Đề thi vào lớp 10 chuyên toán năm 2020 có đáp án sở GDĐT hải phòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2020 – 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm vào tờ giấy thi Bài (2,0 điểm)  x  x    a) Cho biểu thức P     : 1   x  1 x  1   x x  x  x  1 Rút gọn P Tìm tất giá trị x để P   b) Cho phương trình ẩn x x  px  q  1 (với p; q số nguyên tố) Tìm tất giá trị p q biết phương trình 1 có nghiệm số nguyên dương Bài (2,0 điểm) a) Giải phương trình x  1 x  2x    2x x  y  2xy  b) Giải hệ phương trình      x y Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), M trung điểm cạnh BC P điểm di động đoạn AM (P khác A M) Đường tròn qua P, tiếp xúc với đường thẳng AB A, cắt đường thẳng BP K (K khác P) Đường tròn qua P, tiếp xúc với đường thẳng AC A, cắt đường thẳng CP L (L khác P) a) Chứng minh BP BK  CP CL  BC b) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác PKC ln qua hai điểm cố định c) Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC E giao điểm thứ hai đường tròn với đường thẳng AC Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PLB F giao điểm thứ hai đường tròn với đường thẳng AB Chứng minh EF // IJ Bài (1,0 điểm) Cho ba số dương x , y, z thỏa mãn xy  yz  zx  Chứng minh x x2   y y2   3z   z2   Đẳng thức xảy nào? Bài (2,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên x 2y  xy  2x  5x    b) Giả sử A tập hợp tập hợp 1; 2; 3; ; 1023 cho A không chứa hai số mà số gấp đơi số Hỏi A có nhiều phần tử? - Hết Họ tên thí sinh:……………….……………… Số báo danh: ………… Cán coi thi 1:……….……… … Cán coi thi 2: ……… …… …… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG Năm học 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN HDC ĐỀ CHÍNH THỨC Hướng dẫn gồm 04 trang Bài Đáp án a) (1,0 điểm)   x   x + x +1  = − : P    ( x + 1) x − x −   x +    ( ( x + 1) ( ⇔ ĐK: x ≥ 0, x ≠ 0,25 1− x x +1 ⇔P= x + x +1 x −1 x + x +1 x − x −1 = ⇔P P≤− ) Điểm 1− x x + x +1 ) ⋅ ≤− ( ⇔ − x ≤ − x − x − x + x + > ∀x ≥ 0,25 ) 0,25 ⇔ x−6 x +8 ≤ (2,0 ⇔ x − x − ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⇔ ≤ x ≤ 16 ( )( ) điểm) b) (1,0 điểm) 0,25 Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm ∆= p − 4q ≥ (*) p  x1 + x2 = Áp dụng định lý Vi-et ta có  với x1 ; x2 ∈  + x x q =  Vì q số nguyên tố nên x1 = x2 = 0,25 0,25 p x2 số nguyên tố liên tiếp, suy x2 số nguyên tố chẵn Nếu x1 = + x2 = nên x2= q= 2; p= Tương tự, x2 = x1= q= 2; p= Ta thấy= q 2;= p thỏa mãn điều kiện (*) giá trị cần tìm 0,25 0,25 a) (1,0 điểm) Đặt a = x + 1; b = − x + x + 6; b ≥ 0,5 ab= + x b= a − ⇒ (a − b) = 1⇒  b= a + a + b = x + Ta  2 x ≥ + 13 − x2 + 2x + = x ⇔  ⇔x= x − x − =  −1 + x = x ≥ −  2 ⇔ (2,0 Nếu b= a + thay vào ta được: − x + x + = x + ⇔   −1 −  x + x − =0 điểm) x =   −1 + −1 − + 13   Vậy nghiệm phương trình x ∈  ; ;  2     Nếu b= a − , thay vào ta được: 0,25 0,25 b) (1,0 điểm) 2 xy  x + y = Với điều kiện x, y ≠ hệ phương trình trở thành  2 xy  xy + y = ⇒ x − xy − y = 0,25 Trang x = − y ⇒ x + xy − xy − y =0 ⇔ ( x + y )( x − y ) =0 ⇔  x = 2y 0,25 −y x = − y x = x = ⇔ ⇔ Nếu x =− y ⇒  x, y ≠ 2x x =  y = −1 x + x =  x = 2y x =   x = y   2y ⇒  ⇔ Nếu x = x, y ≠ ⇔ 4y 4 y + y =  y = y =    5  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) ∈ (1; −1) ,  ;      0,25 0,25 F A I G L K E P B H M C J (3,0 Đáp án cho trường hợp hình vẽ trên, trường hợp khác chứng minh tương tự điểm) a) (1,0 điểm) BA tiếp