CHUYÊN ĐỀ - HÌNH CHỮ NHẬT I Mục tiêu Kiến thức: Học sinh nắm định nghĩa hình chữ nhật , tính chất cảu hình chữ nhật, dấu hiệu nhận biết tứ giác hình chữ nhật - Học sinh biết vẽ hình chữ nhật, biết chứng minh tứ giác hình chữ nhật, biết vận dụng kiến thức hình chữ nhật để giải toán Kĩ năng: Rèn cho học sinh kĩ suy luận, vận dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song Thái độ: Học sinh có thái độ tích cực học tập II Chuẩn bị giáo viên học sinh Giáo viên: SGK, giáo án, máy tính , máy chiếu, đồ dùng dạy học Học sinh: SGK, ghi, đồ dùng học tập, thước kẻ, compa, êke, ôn tập lại kiến thức hình bình hành, hình thang cân, đối xứng trục III Tiến trình giảng A Tóm tắt lý thuyết A D B C Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng ABCD Aˆ Bˆ Cˆ Dˆ ABCD hình chữ nhật - Nhận xét: Hình chữ nhật hình bình hành, hình thang cân Tính chất: Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành hình thang cân - Tính chất cạnh: Các cạnh đối nhau, song song với - Tính chất góc: Bốn góc - Tính chất đường chéo: Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết - Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật - Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Ứng dụng vào tam giác vuông - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền A BM AC nửa cạnh huyền, ta có: M B C - Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa BM AC ABC cạnh tam giác tam giác vng: vng B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật Cách giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình chữ nhật Bài 1: Cho tứ giác ABCD có AC BD O Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh a OE + OF + OG + OH nửa chu vi tứ giác ABCD B F E A b Tứ giác EFGH hình chữ nhật C O H G D Lời giải a Ta có 1 OE OF+OG+OH= ( AB BC CD DA) PABCD 2 EF//GH EFGH EF=G b Có hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết ) AC BD AC // EF Mặt khác EF BD EH EF EFGH BD//EH hình chữ nhật (dhnb) Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh AC, BC lấy điểm P, Q cho AP = CQ Từ điểm P vẽ PM // BC ( M thuộc AB ) Chứng minh tứ giác A PCQM hình chữ nhật Lời giải P C Ta có ABC vng cân Aˆ 45 APM vuông cân AP PM M Q B Theo giải thiết AP CQ PM CQ Lại có PM // CQ PMCQ hình bình hành ˆ Mặt khác C 90 PMCQ hình chữ nhật (dhnb) Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, E thuộc AD, F thuộc AB Gọi I, K, M, N theo thứ tự trung điểm EF, DF, BE, BD Chứng minh IN = KM Lời giải F A E B M I K N C D Ta chứng minh tứ giác IKMN hình chữ nhật IM // KN (// FB) IMKN IM KN FB +) Theo giả thiết có : Là hình bình hành (dhnb) IK // DA AD AB +) IK AB IM IK IKMN IM // AB hình chữ nhật IN KM Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC, đường cao AH Lấy điểm E cạnh AC cho AE = AB Gọi I trung điểm BE, kẻ EK BC ( K BC ), EN AH ( N AH ) a Chứng minh tứ giác NEKH hình chữ nhật A ˆ IHC ˆ b IHA E N Lời giải I B H K C a Tứ giác NEKH có góc vng nên hình chữ nhật b Ta chứng minh IHA IHK AI IK BE Xét IHA, IHK : IH cạnh chung , Cần thêm AH = HK AH = NE ( HK = NE ) ˆ IHC ˆ ABH AEN (ch gn) AH NE AH HK IHA IHK IHA Dạng 2: Vận dụng tính chất HCN để chứng minh qua hệ nhau, song song, vng góc, tính độ dài đoạn thẳng Cách giải: Áp dụng tính chất hình chữ nhật - Áp dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vng Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 40cm, O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BD Tính độ dài đoạn DH, OH, OB 40 A B Lời giải Áp dụng định lý pytago BD 50cm 25 30 OA OB OC OD 25cm O H C D AD DH AH AO HO AO ( DO DH ) Hay 2 2 30 DH 25 (25 DH ) 30 DH 252 (625 50 DH DH ) 50 DH 900 DH 18 HO 7CM 1 S ABD AD AB 600 AH BD 600 50 AH AH 24 DH 18cm 2 Cách 2: Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E chân đường vng góc kẻ từ B đến AC I trung điểm AE, M trung điểm CD, H trung điểm BE A a Chứng minh CH // IM B I b Tính góc BIM H Lời giải E M D IH // AB AEB IH AB a Ta có IH đường trung bình C MN // AB IMCH MN AB Lại có hình bình hành CH // IM Ta có: IH // MC , MC BC IH BC CH BI ˆ 900 BIM Xét IBC có H trực tâm CH // IM Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy điểm P tùy ý đường chéo BD Gọi M điểm đối xứng C qua P B C P M F I E A b Gọi E, F hình chiếu M AD, AB Chứng minh AEMF hình chữ nhật O a Chứng minh AM // BD c EF // AC D d E, F, P thẳng hàng Lời giải a Gọi O giao điểm BD AC Ta có OP đường trung bình AMC OP // AM b Xét AEMF , có Eˆ Aˆ Fˆ 90 AEMF hình chữ nhật ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ c Ta có A2 D1 ( slt ), A2 E1 , E1 A1 (dvi ) E1 A1 EF //AC d E, F, P