SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023-2024 ĐỀ THI MƠN TỐN: CHUN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a) ( x−1 ) ( x+ )( x +3 ) ( x+ )=160 b) x 2+ x +8=2 ( x+1 ) √ x+7 x +2 y =6 xy Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 x2 + y x +y + =14 ( xy ) { x+ y+ Câu (2,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên ( x , y ) thoả mãn đẳng thức ( y +2 ) x2 +1= y b) Tìm tất số nguyên dương n cho n+1, 11 n+1 số phương n+3 số nguyên tố Câu (1,0 điểm) a) Cho ba số thực dương a , b , c thoả mãn ab+ bc+ ca=1 Tìm giá trị lớn biểu thức P= 2a + b + c √ 1+a √ 1+b √1+c b) Cho ba số thực không âm a , b , c thoả mãn ab+ bc+ ca+abc ≤ Chứng minh a+ b+c ≥ ab+bc +ca Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB< AC nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC điểm E Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) điểm N ( N ≠ A) Các tiếp tuyến đường tròn (O) điểm B, C cắt điểm D a) Chứng minh AOND tứ giác nội tiếp tia DO phân giác góc ^ ADN b) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) điểm P ( P ≠ A) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME cắt đường tròn (O) điểm F ( F ≠ A) Chứng minh AB PC =AC PB ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Kẻ đường kính AK đường trịn (O) Chứng minh điểm D, K, F thẳng hàng đường thẳng FN qua trung điểm đoạn thẳng DM Câu (1,0 điểm) Sau tổ chức trận đấu giao hữu hai đội bóng lớp 9A 9B, Ban tổ chức có 11 gói kẹo muốn chia cho đội Mỗi đội chia gói làm phần thưởng gói ban tổ chức giữ lại để liên hoan Biết dù chọn gói để lại, Ban tổ chức ln chia 10 gói cịn lại cho đội mà tổng số viên kẹo gói cho đội Chứng minh 11 gói kẹo phải có số viên kẹo HẾT Lời giải Câu 1: a) ( x−1 ) ( x+ )( x +3 ) ( x+ )=160 ĐKXĐ: x ∈ R ⇔ [ (x−1)( x+ 6) ][ ( x +2)(x+ 3) ] =160 ⇔ ( x2 +5 x−6 )( x +5 x+ )=160 ⇔ ( x2 +5 x ) −36=160 ⇔ ( x2 +5 x ) =196 x2 +5 x=14 ⇔ x +5 x=−14 (vô nghiệm) ⇔ ( x +7 )( x−2 ) =0 ⇔ x=−7 x=2 [ [ Vậy phương trình có tập nghiệm S= { 2;−7 } b) x 2+ x +8=2 ( x+1 ) √ x+7 ĐKXĐ: x ≥−7 ⇔ ( x +1 )2 + x+ 7−2 ( x +1 ) √ x +7=0 ⇔ ( x +1−√ x +7 ) =0 ⇔ x +1= √ x +7 {x + 2xx≥−1 +1=x +7 ≥1 ⇔ {x + xx−6=0 ⇔ 2 x≥1 ⇔ x=−3 x =2 ⇔ x=2 (tm ĐKXĐ) {[ Vậy phương trình có nghiệm x=2 Câu 2: { x +2 y =6 xy (I ) 2 2 x +4 y x +y + =14 ( xy ) x+ y+ ĐKXĐ: x , y ≠ x+ y+ + =6 y x (I)⇔ 2 x + y + + =14 y x { x + + y + =6 x y ⇔ 2 x+ + y+ =20 x y {( )( ) Đặt x + x =a , y + y =b { a+b=6 a+b=6 { Ta có hệ a2 +b 2=20 ⇔ ( a−b )2=2 ( a 2+ b2 )−( a+b )2 =4 a+b=6 a=4, b=2 a−b=2 ⇔ a=2, b=4 a−b=−2 a=4, b=2 x+ =4 x ⇒ ⇔ x 2−4 x+2=0 ⇔ x =2± √ (tmĐK ) y=1 y −2 y +1=0 y + =2 y a=2, b=4 x+ =2 x ⇒ ⇔ x2 +2 x +2=0 (vô nghiệm) y −4 y +1=0 y + =4 y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x , y ) =( 2+ √ 2; ) ,(2−√2 ; 1) ⇔ {[ [ { { { { { Câu 3: a) ( y +2 ) x2 +1= y (1) x ∈ Z ⇒ y 2−1 ⋮ y +2 ⇔ ( y 2−4 ) +3 ⋮ y+ ⇔ ⋮ y +2 ⇒ y +2 ∈ {± ; ±1 } ⇒ y ∈ {1 ;−5;−1 ;−3 } y=1 thay vào (1) ⇒ x=0 thoả mãn y=−5 thay vào (1) ⇒ x 2=−8 loại y=−1 thay vào (1) ⇒ x=0 thoả mãn y=−3 thay vào (1) ⇒ x 2=−8loại n+1=a2 b) 11n+1=b ⇒ n+ 3=4 a2 −b2=(2 a−b)( a+b) a , b ∈ N ¿ ⇒2 a+b> 0>2 a−b { n+4 2a−b=1 ⇒ n+3 số nguyên tố ⇒ a+b=n+3 n+2 b= { ⇒ 11 n+1=b2= n+2 2 ( ) ⇔ n =40 n ⇔ n=40 Câu 4: a) Ta có P= 2a + b + c √ 1+a √ 1+b √1+c { a= ¿ 2a + b + c √ a + ab+bc +ca √ a +ab+ bc+ ca √ a + ab+bc +ca 2a b c + + √( a+b ) ( a+ c ) √ ( b+c ) ( b+a ) √ ( c+ a ) ( c+ b ) a 2a 2b b 2c c ¿ + + a+b a+ c b +a ( b+c ) c +a ( c+ b ) AM −GM 2a 2a 2b b 2c c ≤ + + + + + a+b a+c b+ a ( b+ c ) c+ a ( c +b ) ¿ √ √ √ [ ] 2a 2b 2a 2a b c + + + + + a+b a+b a+ c a+c b +c b+ c 1 ¿ 2+2+ = 2 15 15 Dấu “=” xảy a= √ ; b=c= √ 15 15 15 15 Vậy P đạt GTLN a= √ ; b=c= √ 15 15 b) Ta có ab+ bc+ ca+abc ≤ ⇔ abc+2 ( ab+ bc+ ca ) + ( a+b +c ) +8 ≤ ( ab+2 a+2 b+ ) + ( bc +2 b+2 c +4 ) +( ca+2 c+ a+4) ⇔ ( a+2 ) ( b+2 ) ( c +2 ) ≤ ( a+ )( b+ )+ ( b+2 ) ( c +2 ) +( c+2)(a+ 2) 1 2 ⇔1≤ + + ⇔ + + a+ b+2 c+ a+2 b+2 c +2 2 ⇔ 1− + 1− + 1− ≤1 a+ b +2 c+ a b c ⇔1≥ + + a+2 b+2 c+ [( ¿ ( ( )( ) ( )] ) )( )( ) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz a b c a2 b2 c2 1≥ + + = + + a+2 b+2 c +2 a2 +2 a b2 +2 b c +2 c ( a+b+ c )2 C−S ≥ 2 ⇒ ( a+b+ c )2 ≤ ( a2 +b 2+ c2 ) +2 (a+b+ c) a +b + c + ( a+ b+c ) ⇔ a+b+ c ≥ ab+bc +ca (đpcm) Câu 5: a) Ta có: BD ⊥ BO ,CD ⊥CO ⇒^ DBO=^ DCO=90⋄ ⇒^ DBO+ ^ DCO=180⋄ ⇒Tứ giác OBDC nội tiếp Lại có OB=OC , MB=MC , DB=DC ⇒ O , M , D thuộc trung trực BC Suy MO MD=MB MC Mà tứ giác ABNC nội tiếp ⇒ MB MC=MA MN ⇒ MO MD=MA MN ⇒ Tứ giác AOND nội tiếp ⏜ ⏜ 1 ^ ⇒^ ADO= sđ OA = sđ ON =ODN 2 ⇒ DO phân giác ^ ADN b) Xét Δ DBP Δ DAB có ^ BDPchung ^ DBP= ^ DAB ⇒ Δ DBP ∼ Δ DAB (g.g) AB AD ⇒ = BP DB AC AD Tương tự ta có Δ DCP ∼ Δ DAC ⇒ CP = DC ⇒ AB AC = ⇒ AB CP=AC BP BP CP Áp dụng định lý Ptoleney cho tứ giác ABPC nội tiếp ta có AP BC= AB :CP+ AC BP AP BP = AC CM AP BP ^ ^ = ; APB = ACM Δ ABP Δ AMC có AC CM ⇒ Δ ABP ∼ Δ AMC (c.g.c) ⇒^ ABP= ^ AMC Lại có tứ giác ABPF nội tiếp nên ^ ABP=180⋄− ^ AFP ⋄ Lại có tứ giác AMEF nội tiếp nên ^ AME=180 − ^ AFB ^ ^ ⇒ AFP= AFE ⇒ E , F , P thẳng hàng c) Áp dụng hệ thức lượng cho Δ OCD vuông C ta có OF OD OM OD=OC 2=O F2 ⇒ = OM OF ⇒ ΔOMF ∼ Δ OFD (c.g.c) ⋄ ^ ^ OMF=90 ^ ⇒ OFD= −CMF=90⋄− ^ FAE=90⋄− ^ AFO ⋄ ⇒ AFD=90 ⇒ AF ⊥ FD mà AF ⊥ FK ⇒ DF =DK ⇒ D , F , K thẳng hàng Gọi Z , X giao FN với BC , DM Gọi T lag giao KZ với MF Ta có D C2=DK DF =DM DO ⇒ Tứ giác OMKF nội tiếp ^ ^ ⇒^ KMF= ^ KOF=2 OAF=2 FMS ⇒^ KME= ^ FME= ^ FAO= ^ KNF ⇒ Tứ giác MNKZ nội tiếp ⇒^ KZM =180⋄− ^ MNK =90⋄ ⇒ KZ ‖ DM Lại có Δ TMK có MZ đường cao đồng thời phân giác ⇒ ZT =ZK ZT FZ ZK Do TK ‖ DM ⇒ MX = FX = DX ⇒ XD=XM ⇒ X trung điểm DM ⇒ AP CM =2 AC B P ⇒ Vậy FN qua trung điểm DM Câu 6: Gọi a , a2 , … , a11 số kẹo 11 gói Đặt S=a1 +a2 +…+ a11 Giả sử tổn a ≤ k , l≤ 11mà ak ≠ a l Theo ra, ta suy S−a1 , S−a2 , … , S−a 11 số chẵn ⇒ a1 , a , … , a11 chẵn lẻ Ta thực trình sau: Nếu a , a2 , … , a11 chẵn, ta thu số (a a a 11 ( b , b2 , … , b11 ) = , , … , ) Nếu a , a2 , … , a11 lẻ, ta thu số a 1−1 a2−1 a −1 ; ; … ; 11 2 b ; b ; … ; b11 thoả mãn điều kiện đề Ta thấy 11 gói kẹo với số kẹo Tiếp tục trình đến thu ( x ; x ; … ; x 11 ) mà tồn ≤ j; i ≤11 cho xj=0 ; xi=1 Mà ( z ¿ ¿ 1; z ; … ; z11 ) ¿ thoả mãn điều kiện đề nên x ; x ; …; x 11 tính ( ( b , b2 , … , b11 ) = ) chẵn lẻ (Mâu thuẫn) Điều giả sử sai Vâyk a 1=a2=…=a11 Mọi thắc mắc liên hệ: - Nguyễn Hải Yến Nhi: 11A2 - Phạm Đình Khơi: 10A2 - Bạch Thái Sơn: 10A2