1676 các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị luận văn tốt nghiệp

Bộ giáo dục đào tạo TRường đại học vinh - DƯƠNG XUÂN GIáP CáC ĐịNH Lý ERGODIC Và LUậT Số LớN Đối với mảng biến ngẫu nhiên ĐA TRị Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Mà số: 62 46 01 06 TóM TắT Luận án tiến sĩ toán học NGHệ AN - 2016 Luận án hoàn thành Trường §¹i häc Vinh Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: GS TS Nguyễn Văn Quảng GS Charles Castaing Phản biện 1: GS TSKH Đặng Hùng Thắng Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Phản biện 2: PGS TS Trần Hùng Thao Viện Toán học - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Phản biện 3: TS Lê Hồng Sơn Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vinh Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp trường họp Trường Đại học Vinh Vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào thuộc Trường Đại học Vinh M U Lý chọn đề tài Thời gian gần đây, định lý ergodic luật số lớn biến ngẫu nhiên đa trị nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng tối ưu ngẫu nhiên, thống kê, toán kinh tế, y học số lĩnh vực khác Biến ngẫu nhiên đa trị mở rộng phần tử ngẫu nhiên Chính vậy, việc nghiên cứu định lý ergodic luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đa trị khơng có ý nghĩa lý thuyết mà cịn có ý nghĩa thực tiễn Thực tiễn địi hỏi nghiên cứu mảng nhiều chiều biến ngẫu nhiên Đối với cấu trúc nhiều chiều, quan hệ thứ tự thông thường tập số tính chất tuyến tính Do đó, mở rộng định lý giới hạn biến ngẫu nhiên đa trị từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng nhiều số ứng với nmax → ∞ nmin → ∞, gặp nhiều điều bất thường Điều góp phần làm cho kết nghiên cứu định lý giới hạn đa trị dạng luật số lớn dạng định lý ergodic cấu trúc nhiều chiều có nhiều ý nghĩa Lý thuyết ergodic bắt nguồn từ ngành học thống kê Nghiên cứu định lý ergodic bắt đầu vào năm 1931-1932 G D Birkhoff J v Neumann Trong thập kỷ gần đây, định lý ergodic Birkhoff mở rộng theo hai hướng chính: cho cấu trúc nhiều chiều cho hàm đa trị Theo hướng thứ nhất, vào năm 1951, N Dunford A Zygmund thiết lập định lý ergodic Birkhoff họ khơng giao hốn phép biến đổi bảo toàn độ đo tương ứng cho trường hợp tham số rời rạc tham số liên tục Kết sau N Dunford, J T Schwartz (năm 1956) N A Fava (năm 1972) tổng quát lên cho trường hợp toán tử Các kết tiếp tục mở rộng cho trường hợp tổng có trọng số cơng trình R L Jones J Olsen (năm 1994), M Lin M Weber (2007), F Mukhamedov, M Mukhamedov S Temir (năm 2008), Theo hướng thứ hai, vào năm 1991, J Ba´n thiết lập định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact giá trị mờ không gian Banach ứng với hội tụ theo khoảng cách Hausdorff Cho tới năm 2003, C Choirat, C Hess R A Seri thu định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị tập lồi ứng với hội tụ Kuratowski Gần đây, vào năm 2011, H Ziat chứng minh định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên đa trị theo loại hội tụ: Mosco, Wijsman Slice Do đó, nghiên cứu định lý ergodic Birkhoff cho cấu trúc nhiều chiều cho hàm đa trị vấn đề có tính thời Luật số lớn đa trị chứng minh lần vào năm 1975 Z Artstein R A Vitale cho biến ngẫu nhiên độc lập phân phối, nhận giá trị không gian tập compact Rd , ứng với hội tụ theo khoảng cách Hausdorff Kết sau mở rộng theo hai hướng chính: cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng Theo hướng thứ nhất, tham khảo cơng trình N Cressie (năm 1978), C Hess (năm 1979), M L Puri D A Ralescu (năm 1983), F Hiai (năm 1984), Z Artstein J C Hansen (năm ´n I Molchanov (năm 2006), Theo hướng thứ hai, luật số lớn 1985), P Tera chứng minh vào năm 1981 Z Artstein S Hart cho hội tụ Kuratowski biến ngẫu nhiên độc lập phân phối, nhận giá trị không gian tập đóng Rd Sau tiếp tục nghiên cứu F Hiai C Hess cho hội tụ Mosco Wijsman Cho đến nay, nghiên cứu luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đa trị vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất Luật số lớn đa trị chủ yếu tập trung nghiên cứu biến ngẫu nhiên độc lập Tuy nhiên, thực tế lúc giả thiết biến ngẫu nhiên độc lập Một hướng phát triển luật số lớn đa trị nghiên cứu luật số lớn dãy mảng biến ngẫu nhiên đa trị mà điều kiện độc lập thay điều kiện phụ thuộc độc lập đơi một, phụ thuộc hốn đổi được, phụ thuộc 2-hốn