thẳng hàng IE // AC , IP//AC IP đường trung bình AMC Lại có EF // AC IE // AC Theo tiên đề Ơclit E, F, P thẳng hàng Bài 8: Cho tam giác ABC cân A Từ điểm D đáy BC kẻ đường vng góc với BC cắt AB E AC F Vẽ hình chữ nhật DBHE CDFK Gọi I tâm hình chữ nhật BDEH, J tâm hình chữ nhật CDFK Chứng minh a AIDJ AHIJ hình chữ nhật b A, H, D thẳng hàng A trung điểm HK Lời giải AI // DJ ( Bˆ1 Dˆ1 Cˆ1 ) ˆ ˆ ˆ a AIDJ hình bình hành AJ//DI(C1 D2 B1 ) E H A HI // AJ ( HD // AC ) AHIJ hình bình hành AJ//HI(=ID) I F B D K J AI // KJ ( AI // DJ ) b A, H , K thẳng hàng AIJK HBH AI KJ ( AI DJ ) Vậy qua A có HA // IJ, KA // IJ nên A, H, K thẳng hàng C Dạng 3: Sử dụng định lý thuận đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng Cách giải: Sử dụng định lý tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng để chứng minh hình chứng minh tam giác vuông Bài 9: Cho tam giác ABC, đường cao BD CE Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ B, C đến DE Gọi I trung điểm DE, K trung điểm BC Chứng minh a IK ED A N b EM = DN D Lời giải I E EK DK BC a Ta có M EKD( KE KD ) IE ID IK ED (dpcm) B K C KB KC ( K BC ) KI KI // BM // NC b đường trung bình IM IN ME DN IE ID hình thang MBNC Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K theo thứ tự trung điểm AB, AC Chứng minh ˆ 900 a IHK B H b Chu vi tam giác IHK nửa chu vi tam giác ABC I Lời giải ˆ ˆ ˆ ˆ Ta có: IAH , KAH cân I K IAH IHA, HAK AHK A K C ˆ AHK ˆ 900 IHK ˆ 900 IHA b Ta có 1 1 IH AB, HK BC , IK BC PIHK PABC (dpcm) 2 2 Bài 11: Cho tam giác ABC có đường cao AI Từ A kẻ tia Ax vng góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC Gọi M giao điểm hai tia Ax By Nối M với trung điểm P AB, đường MP cắt AC Q BQ cắt AI H a Tứ giác AMBQ hình A b Chứng minh CH vng góc với AB Q P c Chứng minh tam giác PIQ cân H Lời giải M B I C a Ta có tứ giác AMBQ hình chữ nhật ( hai đường chéo cắt trung điểm đường ) b Ta có H trực tâm ABC CH AB PI PQ AB PIQ c có cân P Dạng 4: Tìm điều kiện để tứ giác hình chữ nhật Cách giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật Bài 12: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác EFGH hình chữ nhật Lời giải Ta có tứ giác EFGH hình bình hành B E Để EFGH trở thành hình chữ nhật : A F H HEF=900 HE EF AC BD Vậy điều kiện hai đường chéo tứ giác ABCD vng góc với D G C Bài 13: Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tứ giác M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng OB, OC, AC, AB a Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành A b Xác định vị trí điểm O để tứ giác MNPQ hình chữ nhật P Q Lời giải O a Ta có MNPQ hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết ) M B N C b Để MNPQ trở thành hình bình hành O nằm đường cao xuất phát từ đỉnh A ABC A P Q O M N B C Bài 14: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD, AB < CD ) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BD, AC, BC a Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng b Chứng minh tứ giác ABPN hình thang cân c Tìm hệ thức liên hệ AB CD để ABPN hình chữ nhật Lời giải a Ta có MN // AB, MP // AB, PQ // AB, PN // AB M , N , P, Q B A M P N thẳng hàng Q b Hình thang ABPN có hai đường chéo nên hình thang cân C D c để ABPN hình chữ nhật NP = AB hay CD = 3AB A M B Q P N C D BÀI TẬP VỀ NHÀ E Bài 1: Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi I trung điểm AC Lấy E điểm đối xứng với H qua I Gọi M, N trung điểm HC, CE Các đường thẳng AM, AN cắt HE G K N a Chứng minh tứ giác AHCE hình chữ nhật A K I G B H M C b Chứng minh HG = GK = KE Hướng dẫn a Chứng minh tứ giác AHCE hình bình hành, có AHC 900 AHCE hình chữ nhật b Chứng minh G, K trọng tâm tam giác AHC, AEC sử dụng tính chất đường chéo HCN Bài 2: Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF cắt H, gọi I, K, R theo thứ tự trung điểm HA, HB, HC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, AC, AB Chứng minh a Tứ giác MNIK, PNRK hình chữ nhật A b P, N, R, K, M, I thuộc đường tròn E I c D, E, F thuộc đường tròn F Lời giải N P O 1 OD IM , OE KN , OF= PR 2 Ta có: R K B C M D Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A, M thuộc BC Gọi D E chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB AC a Định dạng tứ giác ADME A b Gọi I trung điểm DE Chứng minh A, I, M thẳng hàng D I c Điểm M nằm đâu BC DE nhỏ Tính DE trường hợp biết AB = 15cm, AC =20cm E B H M C Lời giải a Tứ giác ADME có góc vng nên hình chữ nhật c DE nhỏ AM nhỏ ( DE = AM ) AM nhỏ AM = AH M trùng H Xét ABC vuông A 1 AB AC 15.20 BC 25cm( pytago) S ABC AH BC AB AC AH 12(cm) 2 BC 25 10