(Tt luận án) “Các định lý ergodic và lu t so l n đối với mảng các biến ngȁu nhiên đa trị”

Bộgiodụcvàđàotạo TRờngđạihọcvinh - DƯƠNGXUÂNGIP CCĐịNHLíERGODICVàLUậTSốLớN ĐốivớimảngccbiếnngunhiấnunhiấnĐATRị Chuyênngành:LýthuyếtxácsuấtvàThốngkêtoánh ọcMÃsố:62.46.01.06 TểMTắTLuậnntiếnstonhọc NGHệAN-2016 LuậnỏnđợchoànthànhtạiTrờngĐạihọcVinh Ngờihớngdẫnkhoahọc:1.GS.TS.NguyễnVănQuảng 2.GS.CharlesCastaing Phảnbiện1:GS.TSKH.ĐặngHùngThắng ĐạihọcKhoahọctựnhiên-ĐạihọcQuốcgiaHàNội Phảnbiện2:PGS.TS.TrầnHùngThao ViệnToỏnhọc-ViệnKhoahọcCôngnghệViệtNam Phảnbiện3:TS.LờHồngSơn ĐạihọcSphạmKỹthuậtVinh LuậnỏnđợcbảovệtạiHộiđồngchấmluậnỏncấptrờnghọptạiTrờngĐạihọcVinh Vàohồi ngày thỏng năm Cúthểtìmhiểuluậnỏntại: - ThviệnQuốcgiaViệtNam - Trungtâm Thông tin -ThviệnNguyễn ThúcHàothuộcTrờngĐạihọcVinh M A U Lýdochonđetài Thời gian gan đây, định lý ergodic lu t so lớn đoi với bien ngau nhiên đatrị nhieu nhà toán hoc quan tâm nghiên cáu có nhieu dụng trongtoiư u n g a u n h i ê n , t h o n g k ê , t o n k i n h t e , y h o c v m ® t s o l ĩ n h v ự c k h c B i e n ngaunhiênđatrịlàsựmởr®ngcủaphantảngaunhiên.Chínhvìvy,vicnghiêncáu định lý ergodic lu t so lớn cho bien ngau nhiên đa trị khơng có ýnghĩalýthuyetmàcịncóýnghĩathựctien Thựctienđịihỏichúngtanghiêncáuvemảngnhieuchieucácbienngaunhiên.Đoivớicautrú cnhieuchieu,quanht h tựthơngthườngtrêntpcácchỉsokhơngcótínhchattuyentính.Dođó,khimở r®ngcácđịnhlýgiớihạnđoivớicácbienngau nhiên đa trị tà trường hợp dãy sang trường hợp mảng nhieu so vớinmax→ ∞ho cnmin→ ∞, sě g p nhieu đieu bat thường Đieu gópphanlàmch ocáck et quảng hiên cáuvecácđịnh lýg iới hạnđatr ịdạnglu ts olớnvàdạngđịnhlýergodicđoivớicautrúcnhieuchieucónhieuýnghĩa Lý thuyet ergodic bat nguon tà ngành hoc thong kê Nghiên cáu định lýergodicđ ợ c b a t đ a u v o n h ǎ n g n ă m 1932bởi G D B i r k h o ff v J v Neumann Trong may th pkgan đây, định lý ergodic Birkhoff mởr®ngtheohaihướngchính:chocautrúcnhieuchieuvàchocáchàmđatrị.Theohướng thá nhat, đau tiên vào năm1951, N Dunford A Zygmund thiet l pđịnh lý ergodic Birkhoff đoi với ho khơng giao hốn phép bien đői bảo tồn đ® đotươngángchocáctrườnghợpthamsorờirạcvàthamsoliêntục.Ketquảnàysauđó N Dunford,J.T.Schwartz(năm1956) N A Fava (năm 1972) tőng qtlênchotrườnghợptốntả.Cácket quảtrêntieptụcđượcmởr®ngchotrườnghợptőng có so cơng trình R L Jones J Olsen (năm1994), M LinvàM.Weber(2007),F.Mukhamedov,M.MukhamedovvàS.Temir(năm 20 08 ), .Theohướngtháhai,vàonăm1991,J.Ba ´nthietlpđịnhlýergodicBirkhoffchocácbienngaunhiênnhngiátrịtpcompacthocgiátrị mờtrênkhơnggianBanachángvớih®itụtheokhoảngcáchHausdorff.Chotớinăm 200 ,C.Choirat, C Hess R A Seri thu định lý ergodic Birkhoff cho bien ngau nhiênđat r ị n h ng i t r ị t pl o i n g v i h ® i t ụ K u r a t o w s k i G a n đ â y , v o n ă m 011, H.Ziatchángminhđịnhlýer godicBir khoff cho cácbienngaunhiênđatr ị the