Bài giảng toán ứng dụng trong kinh tế chương 8 ts lê minh hiếu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA KINH TẾ - BỘ MƠN KINH TẾ HỌC TỐN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chương 8: Phương trình sai phân TS Lê Minh Hiếu Năm 2021 Nội dung MỘT SỐ KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HỆ SỐ HẰNG (ƠTƠNƠM) PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP TỔNG QUÁT PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 4.1 Phương trình ôtônôm hệ số 4.2 Phương trình ôtônôm hệ số KHƠNG 4.3 Phương trình phi ôtônôm hệ số TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương Năm 2021 / 16 Một số khái niệm Một số khái niệm Cho hàm số yn = f (n), n ∈ N hay n ∈ N ∗ Hiệu số yn+1 − yn = f (n + 1) − f (n) gọi sai phân cấp hàm số yn Kí hiệu: ∆yn = yn+1 − yn ; Sai phân sai phân cấp gọi sai phân cấp hàm số yn Kí hiệu ∆2 yn : ∆2 yn = ∆(∆yn ) = ∆yn+1 − ∆yn = yn+2 − 2yn+1 + yn ; Phương trình sai phân cấp có dạng: (a) Φ (n, yn , yn+1 ) = 0, Phương trình sai phân cấp có dạng: (b) Φ (n, yn , yn+1 , yn+2 ) = 0, Nghiệm phương trình sai phân hàm số có dạng yn = ϕ(n) cho thỏa mãn phương trình (a) (b) TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương Năm 2021 / 16 Một số khái niệm Khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng; nghiệm riêng xác định cho điều kiện đầu; Phương trình sai phân ơtơnơm phương trình khơng chứa biến n; Giải phương trình: yn+1 = yn + Đặt y0 = C, C số bất kỳ; Sử dụng phương pháp lặp: y1 = y0 + = C + 5, y2 = y1 + = C + × 5, y3 = y2 + = C + × 5, Nghiệm tổng quát là: yn = 5n + C Nếu cho điều kiện đầu xác định số C TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương Năm 2021 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số (Ơtơnơm) Phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số (Ơtơnơm) Dạng: yn+1 + pyn = q, p, q = const, Nếu q = gọi phương trình nhất; Nếu q , gọi phương trình khơng nhất; Phương trình nhất: Chọn y0 = C, C = const yn = C (−p)n Phương trình khơng nhất: TH p = −1: yn = C + qn, q TH p , −1: yn = + C (−p)n 1+p TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương Năm 2021 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp tổng qt Phương trình sai phân tuyến tính cấp tổng quát Dạng: yn+1 + pn yn = qn , đó, pn qn hàm số với biến rời rạc n = 0, 1, 2, Nghiệm tổng quát: yn = y0 n−1 Y k=0 bk + n−1 X k=0 Y qk n−1 bi , bk i=k ! đó: bn = −pn TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương Năm 2021 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình ơtơnơm hệ số Phương trình sai phân tuyến tính cấp 4.1 Phương trình ôtônôm hệ số Dạng: yn+2 + pyn+1 + qyn = 0, đó, p q số Phương trình đặc trưng: k + pk + q = 0, (1) - TH1: phương trình (1) có nghiệm phân biệt k1 , k2 yn = C1 k1n + C2 k2n , C1 , C2 = const, p - TH2: phương trình (1) có nghiệm kép k1 = k2 = − p yn = (C1 n + C2 ) −  TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương n , Năm 2021 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình ơtơnơm hệ số - TH3: phương trình đặc trưng (1) có nghiệm phức liên hợp k1,2 = α ± βi Nghiệm tổng quát có dạng: yn = rn (C1 sin θn + C2 cos θn) , C1 , C2 = const, đó: r= q α2 + β , cot θ = α β Ví dụ 4.1 Tìm nghiệm tổng quát phương trình sai phân sau: a) yn+2 + 4yn+1 + 3yn = 0, b) yn+2 − 6yn+1 + 9yn = 0, c) yn+2 − 2yn+1 + 4yn = TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương Năm 2021 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp a) Phương trình ơtơnơm hệ số yn+2 + 4yn+1 + 3yn = HD: Phương trình đặc trưng k + 4k + = có nghiệm phân biệt: k1 = −1, k2 = −3 Vậy nghiệm tổng quát là: yn = C1 (−1)n + C2 (−3)n , b) C1 , C2 = const yn+2 − 6yn+1 + 9yn = HD: Phương trình đặc trưng k − 6k + = có nghiệm kép