Đang tải... (xem toàn văn)
§Ò thi vµo líp 10 chuyªn l¬ng v¨n tuþ §Ò thi vµo líp 10 chuyªn l¬ng v¨n tuþ M ký hiÖu N¨m häc 2008 2009 §01T 08 TS10CT M«n thi To¸n Thêi gian lµm bµi 150 phót ( §Ò nµy gåm 05 c©u, 01 trang) Bµi 1 Ró[.]
M· ký hiƯu: §01T- 08 - TS10CT §Ị thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ Năm học : 2008-2009 Môn thi : Toán Thời gian làm :150 phút ( Đề gồm 05 câu, 01 trang) Bài 1: Rót gän biĨu thøc sau : P= Bµi 2: Giải phơng trình hệ phơng trình sau: a) b) Bµi 3: Chøng minh r»ng : Bµi : BC dây cung không đờng kính đờng tròn tâm O Một điểm A di động cung lớn BC cho tâm O nằm tam giác ABC, đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh tam giác AEF ABC đồng dạng b) Gọi A' trung điểm BC, chứng minh AH = 2OA' c) Gọi A1 trung điểm EF, chứng minh : R.AA1 = AA'.OA' d) Chøng minh r»ng R(EF + FD + DE) = 2SABC từ tìm vị trÝ cđa A ®Ĩ tỉng (EF + FD + DE) lín nhÊt Bµi : Cho a, b, c lµ độ dài ba cạnh tam giác có chu vi b»ng Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc < …………………… HÕt……………………… M· ký hiệu: Hớng dẫn chấm Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ HD01T- 08 - TS10CT Bài 1: (2,5 ®iĨm) Cã : A = cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 A= điểm Tơng tự có: B= cho 0,25 điểm cho 0,25 điểm Từ Tập xác định x vµ Ta cã P = A+B = = cho 0,5 ®iÓm = Cho 0,25 ®iÓm = Cho 0,25 ®iÓm VËy P= Với x x Cho 0, 25 điểm Bài ( 4,5 ®iĨm) a, Tõ hƯ xy +x 0,25 ®iĨm (*) 0,25 ®iĨm - NÕu y = ta đợc : cho cho hệ vô nghiệm cho 0,25 ®iĨm - NÕu y ≠ ta cã : (*) ®iĨm cho 0,25 cho 0,5 ®iĨm Vậy hệ đà cho tơng đơng với hay cho 0,25 điểm Giải hệ đầu ta đợc (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) cho 0,25 điểm Hệ sau vô nghiệm cho 0,25 điểm Vậy hệ đà cho có nghiệm x = y = hc x = y = -1 cho 0,25 điểm b) Điều kiện -4x1 cho 0,25 điểm Phơng trình tơng đơng với : (vì vế không ©m) cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm 4- 3x - x2 = cho 0,25 ®iĨm x2 +3x = cho 0,25 ®iĨm x(x + 3) = cho 0,25 điểm x = x = -3 cho 0,25 điểm Vậy phơng trình có nghiƯm x = hc x = -3 cho 0,25 điểm Bài : (3điểm) Ta có với n cho 0,5 điểm < cho 0,5 điểm Tõ ®ã ta cã : Sn = < 1- cho 0,75 ®iĨm = 1- cho 0,5 ®iĨm VËy Sn < cho 0,25 điểm áp dụng cho n = 2007 ta có S2007 < điều phải chứng minh ( 0,5 điểm) Bài : Hình vẽ cho 0,25 điểm x A F B A1 H E O D A' C K a) Chứng minh AEF đồng dạng ABC Có E, F nhìn BC dới góc vuông nên E, F thuộc đờng tròn đờng kính BC Cho 0,25 ®iĨm gãc AFE = gãc ACB (cïng bï gãc BFE) cho 0,25 ®iĨm AEF ®ång dạng ABC (g.g) cho 0,25 điểm b) Vẽ đờng kÝnh AK Cã BE (gt) KC (V× gãc ACK = 90 ) cho 0,25 ®iĨm BE // KC cho 0,25 ®iĨm T¬ng tù CH // BK cho 0,25 ®iĨm Do tứ giác BHCK hình bình hành cho 0,25 điểm HK đờng chéo nên qua trung điểm A' đờng chéo BC H, A', K thẳng hàng cho 0,25 điểm Xét tam giác AHK có A'H = A'K OA = OK cho 0,25 điểm Nên OA' ®êng trung b×nh AH = A'O cho 0,25 ®iĨm c, áp dụng tính chất: tam gác đồng dạng tỉ số trung tuyến tơng ứng, tỉ số bán kính đờng tròn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng nên ta có: cho 0,25 điểm AEF đồng dạng ABC = cho 0,25 điểm