ocácloạih®itụ:Mosco,WijsmanvàSlice.Dođó,nghiêncáuđịnhlýergodicBirkhoffchocảcautr úcnhieuchieuvàchocáchàmđatrịđanglàvanđecótínhthờisự Lutsolớnđatrịđượcchángminhlanđautiênvàonăm1975bởiZ.ArtsteinvàR A V i t a l e c h o c c b i e n n g a u n h i ê n đ ® c l pc ù n g p h â n p h o i , n h ng i t r ị không gian cáctp compact củaRd, với h®i tụ theo khoảng cáchHausdorff Ket sau mở r®ngtheo hai hướng chính: cho cácbienn g a u n h i ê n n h ng i t r ị t pc o m p a c t v c h o c c b i e n n g a u n h i ê n n h ngiá trị t p đóng Theo hướng thá nhat, có the tham khảo cáccơngtrìnhcủaN.Cressie(năm1978),C.Hess(năm1979),M.L.Purivà D A Ralescu (năm 1983), F Hiai (năm1984), Z Artstein J C Hansen (năm1985),P.Tera´nvàI.Molchanov(năm2006), Theohướngtháhai,lutsolớnđược cháng minh đau tiên vào năm 1981bởi Z Artstein S Hart cho h®i tụKuratowskiđoivớicácbienngaunhiênđ®clpcùngphânphoi,nhngiátrịtrênkhơnggia ncáctpconđóngcủaR d.Sauđónóđượctieptụcnghiêncáubởi F.HiaivàC.Hesschoh®itụMoscovàWijsman.Chođennay,nghiêncáuvelutso lớn chocácbienngaunhiênđatrịvanlàm®tvanđecótínhthờisựcủalýthuyetxácsuat Lu tso lớn đa trị chủ yeut ptrung nghiên cáu bien ngau nhiên đ®cl p.Tuynhiên,thựctekhơngphảilúcnàochúngtacũngcóthegiảthietđượcrangcácbien nhiên đ®cl p.M®t hướng phát trien củalu tso lớn đa trị ngau nghiêncáulutsolớnđoivớidãyvàmảngcácbienngaunhiênđatrịmàđieukinđ® clpđược thay the đieu kinphụ thu®c đ®cl pđơi m®t, phụ thu®chốn đői được, phụ thu®c 2-hốn đői Đây m®t hướng nghiên cáu có giátrịvemtthựctien Các định lý giới hạn dạng lu t so lớn dạng định lý ergodic xác suat đatrị thường nghiên cáu cho bien ngau nhiên nh n giá trị không giancác t p compact ho c không gian t p loi ho c khơng gian t p conđóng, m®t khơng gian Banach Do đó, ket theo hướng nghiên cáunày cháng minh chúng có ket hợp giao thoa giǎa lý thuyet xácsuat,giảitíchloivàgiải tích hàm H®i tụ theo khoảng cách Hausdorff thường sả dụng nghiên cáu cácbien ngau nhiên nh n giá trị t p compact Đoi với bien ngau nhiên đa trị nh ngiá trị t p đóng, người ta thường sả dụng loại h®i tụ: Kuratowski, Mosco vàWijsman.H ® i t ụ K u r a t o w s k i p h ù h ợ p c h o v i ct h i e t l pl u ts o l n đ a t r ị đ o i v i cáckhơnggianhǎuhạnchieu.H®itụMoscolàm®tmởr®ngcủah®itụKuratowskiđoivớikh ơnggianBanach.Loạih®itụnàyphùhợp chocáckhơnggianphảnxạvàcóángdụ ngthúvịtrongcácbatđȁngthácbienphân.Vớimởr®ngphùhợp cho cáckhơnggian khơng phảnxạ, h®itụ Wijsman đãđượcgiới thi u thíchhợpcho vicnghiêncáuvetocđ®h®itụvàcịnđượcsảdụngđechángminhlutso lớn cho h®i tụ Slice-m®t loại h®i tụ có nhieu dụng toi ưu ngau nhiên.Dovy , nghiêncáucácđịnhlýgiới hạnchocácbiennga u nhiênđatrịthe ocácloạih®itụMoscovàWijsmanmangtớinhieuđieuthúvịvàýnghĩa Vớicáclýdonêutrên,chúngtơichonđetàinghiêncáucholunáncủamìnhlà:“Các địnhlýergodic vàlu tsol nđoi vimảng bien ngȁu nhiênđat r ị ” Mncđ í c h n g h i ê n c fí u