SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2023 – 2024 Mơn thi: TỐN (chun) Ngày thi: 03/06/2023 Thời gian làm bài: 150 phút, khơng tính thời gian phát đề Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a.b = 1, a + b ¹ Rút gọn biểu thức: Q= ỉ1 ổ1 1ử 1ữ ữ ỗ ỗ + + + + ữ ữ ỗ ỗ 3ỗ ç 3÷ 2÷ 2 ( a + b) èa b ø ( a + b + 2) èa b ø ( a + b) 2 Cho hai số dương x, y thoả mãn x y y x 15 Tính giá trị biểu thức: x 1 x P y2 1 y Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: x + 3x + x - = x + x2 + 2x - x ìï xy + x + y = ïí ï 2 Giải hệ phương trình: ïỵ x + y + x + y = Câu (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên tố p lẻ cho p - p +16 số phương 2 Tìm nghiệm ngun phương trình x + xy + y + x + y - = Câu (3,0 điểm) O Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn , điểm E thuộc cung nhỏ AB đường tròn O E A, E B Đường thẳng O AE cắt tiếp tuyến B, C đường tròn M,N a) Chứng minh MB.NC AB b) Gọi F giao điểm MC BN , H trung điểm BC Chứng minh ba điểm E , F , H thẳng hàng O O Cho đường tròn ( ) hai điểm A, B cố định nằm đường tròn ( ) cho ·AOB = 1200 O Điểm M thay đổi cung lớn »AB đường tròn ( ) Đường tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với MA, MB E , F Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn cố định Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số khơng âm khơng có hai số đồng thời Chứng minh rằng: 1 10 + + ³ 2 2 a +b b +c c +a ( a + b + c) -HẾT - Họ tên thí sinh: ………………………………………… Số báo ……………………………… Cán coi thi số …………………………………………Cán coi thi ……………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG danh: số HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2023 – 2024 Mơn thi: TỐN (chun) (Hướng dẫn chấm có 05 trang) Câu (2 điểm) Ý Nội dung Điểm Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a.b =1, a + b ¹ Rút gọn biểu thức: Q= ỉ1 ỉ1 1ư 1ữ ữ ỗ ỗ + + + + ữ ữ ỗ ỗ 3ỗ ỗ 3ữ 2÷ 2 ( a + b) èa b ø ( a + b + 2) èa b ø ( a + b) Ta có: Nên Q= = = = a + b + = ( a + b) ỉ1 1ư ỉ 1ử ỗ ỗ + 3ữ + + 2ữ + ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ( a + b) ốa b ứ ( a + b) èa b ø ( a + b) a3 +b3 ( a + b) + 3( a + b ) ( a + b) + 0,25 ( a + b) ( a + b ) ( a + b) + 3( a + b ) + ( a + b) a + b + ab ( a + b ) + 3( a + b ) + ( a + b2 + 2) a +b4 + 4( a +b2 ) + = ( a + b2 + 2) ( a + b + 2a 2b ) + ( a + b ) + = ( a + b2 + 2) ( a + b2 ) + ( a + b2 ) + = ( a + b2 + 2) ( a + b2 + 2) = ( a + b2 + 2) 0,25 0,25 0,25 =1 2 Cho hai số dương x, y thoả mãn x y y x 15 Tính giá trị biểu thức: P x 1 x y 1 y P x y xy x y y x x y xy 15 0,25 Đặt M x y xy M x 1 y 1 x y xy x y 2 2 0,25 2 x y x y xy x y x y 1 y x 1 x y y x 0,25 x y 1 y x 1 1 16 M 4 Vậy P 4 15 (2 điểm) 0,25 x2 + 2x - x x + 3x + x - = x + Giải phương trình: ìï ïï ïï x + x ³ ï Û x³ í x - 1³ ïï ïï x + x - ³ ï x Điều kiện: ïïỵ 0,25 Phương trình trở thành x ( x + 3) + x - - x - ổ ỗ ỗ x ( x + 3) ỗ ỗ ỗ ố x +3 xx ( Û ( x - 1) ( x + 3) x ö ( x - 1) ( x + 3) ÷ ÷ ( ) + x - - 2x = ÷ ÷ ÷ ø x ) =0 ( x- - x- ) x- =0 æ x +3 ữ ữ x- ỗ =0 ç ÷ ç ÷ ç è x ø éx = x - ( 1) éx - x - = ê ê ê ê Û ê x +3 ê x +3 - 2=0 ê = ( 2) ê ê ê ë x ë x ( 1) Û x = x - Û x - x +1 = ( Û x- ) (vô nghiệm) x +3 = Û x + = x Û x =1 x (Thoả mãn điều kiện) ìï xy + x + y = ïí ï Giải hệ phương trình: ïỵ x + y + x + y = ìï ( x +1) ( y + 2) = ï í ï ( x +1) +( y + 2) = Hệ phương trình cho trở thành ïïỵ ìïï a = x +1 ïìï a.b = í í ïïỵ a + b = ïïỵ b = y + ( 2) Û Đặt 0,25 ta hệ 0,25 0,25 0,25 ïì ab = ïìï ab = Û ïí Û í ïï ( a + b) - 2ab = ïï ( a + b ) = 16 ỵ ỵ éïì ab = êïí ïìï ab = êï a + b = ( ) ïï ï î Û í éa + b = Û ê êì ab = ïï ê êïï a + b =4 ïïỵ ê ( 2) êíï ë ê ëïỵ a + b =- ïì a = ïìï x = ị ( 1) ùớ ùợù b = ïỵï y = ïì a =- ïìï x =- Þ í ( 2) Û ïí ïỵï b =- ïỵï y =- 0,25 0,25 0,25 Tìm tất số nguyên tố p lẻ cho p - p +16 số phương Đặt A = p - p +16 Với p = A = 169 = 13 số phương Vậy p = thoả mãn p = ( p ) º 1( mod 3) p º 1( mod 3) Với p > Suy A = p - p +16 º 2.1- +16 º ( mod 3) Suy Do số phương chia cho dư nên A khơng số phương 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình x + xy + y + x + y - = Ta có phương trình (2 điểm) x + xy + y + x + y - = Û x +( y +1) x + y + y - = 0,25 Û ( x + y +1) ( x + y - 1) = 2 x y 1 1 3x y 1 2 x y 2 3x y x y 4 0,25 x y 6 0,25 1 2 (3 điểm) 0,25 O Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn , điểm E thuộc cung O E A, E B nhỏ AB đường tròn Đường thẳng AE cắt tiếp O tuyến B, C đường tròn M , N a) Chứng minh MB.NC AB N A E M F B Ta có O C IH ABM ACB BAC 600 BM / / AC BMA CAN 1 CN / / AB BAM CNA Tương tự ta có Từ (1) (2) ta có AMB đồng dạng NAC (g-g) 0,25 0,25 0,25 MB AB MB.NC AB AC MB.NC AB 0,25 AC NC b) Gọi F giao điểm MC BN , H trung điểm BC Chứng minh ba điểm E , F , H thẳng hàng N A E M F B Gọi I giao điểm O C IH EF BC Từ a) suy 0,25 MB BC 3 BC NC 0 0 Mặt khác MBC MBA ABC 60 60 120 Tương tự BCN 120 MBC BCN 4 MB.NC BC Suy Từ (3) (4) ta có MBC đồng dạng BCN (c-g-c) Suy BMC NBC BFM BCF FBC BCF BMC 1800 MBC 600 5 Ta có BEM BCA 600 Do BEAC nội tiếp nên 0,25 BEM Từ (5) (6) ta có BFM Suy BMEF nội tiếp BEF BMF NBC FBI Do IBF đồng dạng IEB (g-g) Suy IB IF IB IE.IF IE IB 0,25 IC IE.IF 0,25 Chứng minh tương tự ta có Từ (7) (8) suy IB IC I H Vậy E , F , H thẳng hàng O O Cho đường tròn ( ) hai điểm A, B cố định nằm đường tròn ( ) cho AOB = 120 Điểm M thay đổi cung lớn »AB đường tròn ( ) Đường tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với MA, MB E , F Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn cố định · O M F J K E H O A D B I Gọi I trung điểm AB Vẽ AH , IJ , BK vng góc EF 0 Ta có AOB 120 AMB 60 , ME MF nên tam giác MEF Tam giác vng AHE có AH AE.sin 600 3 AE AD 1 2 3 BK BF sin 60 BF BD 2 Tam giác vng BKF có 0,25 0,25 Cộng vế (1) (2) ta có 3 0,25 AB IJ AB IJ AB 2 khơng đổi Vì điểm I cố định nên EF tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I , 0,25 AB bán kính Cho a, b, c số khơng âm khơng có hai số đồng thời AH BK (1 điểm) Chứng minh rằng: 1 10 + + ³ * ( ) 2 a +b b +c c +a ( a +b + c) Giả sử c min a, b, c Khi : c c a c ac a c a ac a 2 c c b c bc b c b bc b 2 2 2 2 0,25 c c a b a b 2 2 1 VT ( *) ³ + + 2 2 ỉ c÷ ỉ c÷ ổ cử ổ cử ữ ữ ỗ ỗ ỗ ç a + + b + b + a + ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ố ữ ỗ ỗ 2ữ ỗ 2ứ ỗ ố ứ ố ø è 2÷ 2ø c c x = a + ; y =b+ 2 Khi x > 0, y > x + y = a + b + c Đặt 0,25 Ta có VT ( *) ³ 1 + 2+ 2 x +y y x 2 1 + = + + ³ + 2 x +y xy x + y xy xy x + y + xy xy 4 10 10 = + ³ + = = = VP ( *) 2 2 ( x + y ) xy ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ( a + b + c) ïìï c = ïì c = Û ïí í ïỵï x = y ïỵï a = b a , b, c ³ Dấu xảy Do vai trị bình đẳng * nên dấu “=” ( ) xảy ba số a, b, c có số hai số lại Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa 0,25 0,25