1 MĐ A U 1 Tongquanvanđenghiêncfíuvàl ídochonđetài ChoXlàđatạpcompactKa¨hlerphácnchieuvớidạngcơbảnω=ωX Ganđâ y,năm2008cáctácgiảD Coman,V Guedj,A Zeriahiđãgiới thiulớp hàm DMA(X, ω ω) mà trên đó chúng[.]
1 MĐ A U Tongq u a n v a n đ e n g h i ê n c fí u v l í d o c h o n đ e t i ChoX làđatạpc o m pa c t K aăhlerphỏcn chieuvidngc bn =ωX Ganđ â y, nă m2 0 c c t c gi ả D Co ma n, V Gu ed j, A Ze r i a h i đ ã g i i t h iulớp hàm DMA(X, ω ω) mà có the định nghĩa tốn tả Monge Ampère( ddcϕ+ω)nm ® t c c h t o n t h e v l p h m D M A loc(X,ω)m t r ê n đ ó tốntảMonge-Ampère(ddcϕ+ω)ncó ωthe ωxác ωđịnh ωđịa ωphương ωCác ωtác ωgiảcũng rang lớp hàmω−đa đieu hòa có the định nghĩa địa phươngtốn tả Monge - Ampère nam lớp hàm có the định nghĩa tồn thetốn tả Monge - Ampère.Trong chương chúng tơi sě m®t lớp hàm ω−psh thu®c lớp mà tốn tả Monge-Ampère có the định nghĩa tồn the nhngkhụngthuđclpmtoỏntMongeAmpốrecúthenhnghaaphng.Sdngketquthucchỳngtụinghiờncỏubitoỏndinghi mtronglpDMAloc(CPn,) Trongchng2chỳngtụitrỡnhbymoiquanhgialphmaieuhũadi Ep (X,),p>0vDMAloc (X,)trờnatpcompactKăahlerX.ongthi,chỳng cng nghiờn cỏu moi quan hgiǎa lớp DMA∩L(Cn) DMA(CPn, ω)cũngnhưmoiquanhgiǎalớpD^MA∩L(Cn )vàD^MA(CPn ,ω) Năm 2010 tác giả R Czyz tőng quát năm 2011 tác giả Lê M u Hải,PhạmHồngHipđãgiảiphươngtrìnhdạngMonge–Ampère: µ=−χ(u)(ddcu)n (2) trờn mien siờu loi đ oàtri t tiờu t p đa cực Vi c giải phương trìnhMonge-Ampère c ien (1) đ oàkhụng tri t tiờu trờn t p đa cực đượcPhạm Hoàng Hi p c®ng giải vào năm 2009 Tiep tục hướng nghiêncáuvephươngtrìnhMonge– Ampère,trongchương3chúngtơinghiêncáusự ton nghi m phương trình dạng Monge-Ampère phỏc (phng trỡnh 2)trongtrnghpđoàkhụngtrittiờutrờntpacc.ongthi,chỳngtụicngg i i b i t o n D i r i c h le tt r o n g l p N (Ω).Ω).).H n n ǎ a , c h ú n g t ô i đ a r a m ® t v í dụvetínhkhơnggiải đượccủaphươngtrìnhMonge-Ampèrevớiđ®đokhơng hǎuhạn đa đ ĩ a Mncđíchđoitưngvàphạmvinghiêncfíu Mụcđ í c h c ủ a l u ná n l n g h i ê n c u p h n g t r ì n h M o n g e A m p è r e t r ê n đ a tạpc o m p a c t K ăahlervtrờnmiens i u loi: n loc(CP,) ã araieukinechohmthuđclpthuđclpE(CP,)\DMA n ã Nghiờnc ỏ u b i t o n d i n g h i mt r ê n l p D M A loc(CP,ω) • Nghiênc áu c c lphm-aieuhũaditrờnatpc o m p a c t K ăahler ã Nghiênc áu s ự t o n t i ng h i mc p h n g t r ì n h d n g M o n g e - A m pè r e à=(u)(ddcu)n tronglpE()khiđoàkhụngtrittiờutrờntpacc ã GiibitoỏnDirichlettronglpN().).) ã Nghiờnc ỏ u v e tí n h g i ả i đ ợ c c ủ a p h n g t r ì n h d n g M o n g e A m p è r e v i đ®đokhơng hǎu hạntrên đ ađĩa Phươngp h p n g h i ê n c fí u LunánsảdụngcácphươngphápnghiêncáuvàkythuttruyenthongcủaGiảitích p hácnhieubien 4 Bocnccủalunán Ngồiphanmởđauvàketlun,bocụcn®idungcủalu nánđượctrìnhbàytrongb achương cụthenhư sau: • Chương1.