đổi Đây hướng nghiên cứu có giá trị mặt thực tiễn Các định lý giới hạn dạng luật số lớn dạng định lý ergodic xác suất đa trị thường nghiên cứu cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tập compact không gian tập lồi khơng gian tập đóng, khơng gian Banach Do đó, kết theo hướng nghiên cứu chứng minh chúng có kết hợp giao thoa lý thuyết xác suất, giải tích lồi giải tích hàm Hội tụ theo khoảng cách Hausdorff thường sử dụng nghiên cứu biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact Đối với biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị tập đóng, người ta thường sử dụng loại hội tụ: Kuratowski, Mosco Wijsman Hội tụ Kuratowski phù hợp cho việc thiết lập luật số lớn đa trị không gian hữu hạn chiều Hội tụ Mosco mở rộng hội tụ Kuratowski không gian Banach Loại hội tụ phù hợp cho khơng gian phản xạ có ứng dụng thú vị bất đẳng thức biến phân Với mở rộng phù hợp cho không gian không phản xạ, hội tụ Wijsman giới thiệu thích hợp cho việc nghiên cứu tốc độ hội tụ sử dụng để chứng minh luật số lớn cho hội tụ Slice-một loại hội tụ có nhiều ứng dụng tối ưu ngẫu nhiên Do vậy, nghiên cứu định lý giới hạn cho biến ngẫu nhiên đa trị theo loại hội tụ Mosco Wijsman mang tới nhiều điều thú vị ý nghĩa Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Các định lý ergodic luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên đa trị” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án thiết lập định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều, thiết lập luật số lớn mảng hai số mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị khơng gian tập đóng không gian Banach thực, khả ly với giả thiết khác Đối tượng nghiên cứu - Định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều - Luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên đa trị Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều, luật số lớn mảng hai số mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị không gian tập đóng khơng gian Banach thực, khả ly Các loại hội tụ xét đến hội tụ Mosco hội tụ Wijsman Đối với luật số lớn đa trị, biến ngẫu nhiên đa trị giả thiết độc lập, độc lập đôi một, phụ thuộc 2-hoán đổi Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phối hợp phương pháp nghiên cứu lý thuyết thuộc chuyên ngành lý thuyết xác suất, giải tích lồi giải tích hàm như: kỹ thuật lồi hóa, dạng định lý Stolz, Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu định lý giới hạn xác suất đa trị Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Trong luận án này, thiết lập định lý giới hạn ứng với tôpô Mosco tôpô Wijsman theo dạng định lý ergodic Birkhoff dạng luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị khơng gian tập đóng không gian Banach thực, khả ly Trước hết giới thiệu số khái niệm xác suất khơng gian tập đóng khơng gian Banach Sau đó, chúng tơi chứng minh số kết hội tụ Mosco hội tụ Wijsman mảng nhiều chiều tập đóng khơng gian Banach mảng nhiều chiều biến ngẫu nhiên đa trị Đối với định lý ergodic, thiết lập định lý ergodic Birkhoff cấu trúc nhiều chiều cho trường hợp: đơn trị đa trị Nói riêng, định lý ergodic Birkhoff đa trị thiết lập cho cấu trúc hai chiều Đối với luật số lớn cho mảng hai số biến ngẫu nhiên đa trị, nghiên cứu cho trường hợp m ∨ n → ∞ Kết hợp dạng định lý Stolz cho mảng hai số, tính chất hội tụ m ∨ n → ∞, kỹ thuật lồi hóa cho mảng hai số bổ đề chứng minh trước đó, chúng tơi thiết lập luật số lớn theo loại hội tụ Mosco Wijsman cho mảng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị Các biến ngẫu nhiên giả thiết độc lập đôi phân phối, độc lập nhận giá trị khơng gian tập đóng khơng gian Rademacher dạng p, phụ thuộc 2-hoán đổi Đối với luật số lớn cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị, thiết lập luật số lớn theo loại hội tụ Mosco Wijsman cho biến ngẫu nhiên thỏa mãn: độc lập theo hàng nhận giá trị khơng gian tập đóng không gian Rademacher dạng p Để thu kết trên, thiết lập dạng định lý Stolz cho trường hợp mảng tam giác Để thiết lập định lý ergodic Birkhoff luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đa trị ứng với hội tụ Mosco hội tụ Wijsman, mở rộng kỹ thuật lồi hóa từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng hai số mảng tam giác 7.2 Cấu trúc luận án Ngoài phần Một số ký hiệu thường dùng luận án, Mở