Mụcđ í c h c ủ a l u ná n l t h i e t l pđ ị n h l ý e r g o d i c B i r k h o ff d n g n h i e u c h i e u , thietlplutsolớnđoivớimảnghaichỉsovàmảngtamgiáccácbienngaunhiênđa trị nh n giá trị khơng gian t p đóng khơng gian Banach thực,khảlyvớicácgiảthietkhácnhau Đoitưngnghiêncfíu - ĐịnhlýergodicBirkhoffdạngnhieuchieu - Lutsolớnđoivớimảngcácbienngaunhiênđatrị Phạmvinghiêncfíu Lu n án t p trung nghiên cáu định lý ergodic Birkhoff dạng nhieu chieu, lu tso lớn đoi với mảng hai so mảng tam giác bien ngau nhiên đa trị nh ngiátrịtrênkhơnggiancáctpconđóngcủam®tkhơnggianBanachthực,khảly.Các loại h®i tụ xét đen h®i tụ Mosco h®i tụ Wijsman Đoi với lu t solớnđatrị,cácbienngaunhiênđatrịđượcgiảthietđ®clp,hocđ®clpđơim®t,hocphụthu ®c -hốnđőiđược Phươngphápnghiêncfíu Chúng sả dụng phoi hợp phương pháp nghiên cáu lý thuyet thu®c cácchun ngànhlý thuyet xác suat,giải tích loivàgiải tích hàmnhư: ky thu t loihóa,dạngđịnhlýStolz, Ýnghĩakhoahocvàthfictien Cácketquảcủalunángópphanlàmphongphúthêmchohướngnghiêncáuvecácđ ịnhlýgiớihạntrongxácsuatđatrị Lunánlàtàiliuthamkhảochosinhviên,hocviêncaohocvànghiêncáusinhchu nngànhLýthuyetxácsuatvàThongkêtốnhoc Tongquanvàcautrúclunán 7.1 Tongquanvelunán Tronglunánnày,chúngtơithietlpcácđịnhlýgiớihạnángvớitơpơMoscovà tôpô Wijsman theo dạng định lý ergodic Birkhoff dạng lu t so lớn đoi vớimảngc c b i e n n g a u n h i ê n đ a t r ị n h ng i t r ị t r ê n k h ô n g g i a n c c t pc o n đ ó n g củakhơnggianBanachthực,khảly Trước het chúng tơi giới thi u m®t so khái ni m ve xác suat khônggian t p đóng m®t khơng gian Banach Sau đó, chúng tơi cháng minhm®tsoketquảveh®itụMoscovàh®itụWijsmanđoivớimảngnhieuchieucá ctpconđóngcủakhơnggianBanachvàđoivớimảngnhieuchieucácbienngaunhiênđatrị Đoi với định lý ergodic, thiet l p định lý ergodic Birkhoff đoi với cautrúc nhieu chieu cho trường hợp: đơn trị đa trị Nói riêng, định lý ergodicBirkhoffđatrịđượcchúngtơithietlpchocautrúchaichieu Đoi với lu t so lớn cho mảng hai so bien ngau nhiên đa trị, chúng tôinghiên cáu cho trường hợp m∨n→ ∞ Ket hợp dạng định lý Stolz cho mảng haichỉso,tính chatvesựh®itụkhi m∨n→∞ ,kythutloihóachomảnghaichỉsovàc ácbőđechángminhtrướcđó,chúngtơithietlpđượclutsolớntheocácloại h®i tụ MoscovàWijsmanchomảnghaichieucácbienngaunhiênđatrị.Cácbien ngau nhiên giả thiet đ®c l p đơi m®t phân phoi, ho c đ®c l p vànhng iá tr ị t r ên k h ôn ggia n c c t pc on đ ón g k h ôn g g ia n Ra d ema ch er d n g p,hocphụthu®c -hốnđőiđược Đoi với lu t so lớn cho mảng tam giác bien ngau nhiên đa trị, chúng tôithiet l p lu t so lớn theo loại h®i tụ Mosco Wijsman cho bien ngaunhiên thỏa mãn: đ®c l p theo hàng nh n giá trị không gian t p conđóngcủakhơnggianRademacherdạngp.