Bài giảng toán ứng dụng trong kinh tế chương 1 ts lê minh hiếu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA KINH TẾ - BỘ MƠN KINH TẾ HỌC TỐN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chương – Ma trận TS Lê Minh Hiếu https://mathlemin.wordpress.com/ Năm 2021 APPL MATHS FOR ECO Chapter - MATRIX Nội dung chương 1 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TỐN TUYẾN TÍNH 1.1 Các khái niệm 1.2 Các dạng ma trận đặc biệt 1.3 Các phép tốn tuyến tính ma trận 1.4 Các phép biến đổi ma trận ĐỊNH THỨC 2.1 Định nghĩa 2.2 Các phương pháp tính định thức PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.1 Phép nhân ma trận với ma trận 3.2 Ma trận nghịch đảo HẠNG CỦA MA TRẬN TS Lê Minh Hiếu TUD TRONG KINH TẾ – Chương Năm 2021 / 13 Ma trận phép tốn tuyến tính Các khái niệm Ma trận phép tốn tuyến tính 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1 Ma trận bảng số xếp theo theo dòng cột Ma trận cấp m × n ma trận có m dịng n cột Kí hiệu: A = {aij }m×n Cho hai ma trận A = {aij }m×n , B = {bij }m×n Hai ma trận gọi (kí hiệu A = B) nếu: aij = bij , i = 1, m, j = 1, n, Ma trận KHƠNG ma trận có tất phần tử 0, Ma trận đối ma trận A = {aij }m×n ma trận −A = {−aij }m×n TS Lê Minh Hiếu TUD TRONG KINH TẾ – Chương Năm 2021 / 13 Ma trận phép tốn tuyến tính Các dạng ma trận đặc biệt Ma trận phép tốn tuyến tính 1.2 Các dạng ma trận đặc biệt Ma trận vng: số dịng = số cột (đường chéo chính, đường chéo phụ), Ma trận tam giác: ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo (ma trận tam giác trên, ma trận tam giác dưới) Ma trận đường chéo: ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo 0, Ma trận dịng (1 × n) ma trận cột (m × 1), Ma trận đơn vị TS Lê Minh Hiếu TUD TRONG KINH TẾ – Chương Năm 2021 / 13 Ma trận phép tốn tuyến tính Các phép biến đổi ma trận Ma trận phép toán tuyến tính 1.3 Các phép tốn tuyến tính ma trận Phép cộng (trừ) hai ma trận cấp: A = {aij }m×n , B = {bij }m×n A ± B = {aij ± bij }m×n , Phép nhân ma trận với số thực α: αA = {αaij }m×n 1.4 Các phép biến đổi ma trận a) Các phép biến đổi sơ cấp: Đổi chỗ hai dòng (cột), Nhân dòng (cột) với số khác 0, Cộng vào dịng (cột) tích dịng (cột) khác với số k , 0, b) Phép chuyển vị ma trận TS Lê Minh Hiếu TUD TRONG KINH TẾ – Chương Năm 2021 / 13 Định thức Định nghĩa Định thức: 2.1 Định nghĩa Cho ma trận vuông cấp n:     A= a11 a12 a21 a22 an1 an2 a1n a2n ann      Định thức ma trận A số thực, kí hiệu det(A) hay |A|, tính theo cơng thức: det(A) = n X (−1)i+j aij |Mij |, ≤ i ≤ n, j=1 |Mij | định thức ma trận Mij nhận từ ma trận A sau bỏ dịng i cột j Tính chất định thức: xem giáo trình TS Lê Minh Hiếu TUD TRONG KINH TẾ – Chương Năm 2021 / 13 Định thức Định nghĩa Các ví dụ a) Định thức cấp 1: A = {a11 } det(A) = |A| = a11 , b) Định thức cấp 2: A= a11 a12 a21 a22 ! det(A) = a11 a22 − a12 a21 c) Định thức cấp 3:   a11 a12 a13   A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 Sử dụng quy tắc Sarus TS Lê Minh Hiếu TUD TRONG