ĐịnhnghĩatồnthevàđịaphươngcủatốntảMongeAmpèretrênđatạpc o m p a c t K ăahler ã Chng2.C ỏc lphm-aieuhũaditrờnatpc o m p a c t K ăahler ã Chng3.PhngtrỡnhdngMongeAmpốretronglpnnglngphỏccútrong Nhfingúnggúpcalunỏn ã Đãđ a r a đ i e u k i nđ ủ đ e m ® t h m t h u ® c l p h m ω −pshc ó t h e đ ị n h nghĩat o n t h e c ủ a t o n t ả M o n g e A m p è r e k h n g t h u ® c l p h m c ó t h e địnhn g h ĩ a đ ị a p h n g c ủ a t o n t ả M o n g e - A m p è r e t r o n g k h ô n g g i a n x ảnhphác n chieu • ChỉrarangtontạidướinghimnhưngkhơngtontạinghimcủaphươngtrìnhM o n g e - A m p èr e t r ê n l p D M A loc(CPn,ω) • Đã đưa moi quan h giǎa lớp DMA∩ L(Cn) DMA(CPn, ω ω) nhưmoiquanhgiǎalớpD^MA∩L(Cn )vàD^MA(CPn ,ω) • Giảip h n g t r ì n h d n g M o n g e - A m p è r e p h c : µ=−χ(u)(ddcu)n trênl p E (Ω)n e u t o n t i d i n g h i m à()(ddc)n vi E() ã Giip h n g t r ì n h d n g M o n g e - A m p è r e p h c µ=−χ(u)(ddcu)n trênlớpE (Ω)neuto ntạidư ới nghi mđị aphư ơng • GiảibàitốnDirichlettronglớpN(Ω).Ω).) • Đưaram®tvídụvetínhkhơnggiảiđượccủaphươngtrìnhMonge Ampèrevớiđ®đokhơng hǎuhạntrênđađĩa Chương1 Địnhn g h ĩ a t o n t h e v đ ị a p h n g c ủ a to ỏntfi MongeAmpốretrờnatpcompactKăahler 1.1 Giithiu 1.2 Kient hfớ c c h ua n bị 1.2.1 Miensiêuloi 1.2.2 Cáclp hàmCegrell 1.2.3 DunglưngcủatpBorel 1.2.4 Quanh g i fi a l p D M A ( X,ω)v l pD M A loc(X,ω) Định nghĩa 1.2.1.DMA(X, ωω) t p hàmϕ∈PSH(X, ωω) cho ton tạiđ® đo Radon dươngMA(ϕ) thỏa mãn với moi dãy{ϕj}các hàmω-đa đieu hịadưới bị ch n giảm tớiϕthì (ω+ddcϕj)nh®i ω tụ ω yeu ω đen ω đ® ω đoMA(ϕ) Khi đó,chúngtakíhiu ϕω Địnhnghĩa1.2.2 n =(ω+ddcϕ)n=MA(ϕ) D^MA(X,ω)làtpcáchàmϕ∈DMA(X,ω)saocho vớim o i d ã y c c h m ω -pshb ị c h n { ϕj}giảmt i ϕ v v i m o i h m u ∈ PSH(X,ω)∩L∞(X,ω)t a c ó : ∫ u(ω+ddcϕj)n→ ∫ u(ω+ddcϕ)n X Địnhn g h ĩ a D M A loc(X,ω)l t p c c h m ϕ ∈ PSH(Ω).X,ω)t h ỏ a m ã n v e mtđ ị a p h n g t r ê n b a t k ì m ® t b ả n đ o m U ⊂ X,h m ϕ | + ρU∈ D(U)ở đóρ Ul thevịđađieuhịadướicủaωtrênUv U D(U)={ϕ∈PSH(Ω).U):ϕ−supϕ∈E(U)} U Chúngtacóđịnhlýsau: Địnhlj1.2.4.Tacó: n−1 \ p E(Ω) ω,ω) DMAloc(X,ω)= p=1 p ởđ ó E p(ωp,ω)l t pc c h m ω đađ i e u h ò a t r ê n X s a o c h o v i m o i d ã y c c hàmωpshbịchn{ϕj}giảmtớiϕtacó: ∫ sup p ϕ 0chúngtacókhȁngđịnhsau o(1) Cap({u