đầu, Kết luận chung kiến nghị, Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án Tài liệu tham khảo, nội dung luận án trình bày bốn chương Chương dành để giới thiệu số kiến thức không gian tập đóng khơng gian Banach, tính chất giải tích lồi giải tích hàm, thiết lập kết hội tụ tôpô Mosco Wijsman cho mảng tập đóng không gian Banach cho mảng biến ngẫu nhiên đa trị Mục 1.1 trình bày phần kiến thức chuẩn bị bao gồm ký hiệu, định nghĩa khái niệm liên quan đến nội dung luận án Mục 1.2 trình bày định nghĩa loại hội tụ thường gặp không gian tập đóng khơng gian Banach chứng minh số tính chất hội tụ Mosco hội tụ Wijsman cho mảng nhiều số Mục 1.3 dành để thiết lập kết hội tụ theo tôpô Mosco Wijsman mảng nhiều số biến ngẫu nhiên đa trị Các kết sử dụng để chứng minh định lý ergodic Birkhoff luật số lớn đa trị chương Chương trình bày định lý ergodic Birkhoff cấu trúc nhiều chiều cho biến ngẫu nhiên đơn trị đa trị Mục 2.1 giới thiệu số khái niệm tính chất lý thuyết ergodic phục vụ cho nội dung chương Trong mục 2.2, thiết lập định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều cho phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả ly Đây kết quan trọng để thiết lập định lý ergodic Birkhoff đa trị có cấu trúc nhiều chiều Mục 2.3 trình bày định lý ergodic Birkhoff dạng hai chiều cho biến ngẫu nhiên đa trị theo loại hội tụ Mosco Wijsman Trong mục này, chúng tơi cịn chứng minh định lý ergodic Birkhoff đa trị dạng nhiều chiều trường hợp phép biến đổi bảo tồn độ đo khơng giả thiết ergodic Mục 2.4 trình bày định lý ergodic Birkhoff dạng hai chiều cho biến ngẫu nhiên mờ theo hội tụ Mosco Chương dành để nghiên cứu luật số lớn mảng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị theo loại hội tụ Mosco Wijsman Mục 3.1 trình bày bổ đề cần thiết cho chứng minh kết Chương Mục 3.2 dành để thiết lập luật số lớn mảng hai số biến ngẫu nhiên đa trị cho trường hợp: độc lập đôi phân phối, độc lập nhận giá trị không gian tập đóng khơng gian Rademacher dạng p, phụ thuộc 2-hốn đổi Chương trình bày luật số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị theo loại hội tụ Mosco Wijsman Mục 4.1 thiết lập dạng định lý Stolz cho trường hợp mảng tam giác Mục 4.2 nghiên cứu luật số lớn cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn: độc lập theo hàng nhận giá trị không gian tập đóng khơng gian Rademacher dạng p CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ HỘI TỤ MOSCO VÀ HỘI TỤ WIJSMAN Trong chương này, giới thiệu số khái niệm xác suất khơng gian tập đóng khơng gian Banach, nghiên cứu loại hội tụ tính chất cần thiết giải tích hàm, giải tích lồi không gian Chúng thiết lập số kết hội tụ liên quan tới tôpô Mosco Wijsman mảng nhiều số tập đóng khơng gian Banach thực, khả ly mảng nhiều số biến ngẫu nhiên đa trị Các kết chương viết dựa báo [1] 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong luận án này, không nói thêm, ta ln giả thiết (Ω, A, P) không gian xác suất, F σ -đại số A, (X, k · k) không gian Banach thực khả ly, BX σ -đại số Borel X, X∗ không gian đối ngẫu X Ký hiệu c(X) họ tất tập khác rỗng đóng X Ký hiệu N tập số nguyên dương, Q tập số hữu tỉ, R tập số thực R+ tập số thực không âm Với d ∈ N, tập hợp Nd , phần tử (1, 1, , 1), (2, 2, , 2), (m1 , m2 , , md ), (n1 , n2 , , nd ) ký hiệu 1, 2, m, n Giả sử n = (n1 , n2 , , nd ) ∈ Nd , ta ký hiệu |n| = d Q ni , nmax = max{ni : i = 1, 2, , d} i=1 nmin = min{ni : i = 1, 2, , d} Với hai số thực m n, giá trị lớn giá trị nhỏ chúng tương ứng ký hiệu m ∨ n m ∧ n Với a ∈ R, lôgarit số a ∨ ký hiệu log+ a Với m, n ∈ Nd , ta viết m  n (tương ứng, m ≺ n) mi ni (tương ứng, mi < ni ) với i = 1, 2, , d Với A, B ⊂ X, clA coA tương ứng ký hiệu bao đóng bao lồi đóng A; hàm khoảng cách d(·, A) A, khoảng cách Hausdorff dH (A, B) A B , hàm tựa s(·, A) A, chuẩn kAk A tương ứng định nghĩa d(x, A) = inf{kx − yk : y ∈ A}, (x ∈ X), dH (A, B) = max{sup d(x, B), sup d(y, A)}, x∈A ∗ ∗ y∈B s(x , A) = sup{hx , yi : y ∈ A}, (x∗ ∈ X∗ ), kAk = sup{||x|| : x ∈ A} Đặt B∗ = {x∗ ∈ X∗ : kx∗ k ≤ 1} S∗ = {x∗ ∈ X∗ : kx∗ k = 1} Khi đó, B∗ S∗ tương ứng gọi hình cầu đơn vị đóng mặt cầu đơn vị X∗ Ký hiệu P(X) tập tất tập khác rỗng X Trên P(X), ta trang bị phép toán sau A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, λA = {λa : a ∈ A}, A, B ∈ P(X), λ ∈ R Nói chung, khơng