Đang tải... (xem toàn văn)
PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP.[r]
(1)CHÖÔNG VI PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP a sin2 u + b sin u cos u + c cos2 u = d Caù c h giaû i : π • Tìm nghiệ m u = + kπ ( lú c đó cos u = và sin u = ±1) • Chia hai vế phương trình cho cos2 u ≠ ta đượ c phương trình : ( atg 2u + btgu + c = d + tg 2u ) Ñaë t t = tgu ta coù phöông trình : ( a − d ) t + bt + c − d = Giả i phương trình tìm t = tgu Baø i 127 : Giaû i phöông trình cos2 x − sin 2x = + sin2 x ( *) Vì cosx = khoân g laø nghieä m neân Chia hai vế củ a (*) cho cos2 ≠ ta ( *) ⇔ − 3tgx = + tg x + tg x ( ) Ñaë t t = tgx ta coù phöông trình : 2t + 3t = ⇔ t = 0∨ t = − Vaäy ( * ) ⇔ tgx = hay tgx = − ⇔ x = kπ hay x = − π + kπ, k ∈ ] Baø i 128 : Giaû i phöông trình cos3 x − sin x − cos x sin x + sin x = ( *) π + kπ thì cos x = vaø sin x = ±1 thì (*) voâ nghieä m • Do cos x = khoâ n g laø nghieä m neâ n chia hai veá cuûa (*) cho cos x ta coù (*) ⇔ − 4tg x − 3tg x + tgx (1 + tg x ) = • Khi x = ⇔ 3tg x + 3tg x − tgx − = ( ) ⇔ ( tgx + 1) 3tg x − = 3 π π ⇔ x = − + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ] ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± Baø i 129 : Giaû i phöông trình cos4 x − sin x cos2 x + sin x = ( * ) Lop12.net (2) Do cosx = khoâ n g laø nghieäm neân chia hai veá cuûa (*) cho cos4 x ≠ Ta coù : (*) ⇔ − 4tg x + tg x = ⇔ tg x = ∨ tg x = ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⇔ tgx = ±1 = tg ⎜ ± ⎟ ∨ tgx = tg ⎜ ± ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠ π π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ] Baø i 130 : Giaû i phöông trình sin 2x + 2tgx = ( * ) Chia hai vế củ a (*) cho cos2 x ≠ ta sin x cos x 2tgx + = (*) ⇔ 2 cos x cos x cos2 x ⇔ 2tgx + 2tgx + tg x = + tg x ( ) ( ) ⎧t = tgx ⇔⎨ ⎩2t − 3t + 4t − = ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ ⎪⎩( t − 1) 2t − t + = ⇔ tgx = ( ⇔x= ) π + kπ, k ∈ ] Baø i 131 : Giaû i phöông trình sin x sin 2x + sin 3x = cos3 x ( * ) ( *) ⇔ sin2 x cos x + 3sin x − sin3 x = cos3 x • Khi cos x = ( sin x = ± ) thì ( * ) voâ nghieä m • Chia hai vế phương trình (*) cho cos3 x ≠ ta 2sin2 x 3sin x sin3 x + − =6 cos2 x cos x cos2 x cos3 x ⇔ 2tg x + 3tgx + tg x − 4tg x = ( *) ⇔ ( ) ⇔ tg x − 2tg x − 3tgx + = ( ) ⇔ ( tgx − ) tg x − = ⇔ tgx = = tgα ∨ tgx = ± ⇔ x = α + kπ ∨ x = ± π + kπ, k ∈ ] ( vớ i tgα = 2) Lop12.net (3) Bà i 132 : (Đề thi tuyển sinh Đạ i họ c khố i A, nă m 2003) Giaû i phöông trình cos 