Bài giảng toán ứng dụng trong kinh tế chương 6 ts lê minh hiếu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA KINH TẾ - BỘ MƠN KINH TẾ HỌC TỐN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chương 6: Tích phân hàm biến TS Lê Minh Hiếu Năm 2021 Nội dung TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍCH PHÂN SUY RỘNG ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 19 Tích phân bất định Tích phân bất định Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a, b) Hàm F (x) gọi nguyên hàm f (x) F (x) = f (x), x ∈ (a, b) Nếu F (x) nguyên hàm f (x) F (x) + C, C = const, nguyên hàm f (x) Hàm F (x) gọi tích phân bất định hàm f (x), kí hiệu là: Z f (x)dx = F (x) + C Các cơng thức tích phân hàm số thường gặp: (xem giáo trình giảng) TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 19 Tích phân bất định Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân: phương pháp a) Phương pháp đổi biến b) Phương pháp tích phân phần Z udv = uv − Z vdu Ví dụ 1.1 Tính tích phân sau: a) Z I= ln xdx √ x + ln x b) Z I= TS Lê Minh Hiếu cos(ln x)dx TỐN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 19 Tích phân bất định a) ln xdx √ x + ln x Z I= Giải Đặt t= Ta có: √ + ln x ⇒ t2 = + ln x ⇒ 2tdt = dx/x   t2 − tdt =2 t2 − dt I=2 t q √ 2 = t3 − 2t + c = (1 + ln x)3 − + ln x + c 3 Z TS Lê Minh Hiếu
Z TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 19 Tích phân bất định b) Z I= cos(ln x)dx Giải Đặt ( x) u = cos(ln x) ⇒ du = − sin(ln dx x dv = dx ⇒ v = x R Suy ra: I = x cos(ln x) + sin(ln x)dx = x cos(ln x) + I1 Để tính I1 , ta lại đặt: ( Do đó: Tóm lại: u = sin(ln x) ⇒ du = dv = dx ⇒ v = x cos(ln x) dx x I1 = x sin(ln x) − I 1 I = x cos(ln x) + x sin(ln x) − I ⇒ I = x cos(ln x) + x sin(ln x) + c 2 TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 19 Tích phân xác định Tích phân xác định Cho hàm số f (x) xác định đoạn [a, b] Ta nói hàm f (x) khả tích [a, b] có tích phân xác định đoạn Zb I= f (x)dx a Định lý tồn tích phân xác định, tính chất tích phân xác định: (xem giáo trình) Các phương pháp tính: phương pháp đổi biến số phương pháp tích phân phần Ví dụ 2.1 a) I= π/2 R dx cos x+3 TS Lê Minh Hiếu b) I= Rπ x cos 2xdx TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 19 Tích phân xác định a) I= π/2 R dx cos x+3 Giải Đặt x 2dt ⇒ x = arctan t ⇒ dx = + t2 − t2 2t cos x = , sin x = 1+t + t2 π x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = t = tan Suy ra: Z1 I=2 dt = áp dụng: t +5  Z dx x = arctan + c = 2 a +x a a  x 1 = √ arctan √ = √ arctan √ 5 5 TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 19 Tích phân xác định b) I= Rπ x cos 2xdx Giải Đặt ( u = x2 ⇒ du = 2xdx dv = cos 2xdx ⇒ v = π I = x2 sin 2x − ( Zπ sin 2x x sin 2xdx = − I1 u = x ⇒ du = dx dv = sin 2xdx ⇒ v = − 12 cos 2x π 1 I1 = − x cos 2x + 2 Zπ π π π + sin 2x = − cos 2xdx = − I = −I1 = TS Lê Minh Hiếu π TỐN ỨNG DỤNG Năm 2021 / 19 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng Các dạng: +∞ R a Rb −∞ +∞ R f (x)dx = lim Rb f (x)dx = lim Rb f (x)dx b→+∞ a a→−∞ a Rc f (x)dx = −∞ f (x)dx f (x)dx + +∞ R f (x)dx, ∀c ∈ R c −∞ Nếu tích phân suy rộng số hữu hạn ta nói tích phân suy rộng hội tụ, khơng gọi phân kỳ Ví dụ 3.1 a) +∞ R xe−x dx TS Lê Minh Hiếu b) +∞ R −∞ dx (1+x2 )(4+x2 ) c) TOÁN ỨNG DỤNG +∞ R a xdx x4 +2x2 +1 Năm 2021 10 / 19 Tích phân suy rộng a) +∞ R xe−x dx Hình: Đồ thị hàm số f (x) = e−x ( Đặt u = x ⇒ du = dx dv = e−x dx ⇒ v = −e−x Suy ra: I = (−xe−x )|0 TS Lê Minh Hiếu +∞ + +∞ R +∞ e−x dx = (e−x )|0 TOÁN ỨNG DỤNG =1 Năm 2021 11 / 19 Tích phân suy rộng b) +∞ R −∞ dx (1+x2 )(4+x2 ) Hình: Đồ thị hàm số f (x) = arctan x +∞ Z −∞ dx = (1 + x2 )(4 + x2 ) +∞ Z −∞ dx − 3(1 + x2 ) +∞ Z −∞ dx 3(4 + x2 ) +∞ 1 x +∞ π = arctan x − arctan = −∞ −∞ TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 12 / 19 Tích phân suy rộng c) +∞ R a xdx x4 +2x2 +1 +∞ Z a xdx = x + 2x + = +∞ Z a2 TS Lê Minh Hiếu +∞ Z a dt = t + 2t + n o d x2 = đặt: t = x (x2 )2 + 2x2 +
