SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 Mơn thi chun: TỐN - Ngày thi: 03/6/2023 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 06 câu 02 trang Câu (2,0 điểm) a) Cho a, b hai số thực dương phân biệt thỏa mãn (1 – a)(1 − b) + 2√ ab = Tính giá trị biểu thức a b a a−b √b P= √ + a−b √ a+ √ b √ a− √ b b) Biết đa thức f(x) = x3 – 23x + 24 có ba nghiệm phân biệt a, b, c Tính giá trị biểu thức Q = a³ + b³ + c³ Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình ( √ x+ 23−√ x +7 ) ( √ 6−x +2 ) = 1 x+ y + + = x y b) Giải hệ phương trình 1 + x+ = x+ y+ y y x { ( ) ( )( ) Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a + b + c √ b +1 √ c + √ a3 +1 ≥2 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O) Gọi E điểm đối xứng B qua AC F điểm đối xứng C qua AB Đường thẳng BE cắt đường thẳng CF H a) Chứng minh tứ giác AHBF AHCE tứ giác nội tiếp b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE ACF cắt điểm thứ hai D Chứng minh F,B,D thẳng hàng DA tia phân giác góc EDF c) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE, ACF Chứng minh sáu điểm B, C, D, O, P, Q thuộc đường tròn tâm I giao điểm (khác D) đường thẳng AD với đường tròn (I) trực tâm tam giác APQ d) Giả sử H thuộc đường tròn (I) Chứng minh đường thẳng AI, DH, BC, PQ đồng quy Câu (1,0 điểm) Cho p số nguyên tố a) Chứng minh p lẻ tồn số nguyên x cho (x2 + 1) ⋮p (p − 1) ⋮ b) Chứng minh 2023p + 23p – 24 khơng số phương ĐÁP ÁN Chuyên Ninh Bình 2023 Câu 1a Cho a, b số thực nguyên dương phân biệt thỏa mãn (1 – a)(1 – b) + 2√ ab = Tính giá trị biểu a b a a−b √b thức P= √ + a−b √ a+ √ b √ a− √ b Giải a √ a−b √ b−a ( √ a−√ b ) + b ( √ a−√ b ) * P= a−b a √ a−b √b−a √a+ a √ b+b √ a+b √ b = a−b √ ab ( √ a+ √ b ) a = = √ ( √ a+ √ b ) ( √ a−√ b ) √ a− √ b * (1 – a)(1 – b) + 2√ ab = ⇔ – b – a + ab + 2√ ab = ⇔ a - 2√ ab + b = ab ⇔ ( √ a−√ b )2= ( √ ab )2 √ ab =1 √ a−√ b=√ ab(khia >b) ⇔ √ a−√ b ⇔ √ ab =−1 √ a−√ b=−√ ab(khi a b) P = -1 (khi a < b) Câu 1b Biết đa thức f(x) = x3 – 23x + 24 có ba nghiệm phân biệt a, b, c Tính giá trị biểu thức Q = a³ + b³ + c³ Giải Vì a, b, c nghiệm f(x) nên ta có a3−23 a+24=0 a3=23 a−24 b3−23 b+24=0 ⇔ b3=23 b−24 3 c −23 c+24=0 c =23 c−24 ⇒ Q = 23(a + b + c) – 72 Theo Viet: a + b + c = Do Q = -72 { { Câu 2a GPT ( √ x+ 23−√ x +7 ) ( √ 6−x +2 ) = (*) Giải ĐK: -7≤x≤ Với đk √ x+ 23+ √ x +7 ≠ Do (*)⇔ 16( √ 6−x+2 ) = 8( √ x+ 23−√ x +7 ) ⇔ 2( √ 6−x+2 ) = √ x+ 23−√ x+ ⇔ √ x+ 23 – +√ x+7 – + 2( 2− √ 6−x ) = x−2 x−2 x−2 ⇔ + + ( =0 2+ √ 6−x ) √ x +23+5 √ x +7+3 1 + + ⇔ (x – 2) √ x+23+5 √ x+7+ ( 2+ √ 6−x ) = 1 + + ⇔ x – = ( ¿ √ x +23+5 √ x +7+3 ( 2+ √ 6−x ) 0) ( ) ⇔ x = (t/m