lê Minh Hiếu TỐN ỨNG DỤNG Năm 2021 14 / 25 Phương trình Becnuli Ví dụ 4.1 y + 2xy = 2x3 y Giải Ta thấy y = nghiệm kì dị Với y , 0, ta chia vế phương trình cho y y y −3 + 2xy −2 = 2x3 (7) Đặt z = y −2 , suy z = −2y y −3 Thay vào phương trình (7), ta có: z − 4xz = −4x3 (8) Phương trình (8) phương trình vi phân tuyến tính cấp với p(x) = −4x q(x) = −4x3 Áp dụng công thức nghiệm tổng quát: Z z(x) = q(x)e R TS Lê Minh Hiếu p(x)dx  − dx + K e R p(x)dx Z = (−4x )e TOÁN ỨNG DỤNG R (−4x)dx  dx + K e− R (−4x)dx Năm 2021 15 / 25 Phương trình Becnuli z(x) = x2 + + Ke2x , K = const Vì z = y −2 nên ta lại có: y −2 = x2 + + Ke2x Vậy nghiệm tổng quát phương trình ban đầu là: y(x) = ± q TS Lê Minh Hiếu √ x2 + 2x2 + Ke =±p , 2x + + Ce2x2 TOÁN ỨNG DỤNG C = const Năm 2021 16 / 25 Phương trình Becnuli Ví dụ 4.2 y − 9x2 y = (x5 + x2 ) Giải Chia vế cho y 2/3 (= q y2 p y2) y y −2/3 − 9x2 y 1/3 = x5 + x2 (9) Đặt z = y 1/3 , suy z = 13 y y −2/3 Thay vào phương trình (9) ta nhận được: z − 3x2 z = (x5 + x2 ) (10) Phương trình (10) phương trình vi phân tuyến tính cấp với p(x) = −3x2 q(x) = 31 (x5 + x2 ) Áp dụng công thức nghiệm tổng quát: Z z(x) = q(x)e R p(x)dx TS Lê Minh Hiếu  dx + K e− R p(x)dx Z = R (x + x2 )e TOÁN ỨNG DỤNG (−3x2 )dx  dx + K e− R (−3x2 )dx Năm 2021 17 / 25 Phương trình Becnuli z(x) = Kex − x3 − , 9 K = const Vì z = y 1/3 nên ta có: x3 − 9 y 1/3 = Kex − Hay: y(x) = x3 Ke x3 − − 9 !3 , K = const Đó nghiệm tổng quát phương trình ban đầu TS Lê Minh Hiếu TỐN ỨNG DỤNG Năm 2021 18 / 25 Phương trình vi phân tồn phần Phương trình vi phân tồn phần Định nghĩa 0.1 Phương trình có dạng: M (x, y)dx + N (x, y)dy = (11) gọi phương trình vi phân tồn phần vế trái vi phân tồn phần hàm số Φ(x, y) đó, tức là: dΦ(x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy Điều kiện cần đủ để phương trình (11) phương trình vi phân tồn phần, là: ∂M ∂N = ∂y ∂x TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG (12) Năm 2021 19 / 25 Phương trình vi phân toàn phần ∂M ∂y M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, = ∂N ∂x Nghiệm tổng quát có dạng: Φ(x, y) = C, C = const, đó: Zy Zx Φ(x, y) = M (x, y)dx + x0 N (x0 , y)dy, y0 hoặc: Zy Zx Φ(x, y) = M (x, y0 )dx + x0 N (x, y)dy, y0 với (x0 , y0 ) điểm thuộc MXĐ chung M (x, y), N (x, y) TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 20 / 25 Phương trình vi phân tồn phần Ví dụ 5.1 Giải phương trình vi phân sau: a) (x + y)dx + (x + 2y)dy = 0, b) (x2 + y + 2x)dx + 2xydy = Giải: a) Ta có: M (x, y) = x + y, N (x, y) = x + 2y ∂M = 1, ∂y ∂N = 1, ∂x suy ra: ∂M ∂N = ∂y ∂x Vậy phương trình cho phương trình vi phân toàn phần Chọn (x0 , y0 ) = (0, 0) Zy Zx Φ(x, y) = M (x, y)dx + x0 Nghiệm tổng quát có dạng: TS Lê Minh Hiếu Zy Zx N (x0 , y)dy = y0 (x + y)dx + x2 + xy + y = C, (2y)dy = x2 + xy + y 2 C = const TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 21 / 25 Phương trình vi phân tồn phần b) (x2 + y + 2x)dx + 2xydy = Giải: b) Ta có: M (x, y) = x2 + y + 2x, N (x, y) = 2xy ∂M = 2y, ∂y ∂N = 2y, ∂x suy ra: ∂M ∂N = ∂y ∂x Vậy phương trình cho phương trình vi phân tồn phần Chọn (x0 , y0 ) = (0, 0) Zy Zx Φ(x, y) = M (x, y)dx + x0 Nghiệm tổng quát có dạng: TS Lê Minh Hiếu Zx N (x0 , y)dy = y0 (x2 + y + 2x)dx = x3 + xy + x2 x3 + xy + x2 = C, C = const TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 22 / 25 Phương trình vi phân tồn phần Phương pháp thừa số tích phân Phương pháp thừa số tích phân Phương trình dạng M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, ∂M ∂N , ; ∂y ∂x ∂(pM ) ∂(pN ) = ; ∂y ∂x Khi phương trình p(x, y)M (x, y)dx + p(x, y)N (x, y)dy = phương trình vi phân toàn phần; Chọn hàm số p(x, y) cho Hàm số p(x, y) gọi thừa số tích phân; Hai trường hợp đơn giản: p = p(x) p = p(y) TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 23 / 25 Phương trình vi phân tồn phần Phương pháp thừa số tích phân Trường hợp: p = p(x), Điều kiện cần đủ: ∂M ∂y − ∂N ∂x N R Khi đó: p(x) = e ϕ(x)dx = ϕ(x), Trường hợp: p = p(y), Điều kiện cần đủ: ∂M ∂y − ∂N ∂x M Khi đó: p(y) = e− TS Lê Minh Hiếu = ψ(y), R ψ(y)dy TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 24 / 25 Phương trình vi phân tồn phần Phương pháp thừa số tích phân Ví dụ 5.2 (1 − x2 y)dx + x2 (y − x)dy = Hướng dẫn: Tính ∂M ∂y − N ∂N ∂x =− = ϕ(x), x p(x) = e− R (13) dx x = , x2 Nhân hai vế phương trình (13) với p(x) = 1/x2  − y dx + (y − x)dy = 0, x2  Nghiệm tổng quát là: y2 − xy − = C, x TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG C = const Năm 2021 25 / 25