tồn phần tử đối A ∈ P(X) nên P(X) khơng phải khơng gian tuyến tính ứng với phép tốn lấy tổng lấy tích vơ hướng nêu σ -đại số c(X) sinh tập U − := {C ∈ c(X) : C ∩ U 6= ∅} với U tập mở X, c gi l -i s Effră os v c ký hiệu Bc(X) 1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ F : Ω → c(X) gọi F -đo với B ∈ Bc(X) , F −1 (B) ∈ F Ánh xạ F -đo F gọi biến ngẫu nhiên đa trị F -đo Nếu F = A ta nói gọn F biến ngẫu nhiên đa trị Các phép toán biến ngẫu nhiên đa trị định nghĩa tương ứng phép toán P(X) cho ω ∈ Ω Với biến ngẫu nhiên đa trị F , ta ký hiệu AF = {F −1 (B) : B ∈ Bc(X) } Khi AF σ -đại số bé A mà F đo Phân phối xác suất F độ đo xác suất PF Bc(X) xác định PF (B) = P(F −1 (B)), B ∈ Bc(X) 1.1.3 Định nghĩa Một họ biến ngẫu nhiên đa trị {Fi : i ∈ I} gọi độc lập (tương ứng, độc lập đôi một) họ σ -đại số sinh chúng {AFi : i ∈ I} độc lập (tương ứng, độc lập đôi một), gọi phân phối tất phân phối xác suất PFi , i ∈ I 1.1.4 Định nghĩa Một họ hữu hạn biến ngẫu nhiên đa trị {F1 , F2 , , Fn } gọi hoán đổi với phép π tập {1, 2, , n} tập {B1 , B2 , , Bn } Bc(X) , P(F1 ∈ B1 , , Fn ∈ Bn ) = P(Fπ(1) ∈ B1 , , Fπ(n) ∈ Bn ) Một họ đếm biến ngẫu nhiên đa trị gọi hoán đổi họ hữu hạn hốn đổi 1.1.5 Định nghĩa Họ biến ngẫu nhiên đa trị {Fi : i ∈ I} gọi 2-hoán đổi với i1 , i2 , j1 , j2 ∈ I , i1 6= i2 , j1 6= j2 B1 , B2 ∈ Bc(X) , P(Fi1 ∈ B1 , Fi2 ∈ B2 ) = P(Fj1 ∈ B1 , Fj2 ∈ B2 ) Mối quan hệ tính độc lập phân phối, tính độc lập đơi phân phối, tính hốn đổi được, tính 2-hốn đổi tính phân phối họ biến ngẫu nhiên đa trị thể sơ đồ sau: độc lập phân phối  / độc lập đơi phân phối / hốn đổi  2-hoán đổi  phân phối Với p ≥ 1, ký hiệu Lp (F, X) không gian Banach phần tử ngẫu nhiên F -đo f : Ω → X cho k f kp = (E k f kp ) p < ∞ Nếu F = A Lp (A, X) viết gọn Lp (X) Nếu X = R ta viết gọn Lp thay cho Lp (R) Với p ≥ biến ngẫu nhiên đa trị F -đo F , đặt SFp (F) = {f ∈ Lp (F, X) : f (ω) ∈ F (ω) h.c.c.} Trong trường hợp F = A ta viết SFp (A) gọn lại SFp 1.1.8 Định nghĩa Biến ngẫu nhiên đa trị F : Ω → c(X) gọi khả tích SF1 khác rỗng Năm 1965, R J Aumann giới thiệu khái niệm kỳ vọng biến ngẫu nhiên đa trị sau 1.1.9 Định nghĩa Kỳ vọng biến ngẫu nhiên đa trị khả tích F , ký hiệu EF , định nghĩa EF := {Ef : f ∈ SF1 }, Ef tích phân Bochner phần tử ngẫu nhiên f Ngoài ra, với biến ngẫu nhiên đa trị F -đo F , ta định nghĩa E(F, F) := {Ef : f ∈ SF1 (F)} 11 1.2.7 Định lý Giả sử {A, An : n ∈ Nd } ⊂ c(X) giả sử D∗ tập đếm được, trù mật B∗ cho d(x, coA) = sup {hx∗ , xi − s(x∗ , coA)}, với x ∈ X Khi đó, với x∗ ∈ D∗ , lim sup nmax →∞ x∗ ∈D∗ ∗ s(x , An ) ≤ s(x∗ , A) với x ∈ X lim inf d(x, An ) ≥ d(x, coA) nmax →∞ Nghiên cứu mối liên hệ hội tụ Wijsman hội tụ Kuratowski cho trường hợp mảng nhiều chiều, thu kết thể qua định lý sau 1.2.8 Định lý Giả sử {A, An : n ∈ Nd } ⊂ c(X) Khi đó, Wijsthì s- lim nmax →∞ lim nmax →∞ An = A An = A 1.3 Một số tính chất hội tụ Mosco hội tụ Wijsman mảng biến ngẫu nhiên đa trị Trong Định nghĩa 1.2.1, ta thay An Fn (ω) A F (ω) với ω thuộc vào tập có xác suất 1, F , Fn , n ∈ Nd biến ngẫu nhiên đa trị, ta có khái niệm hội tụ hầu chắn cho biến ngẫu nhiên đa trị Dựa kết thu mục 1.2, thu hai định lý sau phần “ lim sup” hội tụ Wijsman cho trường hợp mảng nhiều số biến ngẫu nhiên đa trị 1.3.2 Định lý Giả sử D tập đếm được, trù mật X F, Fn (n ∈ Nd ) biến ngẫu nhiên đa trị Nếu với x ∈ D, lim sup d(x, Fn (ω)) ≤ d(x, F (ω)) h.c.c., nmax →∞ lim sup d(x, Fn (ω)) ≤ d(x, F (ω)) với x ∈ X h.c.c nmax →∞ 1.3.3 Định lý Giả sử F, Fn (n ∈ Nd ) biến ngẫu nhiên đa trị Nếu F (ω) ⊂ s- lim inf Fn (ω) h.c.c., nmax →∞ lim sup d(x, Fn (ω)) ≤ d(x, F (ω)) với x ∈ X h.c.c nmax →∞ Sau tính chất hội tụ Wijsman mảng nhiều chiều biến ngẫu nhiên đa trị 1.3.4 Định lý Giả sử D tập đếm được, trù mật X F, Fn (n ∈ Nd ) biến ngẫu nhiên đa trị Khi đó, mảng {Fn : n ∈ Nd } hội tụ Wijsman tới F h.c.c nmax → ∞ với x ∈ D, d(x, Fn (ω)) → d(x, F (ω)) h.c.c nmax → ∞ 12 1.4 Nhận xét Các kết chương xét cho trường hợp hội tụ nmax → ∞ Đối với trường hợp hội tụ nmin → ∞, ta có kết tương tự Kết luận Chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau: - Chứng minh số tính chất hội tụ Mosco hội tụ Wijsman mảng nhiều số tập đóng khơng gian Banach thực, khả ly - Thiết lập số kết hội tụ cho mảng nhiều số biến ngẫu nhiên đa trị hội tụ Mosco hội tụ Wijsman 13 CHƯƠNG ĐỊNH LÝ ERGODIC BIRKHOFF DẠNG NHIỀU CHIỀU Trong chương này, giới thiệu số khái niệm liên quan tới lý thuyết ergodic, thiết lập định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều không gian Banach thực, khả ly thu định lý ergodic Birkhoff đa trị dạng hai chiều cho biến ngẫu nhiên đa trị cho biến ngẫu nhiên mờ Các kết chương viết dựa báo [3] 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 2.1.1 Định nghĩa (i) Một phép biến đổi T : Ω → Ω gọi đo T −1 (A) ∈ A, với A ∈ A (ii) Một phép biến đổi T : Ω → Ω gọi bảo toàn độ đo T đo đồng thời P(T −1 (A)) = P(A), với A ∈ A Khi đó, ta nói P độ đo T -bất biến (iii) Một tập A ∈ A gọi T -bất biến T −1 (A) = A (iv) Một biến ngẫu nhiên f gọi T -bất biến f ◦ T = f (v) Một phép biến đổi bảo toàn độ đo T : Ω → Ω gọi ergodic tập T -bất biến có xác suất 1; nghĩa là, với A ∈ A, điều kiện T −1 (A) = A kéo theo P(A) = P(A) = 2.1.2 Nhận xét Họ tất tập T -bất biến lập thành σ -đại số σ -đại số A Ta ký hiệu σ -đại số IT Nếu T1 , T2 : Ω → Ω phép biến đổi bảo tồn độ đo tích T1 ◦ T2 (còn viết gọn T1 T2 ) phép biến đổi bảo toàn độ đo Đặc biệt, T : Ω → Ω phép biến đổi bảo tồn độ đo phép lặp T n (n ∈ N) phép biến đổi bảo tồn độ đo Tiếp theo, chúng tơi giới thiệu số khái niệm sở biến ngẫu nhiên mờ Đây mở rộng khái niệm biến ngẫu nhiên đa trị Ánh xạ u : X → [0, 1] gọi tập mờ X 14 Với tập mờ u, tập α-mức Lα u (α ∈ (0, 1]) định nghĩa Lα u = {x ∈ X : u(x) ≥ α} Ta định nghĩa Lα+ u = {x ∈ X : u(x) > α} , α ∈ [0, 1) Ký hiệu F(X) không gian tập mờ u : X → [0, 1] thỏa mãn (1) u chuẩn tắc, nghĩa là, tập 1-mức L1 u khác rỗng, (2) u nửa liên tục trên, nghĩa là, với α ∈ (0, 1], tập α-mức Lα u tập đóng X Trên F(X), ta trang bị phép toán sau (u + v)(x) = sup min{u(y), v(z)}, y+z=x  (λu)(x) = u(λ−1 x) λ 6= 0, I{0} (x) λ = 0, u, v ∈ F(X), λ ∈ R Bao lồi đóng cou u ∈ F(X) định nghĩa sau cou(x) = sup {α ∈ (0, 1] : x ∈ co(Lα u)} 2.1.3 Định nghĩa Ánh xạ F˜ : Ω → F(X) gọi biến ngẫu nhiên mờ {(ω, x) : x ∈ Lα (F˜ (ω))} ∈ A × BX , với α ∈ (0, 1] Năm 1991, J Bán F˜ biến ngẫu nhiên mờ Lα F˜ biến ngẫu nhiên đa trị, với α ∈ (0, 1] 2.1.4 Định nghĩa Kỳ vọng biến ngẫu nhiên mờ F˜ , ký hiệu EF˜ , tập

mờ X thỏa mãn Lα EF˜ = E Lα F˜ với α ∈ (0, 1] 2.2 Định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực, khả ly Năm 1951, N Dunford chứng minh định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều cho trường hợp thực, giới hạn hàm khả tích Kết sau N Dunford, J T Schwartz (năm 1956) N A Fava (năm 1972) mở rộng cho trường hợp tốn tử co Trong phần tiếp theo, chúng tơi thiết lập định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực, khả ly Kết hàm giới hạn kỳ vọng có điều kiện ứng với σ -đại số tập bất biến 15 2.2.2 Định lý Giả sử T1 , T2 , , Td phép biến  đổi giao hốn, bảo tồn độ
d−1 đo Khi đó, phần tử ngẫu nhiên f thỏa mãn E kf k log+ kf k < ∞, nX nX −1 d −1 f (T1i1 Tdid ) → E(f |I) h.c.c nmin → ∞ ··· n1 nd i1 =0 I = d T id =0 ITi Hơn nữa, Ts ergodic với s thuộc {1, 2, , d}, i=1 E(f |I) = Ef h.c.c 2.3 Định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều biến ngẫu nhiên đa trị Sau phần “ lim inf ” hội tụ Mosco cho định lý ergodic Birkhoff dạng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị 2.3.3 Mệnh đề Giả sử F biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn E(kF k log+ kF k) < ∞ Giả sử T1 , T2 hai phép biến đổi giao hoán cho với i ∈ {1, 2} s ≥ 1, Tis ergodic Khi đó, m n XX cl F (T1i T2j (ω)) h.c.c coEF ⊂ s- lim inf m∧n→∞ mn i=1 j=1 Nếu phép biến đổi bảo tồn độ đo khơng giả thiết ergodic, thu kết sau 2.3.4 Định lý Giả sử T1 , T2 , , Td phép biến đổi toàn độ đo  giao hốn, bảo
d−1  + Khi đó, F biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn E kF k log kF k < ∞, n1 −1 nd −1 i1 =0 id =0 X X E(F |I) ⊂ s- lim inf cl ··· F (T1i1 Tdid (ω)) h.c.c., nmin →∞ n1 nd I = d T ITi i=1 Mệnh đề sau phần “ lim sup” hội tụ Mosco định lý ergodic Birkhoff dạng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị 2.3.5 Mệnh đề Giả sử F biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn E(kF k log+ kF k) < ∞ T1 , T2 hai phép biến đổi giao hốn, bảo tồn độ đo cho Ti ergodic với i thuộc {1, 2} Khi đó, m n XX w- lim sup cl F (T1i T2j (ω)) ⊂ coEF h.c.c mn m∧n→∞ i=1 j=1 16 Sau định lý ergodic Birkhoff dạng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị theo loại hội tụ Mosco Wijsman 2.3.6 Định lý Giả sử F biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn
