Bài 10 đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

BÀI 10 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm : khoảng cách từ điểm đến đường thẳng + Hiểu tính chất điểm cách đường thẳng cho trước  Kĩ + Vẽ đường thẳng song song + Chứng minh đoạn thẳng I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khoảng cách hai đường thẳng song song Định nghĩa: Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng đến đường thẳng h khoảng cách hai đường thẳng song song a b Tính chất điểm cách đường thẳng cho trước Tính chất: Các điểm cách đường thẳng b khoảng h nằm hai đường thẳng song song với d cách b khoảng h Đường thẳng song song cách Định lí: - Nếu đường thẳng song song cách đường thẳng chúng chắn đường thẳng đoạn thẳng liên tiếp - Nếu đường thẳng song song cắt đường thẳng chúng chắn đường thẳng đoạn thẳng liên tiếp chúng song song cách II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phát biểu tập hợp điểm (không chứng minh) Phương pháp giải Vận dụng tính chất để hình dạng tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện Lưu ý đến tính chất đặc trưng điểm nằm đường đặc biệt Ví dụ mẫu Ví dụ Hồn thành phát biểu sau a) Tập hợp điểm cách đường thẳng a cố định khoảng 5cm là… b) Tập hợp điểm cách điểm A cố định khoảng không đổi 3cm là… c) Tập hợp điểm … đường trung trực đoạn CD d) Tập hợp điểm cách hai cạnh (có thể kéo dài) góc xOy là… e) Tập hợp điểm A tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC cố định là… Trang f) Tập hợp giao điểm O hai đường chéo hình chữ nhật ABCD với cạnh CD cố định là… Hướng dẫn giải a) Tập hợp điểm cách đường thẳng a cố định khoảng 5cm hai đường thẳng song song với a, cách a khoảng 5cm b) Tập hợp điểm cách điểm A cố định khoảng khơng đổi 3cm đường trịn tâm A, bán kính 3cm c) Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng CD cố định đường trung trực đoạn CD d) Tập hợp điểm cách hai cạnh (có thể kéo dài) góc xOy hai đường phân giác phân giác góc xOy e) Tập hợp điểm A tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC cố định đường trịn tâm I, bán kính BC , với I trung điểm BC f) Tập hợp giao điểm O hai đường chéo hình chữ nhật ABCD với cạnh CD cố định đường trung trực đoạn CD Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Chọn đáp án sai “Khoảng cách hai đường thẳng song song là…” A Khoảng cách từ điểm đường thẳng tới điểm đường thẳng B Khoảng cách ngắn hai điểm nằm hai dường thẳng song song C Khoảng cách từ điểm đường thẳng tới đường thẳng D Khoảng cách từ điểm đường thẳng tới hình chiếu vng góc điểm đường thẳng Câu 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC 5cm cố định diện tích khơng đổi S 20cm Quỹ tích điểm A đường thẳng song song với BC, cách BC khoảng A 4cm B 8cm C 5cm D 6cm Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh DA cố định Quỹ tích giao điểm I hai đường chéo hình chữ nhật A đường trung trực đoạn AD B đường trung trực đoạn AB C đường trịn đường kính AD D đường thẳng song song với AD Câu 4: Biết trọng tâm G MNP nằm đường thẳng song song với MN, cách MN khoảng 6cm Khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng MN A 3cm