k1 = k2 = Vậy nghiệm tổng quát là: yn = (C1 n + C2 )3n , C1 , C2 = const TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương Năm 2021 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình ơtơnơm hệ số c) yn+2 − 2yn+1 + 4yn = HD: √ - Phương trình đặc trưng√k − 2k + = có nghiệm phức liên hợp: k1,2 = ± 3i - Suy ra: α = β = - Tính được: r= q α2 + β = √ + = 2, cot θ = α π = √ ⇒θ= β 3 - Nghiệm tổng quát có dạng: π π yn = rn (C1 sin θn + C2 cos θn) = 2n C1 sin n + C2 cos n , 3  TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương  C1 , C2 = const Năm 2021 10 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình ơtơnơm hệ số KHƠNG 4.2 Phương trình ơtơnơm hệ số KHƠNG Dạng: yn+2 + pyn+1 + qyn = r, p, q, r = const (2) Nghiệm tổng quát: Gọi yn∗ nghiệm riêng phương trình KHƠNG (2); y¯n nghiệm tổng quát phương trình tương ứng (yn+2 + pyn+1 + qyn = 0); nghiệm tổng qt phương trình (2) là: yn = yn∗ + y¯n y¯n biết cách tìm (xem lại phần 4.1); Cách tìm nghiệm riêng yn∗ phương trình (2) nào? TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương Năm 2021 11 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình ơtơnơm hệ số KHƠNG Công thức nghiệm riêng yn∗ Trường hợp 1: Nếu p + q , −1 yn∗ = r , 1+p+q Trường hợp 2: Nếu p + q = −1 p , −2 yn∗ = r n, p+2 Trường hợp 3: Nếu p = −2 q = r yn∗ = n2 Ứng dụng: Giải phương trình yn+2 − yn+1 + yn = với y0 = y1 = TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương Năm 2021 12 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình phi ơtơnơm hệ số 4.3 Phương trình phi ôtônôm hệ số Dạng: yn+2 + pyn+1 + qyn = rn , p, q = const, rn = r(n), n ∈ N (3) Nghiệm tổng quát: Gọi yn∗ nghiệm riêng phương trình (3); y¯n nghiệm tổng quát phương trình tương ứng (yn+2 + pyn+1 + qyn = 0); nghiệm tổng quát phương trình (3) là: yn = yn∗ + y¯n - Xét hàm số rn có dạng: rn = Pm (n)β n , β , 0, đó, Pm (n) đa thức bậc m theo biến n TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương Năm 2021 13 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình phi ơtơnơm hệ số - Xét phương trình đặc trưng: k + pk + q = (4) Cách tìm nghiệm riêng yn∗ : có trường hợp Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm thực khác β yn∗ = Qm (n)β n , đó, Qm (n) đa thức bậc m theo biến n (tức bậc với đa thức Pm (n)), xác định phương pháp hệ số bất định; Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm thực β yn∗ = ns Qm (n)β n , đó, s = β nghiệm đơn, s = β nghiệm kép TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương Năm 2021 14 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình phi ơtơnơm hệ số Ví dụ 4.2 (a) yn+2 − 3yn+1 − 4yn = × 4n Hướng dẫn: - Phương trình đặc trưng k − 3k − = có hai nghiệm phân biệt k1 = 4, k2 = −1; - Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: y¯n = C1 4n + C2 (−1)n , C1 , C2 = const; - Nghiệm riêng phương trình (a) có dạng: yn∗ = nA4n ; - Thay nghiệm riêng vào phương trình (a), tìm A = , nên yn∗ = n4n−1 ; - Nghiệm tổng quát phương trình (a) là: yn = n4n−1 + C1 4n + C2 (−1)n , TS Lê Minh Hiếu C1 , C2 = const TOÁN ỨNG DỤNG - Chương Năm 2021 15 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình phi ơtơnơm hệ số Ví dụ 4.3 (b) yn+2 − yn+1 − 6yn = 5n (4n − 3) Hướng dẫn: - Phương trình đặc trưng k − k − = có hai nghiệm phân biệt k1 = 3, k2 = −2; - Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: y¯n = C1 3n + C2 (−2)n , C1 , C2 = const; - Nghiệm riêng phương trình (b) có dạng: yn∗ = (An + B)5n ; 111 - Thay nghiệm riêng vào phương trình (b), tìm A = , B = − , nên 98   111 n yn∗ = n− ; 98 - Nghiệm tổng quát phương trình (b) là:   111 n n− + C1 3n + C2 (−2)n , yn = 98 TS Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương C1 , C2 = const Năm 2021 16 / 16