2x cot gx − = + sin2 x − sin 2x ( *) + tgx Ñieà u kieän sin 2x ≠ vaø tgx ≠ −1 ( ) 2 cos 2x cos2 x − sin2 x cos x cos x − sin x = = Ta coù : sin x + tgx cos x + sin x 1+ cos x = cos x ( cos x − sin x ) ( tgx = −1 neâ n, sin x + cos x ≠ ) cos x − = cos2 x − sin x cos x + sin2 x − sin 2x sin x cos x − sin x ⇔ = − sin 2x sin x Do đó : ( *) ⇔ ( ) ⇔ ( cos x − sin x ) = sin x ( cos x − sin x ) ⇔ cos x − sin x = hay = sin x ( cos x − sin x ) (**) ⎡ tgx = ( nhậ n so vớ i tgx ≠ −1) ⇔⎢ sin x ⎢ = − tg x ( cos x ≠ ) ⎢⎣ cos x cos x π ⎡ x = + kπ, k ∈ ] ⎢ ⇔ ⎢ ⎢⎣2tg x − tgx + = ( voâ nghieä m ) π + kπ, k ∈ ] ( nhaä n sin 2x ≠ ) Löu yù : coù theå laø m caùc h khaùc 1 ( * *) ⇔ − sin 2x + (1 − cos 2x ) =0 2 ⇔ = sin 2x + cos 2x ⇔x= π⎞ ⎛ ⇔ = sin ⎜ 2x + ⎟ : voâ nghieä m 4⎠ ⎝ Baø i 133 : Giaû i phöông trình sin 3x + cos 3x + cos x = ( * ) ( *) ⇔ ( 3sin x − sin x ) + ( cos3 x − cos x ) + cos x = ⇔ 3sin x − sin3 x + cos3 x − cos x = Vì cosx = khoân g laø nghieä m neâ n chia hai veá phöông trình cho cos3 x ≠ ta ( *) ⇔ 3tgx (1 + tg x ) − 4tg x + − (1 + tg x ) = Lop12.net (4) ⇔ − tg x − tg x + 3tgx + = ⎧ t = tgx ⇔⎨ ⎩ t + t − 3t − = ⎪⎧ t = tgx ⇔⎨ ⎪⎩( t + 1) t − = ( ) ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± π π ⇔ x = − + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ] Baø i 134 : Giaû i phöông trình 6sin x − cos3 x = 5sin 4x.cos x ( *) cos 2x Ñieà u kieän : cos 2x ≠ ⇔ cos2 x − sin2 x ≠ ⇔ tgx ≠ ±1 10 sin 2x cos 2x cos x ⎧ ⎪6 sin x − cos x = Ta coù : (*) ⇔ ⎨ cos 2x ⎪⎩cos 2x ≠ ⎧6 sin x − cos3 x = sin 2x cos x ⇔⎨ ⎩ tgx ≠ ±1 ⎧⎪6 sin x − cos3 x = 10 sin x cos2 x ( * *) ⇔⎨ ⎪⎩tgx ≠ ±1 Do cosx = khoâ n g laø nghieäm cuûa (**), chia hai veá phöông trình (**) cho cos3 x ta ⎧ 6tgx − = 10tgx ( * *) ⇔ ⎪⎨ cos2 x ⎪⎩tgx ≠ ±1 ⎧⎪t = tgx vớ i t ≠ ±1 ⇔⎨ ⎪⎩6t + t − = 10t ⎧ t = tgx vớ i t ≠ ±1 ⎧t = tgx vớ i t ≠ ±1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩3t − 2t − = ⎩(t − 1) (3t + 3t + 1) = ⎧ t = tgx vớ i t ≠ ±1 ⇔⎨ : voâ nghieä m ⎩t = ( ) Baø i 135 : Giaû i phöông trình sin x − sin x + cos x = ( * ) • Vì cosx = khoâ n g laø nghieäm neân chia hai veá phöông trình cho cos3 x thì ( *) ⇔ tgx (1 + tg x ) − 4tg x + + tg x = Lop12.net (5) ⎧t = tgx ⇔⎨ ⎩−3t + t + t + = ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ ⎪⎩( t − 1) 3t + 2t + = ⇔ tgx = ( ⇔x= ) π + kπ, k ∈ ] Baø i 136 : Giaû i phöông trình tgx sin x − sin x = ( cos 2x + sin x cos x ) ( * ) Chia hai veá cuû a phöông trình (*) cho cos2 x cos2 x − sin x + sin x cos x ( *) ⇔ tg