B 18cm C 2cm D 12cm Câu 5: Điền cụm từ thiếu vào khẳng định sau: a) Tập hợp điểm M thỏa mãn … đường trung trực đoạn thẳng AB b) Quỹ tích điểm M ln cách điểm A cố định khoảng 5cm là… c) Quỹ tích điểm M … hai đường thẳng song song với PQ, cách PQ khoảng 3cm Lời giải chi tiết Câu Điền cụm từ thiếu vào khẳng định sau: Trang a) Tập hợp điểm M thỏa mãn cách hai đầu mút A B đường trung trực đoạn thẳng AB b) Quỹ tích điểm M ln cách điểm A cố định khoảng 5cm đường trịn tâm A, bán kính 5cm c) Quỹ tích điểm M ln cách PQ khoảng 3cm hai đường thẳng song song với PQ, cách PQ khoảng 3cm Dạng 2: Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) Phương pháp giải Các quỹ tích điểm quen thuộc Ví dụ: Cho tam giác ABC vng có cạnh huyền Đường trịn BC cố định Tìm quỹ tích điểm A tam giác Đường trung trực Tia phân giác (có thể mở rộng thành đường phân giác) Các đường thẳng cách Bước Xác định yếu tố cố định/ di động Bài tốn có: tốn giá trị không thay đổi + Điểm cố định B, C, đoạn thẳng cố định BC + Điểm di động A + Giá trị không đổi: độ dài đoạn BC, góc  BAC 90o Bước Chỉ quan hệ không thay đổi điểm Gọi I trung điểm đoạn BC Khi AI cần tìm quỹ tích với đối tượng cố định trung tuyến ứng với cạnh huyền ABC vng tốn A Suy AI BI CI  BC không đổi Do B, C cố định nên trung điểm I cố định Vậy, điểm A cách điểm cố định I khoảng Bước Xác định giới hạn quỹ tích kết luận khơng đổi BC Trang Vậy quỹ tích điểm A đường trịn tâm I bán kính BC (trừ hai điểm B, C) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC cố định điểm M di động đoạn BC Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn AM Hướng dẫn giải Gọi H, K hình chiếu vng góc A, I lên cạnh BC Ta có AH  BC , IK  BC  AH IK Dựng IE  AH  E  AH  Khi đó, tứ giác EIKH có    IEH EHK HKI 90o nên EIKH hình chữ nhật Suy IK EH (1) Xét AEI IKM có: AI IM ; AEI IKM  90o ;   (đồng vị) IAE MIK  AEI IKM (cạnh huyền-góc nhọn)  IK  AE (2) Từ (1) (2) suy EH EA nên E trung điểm đoạn AH Do đó, ta có IK EH EA  AH Do ABC cố định nên đường cao AH cố định độ dài AH không đổi Trang Suy IK  AH AH không đổi nên điểm I cách đường thẳng BC khoảng không đổi 2 Khi M B I P; M C I Q với P, Q trung điểm AB, AC Do quỹ tích điểm I đoạn thẳng PQ Ví dụ Cho tam giác ABC có diện tích S khơng đổi BC cố định Tìm quỹ tích trọng tâm G ABC Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm BC; H, K hình chiếu vng góc A, G BC Do G trọng tâm ABC nên G  AI GI  AI Ta thấy ABI GBI có chung đường cao hạ từ B, mà 1 IG  IA nên S GBI  SABI 3 Mà ABI GBI có chung cạnh đáy BI nên suy GK S GBI 1    GK  AH AH SABI 3 Theo giả thiết ABC có diện tích khơng đổi BC cố định, suy AH  SABC không đổi BC Do GK  AH khơng đổi Vậy điểm G cách đường thẳng BC cố định khoảng khơng đổi GK Do điểm A di động quỹ tích điểm G đường thẳng song song với BC, cách BC khoảng khơng đổi AH phía với A Ví dụ Cho đoạn thẳng cố định AB điểm M di động nằm cạnh AB Dựng phía đường thẳng AB tam giác AMD BME Gọi I trung điểm đoạn DE Tìm quỹ tích điểm I M di động AB Hướng dẫn giải Gọi P, Q trung điểm AM, BM Tam giác ADM nên DA DM  AM Có DP trung tuyến, đồng thời đường cao, suy DP  AM Áp dụng định lý