SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH LONG NĂM HỌC 2021 – 2022 Khóa thi ngày: 10/06/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 06 câu, 01 trang) Mơn: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) a ¿ Tính giá trị biểuthức : A=√ +2 √ 3+ √6−2 √ 5+ √ 5+ √ 2√ x x − ∶ ( 1− √ ) với x ≥ 0, x ≠ 1.Rút gọn biểu thức P ( √ x−1 ) x +1 x √ x+ √ x−x−1 b ¿ Cho biểuthức :P= Câu (1,0 điểm) Tìm tất giá trị m để phương trình x 2−5 x+ m+1=0 (x ẩn, m tham số) có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn |x 21−x 22|=15 Câu (1,5 điểm) x y − = a ¿ Giải hệ phương trình y x 2 x − y =5 { b) Giải phương trình ( x−1 )4 =x 2−2 x+3 Câu (1,5 điểm) a) Tìm tất số nguyên x cho giá trị biểu thức x 2+ x+6 số phương b) Tìm nghiệm nguyên phương trình y 2=−2 ( x 6−x y−32 ) Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường cao AH tam giác ABC (H thuộc BC) Gọi P, Q chân đường vng góc kẻ từ H đến cạnh AB, AC a) Chứng minh ^ PQH =^ BAH b) Hai đường thẳng PQ BC cắt M Chứng minh ∆ MQH ∽∆ MHP M H 2=MB MC c) Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) K (K khác A) KH cắt đường tròn (O) D (D khác K) Gọi J trung điểm HD Chứng minh J Q=J C Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị biểu thức x2 +10 √ x +9 - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH LONG NĂM HỌC 2021 – 2022 Khóa thi ngày: 10/06/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TOÁN (Chuyên) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu (2,0 điểm) a ¿ Tính giá trị biểuthức : A=√ +2 √ 3+ √6−2 √ 5+ √ 5+ √ 2√ x x − ∶ ( 1− √ ) với x ≥ 0, x ≠ 1.Rút gọn biểu thức P ( √ x−1 ) x +1 x √ x+ √ x−x−1 b ¿ Cho biểuthức :P= Câu Điể m 2.0 a) Ta có: A = √ ( √ 3+1 )2 + √ ( √5−1 )2 +¿ √ 5+ √3 √5+ √3 2( √ 5−√ 3) = √ 3+ √ 5+¿ = √ 3+1+ √ 5−1+¿ 0.25 0.25 = √5 b) Ta có: 0.25 0.25 √x 2√ x x+ 1−2 √ x − = − = √ x−1 x √ x + √ x−x−1 √ x−1 ( √ x−1)(x +1) ( √ x−1)(x+ 1) x x+1−2 √ x Và 1− √ = 0.25 0.25 x +1 x +1 x+1−2 √ x x +1 Nên P = ( √ x−1)(x+1) x +1−2 √ x P= √ x−1 0.25 0.25 Câu (1,0 điểm) Tìm tất giá trị m để phương trình x 2−5 x+ m+1=0 (x ẩn, m tham số) có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn |x 21−x 22|=15 1.0 Phương trình có hai nghiệm x , x Khi ∆=52−4 ( m+1 ) >0 ⇔21−12m>0 ⇔ m< 0.25 { x + x 2=5 Theo Vi-ét ta có: x x =3 m+ 1 2 0.25 Ta có: |x 1−x 2|= √( x 1−x ) =√ ( x 1+ x2 ) −4 x x 2= √ 52 −4 ( m+1 )= √21−12m 2 Theo yêu cầu đề bài: |x 1−x 2|=|( x 1+ x ) ( x 1−x 2)| 0.25 ¿|5(x 1−x )|=5|x 1−x 2|=5 √ 21−12 m Suy |x 21−x 22|=15 ⇔ √21−12 m=15 ⇔ √21−12m=3 0.25 ⇔ 21−12 m=9 ⇔ 12 m=12 ⇔ m=1 (nhận) Vậy m=1 giá trị cần tìm Câu (1,5 điểm) x y − = a ¿ Giải hệ phương trình y x 2 x − y =5 { b) Giải phương trình ( x−1 )4 =x 2−2 x+3 1.5 a) Điều kiện: x ≠ ; y ≠ Hệ phương trình cho tương đương với: { 0.25 x 2− y = ⇔ xy=6 (1) xy x 2− y 2=5 (2) x 2− y 2=5 { ⇒ x −5 x2−36=0 ⇔ x2 =9(n) x =−4 (l) Với x =9 ⇔ [ 0.25 x=3 ⇒ y=2 [ x=−3 ⇒ y=−2 0.25 Vậy nghiệm hệ phương trình (3;2); (-3;-2) b) ( x−1 )4 =x 2−2 x+3 ( ) 2 (1) ⇔ [ ( x −1 ) ] =x −2 x +3 ⇔ ( x −2 x +1 ) =x −2 x+ (2) 2 Đặt t=x 2−2 x+1, t ≥ phương trình (2) trở thành phương trình t 2=t+ 2⇔ t 2−t−2=0 Giải phương trình ta được: t=2 (nhận) t=−1 (loại) Với t=2 ⇔ x 2−2 x+1=2 ⇔ x 2−2 x −1=0 ⇔ x=1 ± √2 Vậy tập nghiệm phương trình S= { 1−√ 2; 1+ √ } Câu (1,5 điểm) 0.25 0.25 0.25 a) Tìm tất số nguyên x cho giá trị biểu thức x 2+ x+6 số phương b) Tìm nghiệm ngun phương trình y 2=−2 ( x 6−x y−32 ) 1.5 a) Ta có x 2+ x+6=n2 ; ( n , x ∈ Z ) ⇒ x +4 x +24=4 n2 ⇔ x 2+ x +1−4 n2 =−23 ⇔ ( x+1−2 n )( x+ 1+ 2n )=−23 n=1 ⇒ x =5 {22xx+1−2 +1+2 n=3 x +1−2 n=1 ⇒ x =−6 TH2: { x +1+2 n=−23 TH1: b) Tìm nghiệm nguyên phương trình y 2=−2 ( x 6−x y−32 ) Ta có y =−2 ¿ ⇒ x ≤64 ⇔ x ≤ x ∈ Z ⇒ x ∈ {−1;−2 ; ; 1; } 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Xét trường hợp: + x=2 ⇒ ( y −x3 ) =0 ⇒ y=8 + x=1 ⇒ ( y−x ) =63⇒ y ∉ Z (loại) + x=0 ⇒ ( y−x ) =64 ⇒ y=8 y=−8 0.25 + x=−1 ⇒ ( y −x3 ) =63 ⇒ y ∉ Z (loại) + x=−2 ⇒ ( y −x3 ) =0 ⇒ y=−8 Vậy nghiệm phương trình là: ( ; ) ; ( ;−8 ) ; ( 2; ) ; (−2 ;−8) Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường cao AH tam giác ABC (H thuộc BC) Gọi P, Q chân đường vng góc kẻ từ H đến cạnh AB, AC a) Chứng minh ^ PQH =^ BAH b) Hai đường thẳng PQ BC cắt M Chứng minh ∆ MQH ∽∆ MHP M H 2=MB MC c) Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) K (K khác A) KH cắt đường tròn (O) D (D khác K) Gọi J trung điểm HD Chứng minh J Q=J C 3.0 a) Tứ giác APHQ có ^ APH =900 (gt) ^ AQH=900 (gt) => ^ APH + ^ AQH=180 hai góc vị trí đối nên APHQ tứ giác nội tiếp đường tròn => ^ PQH =^ BAH b) Xét △ MQH △ MHP có ^ PQH =^ BHA (cmt), mà ^ BAH =^ BHP (cùng phụ ^ MQH = ^ MHP PBH ¿ suy ^ 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ^ PMH góc chung ⇒ △ MQH ∽ △ MHP 0.25 Chứng minh tứ giác BPQC tứ giác nội tiếp ⇒ ^ MBP=^ MQC (cùng bù ^ PBC ) ^ Ta lại có BMP góc chung 0.25 MB MP = ⇔ M H 2=MP MQ (1) ⇒ △ MBP∽ △ MQC (g.g) ⇒ MQ MC MQ MH = ⇔ M H 2=MP MQ △ MQH ∽ △ MHP (g.g) ⇒ (2) MH MP 0.25 Từ (1) (2) ⇒ M H =MB MC c) Vì AKBC tứ giác nội tiếp nên ^ MKB= ^ MCA (cùng bù với ^ AKB), mà ^ AMC góc chung MK MB ⇒ △ MKB∽ △ MCA ⇒ = ⇒ MK MA =MB MC MC MA Mà M H 2=MB MC ⇒ M H 2=MB MC ⇒ M H 2=MK MA Do △ AHM vuông H ⇒ HK đường cao tam giác AHM (vì △ MHA ∽ △ MKH ⇒ AK ⊥ KH ⇒ AK ⊥ KD suy AD đường kính (O) Suy ^ ACD=900 nên DC ⊥ AC Mà HQ ⊥ AC ⇒ DC /¿ HQ nên HQCD hình thang Gọi N trung điểm QC (3) ⇒ JN đường trung bình hình thang HQCD ⇒ JN /¿ HQ ⇒ JN ⊥QC (4) Từ (3) (4) ⇒ JN đường trung trực QC ⇒JQ=JC 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị biểu thức x2 +10 √ x +9 1.0 Đặt P = ¿ ( x2 +10 = √ x 2+ 9+¿ x +9 √ √ x +9 1 √ x +9+ + √ x +9 √ x +9 ) Suy 10 P ≥2 + 3= Vậy giá trị nhỏ cần tìm P= 10 x=0 0.25 0.25 0.25 0.25