x − 2tg x = cos2 x ⇔ tg x − 2tg x = (1 − tg x + tgx ) ( ) ⇔ tg x + tg x − 3tgx − = ⎧ t = tgx ⇔⎨ ⎩ t + t − 3t − = ⎧⎪ t = tgx ⇔⎨ ⎪⎩( t + 1) t − = ( ) ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± ⇔x=− π π + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ] Baø i 137 : Cho phöông trình ( − 6m ) sin x + ( 2m − 1) sin x + ( m − ) sin x cos x − ( 4m − 3) cos x = ( *) a/ Giaû i phöông trình m = ⎡ π⎤ b/ Tìm m để phương trình (*) có nhấ t mộ t nghiệ m trê n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 4⎦ π Khi x = + kπ thì cosx = vaø sin x = ±1 neâ n (*) thaø n h : ± ( − 6m ) ± ( 2m − 1) = ⇔ = voâ nghieä m chia hai veà (*) cho cos x ≠ thì ( *) ⇔ ( − 6m ) tg x + ( 2m − 1) tgx (1 + tg x ) + ( m − ) tg x − ( 4m − 3) (1 + tg x ) = ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ ⎪⎩t − ( 2m + 1) t + ( 2m − 1) t − 4m + = ( * *) Lop12.net (6) ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ ⎪⎩( t − 1) t − 2mt + 4m − = ( ) ⎧⎪t = tgx a/ Khi m = thì (*) thaø n h ⎨ ⎪⎩( t − 1) t − 4t + = π ⇔ tgx = ⇔ x = + kπ, k ∈ ] ( ) ⎡ π⎤ b/ Ta coù : x ∈ ⎢ 0, ⎥ thì tgx = t ∈ [ 0,1] ⎣ 4⎦ Xeù t phöông trình : t − 2mt + 4m − = ( ) ⇔ t − = 2m ( t − ) t2 − ⇔ = 2m (do t = khoâ n g laø nghieä m ) t−2 t2 − Ñaë t y = f ( t ) = ( C ) vaø (d) y = 2m t−2 t − 4t + Ta coù : y ' = f ( t ) = ( t − 2) Do (**) luô n có nghiệm t = ∈ [ 0,1] trên yêu cầu bà i toán ⎡( d ) y = 2m khô ng có điể m chung vớ i ( C ) ⇔⎢ ⎢⎣( d ) caé t ( C ) taï i ñieå m nhaá t t = ⇔ 2m < ∨ 2m ≥ 2 ⇔ m< ∨m≥1 Caù c h khaù c : Y C B T ⇔ f(t) = t − 2mt + 4m − = ( ) voâ nghieä m treâ n [ 0,1 ) ⎧Δ ≥ ⎪af (0 ) ≥ ⎪⎪ Ta coù (2) coù nghieä m ∈ [ 0,1] ⇔ f (0) f (1) ≤ hay ⎨af (1) ≥ ⎪ ⎪0 ≤ S ≤ ⎪⎩ Lop12.net (7) ⎧m2 − m + ≥ ⎪ ⎪4m − > ⇔ ( m − 3) (2m − 2) ≤ hay ⎨ ⇔ ≤ m ≤1 ⎪ 2m − > ⎪⎩0 ≤ m ≤1 Do đó (2) vô nghiệm trê n [ 0,1 ) ⇔ m < hay m >1 hay f (1) = ⇔m< Lop12.net ∨m≥1 (8) BAØI TAÄP Giaû i caùc phöông trình sau : a/ cos3 x + sin x − 3sin2 x cos x = b/ sin x ( tgx + 1) = 3sin x ( cos x − sin x ) + c/ cos2 x + cos 2x + sin x = − cos3 x d/ tg x = − sin3 x e/ sin3 x − 5sin2 x cos x − 3sin x cos2 x + 3cos3 x = f/ cos3 x + sin x − 3sin2 x cos x = g/ + tgx = 2 sin x h/ sin3 x + cos3 x = sin x − cos x k/ 3tg x + 4tgx + cot gx + 3cot g x + = 3(1 + sin x) π x m/ 3tg x − tgx + − cos ( − ) = cos x n/ sin x + cos x =1 sin 2x 2 Cho phöông trình : sin x + ( m − 1) sin x cos x − ( m + 1) cos2 x = m a/ Tìm m để phương trình có nghiệ m b/ Giaû i phöông trình m = -2 ( ÑS : m ∈ [ −2,1]) Lop12.net (9)