Py-ta-go ADP , ta có 1  DP DA2  AP  AM   AM   AM 2  Trang Suy DP  AM Tương tự, ta có được: EQ  BM Xét tứ giác DEQP có DP EQ (cùng vng góc với AB) Gọi K trung điểm PQ, IK đường trung bình hình thang DEQP Do IK DP IK  DP  EQ Từ chứng minh trên, ta có IK  AB  AM  3BM IK   2  3 AB    AM  BM    Vậy, điểm I cách đường thẳng AB khoảng không đổi AB Khi điểm M  A , ta thấy MBE ABC I trung điểm G CA Khi điểm M B , ta thấy MAD ABC I trung điểm H CB Do điểm M di động AB quỹ tích điểm I đoạn thẳng GH song song với AB, cách AB khoảng AB Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho ABC nhọn có AB cố định, đường cao AM, BN Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh AB 2 IM 2 IN b) Tìm quỹ tích điểm M, N Câu 2: Cho đoạn thẳng AB cố định điểm M nằm AB Dựng phía đường thẳng AB tam giác vuông cân AMC, BMD Gọi I trung điểm CD Tìm quỹ tích điểm I điểm M di động đoạn AB Câu 3: Cho ABC có đoạn thẳng BC cố định, điểm A nằm đường thẳng song song với BC, cách BC khoảng 12cm Chứng minh trọng tâm G ABC nằm đường thẳng song song với BC Tìm khoảng cách đường thẳng BC đường thẳng quỹ tích điểm G Câu 4: Cho góc xOy điểm A cố định tia Ox M điểm di động tia Oy Dựng hình bình hành AOMB Khi M di động tia Oy, tìm quỹ tích điểm B Lời giải chi tiết Câu a) Từ giả thiết, ta có: AM  BC , BN  CA Xét tam giác AMB  AM  BM  có MI trung tuyến ứng với cạnh huyền  IM IB IA  AB Trang Tương tự, ta có IN IB IA  Do đó, IM IN  AB AB hay AB 2 IM 2 IN b) Do AB cố định nên trung điểm I cố định độ dài AB không đổi Từ chứng minh trên, ta có IM IN  AB khơng đổi Vậy C di động điểm M, N nằm đường trịn tâm I, bán kính AB Câu Gọi H, K trung điểm AM, BM AMC vng cân C có CH trung tuyến nên CH  AM CH  AM Tương tự, DK  BM DK  BM Mặt khác CH DK ( vng góc với AB) nên tứ giác CDKH hình thang Gọi F trung điểm HK Ta có FI đường trung bình hình thang CDKH nên FI CH DK suy 1 AM  BM CH  DK AB FI  AB FI     AM  BM   2 4 Do AB cố định nên độ dài AB không đổi, suy FI không đổi Vậy điểm I cách đường thẳng AB khoảng không đổi AB Gọi AC  BD  E , suy ABE vuông cân đỉnh E nên E cố định Khi M  A , ta có C  A; D E suy I P với P trung điểm EA Khi M B , ta có D B; C E suy I Q với Q trung điểm EB Do đó, M di động đoạn AB quỹ tích điểm I đoạn thẳng PQ Câu Gọi M trung điểm BC BM CM G trọng tâm ABC nên G  AM GM  AM Dựng AH  BC , GK  BC  H , K  BC  Từ giả thiết ta có AH 12cm Ta thấy CMA CMG có chung đường cao từ C nên Trang SCMG MG   SCMA MA Đồng thời, CMA CMG có chung đáy CM nên ta có: GK S CMG 1    GK  AH  12 4cm AH S CMA 3 Vậy G cách BC khoảng khơng đổi 4cm Do đó, quỹ tích điểm G đường thẳng song song với BC, cách BC khoảng 4cm nằm phía điểm A Câu Gọi CD  BM  I  Do BCMD hình bình hành nên I trung điểm CD BM Dựng CK  AB, DH  AB  H , K  AB  Xét IDH ICK có   (đối đỉnh); DIH CIK ID IC (tính chất trung điểm);   IHD IKC 90o ;  IDH ICK (cạnh huyền-góc nhọn)  DH CK Do ABC cố định nên đường cao CK cố định, suy DH CK không đổi Vậy điểm D cách đường thẳng AB khoảng cách không đổi CK Khi M  A D Q với tứ giác BCAQ hình bình hành Khi M B D P với B trung điểm CP Do đó, M di động đoạn AB quỹ tích điểm D đoạn thẳng PQ Trang