Chuyên đề 5 hình chữ nhật tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước

Chun đề HÌNH CHỮ NHẬT TÍNH CHẤT CỦA CÁC ĐIỂM CÁCH ĐỀU MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng (h.5.1) Tính chất Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường (h.5.2) Dẫu hiệu nhận biết - Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật; - Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật; - Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật; - Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Áp dụng vào tam giác (h.5.3) ABC : MB MC A 90  AM  BC Tính chất điểm cách đường thẳng cho trước (h.5.4) Tập hợp điểm cách đường thẳng cố định khoảng cách h không đổi hai đường thẳng song song với đường thẳng cách đường thẳng khoảng h B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm M Trên tia AM lấy điểm N cho M trung điểm AN Gọi E F hình chiếu N đường thẳng BC CD Chứng minh ba điểm M , E , F thẳng hàng Giải (h.5.5) Trang * Tìm cách giải Xét CAN , đường thẳng EF qua trung điểm CN , muốn cho EF qua trung điểm M AN ta cần chứng minh EF // AC * Trình bày lời giải Tứ giác ENFC có ba góc vng nên hình chữ nhật Gọi O giao điểm AC BD K giao điểm EF CN Theo tính chất hình chữ nhật, ta có: OA OB OC OD; KC KN KE FE Xét CAN có OM đường trung bình nên OM // CN Do BD // CN  C  ,C  F  OCD, KCF cân, suy D 1 2  C  (cặp góc đồng vị) nên C  F  Suy AC // EF Mặt khác, D 2 Xét CAN có đường thẳng EF qua trung điểm K CN EF // AC nên EF qua trung điểm AN , tức qua M Vậy ba điểm M , E , F thẳng hàng Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân A Từ điểm đáy BC , vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt đường thẳng AC , AB M N Gọi H K trung điểm BC MN Chứng minh tứ giác AKDH hình chữ nhật Giải (h.5.6) * Tìm cách giải  D  90 nên cần chứng minh tứ giác có góc Dễ thấy tứ giác AKDH có hai góc vng H vng thành hình chữ nhật * Trình bày lời giải ABC cân A, AH đường trung tuyến nên đường cao, đường phân giác  90 A  A Do đó: H 1 Ta có: AH // DN (vì vng góc với BC )   A (cặp góc đồng vị); M  A  (cặp góc so le trong)  N 1  M  (vì A  A ) Do N 1 Vậy AMN cân A mà AK đường trung tuyến nên AK  90 Tứ giác AKDH có K  H  D  90 nên hình chữ nhật đường cao, K Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vng cân A Trên cạnh huyền BC lấy điểm D Vẽ DH  AB, DK  AC Biết AB a , tính giá trị lớn tích DH DK Trang Giải(h.5.7) * Tìm cách giải Ta thấy DH  DK  AB (không đổi) Dựa vào đẳng thức ta tìm mối quan hệ tích DH DK với tổng DH  DK Mối quan hệ biểu diễn sau: 2 Ta có:  x  y  0  x  y 2 xy  x  y  xy 4 xy   x  y  4 xy   x  y xy  * Trình bày lời giải Tứ giác AHDK có ba góc vng nên hình chữ nhật  90 ; B  45 nên tam giác vuông cân Ta đặt: Tam giác HBD có H DH  x, DK  y HB  x, AH  y x  y a Ta có: xy   x  y a (không đổi)  4 Dấu " " xảy  x  y  D trung điểm BC Vậy giá trị lớn tích DH DK a2 D trung điểm