 +∞ 1 − = 2(t + 1) a2 (a + 1) TOÁN ỨNG DỤNG  Năm 2021 13 / 19 Ứng dụng tích phân kinh tế Ứng dụng tích phân kinh tế Xác định quỹ vốn dựa theo lượng đầu tư: Giả sử hàm đầu tư I hàm theo biến thời gian t: I = I(t) Khi đó, quỹ vốn thời điểm t: Z K(t) = I(t)dt Xác định hàm tổng biết hàm giá trị cận biên: Cho hàm sản phẩm vật cận biên lao động M P PL , suy hàm sản xuất là: Z Q = M P PL dL Cho hàm chi phí cận biên M C(Q), suy hàm tổng chi phí là: Z TC = TS Lê Minh Hiếu M C(Q)dQ TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 14 / 19 Ứng dụng tích phân kinh tế Cho hàm doanh thu cận biên M R(Q), suy hàm tổng doanh thu là: Z T R = M R(Q)dQ Cho hàm xu tiêu dùng cận biên M P C(Y ), Y biến mức thu nhập, suy hàm tiêu dùng là: Z C= M P C(Y )dY Tính xác suất để x nhận giá trị đoạn [a, b] biết hàm tần suất f (x) nó: P (a ≤ x ≤ b) = Zb f (x)dx a TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 15 / 19 Ứng dụng tích phân kinh tế Tính thặng dư người tiêu dùng nhà sản xuất: - Thơng qua mơ hình thị trường, đánh giá lợi ích thị trường người mua người bán - Sử dụng điểm cân thị trường (p0 , Q0 ), hàm cầu ngược D−1 (Q) hàm cung ngược S −1 (Q) a Thặng dư người tiêu dùng: tổng số hưởng lợi tất người tiêu dùng tính cơng thức ZQ0 CS = D−1 (Q)dQ − p0 Q0 b Thặng dư nhà sản xuất: tổng số hưởng lợi tất nhà sản xuất tính theo cơng thức P S = p0 Q0 − ZQ0 S −1 (Q)dQ TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 16 / 19 Ứng dụng tích phân kinh tế Ví dụ 4.1 √ Cho biết hàm đầu tư I(t) = 40 t3 quỹ vốn thời điểm t = 90 Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t) Giải Hàm quỹ vốn là: Z K(t) = 40 √ t3 dt = 40 Z t3/5 dt = 25t8/5 + c K(0) = c = 90 Vậy: K(t) = 25t8/5 + 90 Ví dụ 4.2 √ Cho biết hàm đầu tư I(t) = 60 t quỹ vốn thời điểm t = 85 Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t) TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 17 / 19 Ứng dụng tích phân kinh tế Ví dụ 4.3 Cho biết hàm cầu ngược p = 42 − 5Q − Q2 Giả sử sản phẩm bán thị trường với giá p0 = Hãy tính thặng dư người tiêu dùng Giải Tại p0 = 6, ta có phương trình sau: " −Q − 5Q + 42 = ⇔ Q = −9 (loại) Q=4 Áp dụng công thức tính thặng dư người tiêu dùng, ta có: ZQ0 CS = D −1 (Q)dQ − p0 Q0 = TS Lê Minh Hiếu Z4   −Q2 − 5Q + 42 dQ − 6.4 = 83 TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 18 / 19 Ứng dụng tích phân kinh tế Ví dụ 4.4 Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phầm sau: Qd = p 113 − p, √ Qs = p − Hãy tính thặng dư nhà sản xuất người tiêu dùng Giải Phương trình thị trường cân bằng: p 113 − p = √ p − 1, (0 < ≤ 113) Từ ta giải được: p0 = 64, Q0 = √ Hàm cầu ngược là: Qd = 113 − p ⇔ p = D−1 (Q) = 113 − Q2 √ Hàm cung ngược là: Qs = p − ⇔ p = S −1 (Q) = (Q + 1)2 Thặng dư người tiêu dùng là: CS = R7 (113 − Q)2 dQ − 64.7 = R7 Thặng dư nhà sản xuất là: P S = 64.7 − (Q + 1)2 dQ = TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG 686 833 Năm 2021 19 / 19