042 10 chuyên toán ninh bình 23 24

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 Mơn thi chun: TỐN - Ngày thi: 03/6/2023 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 06 câu 02 trang Câu (2,0 điểm) a) Cho a, b hai số thực dương phân biệt thỏa mãn (1 – a)(1 − b) + 2√ ab = Tính giá trị biểu thức a b a a−b √b P= √ + a−b √ a+ √ b √ a− √ b b) Biết đa thức f(x) = x3 – 23x + 24 có ba nghiệm phân biệt a, b, c Tính giá trị biểu thức Q = a³ + b³ + c³ Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình ( √ x+ 23−√ x +7 ) ( √ 6−x +2 ) = 1 x+ y + + = x y b) Giải hệ phương trình 1 + x+ = x+ y+ y y x { ( ) ( )( ) Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a + b + c √ b +1 √ c + √ a3 +1 ≥2 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O) Gọi E điểm đối xứng B qua AC F điểm đối xứng C qua AB Đường thẳng BE cắt đường thẳng CF H a) Chứng minh tứ giác AHBF AHCE tứ giác nội tiếp b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE ACF cắt điểm thứ hai D Chứng minh F,B,D thẳng hàng DA tia phân giác góc EDF c) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE, ACF Chứng minh sáu điểm B, C, D, O, P, Q thuộc đường tròn tâm I giao điểm (khác D) đường thẳng AD với đường tròn (I) trực tâm tam giác APQ d) Giả sử H thuộc đường tròn (I) Chứng minh đường thẳng AI, DH, BC, PQ đồng quy Câu (1,0 điểm) Cho p số nguyên tố a) Chứng minh p lẻ tồn số nguyên x cho (x2 + 1) ⋮p (p − 1) ⋮ b) Chứng minh 2023p + 23p – 24 khơng số phương ĐÁP ÁN Chuyên Ninh Bình 2023 Câu 1a Cho a, b số thực nguyên dương phân biệt thỏa mãn (1 – a)(1 – b) + 2√ ab = Tính giá trị biểu a b a a−b √b thức P= √ + a−b √ a+ √ b √ a− √ b Giải a √ a−b √ b−a ( √ a−√ b ) + b ( √ a−√ b ) * P= a−b a √ a−b √b−a √a+ a √ b+b √ a+b √ b = a−b √ ab ( √ a+ √ b ) a = = √ ( √ a+ √ b ) ( √ a−√ b ) √ a− √ b * (1 – a)(1 – b) + 2√ ab = ⇔ – b – a + ab + 2√ ab = ⇔ a - 2√ ab + b = ab ⇔ ( √ a−√ b )2= ( √ ab )2 √ ab =1 √ a−√ b=√ ab(khia >b) ⇔ √ a−√ b ⇔ √ ab =−1 √ a−√ b=−√ ab(khi a b) P = -1 (khi a < b) Câu 1b Biết đa thức f(x) = x3 – 23x + 24 có ba nghiệm phân biệt a, b, c Tính giá trị biểu thức Q = a³ + b³ + c³ Giải Vì a, b, c nghiệm f(x) nên ta có a3−23 a+24=0 a3=23 a−24 b3−23 b+24=0 ⇔ b3=23 b−24 3 c −23 c+24=0 c =23 c−24 ⇒ Q = 23(a + b + c) – 72 Theo Viet: a + b + c = Do Q = -72 { { Câu 2a GPT ( √ x+ 23−√ x +7 ) ( √ 6−x +2 ) = (*) Giải ĐK: -7≤x≤ Với đk √ x+ 23+ √ x +7 ≠ Do (*)⇔ 16( √ 6−x+2 ) = 8( √ x+ 23−√ x +7 ) ⇔ 2( √ 6−x+2 ) = √ x+ 23−√ x+ ⇔ √ x+ 23 – +√ x+7 – + 2( 2− √ 6−x ) = x−2 x−2 x−2 ⇔ + + ( =0 2+ √ 6−x ) √ x +23+5 √ x +7+3 1 + + ⇔ (x – 2) √ x+23+5 √ x+7+ ( 2+ √ 6−x ) = 1 + + ⇔ x – = ( ¿ √ x +23+5 √ x +7+3 ( 2+ √ 6−x ) 