Đethuđượccácketquảtrên,chúngtơithietlp dạngđịnhlýStolzchotrườnghợpmảngtamgiác ĐethietlpđịnhlýergodicBirkhoff vàlutsolớnchobienngaunhiênđatrịán g với h®i tụ Mosco h®i tụ Wijsman, chúng tơi mở r®ng ky thu t loi hóa tàtrườnghợpdãysangcáctrườnghợpmảnghaichỉsovàmảngtamgiác 7.2 Cautrúccủalunán Ngồi phan M®t so ký hi u thường dùng lu n án, Mở đau, Ket lu nchungvàkien ng hị,Da nhmụccông tr ình liên quan tr ựctiepđenlu nánvàTài liuthamkhảo,n®idungchínhcủalunánđượctrìnhbàytrongbonchương Chương1đượcdànhđegiớithium®tsokientháccơbảncủakhơnggiancáct pcon đóng khơng gian Banach, tính chat ve giải tích loi giải tích hàm,thietl pcác ket h®i tụ đoi với tơpơ Mosco Wijsman cho mảng cáct pcon đóng m®t khơng gian Banach cho mảng bien ngau nhiên đa trị.Mục1.1 t r ình bày ph a nk ient há c chuȁ n b ịbaogom cácký h iu,c ác địnhn gh ĩa vàcáckháinimcơbảnliênquanđenn®idungcủacảlun án Mục 1.2 trình bàyđịnh nghĩa loại h®i tụ thườngg ptrên khơng gian cáct pconđóng khơnggianBanachvàchángminhm®t so tính chat ve h®i tụ Mosco h®i tụ Wijsmanchomảngnhieuchỉso.Mục1.3đượcdànhđethietlpcácketquảh®itụtheocáctơpơ MoscovàWijsmanđoivớimảngnhieuchỉsocácbienngaunhiênđatrị.Cácket sả dụng đe cháng minh định lý ergodic Birkhoff vàlu tso lớnđatrịởcácchươngtieptheo Chương2 t r ì n h b y v e đ ị n h l ý e r g o d i c B i r k h o ff đ o i v i c a u t r ú c n h i e u c h i e u chobienngaunhiênđơntrịvàđatrị.Mục2.1giớithium®tsokháinimvàtínhchat lý thuyet ergodic phục vụ cho n®i dung chương Trongmục2 2, c h ún g t ô it h i et l pđ ịn h l ý er g od ic B ir kh off d n g n h ie u ch ie u c h op h a n tả ngau nhiên nh n giá trị không gian Banach thực khả ly Đây ket quảquantrong đethiet lpđịnh lý ergodicBirkhoff đatrị cócau trúc nhieuchieu Mục 2.3t r ì n h b y đ ị n h l ý e r g o d i c B i r k h o ff d n g h a i c h i e u c h o b i e n n g a u n h i ê n đ a t r ị theoc c l o i h ® i t ụ M o s c o v W i j s m a n T r o n g m ụ c n y , c h ú n g t i c ị n c h n g m i n h địnhl ý e r g o d i c B i r k h o ff đ a t r ị d n g n h i e u c h i e u đ o i v i t r n g h ợ p p h é p b i e n đ ő i bảo tồn đ® đo khơng giả thiet ergodic Mục 2.4 trình bày định lý ergodicBirkhoffdạ ng i c h i e u c h o b i e n n g a u n hi ê n m t he o h ® i t ụ M o s c o Chương dành đe nghiên cáu lu t so lớn đoi với mảng hai chieu bienngaunhiênđatrịtheocácloạih®itụMoscovàWijsman.Mục3.1trìnhbàycácbő đe canthietchochángminhcácketquảchínhcủaChương3.Mục3.2đượcdành đe thiet l p lu t so lớn đoi với mảng hai so bien ngau nhiên đa trịchocáctrườnghợp:đ®clpđơim®tcùngphânphoi,hocđ®clpvànhngiátrịtrênkhơnggian cáctpconđóngcủakhơnggianRademacherdạngp, ho c phụthu®c2 -hốnđőiđược Chương4trìnhbàyvelutsolớnđoivớimảngtamgiáccácbienngaunhiên đa trị theocácloạih®itụMoscovàWijsman.Mục4.1thietlpdạngđịnhlýStolzcho trường hợp mảng tam giác Mục 4.2 nghiên cáu lu t so lớn cho mảng tam giáccácbienngaunhiênđatrịthỏamãn:đ®clptheo hàngvànhngiátrịtrênkhơnggiancáctpconđóngcủakhơnggianRademacherdạng p CHƯƠNG1 MTSOTÍNHCHAT VEHITỤMOSCOVÀHITỤ WIJSMAN Trong chương này, chúng tơi giới thi u m®t so khái ni m ve xác suattrên khơng gian t p đóng m®t khơng gian Banach, nghiên cáu loạih®i tụ tính chat can thiet ve giải tích hàm, giải tích loi khơng gian này.Chúng tơi thiet l p m®t so ket h®i tụ liên quan tới tơpơ Mosco Wijsmanđoivớimảngnhieuchỉsocáctpconđóngcủam®tkhơnggianBanachthực,khảly đoi với mảng nhieu so bien ngau nhiên đa trị Các ket củachươngđượcvietdựatrênbàibáo[1] 1.1 Mtsokienthfíc chuanbị Tronglunánnày,neukhơngn ó i g ì t h ê m , t a l u ô n g i ả t h i e t r a n g ( Ω ,A,P)l m®t khơng gian xác suat,Flà m®tσ-đại so củaA,(X,ǁ · ǁ · ǁ · ǁ)là không gianBanachthựcvàkhảly, B Xlà σ -đạisoBorelcủaX,X ∗là khơnggianđoingaucủa X.Kýhiuc(X)là hotatcảcáctpconkhácrongvàđóngcủaX Kýhi uNlà tpcác so ngun dương,Qlà tpcác so hǎu tỉ,Rlà tpcác sothựcvàR +làtpcácsothựckhôngâm Vớimoid∈ N ,trêntphợpNd,cácphantả(1,1, ,1),(2,2, ,2), (m1,m2, ,md),(n1,n2, ,nd)l a n lư ợtđượckýhiubởi1,2,m ,n.Giảsả n=( n1,n2, ,nd)∈ N d ,t a k ý h i u| n|= Q d ni,n max=max{ni: i=1,2, ,d}v i=1 nmin= m i n {ni: i = ,2, ,d}.V i h a i s o t h ự c m v n ,g i t r ị l n n h a t v g i t r ị nhỏ nhat chúng tương ký hi u m∨nvàm∧n Với moia∈R,lôgaritcơ so2củaa∨1được ký hi u làlog+a Vớim,n∈Nd, vietm≤n(tươngáng,m ≺n)neu m i≤ ni( t n g áng, m iα},α ∈[0,1) Kýh i uF (X)l k h ô n g g i a n c c t pm u : X →[0,1]t h ỏ a m ã n (1) ulàchuȁntac,nghĩalà,tp1-mácL1ukhácrong , (2) ulàn ả a l i ê n t ụ c t r ên , n g h ĩa , v i m o i α∈(0,1],t p α - mácL αulàt pc on đóngcủaX TrênF (X),t atrangbịcácphép toánsau (u+v)(x)=sup y+z=x min{u(y),v (z)}, u (λA−1x)neu λA 0, (λAu)(x)= I{0} (x) neuλA =0, trongđ ó u , v∈ F (X),λA ∈ R Baoloiđóngc o ucủa u∈F(X)đượcđịnhnghĩanhưsau cou(x)=sup{α∈(0,1]:x∈ co (Lαu)} 2.1.3 Địnhnghĩa.ÁnhxạF˜:Ω→F(X)đượcgoilàbienngȁunhiênmờneu {(ω,x):x∈L α (F˜ (ω))}∈A×BX ,vớimoiα ∈(0,1] Năm1991,J.BánđãchỉrarangF˜làbienngaunhiênmờthìL α F˜làbienngaunhiênđatr ị,vớimoi α∈(0,1] 2.1.4 Địnhnghĩa.KỳvongcủabienngaunhiênmờF˜ ,kýhiuEF˜ ,làm®tt pmờtrênX thỏamãnL αEF˜=E Lα F˜vớimoiα ∈(0,1] 2.2 Địnhljergodic Birkhoff dạng nhieu chieu đoi v iphan tfi ngȁunhiênnhngiátrịtrênkhônggianBanachthfic, khảly Năm 1951, N Dunford cháng minh định lý ergodic Birkhoff dạng nhieu chieucho trường hợp thực, giới hạn m®t hàm khả tích Ket sau đóđượcN.Dunf ord ,J.T.Sch wartz( năm1956) N.A Fa va (năm1972)m ởr ®n gchotrườnghợpcáctốntảco.Trongphantieptheo,chúngtơithietlpđịnhlýergodic Birkhoff dạng nhieu chieu cho trường hợp phan tả ngau nhiên nh n giá trịtrên không gian Banach thực, khả ly Ket rang hàm giới hạn kỳvongcóđieukinángvới σ đạisocáctpbatbien 2.2.2Đ ị n h l j G i ả s ủ T 1,T2, ,Tdlàc c p h é p b i e n đ ő i g i a o h o n , b ả o t o n đ ® đo.K h i đ ó , n e u p h a n t ủ n g ȁ u n h i ê n f thóam ã n E ǁ · ǁfǁl o g +ǁ · ǁfǁ n −1 · Σ fn −1 Σ ·· (Ti1 T i d )→ E (f|I)h.c.c.khin trongđóI= i1=0 Td