BC  90 Trên cạnh AD có điểm H mà AH  DH Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD , A D   BHC 90 Chứng minh cạnh AD điểm K cho BKC 90 Giải (h.5.8) * Tìm cách giải  Giả sử chứng minh BKC 90 BHC BKC hai tam giác vng có chung cạnh huyền BC nên hai đường trung tuyến ứng với BC phải Do cần chứng minh hai đường trung tuyến * Trình bày lời giải Gọi M N trung điểm AD BC Khi MN đường trung bình hình thang ABCD , suy ra: MN // AB  MN  AD (vì AB  AD ) Trên cạnh AD lấy điểm K cho DK  AH  MK MH NHK có NM vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên tam giác cân  KN HN Trang Xét HBC vuông H có HN  BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Suy KN  BC (vì KN HN )  Do KBC vng K  BKC 90 Ví dụ 5: Cho đường thẳng xy Một điểm A cố định nằm xy điểm B di động xy Gọi O trung điểm AB Hỏi điểm O di động đường nào? Giải (h.5.9) Vẽ AH  xy, OK  xy Ta có: AH đoạn thẳng cố định Xét ABH có OK // AH OA OB nên KH KB Vậy OK đường trung bình suy ra: OK  AH (không đổi) Điểm O cách đường thẳng xy cho trước khoảng không đổi AH nên điểm O di động AH đường thẳng a // xy cách xy (đường thẳng a điểm A nẳm nửa mặt phẳng bờ xy ) C Bài tập vận dụng * Tính chất dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật 5.1 Cho tam giác ABC vuông cân A , đường cao AD Gọi M điểm cạnh BC Vẽ ME  AB, MF  AC Tính số đo góc tam giác DEF 1   DAC 5.2 Cho hình bình hành ABCD Biết AD  AC BAC Chứng minh hình bình hành 2 ABCD hình chữ nhật 5.3 Cho hình chữ nhật ABCD, AB 8, BC 6 Điểm M nằm hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ tổng: S MA2  MB  MC  MD 5.4 Cho tam giác ABC vuông A Gọi O giao điểm tam giác Vẽ OD  AB, OE  BC OF  CA Tìm giá trị nhỏ tổng: S OD  OE  OF 5.5 Cho hình chữ nhật ABCD , đường chéo AC d Trên cạnh AB, BC , CD DA lấy điểm M , N , P, Q Tính giá trị nhỏ tổng: S MN  NP  PQ  QM 5.6 Cho tam giác ABC cạnh a Trên cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD CE Tìm giá trị nhỏ độ dài DE Trang * Tính chất đường trung tuyến tam giác vuông 5.7 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh huyền BC lấy điểm M Vẽ MD  AB, ME  AC AH  BC Tính số đo góc DHE 5.8 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , đường trung tuyến AD Vẽ HE  AB, HF  AC Gọi M N trung điểm HB HC a) Chứng minh EM // FN // AD; b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện ba đường thẳng EM , FN AD ba đường thẳng song song cách 5.9 Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  , đường cao AH Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD  AB Gọi M trung điểm BD Chứng minh tia HM tia phân giác góc AHC 5.10 Cho hình chữ nhật ABCD, AB 15, BC 8 Trên cạnh AB, BC , CD, DA lấy điểm E , F , G, H Tính giá trị nhỏ chu vi tứ giác EFGH * Đường thẳng song song với đường thẳng cho trước 5.11 Cho góc xOy có số đo 30 Điểm A cố định tia Ox cho OA 2cm Lấy điểm B tia Oy Trên tia đối tia BA lấy