0) ( ) ⇔ x = (t/m đk) Vậy PT cho có nghiệm x = 1 x+ y + + = x y Câu 2b Giải HPT 1 + x+ = x+ y+ y y x { ( ) ( )( ) Giải ĐK: x≠0 ; y≠0 1 Đặt a = x + , b = y + y x a+b= (1) HPT cho trở thành + a=ab (2) Từ (1): b = −a Thay vào (2): 9 + a = a −a ⇔ + 6a = 2a (9 – 2a) 2 ⇔ 4a – 12a + = ⇔ (2 a−3 )2 = ⇔ 2a – = ⇔ a = ⇒ b = 3 x+ = xy +2=3 y (3) y ⇒ Vậy xy +1=3 x (4 ) y + =3 x ⇒ y = 2x Thay vào (4): x=1 2x – 3x + = ⇔ x= x=1→y=2 x= →y=1 (t/m đk) Vậy (x;y) ϵ ( 1; ) ;( ; 1) { ( ) { { [ { } Câu Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b c + + ≥2 √ b +1 √ c + √ a +1 Giải Áp dụng BĐT Cô-si ta có: b+1+b 2−b+1 b2 +2 ≤ = =¿ (b +1)( b −b+ 1) √ b +1 √ 2 2 c +2 T2: √ c +1 ≤ ; √ a3 +1 ≤ a +2 2 2a 2b 2c + + 2 b +2 c + a +2 2a 2b 2c Ta cần CM: S = + + ≥2 b +2 c + a +2 2a a ( b2 +2 ) −a b2 a b2 Ta có: = =a- b +2 b +2 b 2+ 2 2 2a b a (2+b+ b) a (b+1) ab 2ab Lại có : = 2 ≤ = a √2 b ≤ = 9 b +2 b +b + √b 2.(a+b +c) 2(ab+ bc+ ca) 7.(a+b +c) 2(ab+ bc+ ca) T2 ta S ≥ a + b + c = 9 9 (a+ b+c ) Ta có ab + bc + ca ≤ 62 Do S ≥ - =2 9 Dấu xảy a = b = c = Ta có đpcm Câu Do VT ≥ a) AFB=ACB (đối xứng); AHB=KHE (đối đỉnh) Mà ACB + KHE =180° nên AHBF nội tiếp Tương tự với AHCE b) *AED = AHF (cùng bù với AHC) mà AHF=ABF (tứ giác AHBF nội tiếp) Do AED = ABF Mặt khác AED + ABD=180° (ABDE nội tiếp) nên ABF + ABD=180° Do F,B,D thẳng hàng Tương tự E,C,D thẳng hàng *ADF = ACF, ADE = ABE mà ACF = ABE (cùng phụ với BAC) nên ADF =ADE hay DA tia phân giác góc EDF c) * Dễ thấy P thuộc AC, Q thuộc AB * ADC = AFC mà AFC = ACF = 90°-BAC nên ADC=90o-BAC Tương tự ADB = 90o-BAC Vậy BDC = 180o-2BAC Lại có BOC = 2BAC (góc nội tiếp góc tâm) nên BDC + BOC = 180o Suy tứ giác BOCD nội tiếp * Tam giác PAB cân P nên APB = 180o-2BAC Suy PAB = BDC nên tứ giác BPCD nội tiếp Tương tự ta có tứ giác BQDC nội tiếp * Vậy điểm B, C, D, O, P, Q thuộc đường tròn (I) * Dễ CM O thuộc AD Do giao điểm khác D AD (I) O * Vì OP đường trung trực AB nên OP vng góc với AB; OQ đường trung trực AC nên OQ vuông góc với AC Vậy O trực tâm tam giác APQ d) Dễ CM I giao điểm tia phân giác góc BAC với (O) Gọi M giao điểm AI BC HD, PQ qua M Do đường AI, BC, HD, PQ đồng quy M Câu Cho p số nguyên tố a) Chứng minh p lẻ tồn số nguyên x cho (x2 + 1) ⋮p (p − 1) ⋮ b) Chứng minh 2023p + 23p – 24 không số phương Giải a) Vì p SNT lẻ nên p có dạng: 4k + 4k + Vì (x + 1) ⋮p nên p có dạng 4x + 1, hay p – = 4k ⋮ b) Tồn STN x s/c 2023p + 23p – 24 = x2 ⇔ x2 + = 2023p + 23p – 23 Theo Fermat nhỏ, ta có 23p – 23 ≡ (mod p) => 2023p + 23p – 23 ≡ (mod p) => x2 + 1≡ (mod p) => p = 4k + => 2023p + 23p – 24 ≡-p + (-1)p ≡ (mod 4) Mà x2 ≡ 0,1 (mod 4), mâu thuẫn Vậy 2023p + 23p – 24 khơng số phương