E kF k log+ kF k < ∞ Giả sử T1 , T2 hai phép biến đổi giao hoán cho Tis ergodic với i ∈ {1, 2} s ≥ Khi m n XX F T1i T2j (ω) → coEF h.c.c m ∧ n → ∞ cl mn   i=1 j=1 theo loại hội tụ Mosco Wijsman 2.4 Định lý ergodic Birkhoff dạng hai chiều biến ngẫu nhiên mờ Trong mục này, sử dụng Định lý 2.3.6, thu định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên mờ ứng với hội tụ Mosco 2.4.1 Định lý Giả sử T1 , T2 hai phép biến đổi giao hoán cho Tis ergodic với i ∈ {1, 2} số nguyên dương s Khi đó, F˜ : Ω → F(X)
biến ngẫu nhiên mờ thỏa mãn SL1 F˜ 6= ∅, E kcl(L0+ F˜ )k log+ kcl(L0+ F˜ )k < ∞ Lα (coEF˜ ) = cl(Lα+ (coEF˜ )) với α ∈ [0, 1] \ Q, (2.4.1) m n XX ˜ M- lim F T1i T2j (ω) = coEF˜ h.c.c., m∧n→∞ mn   i=1 j=1 nghĩa là, tồn tập N ∈ A có xác suất cho ! m n  
XX ˜ M- lim Lα = Lα coEF˜ F T1i T2j (ω) mn m∧n→∞ i=1 j=1 với α ∈ (0, 1] ω ∈ Ω \ N Hai ví dụ sau tất giả thiết Định lý 2.4.1 thỏa mãn 2.4.2 Ví dụ Cho X = R a < b với a, b ∈ R Giả sử u : R → [0, 1] tập mờ R thỏa mãn u hàm tăng ngặt đoạn [a, b], u(x) = với x ∈ (−∞, a) ∪ (b, +∞) u(b) = Chẳng hạn,  u(x) = x−a b−a x ∈ [a, b], x ∈ (−∞, a) ∪ (b, +∞) 17 Biến ngẫu nhiên mờ F˜ : Ω → F(R) xác định F˜ (ω) = u với ω ∈ Ω Khi đó, F˜ thỏa mãn tất giả thiết Định lý 2.4.1 2.4.3 Ví dụ Cho X = R Tập mờ u : R → [0, 1] định nghĩa  x < 0,    2x ≤ x ≤ 21 , u(x) = 2(1 − x) 12 < x < 1,    x ≥ Khi đó, F˜ thỏa mãn tất giả thiết Định lý 2.4.1, biến ngẫu nhiên mờ F˜ : Ω → F(R) xác định F˜ (ω) = u với ω ∈ Ω Ví dụ chứng tỏ Định lý 2.4.1, điều kiện (2.4.1) không suy từ điều kiện lại 2.4.4 Ví dụ Cho X = R Ta định nghĩa tập mờ u : R → [0, 1] sau  0√ x < 0,     ≤ x ≤ 41 ,  2√ 2x u(x) = 14 < x < 43 , √ √    (4 − 2)x − + 2 34 ≤ x ≤ 1,   x > Tiếp tục, biến ngẫu nhiên mờ F˜ định nghĩa F˜ (ω) = u với ω ∈ Ω Có thể kiểm tra Lα u 6= cl(Lα+ u) với α = √ 2 Do đó, điều kiện (2.4.1) Định lý 2.4.1 khơng thỏa mãn Có thể kiểm tra điều kiện khác thỏa mãn Do đó, điều kiện (2.4.1) khơng suy từ điều kiện lại Kết luận Chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau: - Thiết lập định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều không gian Banach thực, khả ly - Thiết lập định lý ergodic Birkhoff dạng hai chiều cho biến ngẫu nhiên đa trị cho biến ngẫu nhiên mờ - Thiết lập định lý ergodic Birkhoff đa trị dạng nhiều chiều trường hợp phép biến đổi bảo tồn độ đo khơng giả thiết ergodic - Đưa số ví dụ minh họa kết chương 18 CHƯƠNG LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG HAI CHIỀU CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ Trong chương này, thiết lập số luật số lớn mảng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị theo loại hội tụ Mosco, Wijsman Các kết chương viết dựa báo [1] [2] 3.1 Một số kết bổ trợ Sau đây, đưa bổ đề quan trọng chìa khóa để thiết lập luật số lớn mảng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị ứng với hội tụ m ∨ n → ∞ 3.1.4 Bổ đề Giả sử {xij : i ≥ 1, j ≥ 1} mảng hai chiều phần tử không gian Banach Nếu ba điều kiện sau thỏa mãn n 1X xmj → x n → ∞, (i) với m ≥ 1, n (ii) với n ≥ 1, (iii) mn m X n X m j=1 m X xin → x m → ∞, i=1 xij → x m ∧ n → ∞, i=1 j=1 m n XX xij → x m ∨ n → ∞ mn i=1 j=1 Áp dụng Bổ đề 3.1.4, chứng minh dạng hai số định lý Stolz 3.1.5 Bổ đề Giả sử {xij : i ≥ 1, j ≥ 1} mảng phần tử khơng gian Banach Nếu lim xij = x i∨j→∞ m n XX lim xij = x m∨n→∞ mn i=1 j=1 19 3.2 Luật số lớn mảng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị Định lý sau mở rộng kết C Hess (các năm 1985 1999) F Hiai (năm 1985) từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng hai số 3.2.1 Định lý Nếu {Fij : i ≥ 1, j ≥ 1} mảng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị độc lập đôi phân phối cho SF111 6= ∅ E(kF11 k log+ kF11 k) < ∞, m n XX Fij (ω) → coEF11 h.c.c m ∨ n → ∞ cl mn i=1 j=1 theo loại hội tụ Mosco Wijsman Định lý sau thiết lập luật số lớn cho mảng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị độc lập, nhận giá trị không gian tập đóng khơng gian Rademacher dạng p Trường hợp dãy chứng minh F Hiai vào năm 1985 3.2.2 Định lý Giả sử X không gian Rademacher dạng p (p ∈ [1, 2]) Nếu {Fij : i ≥ 1, j ≥ 1} mảng hai chiều biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn ∞ X ∞ X EkFij kp (a) i=1 j=1 (ij)p < ∞, (b) tồn tập X ∈ c(X) cho X ⊂ s- lim inf (cl(E(Fij , AFij ))), i∨j→∞ lim sup s(x∗ , cl(EFij )) ≤ s(x∗ , X), với x∗ ∈ X∗ , i∨j→∞ ta thu luật số lớn theo loại hội tụ Mosco Wijsman m n XX cl Fij (ω) → coX h.c.c m ∨ n → ∞ mn i=1 j=1 Để thiết lập luật số lớn cho mảng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị 2-hoán đổi được, chứng minh số kết sau mảng nhiều chiều phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi 3.2.6 Định lý Giả sử {fn : n ∈ Nd } mảng phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi được, nhận giá trị X Nếu E(kf1 k(log+ kf1 k)d−1 ) < ∞ n X fi → f h.c.c L1 nmax → ∞, |n| i=1 20 f phần tử ngẫu nhiên thỏa mãn Ef = Ef1 Kết sau thể giới hạn tất định 3.2.7 Định lý Giả sử {fn : n ∈ Nd } mảng phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi thuộc L2 (X) giả sử không gian đối ngẫu X∗ khả ly (ứng với tôpô sinh chuẩn X∗ ) Nếu Cov(hx∗ , f1 i, hx∗ , f2 i) = với x∗ ∈ X∗ , n X fi → Ef1 h.c.c L1 nmax → ∞ |n| i=1 Khi nghiên cứu để mở rộng Định lý 3.2.6 cho mảng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị, thu kết sau 3.2.8 Định lý Giả sử {Fij : i ≥ 1, j ≥ 1} mảng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị 2-hoán đổi cho SF111 6= ∅ E(kF11 k log+ kF11 k) < ∞ P Pn Đặt Smn = m j=1 Fij Khi đó, i=1 (a) coEF11 ⊂ cl(EF ), F biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn S (ω) F (ω) = s- lim inf cl mn h.c.c mn m∧n→∞ (b) Nếu X không gian phản xạ sup kFmn (ω)k < ∞ h.c.c., m,n≥1 cl(EY ) ⊂ coEF11,  Y biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn Smn (ω) h.c.c Y (ω) = w- lim sup cl mn m∨n→∞ Kết luận Chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau: - Chứng minh điều kiện hội tụ trung bình cộng phần tử thuộc m hàng n cột mảng hai chiều phần tử thuộc vào không gian Banach m ∨ n → ∞, dựa hội tụ hàng, hội tụ cột hội tụ m ∧ n → ∞ - Thiết lập luật số lớn mảng nhiều số phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi được, nhận giá trị không gian Banach thực, khả ly - Thiết lập luật số lớn theo hội tụ Mosco hội tụ Wijsman cho mảng hai số biến ngẫu nhiên đa trị cho trường hợp: độc lập đôi phân phối, độc lập nhận giá trị không gian tập đóng khơng gian Rademacher dạng p, phụ thuộc 2-hốn đổi - Đưa ví dụ minh họa kết 21 CHƯƠNG LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG TAM GIÁC CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ Trong chương này, thiết lập số luật số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng, nhận giá trị khơng gian tập đóng không gian Rademacher dạng p Các loại hội tụ xét hội tụ Mosco hội tụ Wijsman Các kết chương viết dựa báo [4] 4.1 Dạng định lý Stolz cho trường hợp mảng tam giác Với {xni : n ≥ 1, ≤ i ≤ n} ⊂ R, ký hiệu lim inf xni = sup inf xni , i→∞ k≥1 k≤i≤n lim sup xni = inf sup xni k≥1 k≤i≤n i→∞ 4.1.1 Định nghĩa (a) Mảng tam giác {xni : n ≥ 1, ≤ i ≤ n} ⊂ R gọi hội tụ tới x ∈ R i → ∞ ký hiệu lim xni = x, i→∞ lim inf xni = lim sup xni = x i→∞ i→∞ (b) Mảng tam giác {xni : n ≥ 1, ≤ i ≤ n} ⊂ X gọi hội tụ tới x ∈ X i → ∞ ký hiệu lim xni = x, lim kxni − xk = i→∞ i→∞ Bổ đề sau dạng định lý Stolz cho trường hợp mảng tam giác 4.1.3 Bổ đề Giả sử {xni : n ≥ 1, ≤ i ≤ n} mảng tam giác phần tử không gian Banach thỏa mãn hai điều kiện: (a) lim xni = x, i→∞ (b) tồn số C > cho kxni k ≤ C, với n ≥ 1, ≤ i ≤ n Khi n 1X xni → x n → ∞ n i=1 22 Trong mục này, chúng tơi cịn đưa ví dụ chứng tỏ Bổ đề 4.1.3 khơng cịn điều kiện (b) khơng thỏa mãn 4.2 Luật số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị Ta nói họ biến ngẫu nhiên đa trị {Fi : i ∈ I} có kỳ vọng bị chặn tồn số dương C cho kEFi k ≤ C với i ∈ I Định lý sau tương tự kết F Hiai (năm 1985) cho trường hợp mảng tam giác 4.2.1 Định lý Giả sử X không gian Rademacher dạng p (p ∈ (1, 2]) {Fni : n ≥ 1, ≤ i ≤ n} mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng, có kỳ vọng bị chặn Giả thiết Ψ(t) : R → R hàm số liên tục, lồi, chẵn, nhận giá trị dương cho Ψ(|t|) Ψ(|t|) ↑ r+p−1 ↓ |t| ↑ r |t| |t| (4.2.1) với r số ngun khơng âm tồn số dương C1 thỏa mãn Ψ(a + b) ≤ C1 (Ψ(a) + Ψ(b)) với a, b ∈ R (4.2.2) Khi đó, điều kiện sau thỏa mãn +) n ∞ X X E(Ψ(kFni k)) n=1 i=1 +) Ψ(n) ∞ n X X EkFni kp n=1 i=1 < ∞, (4.2.3) !p.k np < ∞, (4.2.4) với k số nguyên dương tồn X ∈ c(X) cho +) X ⊂ s- lim inf cl(E(Fni , AFni )), i→∞ ∗ +) lim sup s(x , cl(EFni )) ≤ s(x∗ , X), với x∗ ∈ X∗ i→∞ thu luật số lớn n X cl Fni (ω) → coX h.c.c n → ∞ n i=1 hội tụ Mosco hội tụ Wijsman 4.2.2 Chú ý Trong Định lý 4.2.1, điều kiện (4.2.1) thỏa mãn với r = r = lược bỏ điều kiện (4.2.4) 23 Chúng tơi cịn đưa ví dụ chứng tỏ điều kiện “kỳ vọng bị chặn” Định lý 4.2.1 không suy từ điều kiện lại Định lý mở rộng kết A Bozorgnia, R F Patterson R L Taylor (năm 1997) cho trường hợp biến ngẫu nhiên đa trị 4.2.3 Định lý Giả sử {Fni : n ≥ 1, ≤ i ≤ n} mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng, nhận giá trị khơng gian tập đóng không gian Rademacher dạng p (p ∈ (1, 2]) Giả sử {an : n ≥ 1} dãy tăng ngặt số thực dương cho lim an = +∞ giả sử Ψ(t) hàm số liên tục, n→∞ chẵn, nhận giá trị dương cho Ψ(|t|) Ψ(|t|) ↑ r+p−1 ↓ |t| ↑ r |t| |t| (4.2.23) với r số nguyên không âm Khi đó, +) ∈ E(Fni , AFni ), +) ∞ X n X E(Ψ(kFni k)) Ψ(an ) n=1 i=1 +) (4.2.24) ∞ n X X EkFni kp n=1 i=1 < ∞, (4.2.25) !p.k apn < ∞, (4.2.26) với k số ngun dương đó, n X Fni (ω) h.c.c ∈ s- lim inf cl n→∞ an i=1 4.2.4 Chú ý Trong Định lý 4.2.3, điều kiện (4.2.23) thỏa mãn với r = lược bỏ điều kiện (4.2.26), điều kiện (4.2.23) thỏa mãn với r = lược bỏ điều kiện (4.2.24), (4.2.26) Chúng tơi cịn đưa ví dụ chứng tỏ kết luận Định lý 4.2.3 thay kết luận mạnh n X M- lim cl Fni (ω) = {0} h.c.c an i=1 Kết luận Chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau: - Thiết lập dạng định lý Stolz cho trường hợp mảng tam giác - Thiết lập luật số lớn theo hội tụ Mosco hội tụ Wijsman mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn: độc lập theo hàng nhận giá trị không gian tập đóng khơng gian Rademacher dạng p - Đưa số ví dụ minh họa kết 24 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án thu kết sau đây: - Thiết lập số kết hội tụ tôpô Mosco Wijsman cho mảng nhiều số tập đóng không gian Banach cho mảng nhiều số biến ngẫu nhiên đa trị - Thiết lập định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều cho phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực, khả ly - Thiết lập định lý ergodic Birkhoff đa trị theo loại hội tụ Mosco Wijsman cấu trúc mảng hai chiều - Thiết lập luật số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi - Thiết lập luật số lớn theo hội tụ Mosco hội tụ Wijsman mảng hai số biến ngẫu nhiên đa trị cho trường hợp: độc lập đôi phân phối, độc lập nhận giá trị không gian tập đóng khơng gian Rademacher dạng p, phụ thuộc 2-hoán đổi - Thiết lập luật số lớn ứng với hội tụ Mosco hội tụ Wijsman mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn: độc lập theo hàng nhận giá trị khơng gian tập đóng khơng gian Rademacher dạng p Kiến nghị hướng nghiên cứu Trong thời gian tới, dự định nghiên cứu vấn đề sau đây: - Các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn theo hội tụ Mosco hội tụ Wijsman dãy mảng biến ngẫu nhiên đa trị - Các định lý ergodic đa trị theo loại hội tụ: Mosco, Wijsman, Slice, Hausdorff, trường hợp chiều trường hợp nhiều chiều 25 DANH MỤC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN C Castaing, N V Quang and D X Giap (2012), Mosco convergence of strong law of large numbers for double array of closed valued random variables in Banach space, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 13(4), 615-636 C Castaing, N V Quang and D X Giap (2012), Various convergence results in strong law of large numbers for double array of random sets in Banach spaces, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 13(1), 1-30 D X Giap and N V Quang (2016), Multidimensional and multivalued ergodic theorems for measure-preserving transformations, Set-Valued and Variational Analysis, DOI 10.1007/s11228-016-0361-z (Available online January 2016 ) N V Quang and D X Giap (2013), Mosco convergence of SLLN for triangular arrays of rowwise independent random sets, Statistics and Probability Letters, 83, 1117-1126 Các kết luận án báo cáo tại: - Hội nghị Toán học phối hợp Việt-Pháp (Đại học Sư phạm Huế, 20-24/08/2012), - Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ (Trường Sĩ quan Thông tin, 10-14/08/2013), - Hội nghị toàn quốc lần thứ 5: “Xác suất - Thống kê: nghiên cứu, ứng dụng giảng dạy” (Đại học Sư phạm Đà Nẵng, 23-25/05/2015), - Seminar Bộ mơn Xác suất thống kê Tốn ứng dụng thuộc Khoa Sư phạm Toán học-Trường Đại học Vinh (từ năm 2011 đến năm 2015)