điểm C cho BC 2 BA Hỏi điểm B di động tia Oy điểm C di động đường nào? 5.12 Cho góc xOy có số đo 45 Điểm A cố định tia Ox cho OA 3 2cm Lấy điểm B tia Oy Gọi G trọng tâm tam giác OAB Hỏi điểm B di động tia Oy điểm G di động đường nào? 5.13 Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB AC lấy điểm M N cho AM CN Gọi O trung điểm MN Hỏi điểm O di động đường nào? 5.14 Bên hình chữ nhật kích thước 6 cho 10 điểm Chứng minh tồn hai điểm số 10 điểm có khoảng cách nhỏ 2,3 5.15 Bên hình chữ nhật có kích thước 6 cho điểm Chứng minh tồn hai số điểm có khoảng cách nhỏ 2,3 Trang Hướng dẫn giải 5.1 (h.5.10) Tứ giác AEMF có ba góc vng nên hình chữ nhật  AE MF  45 nên tam giác vng cân  CF MF Do AE CF Tam giác FMC vuông F , C Tam giác ABC vuông cân, AD đường cao nên đồng thời đường   FCD 45 trung tuyến, đường phân giác nên AD DC  BC ; EAD   EDA FDC  c.g.c   DE DF EDA FDC    Ta có: ADF  FDC 90  ADF  EDA 90 hay EDF 90  F  45 ; EDF  Do DEF vng cân  E 90 5.2 (h.5.11) Gọi O giao điểm AC BD , ta có OA OC Vì AD  AC nên AD  AO Vẽ AH  OD, OK  AB Xét AOD cân A, AH đường cao  AH đường trung tuyến, đường phân giác Do HO HD A1  A2 1    A  DAC Vì BAC nên A3  A 2 AOK AOH (cạnh huyền, góc nhọn) 1  30  OK OH  OD  OK  OB  B 2  30 nên HAB   Xét ABH vng H có B 60 suy DAB 90 Hình bình hành ABCD có góc vng nên hình chữ nhật 5.3 (h.5.12) ABCD hình chữ nhật nên AC BD  82  62 10 Ta đặt MA x, MC  y Xét ba điểm M , A, C ta có: MA  MC  AC x  y 10   x  y  100 hay x  y  xy 100 Mặt khác,  x  y  0 hay x  y  xy 0 (1) (2) Trang 2 Từ (1) (2) suy  x  y  100  x  y 50 Dấu " " xảy  M nằm A C MA MC  M trung điểm AC Chứng minh tương tự, ta được: MB  MD 50 dấu " " xảy  M trung điểm BD Vậy MA2  MC  MB  MD 100 Do giá trị nhỏ tổng S 100 M giao điểm hai đường chéo AC BD 5.4 (h.5.13) Vẽ AH  BC , OK  AH Tứ giác ADOF KOEH hình chữ nhật nên OF  AD OE KH Xét AOD vuông D , ta có OD  AD OA2  AK Do OD  OF  OE OD  AD  OE  AK  KH  AK  KH   2  AH (không đổi) Dấu " " xảy  O nằm A H AK KH  O trung điểm AH Vậy giá trị nhỏ tổng S AH O trung điểm AH 5.5 (h.5.14) Tứ giác ABCD hình chữ nhật nên A B  C  D  90 Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có: MN BM  BN ; NP CN  CP ; PQ DP  DQ ; QM  AQ  AM Do đó: S MN  NP  PQ  QM  AM  BM    BN  CN    CP  DP    DQ  AQ  Vận dụng bất đẳng thức a  b2    AM  BM  S 2  BN  CN   2 a  b 2 (dấu " " xảy a b ), ta được:  CP  DP   2  DQ  AQ   2 2 AB BC CD AD 2  AB  BC        AC d 2 2 Vậy giá trị nhỏ tổng S d M , N , P, Q trung điểm cạnh hình chữ nhật Trang 5.6 (h.5.15) Vẽ DH  BC , EK  BC DF  EK Tứ giác DFKH có góc vng nên hình chữ nhật Suy DF HK  60 nên HBD vng H có B  30  BH  BD D  30  CK  CE  AD  60 nên E KCE vng K có C 2 1 a 1  Ta có: DE DF HK BC   BH  KC  BC   BD  AD  BC  AB  2 2  Vậy giá trị nhỏ DE a D E trung điểm AB AC 5.7 (h.5.16) Tứ giác ADME có ba góc vng nên hình chữ nhật nên AM DE Gọi O giao điểm AM DE , ta có: OA OM OD OE Xét AHM vng H , ta có: HO  AM  HO  DE Xét HDE có HO đường trung tuyến ứng với cạnh DE mà  HO  DE nên HDE vuông H  DHE 90 5.8 (h.5.17) a) Tứ giác AFHE có ba góc vng nên hình chữ nhật  OA OF OH OE Xét ABC vng A có AD đường trung tuyến nên AD DB DC  DAC cân  A1 C   A (cùng phụ với  ); Mặt khác, C B A E  (hai góc đáy tam giác cân)  Suy A1 E Gọi K giao điểm AD EF  F  90  A  F  90  K  90 Xét AEF vng A có E 1 1 Trang Do đó: AD  EF , (1)   OHM 90  EM  EF Ta có: OEM OHM  c.c.c   OEM (2) Chứng minh tương tự, ta được: FN  EF (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: EM // FN // AD (vì vng góc với EF ) b) Ba đường thẳng EM , FN AD ba đường thẳng song song cách  KF KE  K O  AD  AH  ABC vuông cân 5.9 (h.5.18) Vẽ DE  BC , DF  AH  F  90 ; AB  AD; HAB FDA có: H    (cùng phụ với FAD ) HAB FDA Do HAB FDA (cạnh huyền-góc nhọn)  AH FD (1) Tứ giác FDEH có ba góc vng nên hình chữ nhật  HE FD (2) Từ (1) (2) suy ra: AH HE Ta có AM EM  BD  AHM EHM  c.c.c   AHM EHM Do tia HM tia phân giác góc AHC 5.10 (h.5.19) Gọi M , N , P trung điểm HE , HF FG Theo tính chất đường trung bình tam giác, tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng, ta có: EF 2MN ; FG 2CP; GH 2 NP; HE 2 AM Do chu vi hình tứ giác EFGH là: EF  FG  GH  HE 2  AM  MN  NP  PC  Xét điểm A, M , N, P, C , ta có: AM  MN  NP  PC  AC (không đổi) AC  AB  BC 152  82 289  AC 17 Vậy chu vi tứ giác EFGH 2.17 34 (dấu " " xảy  M , N , P nằm AC theo thứ tự  EF // AC // HG HE // BD // FG ) Do giá trị nhỏ chu vi tứ giác EFGH 34 5.11 (h.5.20) Trang Gọi M trung điểm BC Vẽ AH  Oy, MD  Oy CE  Oy  30 nên Xét AOH vng H , có O AH  OA 1cm MDB AHB  MD  AH 1cm Xét BCE , dễ thấy MD đường trung bình nên CE 2MD 2cm Điểm C cách Oy khoảng 2cm nên C di động đường thẳng a // Oy cách Oy 2cm 5.12 (h.5.21) Gọi M trung điểm OB Khi G  AM AG 2GM Gọi N trung điểm AG , ta AN NG GM Vẽ AD, NE , GF vuông góc với Oy Ba đường thẳng AD, NE GF ba đường thẳng song song cách nên DE EF FM Ta đặt FG  x EN 2 x EN  FG  AD x  AD  AD 3x Do x  2 Xét DOA vuông cân D  OA2 2 DA2  Do DA2    DA 3  cm   FG 1cm Điểm G cách Oy khoảng không đổi 1cm nên điểm G di động đường thẳng a // Oy cách Oy 1cm 5.13 (h.5.22) Vẽ ND // AB  D  BC   B  (cặp góc đồng vị) mà B  C  Ta có D  C   NDC cân Do ND NC Nên D Mặt khác, AM NC nên ND  AM Suy tứ giác ANDM hình bình hành, trung điểm O MN trung điểm O AD Ta có điểm A BC cố định, theo ví dụ 5, điểm O di động đường thẳng a // BC cách BC khoảng AH ( AH đường cao ABC ) 5.14 (h.5.23) Trang 10 Chia hình chữ nhật có kích thước 6 thành hình chữ nhật nhỏ có kích thước 12 Có 10 điểm nằm phần nên tồn hai điểm chẳng hạn A B thuộc phần Dễ thấy AB  độ dài đường chéo hình chữ nhật nhỏ, tức AB  12  22   2,3 5.15 (h.5.24) Chia hình chữ nhật có kích thước 6 thành phần hình 5.24 Có điểm nằm phần nên tồn hai điểm chẳng hạn A B thuộc phần Dễ thấy AB  12  22   2,3 Trang 11