Trong R bán kính đờng tròn tâm O R' bán kính đờng tròn ngoại tiếp AEF 0,25 điểm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF 0,25 điểm R AA = R' AA' = AA' cho cho cho 0,5 ®iĨm = AA' = AA' OA' cho 0,25 ®iĨm VËy R.AA1 = AA' OA' 0,25 ®iĨm d, Tríc hÕt ta chøng minh OA EF vẽ tiếp tuyến Ax đờng tròn tâm O Ta có OA Ax 0,25 điểm Vì góc xAB = Gãc BCA mµ gãc BCA = gãc EFA (cmt) gãc EFA = gãc xAB 0,25 ®iĨm EF// Ax 0,25 ®iĨm OA EF 0,25 điểm Chứng minh tơng tự có OB DF vµ OC ED Ta cã S =S +S +S = OA EF + OB FD + OC.DE cho cho cho cho cho cho 0,25 ®iĨm = R( EF + FD + DE ) (v× OA = OB = OC = R) R (EF + FD + DE) = S 0,25 ®iĨm EF + FD + DE = cho Nên EF + FD + DE lớn điểm L¹i cã S = S lín nhÊt cho 0,25 BC.h (h đờng vuông góc hạ từ A đến BC) S lín nhÊt h lín nhÊt ABC tam giác cân A điểm già cung AB lớn cho 0,25 điểm Bài 5: (3 điểm) Vì a, b, c cạnh tam giác có chu vi nên ta có: < a; b, c (cho 0,25 ®iĨm) a-1 0;b-1 0; c-1 cho 0,25 ®iĨm ( a -1) (b -1) (c -1) ( ab - a - b +1) ( c -1) cho 0,25 ®iĨm abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - cho 0,25 ®iĨm 2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c) cho 0,25 ®iĨm 2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2 cho 0,25 ®iĨm 2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c) cho 0,5 ®iĨm 2abc - 2(ab + ac + bc) + a + b + c +2(ab + ac + bc) (cho 0,25 ®iĨm) 2abc + a + b + c (®pcm) cho 0,25 điểm Chú ý: có cách giải khác mà làm cho điểm tối đa - Đối với hình học sinh sử dụng nhiều hình vẽ khác cho ý ý sử dụng công thức tính diện tích tứ giác có đờng chéo vuông góc mà không cần chứng minh lại Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ Mà ký hiệu: Đ02T- 08 - TS10 CT Bài 1: a, Chứng minh ab Năm học : 2008-2009 Môn thi : Toán Thời gian làm :150 phú ta luôn có = b, Phân tích đa thức M = a thành nhân tử Bài 2: a, Giải hệ phơng trình b, cho x, y x + y = Chøng minh 8(x + y ) + Bài 3: Cho đa thức f(x) = ax a) Chứng minh f(x) nhận giá trị nguyên với x th× sè 6a; 2b; a + b + c ; d số nguyên b, Đảo lại số 6a; 2b; a + b + c ; d số nguyên đa thức f(x) có nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x không? sao? Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, D điểm cạnh huyền BC, E điểm đôí xứng với D qua AB, G làgiao điểm AB víi DE, tõ giao diĨm H cđa AB víi CE hạ HI vuông góc với BC I tia CH, IG cắt K Chứng minh KC tia phân giác góc IKA Bài 5: Chứng minh phơng trình x -x +x -x +x -x+ =0 Vô nghiệm tập hợp số thực Hết Mà ký hiệu: Hớng dẫn chấm Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ HD02T- 08 - TS10 Bài 1: (3 điểm) a, Vì vế không âm nên bình phơng vế trái ta có: ( = ( + ) = ) + ab + (a + b) + ( ) + ab - (a + b) +2 Cho 0,25 ®iĨm = 2( ) + 2ab + 2( ) - 2ab Cho 0,25 ab) Cho 0,25 ®iĨm ( ( ) điểm = 4( ) ) = Cho 0,5 điểm (vì ab a; b dÊu) (a + b) = ( + + = + (Víi ab Cho 0,25 ®iĨm 0) b, Ta cã A = a + a + =a -a+a -a +a +a+1 = a(a - 1)(a + a + 1) + a (a - 1) + a + a + Cho 0,25 ®iĨm = a(a - 1)( a + a + 1)( a + a + 1) + + a (a - 1)(a + a + 1) + a + a + Cho 0,25 ®iĨm = (a + a + 1) a(a - 1)(a + a + 1) + a (a - 1) + 1) Cho 0,25 ®iĨm = (a + a + 1)(a - a+ a - a + a - a + 1) Cho 0, ®iĨm Bµi 2: (5 ®iĨm) a, NÕu x = thay vào ta có vô lý = tx Cho 0,25 điểm Vậy x Đặt y Cho 0,25 điểm Ta cã Cho 0,25 ®iĨm = Cho 0,25 ®iĨm ( v× t ≠ -1 hƯ míi cã nghiƯm) Cho 0,25 ®iÓm =2 Cho 0,25 ®iÓm t Cho 0,25 ®iÓm + t = - 2t + 2t t - 3t + = Cho 0,25 ®iĨm Cho 0,25 ®iĨm * NÕu t = y = x 4x = x=y= Cho 0,25 ®iÓm * nÕu t = y = 2x 18x = Cho 0,25 điểm Tóm lại hƯ cã nghiƯm x=y= Hc ( x = ;y= ) Cho 0,25 điểm b, áp dụng bất đẳng thức ( ) Víi mäi a, b Cho 0,25 ®iĨm ta cã ( ) Cho 0,25 ®iĨm ( ) = Cho 0,5 ®iĨm 8( x + y ) 0,25 ®iĨm Cho l¹i cã xy ( ) = Cho 0,25 ®iĨm Cho 0,25 ®iĨm VËy 8( x + y ) + 1+4=5 Cho 0,25 điểm Bài 3: ( điểm) a, Ta có f(0) = d số nguyên Cho 0,25 điểm f(1) = a + b + c + d số nguyên số nguyên Cho 0,25 ®iĨm f(1) - f(0) = a + b + c còng - c + d 2c + d cịng 2b + 2d Cho 0,25 ®iĨm f( -1) =- a + + 4b b số nguyên Cho 0,25 điểm f(2) = 8a + số nguyên số nguyên Cho 0,25 điểm Vậy f(1) + f( -1) = Cho 0,25 điểm 2b số nguyên ( 2d số nguyên) Cho 0,25 điểm f(2) = 6a + 2( a + b + c) + 2b + d số nguyên Cho 0,25 điểm Mà Nên số nguyên 6a Cho 0,25 điểm Ta có điều phải chứng minh b, Đảo lại: f(x) = ax + bx + cx + d sè nguyªn = (ax - ax) + (bx - bx) + ax + bx + cx + d Cho 0,25 ®iĨm = a(x - 1)x( x + 1) + bx(x - 1) + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iĨm = + + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iĨm = 6a + 2b + (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm Vì (x - 1)x( x + 1) tích số nguyên liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho 6a số nguyên Cho 0,25 điểm x(x -1) tích sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt 2b số nguyên Cho 0,25 điểm Và (a + b + c)x số nguyên Cho 0,25 điểm d số nguyên f(x) nhận giá trị nguyªn víi mäi x nguyªn 4sè 6a; 2b; a + b + c; d số Cho 0,25 điểm Bài 4: ( điểm) (Vẽ hình 0,5 ®iÓm) B E G K I D H A C nguyên Ta có G I nhìn HD dới góc vuông nên HGID tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm Góc GHD = gãc GIB (cïng bï víi gãc GID) Cho 0,5 ®iĨm Hay góc GHD = góc KIB Cho 0,5 điểm lại cã gãc GHD = gãc GHK ( E vµ I ®èi xøng qua AB) Cho 0,5 ®iĨm gãc KIB = gãc KHB ( cïng = gãc GHD) Cho 0,25 điểm Nên KHIB tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm Vì góc HIB = 90 góc HKB = 90 Cho 0,5 ®iĨm Ta cã gãc B = góc K (Do KHIB tứ giác nội tiếp) Cho 0,5 điểm Lại có K A nhìn BC dới góc vuông nên AKBC tứ giác nội tiÕp Cho 0,5 ®iĨm gãc K = gãc B Cho 0,5 điểm Từ ta có KC phân giác góc IKA Cho 0,5 điểm Chú ý học sinh vẽ hình khác cho điểm tơng tự Bài 5: (2 điểm) * Nếu x vế phải nhận giá trị dơng nên khoảng phơng trình vô nghiệm Cho 0,5 điểm * Nếu < x < Ta cã vÕ tr¸i = Cho 0,25 điểm = Cho 0,25 điểm dơng nên khoảng phơng trình vô nghiệm * Nếu x ta cã VÕ tr¸i = x (x - 1) + x (x - 1) + x(x - 1) + Cho 0,25 điểm Cũng số dơng nên khoảng phơng trình vô ngiệm Cho 0,25 điểm Tóm lại phơng trình đà cho vô nghiệm tập hợp số thực R ( Cho 0,25 điểm) Chú ý chấm: học sinh làm theo cách khác nhng cho điểm tối đa Ngời soạn thảo : Phạm Văn Phan Giáo viên trờng THCS Lý Tự Trọng - Thành phố Ninh Bình Ninh Bình