KINH TẾ – Chương Năm 2021 / 13 Định thức Các phương pháp tính định thức 2.2 Các phương pháp tính định thức a) Phương pháp khai triển: |Mij | gọi phần bù phần tử aij , đó: Aij = (−1)i+j |Mij | gọi phần bù đại số aij Khai triển theo dòng i det(A) = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain Khai triển theo cột j det(A) = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj b) Phương pháp biến đổi dạng tam giác: d= TS Lê Minh Hiếu a11 a12 a22 0 a1n a2n ann = a11 a22 ann TUD TRONG KINH TẾ – Chương Năm 2021 / 13 Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Phép nhân ma trận với ma trận Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo 3.1 Phép nhân ma trận với ma trận Định nghĩa 1.1 Cho hai ma trận A = {aij }m×n B = {bij }n×p , Khi đó, tồn ma trận C = {cij }m×p gọi tích ma trận A với ma trận B, ký hiệu C = AB cij = ai1 b1j + ai2 b2j + + ain bnj , i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n, Phần tử cij tích vơ hướng dòng i ma trận trước với cột j ma trận sau Một số tính chất: (AB)C = A(BC), A(B + C) = AB + AC, α(AB) = (αA)B = A(αB), TS Lê Minh Hiếu (B + C)D = BD + CD, (AB)0 = B A0 , TUD TRONG KINH TẾ – Chương |AB| = |A|.|B| Năm 2021 / 13 Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Ma trận nghịch đảo 3.2 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa 2.1 Ma trận nghịch đảo ma trận vuông A cấp n ma trận vuông ký hiệu A−1 cho: AA−1 = A−1 A = En , En ma trận đơn vị cấp n - Ma trận nghịch đảo A−1 ma trận vng A tồn nhất; - Điều kiện cần đủ để tồn A−1 det(A) , 0, hay ta nói ma trận A khơng suy biến; - Một số tính chất  A−1 −1 = A, −1 −1 A = |A| , (AB)−1 = B −1 A−1 TS Lê Minh Hiếu TUD TRONG KINH TẾ – Chương Năm 2021 10 / 13 Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Ma trận nghịch đảo Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo a) Sử dụng ma trận phụ hợp: Cho ma trận vuông A cấp n Ma trận phụ hợp A ma trận vuông cấp n     A∗ =  A11 A21 A12 A22 A1n A2n An1 An2 Ann      Aij phần bù đại số aij ∈ A; A−1 = A∗ det(A) b) Phương pháp biến đổi ma trận: - Lập ma trận mở rộng C = [A|En ], - Sử dụng phép biến đổi sơ cấp hệ vecto dòng ma trận C dạng [En |B], - Khi đó, B ma trận nghịch đảo ma trận A TS Lê Minh Hiếu TUD TRONG KINH TẾ – Chương Năm 2021 11 / 13 Hạng ma trận Hạng ma trận 4.1 Định nghĩa Hạng ma trận A hạng hệ vecto cột (hoặc dịng) nó, ký hiệu r(A), Cấp cao định thức khác ma trận hạng ma trận đó, Ma trận A có cấp m × n thì: ≤ r(A) ≤ min{m, n} 4.2 Cách tìm hạng ma trận a) Phương pháp định thức bao quanh Nếu ma trận A có định thức D , cấp r, mà tất định thức cấp r + bao quanh hạng ma trận A r b) Sử dụng phép biến đổi sơ cấp - Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận TS Lê Minh Hiếu TUD TRONG KINH TẾ – Chương Năm 2021 12 / 13 Hạng ma trận Ma trận có dạng:             b11 0 b12 b22 0 b1s b2s bss b1n b2n bsn             s ≤ n, bii , 0, ∀i = 1, 2, , s, Hạng ma trận s TS Lê Minh Hiếu TUD TRONG KINH TẾ – Chương Năm 2021 13 / 13