đk) Vậy PT cho có nghiệm x = 1 x+ y + + = x y Câu 2b Giải HPT 1 + x+ = x+ y+ y y x { ( ) ( )( ) Giải ĐK: x≠0 ; y≠0 1 Đặt a = x + , b = y + y x a+b= (1) HPT cho trở thành + a=ab (2) Từ (1): b = −a Thay vào (2): 9 + a = a −a ⇔ + 6a = 2a (9 – 2a) 2 ⇔ 4a – 12a + = ⇔ (2 a−3 )2 = ⇔ 2a – = ⇔ a = ⇒ b = 3 x+ = xy +2=3 y (3) y ⇒ Vậy xy +1=3 x (4 ) y + =3 x ⇒ y = 2x Thay vào (4): x=1 2x – 3x + = ⇔ x= x=1→y=2 x= →y=1 (t/m đk) Vậy (x;y) ϵ ( 1; ) ;( ; 1) { ( ) { { [ { } Câu Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b c + + ≥2 √ b +1 √ c + √ a +1 Giải Áp dụng BĐT Cô-si ta có: b+1+b 2−b+1 b2 +2 ≤ = =¿ (b +1)( b −b+ 1) √ b +1 √ 2 2 c +2 T2: √ c +1 ≤ ; √ a3 +1 ≤ a +2 2 2a 2b 2c + + 2 b +2 c + a +2 2a 2b 2c Ta cần CM: S = + + ≥2 b +2 c + a +2 2a a ( b2 +2 ) −a b2 a b2 Ta có: = =a- b +2 b +2 b 2+ 2 2 2a b a (2+b+ b) a (b+1) ab 2ab Lại có : = 2 ≤ = a √2 b ≤ = 9 b +2 b +b + √b 2.(a+b +c) 2(ab+ bc+ ca) 7.(a+b +c) 2(ab+ bc+ ca) T2 ta S ≥ a + b + c = 9 9 (a+ b+c ) Ta có ab + bc + ca ≤ 62 Do S ≥ - =2 9 Dấu xảy a = b = c = Ta có đpcm Câu Do VT ≥ a) AFB=ACB (đối xứng); AHB=KHE (đối đỉnh) Mà ACB + KHE =180° nên AHBF nội tiếp Tương tự với AHCE b) *AED = AHF (cùng bù với AHC) mà AHF=ABF (tứ giác AHBF nội tiếp) Do AED = ABF Mặt khác AED + ABD=180° (ABDE nội tiếp) nên ABF + ABD=180° Do F,B,D thẳng hàng Tương tự E,C,D thẳng hàng *ADF = ACF, ADE = ABE mà ACF = ABE (cùng phụ với BAC) nên ADF =ADE hay DA tia phân giác góc EDF c) * Dễ thấy P thuộc AC, Q thuộc AB * ADC = AFC mà AFC = ACF = 90°-BAC nên ADC=90o-BAC Tương tự ADB = 90o-BAC Vậy BDC = 180o-2BAC Lại có BOC = 2BAC (góc nội tiếp góc tâm) nên BDC + BOC = 180o Suy tứ giác BOCD nội tiếp * Tam giác PAB cân P nên APB = 180o-2BAC Suy PAB = BDC nên tứ giác BPCD nội tiếp Tương tự ta có tứ giác BQDC nội tiếp * Vậy điểm B, C, D, O, P, Q thuộc đường tròn (I) * Dễ CM O thuộc AD Do giao điểm khác D AD (I) O * Vì OP đường trung trực AB nên OP vng góc với AB; OQ đường trung trực AC nên OQ vuông góc với AC Vậy O trực tâm tam giác APQ d) Dễ CM I giao điểm tia phân giác góc BAC với (O) Gọi M giao điểm AI BC HD, PQ qua M Do đường AI, BC, HD, PQ đồng quy M Câu Cho p số nguyên tố a) Chứng minh p lẻ tồn số nguyên x cho (x2 + 1) ⋮p (p − 1) ⋮ b) Chứng minh 2023p + 23p – 24 không số phương Giải a) Vì p SNT lẻ nên p có dạng: 4k + 4k + Vì (x + 1) ⋮p nên p có dạng 4x + 1, hay p – = 4k ⋮ b) Tồn STN x s/c 2023p + 23p – 24 = x2 ⇔ x2 + = 2023p + 23p – 23 Theo Fermat nhỏ, ta có 23p – 23 ≡ (mod p) => 2023p + 23p – 23 ≡ (mod p) => x2 + 1≡ (mod p) => p = 4k + => 2023p + 23p – 24 ≡-p + (-1)p ≡ (mod 4) Mà x2 ≡ 0,1 (mod 4), mâu thuẫn Vậy 2023p + 23p – 24 khơng số phương