tuyến đường tròn (APK) nên BA2 = BP.BK (1) 0,5 CA tiếp tuyến đường tròn (APL) nên CA2 = CP.CL ( ) Từ (1) (2) suy BP.BK + CP.CL = BA2 + CA2 = BC b) (1,0 điểm) BH BC ( 3) Gọi AH đường cao tam giác ABC ⇒ BA2 = 0,5 0,5 BH BC Suy tứ giác HPKC nội tiếp nên đường tròn Từ (1) (3) ⇒ BP.BK = ngoại tiếp tam giác PKC qua hai điểm cố định C H c) (1,0 điểm) Theo câu b) đường tròn (J) qua H Chứng minh tương tự (I) qua H (I) (J) cắt H, P nên IJ ⊥ HP ( )  ( 5) HPEC nt ⇒  AEP = PHC  ( 6) HPFB nt ⇒  AFP = PHC Từ (5) (6) suy tứ giác APEF nội tiếp nên 0,5 0,25 0,25  = EAF  = 900 ⇒ PE ⊥ PF ⇒ EPF Trang Gọi G giao điểm HP EF Do tứ giác HPEC APEF nội tiếp nên       GPE = HCE = MCA = MAC = PAE = PFE  + GEP  =PFE  + GEP  =900 ⇒ PG ⊥ EF hay HP ⊥ EF ( ) ⇒ GPE Từ (4), (7) suy IJ // EF P= = x ( x + y )( x + z ) + ( y + z )( y + x ) y ⋅ + x+ y x+z x y + 0,5 3z 0,25 ( z + x )( z + y ) 3z ⋅ + y+z y+x 1 ⋅ z+x z+ y (1,0  2x 3x 3y 2y 3z 3z  điểm) ≤  x + y + x + z + y + z + y + x + z + x + z + y = ( + + 3)=   0,5 3  z 2= x 2y = = = ⇔ z = 2x = y = Đẳng thức xảy  x + y y + z z + x ⇔  x = 5   xy + yz + zx =  0,25 a) (1,0 điểm) Phương trình ban đầu tương đương với xy ( x − 1)= x − x + 0,25 x2 − 5x + 4 = x − + ( x ≠ ) x x Vì x, y ∈  nên x ∈ {±1; ±2; ±4} ⇒ y ( x − 1) = 0,25 Lập bảng giá trị x y −1 11 y −2 11 −4 14 Mà x, y ∈  nên nghiệm phương trình ( x; y ) = ( 2;1) b) (1,0 điểm) = A0 {1= Chia số từ đến 1023 thành tập } , A1 4 0,5 {2;3= } , A2 {4;5;6;7} , 8;9; ;15} , A4 {16;17; ;31 = {= } , A5 {32;33; ;63} , = A6 {= 64;65; ;127} , A7 {128;129; ; = 255} , A8 {256; 257; ;511} (2,0 A = {512;513; ;1023} = A3 điểm) 0,25 Dễ thấy số phần tử tập Ak 2k , k = 0,1, ,9 Nhận thấy n ∈ Ak ⇔ 2n ∈ Ak +1 Xét A = A9 ∪ A7 ∪ A5 ∪ A3 ∪ A1 ⇒ A = 512 + 128 + 32 + + = 682 , rõ ràng A không chứa số gấp đôi số khác Ta chọn tập có nhiều 682 số thỏa mãn Thật vậy: Giả sử tập A thỏa mãn yêu cầu toán chứa ak phần tử thuộc Ak , k = 0,1, ,9 Xét tập hợp Ak Ak +1 Với m ∈ Ak tùy ý, ta có 2m ∈ Ak +1 Số cặp ( m, 2m ) 2k cặp có nhiều số thuộc A Ngồi tập Ak +1 cịn chứa 2k số lẻ, tức có nhiều 2k + 2k = 2k +1 số thuộc A lấy từ Ak Ak +1 Suy a0 + a1 ≤ 21 , a2 + a3 ≤ 23 , a4 + a5 ≤ 25 , a6 + a7 ≤ 27 , a8 + a9 ≤ 29 Cộng bất đẳng thức ta a0 + a1 + a2 +  + a9 ≤ 682 Vậy số phần tử lớn A 682 0,25 0,25 0,25 Trang Chú ý: - Trên trình bày tóm tắt cách giải, thí sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa ứng với điểm câu biểu điểm - Thí sinh làm đến đâu cho điểm đến theo biểu điểm - Trong câu, thí sinh làm phần sai, khơng chấm điểm - Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai khơng chấm điểm Thí sinh khơng vẽ hình mà làm làm cho nửa số điểm câu làm - Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, thí sinh cơng nhận ý để làm ý mà thí sinh làm chấm điểm ý - Điểm thi tổng điểm câu làm khơng làm trịn Trang ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG Năm học 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN HDC ĐỀ CHÍNH THỨC Hướng dẫn gồm 04 trang Bài Đáp án a) (1,0 điểm)... số khác Ta chọn tập có nhiều 682 số thỏa mãn Thật vậy: Giả sử tập A thỏa mãn yêu cầu toán chứa ak phần tử thuộc Ak , k = 0,1, ,9 Xét tập hợp Ak Ak +1 Với m ∈ Ak tùy ý, ta có 2m ∈ Ak +1 Số cặp... y =  y = y =    5  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) ∈ (1; −1) ,  ;      0,25 0,25 F A I G L K E P B H M C J (3,0 Đáp án cho trường hợp hình vẽ trên, trường hợp khác