027 10 chuyên toán hải phòng 23 24

Lời giải tham khảo đề thi Toán Chuyên 2023 – 2024 TỈNH HẢI PHỊNG _ MƠN TỐN Đề Bài (2,0 điểm)  x2 A   x x  x  a) Cho biểu thức x  x 1  x 1 : x 1  x ( với x > ) Rút gọn biểu thức A chứng minh A 2 x   a  1 x  a  2a  0 ( x ẩn, a tham số ) b) Cho phương trình: Chứng minh a số phương phương trình cho có hai nghiệm số phương Bài (2,0 điểm)  3x a) Giải phương trình:  x   x  x  27 x3  x    y x   x 1    y  y x  x    x  1 x b) Giải hệ phương trình: Bài (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường trịn tâm O Vẽ đường kính AT đường tròn (O) lấy điểm P đoạn thẳng OT  P T  Gọi E F tương ứng hình chiếu vng góc P lên đường thẳng AC AB Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh BC a) Chứng minh OAB HAC hai đường thẳng BC,EF song song với b) Cho AH EF cắt U; điểm Q di động đoạn thẳng UE  Q U , Q E  Đường thẳng vng góc với AQ điểm Q cắt đường thẳng PE, PF tương ứng M,N Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Chứng minh bốn điểm A,M,N,P thuộc đường tròn OAH KAQ c) Kẻ KD vng góc với BC  D  BC  Chứng minh đường thẳng qua điểm D song song với AQ qua điểm cố định Bài (1,0 điểm) Cho số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2a  2b  2c  P   a  b2  c2  Bài (2,0 điểm) 2 m a) Tìm số nguyên tố a,b số nguyên dương m thỏa mãn a  b  18ab 4.5 b) Cho điểm phân biệt đường trịn Đánh số điểm cách ngẫu nhiên số 1,2,….,8 ( hai điểm khác đánh số hai số khác nhau) Mỗi dãy cung nối hai điểm gần với giá trị tuyệt đối hiệu số hai đầu mút Chứng minh ln tìm bốn dãy cung, đơi khơng có điểm chung, cho tổng số gần với bốn dãy cung 16 Lời giải Bài a    m   4m m 2m   m 1 a) Có:  x2 x  x 1 A    : x 1  x  x x 1 x  x 1 x1,2   x  1  x  x 1  x    x  1 x  x  1  x  1 x  x  1  x  1 x  x  1  x   x  x  1 x x2x x  x x  x    x  1 x  x  1 x  x   x  1 x  x  1       x  1  x x2 2 x  x x 1  A 2   x 1  x x  x 1 ( với x > ) Suy ra:  x 2x  x   x 2x  x     x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x1 x 1 0  A 2 ( đpcm ) a m  m    b) Có a số phương  Đặt 2 x  a   a  2a  0   Xét phương trình:  '  a  1   a  2a  1 4a 4m 0, m  Có: Phương trình có hai a    x1,2  m   4m m 2m   m 1 nghiệm: số phương ( đpcm ) Bài  3x  x   a)   3x  x   2 x  x  27 x3  x ( ĐKXĐ: x R ) 3x  x   3x  x   x   3x  3x  x  3 x ( Do x3  x hàm số đồng biến) a  b  18ab 4.5m   a  b   20ab 4.5m  a  b5  ab 5 b 5  a b 5  a, b  P  b1  a1  b2  a2  b3  a3  b4  a4  b1  b2  b3  b4    a1  a2  a3  a4             16  3x  x  9 x ( Điều kiện: x 0 )  34  34  x  x  0  x   x 6 Kết hợp điều kiện Vậy phương trình có nghiệm  x  34   y x   x 1    y  y x  x    x  1 x b) ( ĐKXĐ: x 0, y 0 )  y 1  x 1  x   y  y   x  1   x  1 x  x   y  x 1  x    y  x 1  x   2 y   x   x   y   x   x   y  x   x  y  x   x    y   x   x  x   x   0  TH1:   y  x   x   x  0   x  2  y   7    x 3 ( thỏa mãn ĐKXĐ )  y  x   x  x  x   x   x  1  y   x   x TH2:  (vô lý)         Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   3;7   Bài Ta chứng minh cho trường hợp hình Các trường hợp khác chứng minh tương tự Ký hiệu: (XYZ): đường tròn ngoại tiếp XYZ ; (XY): đường trịn đường kính XY a) Xét tứ giác ABTC nội tiếp (O) đường kính AT  OAB 90  ATB 90  ACB HAC ( đpcm ) Có: AEP AFP 90  AEPF nội tiếp Kết hợp FP // TB (  AB ) AEP AFP ATB ACB  BC / / EF ( dpcm2 ) b) Có: AEM AQM 90  AQEM nội tiếp  MAQ PEF Tương tự  NAM NAQ  MAQ PFE  PEF 180  EPF 180  MPN  AMPN  dpcm1  nội tiếp Có: K tâm (AMP), kết hợp AQEM nội tiếp  KAO 90  AKP 90  AMP 90  AQF HAQ  OAH KAQ  dpcm2  c) Gọi Rlà trung điểm AP, trung trực RK AP cắt BC G, J hình chiếu G lên AK, DJ cắt (AG) S  R, G,  AG  cố định: A,J,R,S,H,G  AG  Mà JKDG nội tiếp (KG)  KDJ KGJ  KAO HAQ ( theo câu b ) Kết hợp AH // KD   BC   DJ // AQ Lại có AJRS nội tiếp nên  RSJ KAO KDJ  RS / / KD  RS  BC  Đường thẳng RS cố định ( R cố định )  S RS   AG  cố định ((AG) cố định ) Vậy đường thẳng qua D song song với AQ qua S cố định ( đpcm ) Bài 2 2 Không tổng quát, ta giả sử ab 0  a  b  a  b  c 2 2a  2b  2c   a  1  b  1   c  1  P     a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c2  Có:  a   b  1  a  b2   c  1  c2  2   c  2  3 c2   c  1  c2   3  2 2  c    c     c  1  c     c    c    c  4  c  2 2  2 c2  c  2 c  4c  4c 3      2  c  4  c2  2 2  c2    c2    c 0, a b 0  c 2, a b  Dâu “ = “ xảy  Vậy Pmin    a; b; c     0;0;0  ;  2;  1;  1 ;   1;  1;2   Bài 2 m m a) Có: a  b  18ab 4.5   a  b   20ab 4.5  a  b5  m vơlí VT 0  20.2.2  4.51 VP  25  m  ab   4.5  Nếu   ab 5 Kết hợp a  b 5  a 5 b 5  a b 5  a, b  P   4.5m 0  20.5.5 4.53  m 3 Vậy (a;b;m) = (5;5;3) b) Xét tập hợp A = {1;2;3;4} B = {5;6;7;8} Dễ thấy: Ta ln tìm đỉnh thuộc A kề với đỉnh thuộc B Ta chọn dây cung nối đỉnh đó, xét đỉnh cịn lại Tương tự, tìm đỉnh thuộc A kề với đỉnh thuộc B ( đỉnh kề có đỉnh khơng xét ), ta chọn dây cung nối đỉnh Làm tương tự đến đỉnh, chọn dây cung nối đỉnh cuối cùng, ta chọn dây cung đôi khơng có điểm chung có đầu mút thuộc A, đầu mút thuộc B Gọi dây cung đơi khơng có điểm chung có đầu mút thuộc A, đầu mút thuộc B Gọi dây cung A1B1 , A2 B2 , A3 B3 , A4 B4 với đỉnh Ai đánh số b1    b  B i 1,4 đỉnh Bi đánh số i Khi đó, ta có: a1  b2  a2  b3  a3  b4  a4  b1  b2  b3  b4    a1  a2  a3  a4             16  A Vậy chọn dây cung thỏa mãn ( đpcm )